• Nie Znaleziono Wyników

Wykład 5: Praca i energia

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykład 5: Praca i energia"

Copied!
30
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład 5: Praca i energia

dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

(2)

Energia a praca

 Energia jest to wielkość skalarna, określająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał.

Np. energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała.

 Praca jest to energia przekazana ciału lub od

niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą.

Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna. Praca jest równa zmianie energii.

 Jednostką pracy i energii w układzie SI jest 1J.

(3)

cos s

F W = F s  =

 

AB s =

Wektor przesunięcia

F

A B

φ φ

v

A

v

B

Wskutek wykonanej nad ciałem pracy wzrasta jego prędkość od v

A

do v

B

czyli rośnie energia kinetyczna

A

B

v

v 

Praca stałej siły

(4)

 Pracę wykonuje składowa x-owa siły F

2 t2

t a v

s = A + x

F φ F

x

s a m s

F

WAB = x  =  x

t v a

x

= v

B

A

v t s v

B A

2

= +

 

 

zatem

kA kB

A B

AB

A B

A AB B

E E

mv mv

W

v t v

t v m v

W

=

=

 +

= −

2 2

2 1 2

1

2

Praca wykonana przez siłę nad cząstką swobodną jest równa zmianie energii

kinetycznej cząstki

2

2

1 mv E

k

=

ale p = mv

m Ek p

2

= 2

(5)

Przykład 1:

Pianino o masie M (300 kg) zsuwa się ruchem jednostajnym po podjeździe o długości L (5 m), nachylonym pod kątem  (150).

Pianino usiłuje zatrzymać człowiek działający siłą F𝑐 skierowaną przeciwnie do kierunku ruchu, a współczynnik tarcia o podłoże wynosi  (0,2). Obliczyć:

a. Siłę z jaką działa człowiek,

b. Wartość pracy wykonanej przez człowieka, c. Pracę siły tarcia,

d. Pracę siły grawitacji,

e. Całkowitą pracę wykonaną w układzie

sin 150= 0,259 cos 150=0,966

F𝑆 = 777𝑁 𝑇 = 579,6𝑁 F𝐶 = 197,4𝑁

−987 J

−2898 J +3885 J

𝟎 J

(6)

Praca zmiennej siły

Załóżmy, że siła F zależy od położenia x czyli F(x) Dzielimy przedział <x1, x2> na

odcinki Δx, na których można przyjąć, że siła jest stała.

Obliczamy pracę ΔW wykonaną przez siłę stałą na odcinku Δ x

ΔW = F Δx

= 2

1

x

x

x F

Sumując otrzymamy W

(7)

Gdy Δx → 0 =

=

2

1 2

1

x

x x

0 x x

Fdx x

F W

lim

= B

A

r F

 

AB

d

W ogólnym przypadku: W

dt dt d

dr r v

v   

 =  =

skoro

więc

Moc jest definiowana jako :

P = dW/dt

= B

A

t

t

AB

d t

W

F v

 

=

B

A

t

t

t Pd

W

AB

F v

 

=

P

= 2

1

x

x

x F W

(8)

Przykład 2:

Elektrowóz rozwija moc P = 1800 kW i ciągnie po poziomym torze skład wagonów o łącznej masie m = 2000 ton.

Współczynnik tarcia kół o szyny wynosi  = 0,005. Oblicz:

a) Maksymalną szybkość pociągu;

b) Przyspieszenie pociągu w chwili, gdy porusza się z szybkością 𝑉1= 4 m/s.

