Filtry adaptacyjne
Spis treści
1. Przykłady 2. Filtr Wienera
3. Algorytm filtracji adaptacyjnej
4. Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów typu FIR
Telefon głośno mówiący
P.A. Regalia: Adaptive IIR Filtering in Signal Procesing
Tłumienie hałasu
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
Wielokanałowe tłumienie hałasu
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
Elektrokardiografia
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
S.Haykin: Adaptive Filter Theory Cztery podstawowe klasy zastosowań
filtracji adaptacyjnej:
a) identyfikacja,
b) odwrotne modelowanie, c) predykcja,
d) likwidacja zakłóceń.
Zastosowania
Filtr Wienera
Obiekt ∑ Filtr Wienera
∑
( )
ns
( )
nξ
( ) n
e
( ) n
s
est( )
nsobs
- sygnał zawierający informację - zakłócenie
- sygnał obserwowany - sygnał estymujący - błąd
) (n s
) ξ (n
) (n s
obs) (n sest
) (n e
Estymacja sygnału
) ( )
( )
(n s n s n e = − est
∑
=−
= N
m
obs m
est n h s n m
s
0
) (
) (
) ( )
( n h s n s
est=
T obs[
( ), ( 1),..., ( )]
1)
( = obs obs − obs − T ∈ℜN+
obs n s n s n s n N
gdzie s
Kryterium
{ } ∑
+ =
= −
= M
N n
df e n
N n M
e E
Q ( )
1 ) 1
( 2
2
( )
{
s n h s n}
E{
s n h s n s n h s n s n h}
E
Q = ( ) − T obs( ) 2 = 2( ) − 2 T obs( ) ( ) + T obs( ) Tobs( )
{
s n}
h h hE − TΦ + T Φobs
= 2 ( ) 2
{
( ) ( )}
∈ℜ +1=
Φ E sobs n s n N
{
s (n)s (n)}
E obs Tobs
obs = dla Φ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
= − Φ
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
M N n
obs M
N n
obs obs
M N n
n obs
M N n
n obs
M N n
obs obs
M N n
obs M
N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs M
N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs obs
M N n
obs
obs
N n s n
s N n s n
s N n s n
s N n s
N n s n s n
s n
s n
s n
s n s
N n s n s n
s n s n
s n
s n s
N n s n s n
s n s n
s n s n
s
N M
) (
) 2 ( ) (
) 1 ( ) (
) ( ) (
) (
) 2 ( )
2 ( )
1 ( ) 2 ( )
( ) 2 (
) (
) 1 ( )
2 ( ) 1 ( )
1 ( )
( ) 1 (
) (
) ( )
2 ( ) ( )
1 ( ) ( )
(
1 1
2 2
2 2
M T
N n
obs M
N n
obs M
N n
obs n s n s n s n s n N s n
N s
M
− −
+
= −
Φ 1 1
∑
= ( ) ( )∑
= ( 1) ( )∑
= ( ) ( )Wektor korelacji i macierz autokorelacji
Optymalizacja
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
j j
j h
n n e
e E n
h e h E
Q ( )
) ( 2 )
2(
∑
=−
−
=
−
= N
m
obs obs m
T s n s n h s n m
h n
s n
e
0
) (
) ( )
( )
( )
(
{ 2 ( ) ( )}
) (
) ( )
( 2
0
j n s
n e E
m n s
h n
h s n e h E
Q
obs N
m
obs m j
j
−
−
=
− −
∂
= ∂
∂
∂
∑
=
N j = 0,1,...,
⇒
dla
Rozwiązanie optymalne
−
− −
=
∂
∂
∂
∂
=
∇ ( )
) (
) 1 (
) ( 2
0
n e N n
s
n s
n s
E h
