Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 15. – krótki sprawdzian – rozwiązania
11 kwietnia 2019
A
1. Sprawdź czy funkcja
f (x, y) =
sin(x2+ y2)
x2+ y2 , dla (x, y) 6= (0, 0) 1, dla (x, y) = (0, 0) ,
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).
Pochodne cząstkowe to
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0 sin(h2)
h2 − 1
h = lim
h→0
sin(h2) − h2 h3 = lim
h→0
2 cos(h2) − 2
3h = lim
h→0
−4h sin(h2)
3 = 0.
podobnie
∂f
∂x(0, 0) = 0
Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę
lim
(hx,hy)→(0,0)
sin(h2x+h2y)
h2x+h2y − 1 − 0
2
q h2x+ h2y
= lim
r→0 sin(r2)
r2 − 1 r = 0.
Zatem funkcja jest różniczkowalna.
2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
f (x, y) = x2y Mamy:
∂f
∂x = 2yx2y−1
∂f
∂y = 2x2yln x Zatem
∂2f
∂x2 = 2yx2y−1= 2y(2y − 1)x2y−2,
∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x = 2x2y−1+ 2yx2yln x,
∂2f
∂y2 = 4x2yln2x.
1
B
1. Sprawdź czy funkcja
f (x, y) =
sin(x2+ y2)
4x2+ 4y2 , dla (x, y) 6= (0, 0) 1, dla (x, y) = (0, 0) ,
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).
Próbujemy policzyć cząstkowe pochodne
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0 sin(h2)
4h2 − 1
h = lim
h→0
sin(h2) − 4h2 4h3 = lim
h→0
2 cos(h2) − 8
12h = −∞.
czyli ta pochodna nie istnieje, zatem funkcja zdecydowanie nie jest różniczkowalna.
2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
f (x, y) = y2x Mamy:
∂f
∂x = 2y2xln y
∂f
∂y = 2xy2x−1 Zatem
∂2f
∂x2 = 4y2xln2y.
∂2f
∂y∂x = ∂2f
∂x∂y = 2y2x−1+ 2xy2xln y,
∂2f
∂y2 = 2xy2x−1= 2x(2x − 1)y2x−2,
C
1. Sprawdź czy funkcja
f (x, y) =
cos(x2+ y2) − 1
4x2+ 4y2 , dla (x, y) 6= (0, 0)
0, dla (x, y) = (0, 0)
,
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).
Pochodne cząstkowe to
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
cos(h2)−1 4h2 − 0
h = lim
h→0
cos(h2) − 1 4h3 = lim
h→0
−2 sin(h2) 12h = lim
h→0
−4h cos(h2)
12 = 0.
podobnie
∂f
∂x(0, 0) = 0
Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę
lim
(hx,hy)→(0,0)
cos(h2x+h2y)
4h2x+4y2 − 0 − 0
2
q h2x+ h2y
= lim
r→0
cos(r2)−1 4r2
r = 0.
Zatem funkcja jest różniczkowalna.
2
2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
f (x, y) = ln(x2/y) Mamy:
∂f
∂x = 2xy yx2 = 2
x
∂f
∂y = −x2 y2
y x2 = −1
y Zatem
∂2f
∂x2 = − 2 x2,
∂2f
∂y∂x = ∂2f
∂x∂y = 0,
∂2f
∂y2 = 1 y2.
D
1. Sprawdź czy funkcja
f (x, y) =
cos(x2+ y2) − 1
x2+ y2 , dla (x, y) 6= (0, 0)
0, dla (x, y) = (0, 0)
,
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).
Pochodne cząstkowe to
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
cos(h2)−1 h2 − 0
h = lim
h→0
cos(h2) − 1 h3 = lim
h→0
−2 sin(h2) 3h = lim
h→0
−4h cos(h2)
3 = 0.
podobnie
∂f
∂x(0, 0) = 0
Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę
lim
(hx,hy)→(0,0)
cos(h2x+h2y)
h2x+y2 − 0 − 0
2
qh2x+ h2y
= lim
r→0
cos(r2)−1 r2
r = 0.
Zatem funkcja jest różniczkowalna.
2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
f (x, y) = ln(y2/x) Mamy:
∂f
∂x = −y2 x2
x y2 = −1
x
∂f
∂y =2xy y2x = 2
y Zatem
∂2f
∂x2 = 1 x2,
∂2f
∂y∂x = ∂2f
∂x∂y = 0,
∂2f
∂y2 = −2 y2.
3