----- U) O ciągłych pochodnych funkcji wielu zmiennych

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE V II (1962)

J.

Mik usińsk i

(Katowice)

O ciągłych pochodnych funkcji wielu zmiennych

Mech

^15 • • •» i J1

1

• • • • > Jm

będą dwoma układami m liczb naturalnych, niewiększych od ustalonej liczby naturalnej q, które różnią się tylko kolejnością. Każda więc liczba występująca w pierwszym układzie występuje dokładnie taką samą ilośó razy w drugim układzie i na odwrót. Na przykład układy

4 , 1 , 1 , 2 , 4 i 2 , 4 , 1 , 4 , 1

mają tę własność, przy czym m = 5, q = 4. Można też ogólnie powiedzieć, że jeden układ jest permutacją drugiego.

Mając daną funkcję q zmiennych rzeczywistych / ( f 1} ..., £q), roz

ważamy pochodne

U)

^d

_dU ^d f ,

(2⁾

d d

d h

/•

Wiadomo dobrze z elementarnego kursu rachunku różniczkowego, że jeżeli funkcja f jest Masy Gr (r = %+. . . + im — j x+ . . . + j m), tzn. jeżeli

д d

wszystkie jej pochodne --- . . . ---, gdzie kx + . . . + km < r, są ciągłe, e &»,

to obie pochodne (1) i (2) są sobie równe.

Założenie to może być znacznie osłabione. Zamiast zakładać, że funkcja / jest klasy Cr, wystarczy założyć tylko ciągłość funkcji / oraz tych jej pochodnych, które otrzymuje się przy kolejnym wykonywaniu różnicz

kowali w porządku wskazanym wzorem (1) i w porządku wskazanym wzo

rem (2). To zapewnia już równość pochodnych (1) i (2), choćby nawet pochodne w innym uporządkowaniu kolejnych różniczkowań wcale nie istniały.

Jeden z dowodów tego twierdzenia można znaleźć w pracy Z. Łu-

szczkiego [1]. W dowodzie tego autora istotną rolę grają wielomiany Bern-

(2)

66 J . M i k u s i ń s k i

Steina funkcyj wielu zmiennych. Twierdzenie można też otrzymać łatwo, korzystając z teorii dystrybueyj. Wystarczy mianowicie zauważyć, że 1° pochodna dystrybucyjna pierwszego rzędu pokrywa się ze zwykłą pochodną, jeżeli funkcja różniczkowana i pochodne są ciągłe; 2° pochodne dystrybucyjne wyższych rzędów nie zależą od uporządkowania kolejnych różniczkowań. Celem tego artykułu jest podanie jednego z możliwych bezpośrednich dowodów, w których nie korzysta się ani z teorii wielomia

nów Bernsteina, ani z teorii dystrybueyj.

Niech żl(£i, .. . , £g) będzie funkcją klasy Gr (r = - . . . - f«O T = j x-[- + --- + jm) w całej q-wymiarowej przestrzeni E9, dodatnią w g-wymia

**rowej kostce Q: |£*| < 1 (к — 1, ..., q), równą zeru poza tą kostką, i taką** że

J

... f Ad^...d^g = 1.

Funkcję tego typu można określić wzorami, na przykład:

A ( i x, . . . , i q) — .

0 na brzegu i poza Q,

przy czym stała c ma wartość Czytelnikowi pozostawiamy sprawdzenie, że tak określona funkcja Л ma rzeczywiście żądane własności.

Funkcje

£ 1 > • • • ? £q) = W d ą)

są również klasy Cr w E9, dodatnie odpowiednio w kostkach Qn: |£J < —,

*

%

równe zeru poza tymi kostkami, i mają własność:

(3) J . . . j A nd$,...dSa = 1.

Niech

( 4 ) f n ~ f * =

J

^{• • •}

J

f ( £ l 7 1 7• • • 7 T g ) (^ 1 > • • • J "^ff) ^ T j • • • ^ T g •

№

Ciąg f n dąży do / jednostajnie na każdym domkniętym i ograniczonym zbiorze Z. Istotnie, możemy napisać

(

5

) /.-/ =

= J" ... J" [f(Sl T! , . . . , Tg) / (£lf • • • > ^a)] d n(Tj , • • • , Tg) dTj . . . <^Tg . Qn

Wszystkie punkty (£x — rx, . .., £q—rq), takie że ( i x, ..., Sg) należy do Z, а

(тг,

..., Tg) należy do należą do pewnego domkniętego i ograniczo

nego zbioru ZX1 zawierającego Z. Funkcja f n—f, będąc ciągła w całej

przestrzeni E9, jest jednostajnie ciągła w Z x. Ponieważ ze wzrostem n

kostki Qn stają się dowolnie małe, więc z jednostajnej ciągłości / wynika,.

(3)

O ciągłych pochodnych fu n kcji wielu zmiennych 5 7

że różnice w kwadratowym nawiasie (5) stają się bezwzględnie mniej

sze od dowolnie zadanej liczby dodatniej

e.

Z (5) i (4) wynika, że wtedy też \fn—f\ < s, co dowodzi jednostajnej zbieżności f n do / na zbiorze Z.

Przez różniczkowanie otrzymujemy z (4):

d d f 11 9 d \

( 6 )

“ * d $ . ~ ' U ? l m

■ щ - f j * 4 »

d d / d d \

( 7 )

d t h ’

• • a f. Jn Jm

To samo rozumowanie, co przed chwilą, dowodzi, że ciągi (6) i (7) są zbieżne odpowiednio do (1) i (2) na każdym zbiorze domkniętym i ogra

niczonym Z.

Przez prostą zamianę zmiennych wzór (4) można przekształcić do postaci:

fn **f * Д-n J', ‘" "^1 > •? T'**

q

) ^n( ^i ? • • • f £q tq) .. . djTą .

№

Stąd x>rzez różniczkowanie otrzymujemy, że ciągi (6) i (7) mogą być także przedstawione w postaci

f * L h -

d . '* я t ^ n

д *<т

> - a

d

• • д f. ŁS n o £ j

Jm

Lecz pochodne w nawiasach są sobie równe, ponieważ funkcje An są klasy Cr. Wobec tego ciągi (6) i (7) są identyczne. Ponieważ ciąg (6) jest zbieżny do (1), a ciąg (7) jest zbieżny do (2), więc pochodne (1) i (2) są sobie równe.

Dowód powyższy dotyczy przypadku, gdy funkcja / jest określona w całej przestrzeni Bą. Jeżeli jest ona określona tylko w jej części, dowód wymaga tylko nieznacznych, oczywistych modyfikacji.

Praca cytowana

[1] Z. Ł uszczki, Zastosowanie uogólnionych wielomianów Bernsteina do dowodu pewnego twierdzenia o mieszanych pochodnych cząstkowych, Prace Mat. 2 (1958), str. 355-360.

(4)

58 J . M i k u s i ń s k i

Ян Ми н у с и н с к и (Катовицэ)

О НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Р Е З Ю М Е

Работа содержит простое доказательство теоремы о перемене порядка последовательных дифференцирований непрерывных функций. Автор пользуется сверткой с достоточно регулярной функцией.

J. ^Mi k u s i ń s k i (Katowice)

ON CONTINUOUS DERIVATIVES OF FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES

S U M M A R Y

The paper contains a simple proof of the theorem on interchanging successive partial differentiations of continuous functions. As tool the author uses the convolu

tion with a sufficiently regular function.