Q h Q
obs obs
obs
N
( )
{
( ) ( ) ( )}
2E sobs n s n − hT sobs n
−
=
∇
{
s n s n}
E{
s n s n}
hE obs( ) ( ) 2 obs( ) Tobs( )
2 +
−
=
0 2
2Φ + Φ =
−
=
∇ obsh
Φ
= Φobshopt
{ }
− Φ= E s n hT
Q 2( )
⇒
{
s n}
h h hE
Q = 2 ( ) − 2 TΦ + T Φobs
{ }
e2(n)E Q =
Algorytm filtracji adaptacyjnej
∑
=−
=
−
−
=
Nm
obs T
obs m
est n h n s n m h n s n
s
0
) ( )
1 (
) (
) 1 (
) (
) ( )
( )
(n h n n
obs = Φ
Φ
∑
==
Φ
nN m
T obs obs
obs
(
n)
s(
m)
s(
m)
∑
==
Φ n
N m
obs m s m
s
n) ( ) ( )
(
Φ
= Φobshopt
Algorytm filtracji adaptacyjnej
) ( )
( )
1 (
)
(
n obs n sobs n sTobs nobs
= Φ − +
Φ
) ( ) ( )
1 (
)
(n = Φ n − + sobs n s n Φ
) ( ) ( )
1 (
) 1 (
) ( )
(n h n obs n h n sobs n s n
obs = Φ − − +
Φ
(
( ) ( ) ( ))
( 1) ( ) ( )) ( )
(n h n obs n sobs n sTobs n h n sobs n s n
obs = Φ − − +
Φ
(
( ) ( 1) ( ))
) ( )
1 (
) ( )
( )
(n h n obs n h n sobs n s n hT n sobs n
obs = Φ − + − −
Φ
) ( ) ( )
( )
1 (
)
( n h n
1n s n e n
h = − + Φ
−) ( ) ( )
(n = Φobs n h n Φ
) ( )
( )
(n s n s n e = − est
Algorytm rekurencyjnego
wyznaczania macierzy odwrotnej
Sherman - Mossison
) ( )
1 (
) ( 1
) 1 (
) ( )
( )
1 ) (
1 (
)
( 1
1 1
1 1
n s
n n
s
n n
s n s
n n n
obs obs
T obs
obs T
obs obs
obs obs
obs + Φ −
− Φ
−
− Φ
− Φ
=
Φ− − − − −
( )
∑
=− −
= K
N n
n K est n
s n s
Q ( ) ( ) 2α
1 0 <α <
− Φ
+
− Φ
−
− Φ
− Φ
=
Φ− − − − −
) ( )
1 (
) (
) 1 (
) ( )
( )
1 ) (
1 1 (
)
( 1
1 1
1 1
n s
n n
s
n n
s n s
n n n
obs obs
T obs
obs T
obs obs
obs obs
obs α α
1. Przyjąć:
a) rząd filtru N i oznaczyć chwile początkową , b) macierz gdzie jest małą liczba
dodatnią, a jest macierzą jednostkową o wymiarach ,
c) współczynniki filtru , d) numer chwili końcowej K.
Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów FIR
1
) 1
( = +
Φobs n IN
δ δ
+1
IN
(
N +1) (
× N +1)
0 1
) 1
(n− = ∈ℜN+ h
N n =
Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów FIR
2. Wprowadzić wartości obserwowanego sygnału dla i umieścić w wektorze oraz za
wstawić N-tą wartość sygnału wejściowego s .
) (m sobs n
m = 0,1,..., sobs(n) s(n)
3. Obliczyć
oraz
i na końcu poprawić filtr
) ( )
1 (
)
(n h n s n
sest = T − obs ) ( )
( )
(n s n s n e = − est
) ( )
1 (
) ( 1
) 1 (
) ( )
( )
1 ) (
1 (
)
( 1
1 1
1 1
n s
n n
s
n n
s n s
n n n
obs obs
T obs
obs T
obs obs
obs obs
obs + Φ −
− Φ
−
− Φ
− Φ
=
Φ− − − − −
).
( ) ( )
( )
1 (
)
( n h n
1n s n e n
h = − + Φ
obs− obsAlgorytm rekursywnej adaptacji filtrów FIR
4. Jeżeli zakończyć obliczenia.
5. Wprowadzić kolejne wartości sygnałów , a następnie zwiększyć wskaźnik n o jeden i przejść do punktu 3.
K n =
) 1 (n + sobs
) 1 (n + s
