Funkcje kształtu

Interpolacja Lagrange’a

Dane zbiory liczbowe:

X =x0, x1, . . . , xn, F =f0, f1, . . . , fn^T

, fi ≡ f (xi)
, gdzie:

X- węzły interpolacji,

F- wartości funkcji interpolowanej.

Wielomian Lagrange’a Lⁿ(x) przyjmuje postać:

Lⁿ(x) = f₀Lⁿ₀(x) + f₁Lⁿ₁(x) + . . . + f_nLⁿ_n(x) = L F, gdzie:

Lⁿ_i =

j=n

Y

j=0, j6=i

x − x_j xi− xj

.

Wielomianów bazowych Lⁿ_i(x) jest tyle ile węzłów.

Funkcje kształtu

Wielomiany Lagrange’a

1 2

L^e xe

d = u_{1 (1)} d = u

2 (2)

u(x)

X =x^e₁, x^e₂, F = d^e=d^e₁, d^e₂T

.

L

(1×2)

(ξ) = L1(ξ), L₂(ξ) = x^e− x^e₂

x^e₁− x^e₂,x^e− x^e₁

x^e₂− x^e₁ = 1−ξ, ξ, ξ = x^e L^e

1.0 1.0 1 2

L^e ξ)

L1 L₂

1.0 1.0

u(

a) b)

ξ ξ d₁ ξ

d2

u(ξ) = L(ξ) d^e= L1(ξ) d^e₁+ L2(ξ) d^e₂.

Funkcje kształtu

Wielomian Hermite’a stopnia 3

1 xe 2 d = v_{3 (2)}

v’₍₁₎

y,

L^e v

d = ₂ d = ₄

1 (1)

d = v

v’₍₂₎

Dane zbiory liczbowe:

X =x^e₁, x^e₂, F = d^e=d^e₁, d^e₂, d^e₃, d^e₄^T , gdzie:

X- węzły interpolacji,

F- wartości funkcji interpolowanej oraz jej pochodnej.

Wielomian Hermite’a H³(ξ) przyjmuje postać:

v(ξ) = H(ξ)^ed^e, ξ = x^e L^e.

Funkcje kształtu

Wielomiany bazowe wielomianu Hermite’a stopnia 3

H(ξ) =H1(ξ), H₂(ξ), H₃(ξ), H₄(ξ), H₁(ξ) = 1 − 3ξ²+ 2ξ³, H₂(ξ) = L (ξ − 2ξ²+ ξ³), H3(ξ) = 3ξ²− 2ξ³, H4(ξ) = L (ξ³− ξ²)

1 v(1)

ξ ξ

1.0 1.0

ξ

1.0

ξ 1.0

x= L

L^e

3 1.0

H₁

H

H₂

H4

1.0

v(x)

2 ξ b)

a)

v’(1)

v’₍₂₎ v₍₂₎

v(ξ) = H(ξ) d^e=

= H1(ξ) v(1)+ H2(ξ) v⁰₍₁₎+ H3(ξ) v(2)+ H4(ξ) v₍₂₎⁰ .