• Nie Znaleziono Wyników

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 15. – krótki sprawdzian – rozwiązania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 15. – krótki sprawdzian – rozwiązania"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 15. – krótki sprawdzian – rozwiązania

11 kwietnia 2019

A

1. Sprawdź czy funkcja

f (x, y) =

sin(x2+ y2)

x2+ y2 , dla (x, y) 6= (0, 0) 1, dla (x, y) = (0, 0) ,

jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

Pochodne cząstkowe to

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0 sin(h2)

h2 − 1

h = lim

h→0

sin(h2) − h2 h3 = lim

h→0

2 cos(h2) − 2

3h = lim

h→0

−4h sin(h2)

3 = 0.

podobnie

∂f

∂x(0, 0) = 0

Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę

lim

(hx,hy)→(0,0)

sin(h2x+h2y)

h2x+h2y − 1 − 0

2

q h2x+ h2y

= lim

r→0 sin(r2)

r2 − 1 r = 0.

Zatem funkcja jest różniczkowalna.

2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

f (x, y) = x2y Mamy:

∂f

∂x = 2yx2y−1

∂f

∂y = 2x2yln x Zatem

2f

∂x2 = 2yx2y−1= 2y(2y − 1)x2y−2,

2f

∂x∂y = 2f

∂y∂x = 2x2y−1+ 2yx2yln x,

2f

∂y2 = 4x2yln2x.

1

(2)

B

1. Sprawdź czy funkcja

f (x, y) =

sin(x2+ y2)

4x2+ 4y2 , dla (x, y) 6= (0, 0) 1, dla (x, y) = (0, 0) ,

jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

Próbujemy policzyć cząstkowe pochodne

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0 sin(h2)

4h2 − 1

h = lim

h→0

sin(h2) − 4h2 4h3 = lim

h→0

2 cos(h2) − 8

12h = −∞.

czyli ta pochodna nie istnieje, zatem funkcja zdecydowanie nie jest różniczkowalna.

2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

f (x, y) = y2x Mamy:

∂f

∂x = 2y2xln y

∂f

∂y = 2xy2x−1 Zatem

2f

∂x2 = 4y2xln2y.

2f

∂y∂x = 2f

∂x∂y = 2y2x−1+ 2xy2xln y,

2f

∂y2 = 2xy2x−1= 2x(2x − 1)y2x−2,

C

1. Sprawdź czy funkcja

f (x, y) =

cos(x2+ y2) − 1

4x2+ 4y2 , dla (x, y) 6= (0, 0)

0, dla (x, y) = (0, 0)

,

jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

Pochodne cząstkowe to

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

cos(h2)−1 4h2 − 0

h = lim

h→0

cos(h2) − 1 4h3 = lim

h→0

−2 sin(h2) 12h = lim

h→0

−4h cos(h2)

12 = 0.

podobnie

∂f

∂x(0, 0) = 0

Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę

lim

(hx,hy)→(0,0)

cos(h2x+h2y)

4h2x+4y2 − 0 − 0

2

q h2x+ h2y

= lim

r→0

cos(r2)−1 4r2

r = 0.

Zatem funkcja jest różniczkowalna.

2

(3)

2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

f (x, y) = ln(x2/y) Mamy:

∂f

∂x = 2xy yx2 = 2

x

∂f

∂y = −x2 y2

y x2 = −1

y Zatem

2f

∂x2 = − 2 x2,

2f

∂y∂x = 2f

∂x∂y = 0,

2f

∂y2 = 1 y2.

D

1. Sprawdź czy funkcja

f (x, y) =

cos(x2+ y2) − 1

x2+ y2 , dla (x, y) 6= (0, 0)

0, dla (x, y) = (0, 0)

,

jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

Pochodne cząstkowe to

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

cos(h2)−1 h2 − 0

h = lim

h→0

cos(h2) − 1 h3 = lim

h→0

−2 sin(h2) 3h = lim

h→0

−4h cos(h2)

3 = 0.

podobnie

∂f

∂x(0, 0) = 0

Zatem różniczka, jeśli istnieje, to jest równa 0. Sprawdzamy granicę

lim

(hx,hy)→(0,0)

cos(h2x+h2y)

h2x+y2 − 0 − 0

2

qh2x+ h2y

= lim

r→0

cos(r2)−1 r2

r = 0.

Zatem funkcja jest różniczkowalna.

2. Policz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

f (x, y) = ln(y2/x) Mamy:

∂f

∂x = −y2 x2

x y2 = −1

x

∂f

∂y =2xy y2x = 2

y Zatem

2f

∂x2 = 1 x2,

2f

∂y∂x = 2f

∂x∂y = 0,

2f

∂y2 = −2 y2.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

Jaką wymiary x, y, z należy wybrać, aby zminimalizować powierzchnię ścian bocznych.. Prostopadłościenne pudełko ma objętość

Prostopadłościenne pudełko bez pokrywy ma pojemność 4 litrów3. Prostopadłościenne pudełko ma objętość

[r]

Jest jasne, że ze wszystkich równoległościanów (objętość to pole podstawy razy wysokość) o takich samych bokach najlepszy jest prostopadłościan (wtedy wysokość jest

[r]

[r]