Rozwiązanie

a) Warunek osiągnięcia maksymalnej szybkości?

b) II zas. dyn. Newtona 

𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑃

𝑚𝑔𝜇 = 18,3 𝑚/𝑠

𝑎 = 𝑃

𝑚𝑉1 − 𝑔𝜇 = 0,17 𝑚/𝑠2

(9)

k

k

k

k

Energia potencjalna – nie tylko grawitacyjna

2

1 2

1

2

2 x

x x

x

k x xdx

k

W = −

= −

Praca siły zależnej od położenia – siły harmonicznej

 ( )

=

=

=

2

1 2

1

x

x x

x

dx kx Fdx

dW W

(

2 22

)

2 x1 x

W = kskoro

2 kx2

E E

W = − pp =

Energia

potencjalna sprężystości W – praca wykonana przez siłę sprężystości

𝐹 = 𝐹 Ƹ𝑖Ԧ 𝑥 = 𝑥 Ƹ𝑖Ԧ

𝐹 Ƹ𝑖 = −𝑘𝑥 Ƹ𝑖  𝐹 = −𝑘𝑥 𝐹 = −𝑘 ԦԦ 𝑥

(10)

Problem z energią potencjalną sprężystości ?

Powieszenie masy m wydłużyło sprężynę o x Energia potencjalna rozciągniętej sprężyny:

kosztem:

2

2 1 kx

Es = Ep = mgx

mg kx

mgx

kx =  =

2 1 2

1 2

Warunek równowagi: kx = mg ??

Stan równowagi – po wygaśnięciu drgań – uzupełnienie zasady

zachowania energii: 21 kx2 = mgx+Q Ile energii traci

sprężyna - połowę !!

x = 𝐿𝑛 − 𝐿0

(11)

Energia potencjalna

Aby móc wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, pole sił musi mieć określoną własność - taką, że praca wykonana w tym polu nie może zależeć od drogi, wzdłuż której zachodzi przemieszczenie

Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi

Energia potencjalna E

p

jest to energia związana z konfiguracją układu ciał, działających na siebie

siłami.

(12)

Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od drogi lecz zależy jedynie od położeń punktów A i B.

W

ABdroga1

= W

ABdroga2

= W

ABdroga3

Praca wykonana przez siłę zachowawczą nad cząstką poruszającą się po drodze zamkniętej jest równa zeru.

W

AA

= W

AB

+ W

BA

= 0

Droga 1

Droga 3

Droga 2

=

=

L

0 d

W

AA

F r

 

A

B

(13)

Przykład 2:

Dane jest pole wektorowe o składowych Fx= Ky; Fy= Kx; Fz= 0;

gdzie K jest stałą. Sprawdzić czy to pole jest zachowawcze

obliczając pracę po konturze trójkątnym o bokach y = x; y = 0;

x = x0.

Rozwiązanie

j Kx i

Ky

F = ˆ + ˆ

A(0,0)

B(x0,x0)

C(x0,0) =

=

B +

+

A

C

B

A

C

r d F r

d F r

d F r

d F

W ˆ ˆ ˆ ˆ

j y i x

r = ˆ + ˆ

Kxdy Kydx

dy F dx F r

d

F = x + y = +

...

0 0 0

0 0

= +

=

=

=

=

=

 



y x

x B y

A

x y x

AB F dr Kydx Kxdy

W = 𝐾𝑥02 𝑊𝐴𝐴 = ෍ 𝑊𝑖 = ⋯ = 0

(14)

ISTOTNE SIŁY RZECZYWISTE Siły centralne:

 Siła ciężkości (siła grawitacji)

 Siła oddziaływania elektrostatycznego (siła kulombowska)

są siłami zachowawczymi

 Siła tarcia NIE JEST siłą zachowawczą ! r

F  = f (r ) ˆ

r

F ˆ

r G Mm )

r

( = − 2

r

F ˆ

r Qq 4π

) 1 r

( 2

0

 =

(15)

Jak obliczać energię potencjalną?

= r

A p

p( ) E (A) d

E r F r

 

) B A

( W )

A ( E )

B (

E

p

p

= →

= r

p( ) d

E r F r

 

 Z definicji

Wartość energii potencjalnej w punkcie opisanym wektorem r jest określona z dokładnością do stałej - równej Ep(A), którą

można obrać umownie.

Sens fizyczny ma jedynie różnica energii potencjalnej pomiędzy dwoma punktami.

Umowa: A leży w nieskończoności czyli Ep(∞)=0

(16)

Jak obliczać energię potencjalną grawitacji?

r

Aby ciało o masie m uzyskało energię potencjalną, przesuwamy je z ∞ do położenia opisanego wektorem r.

Fg

𝑊𝑟 = 𝐸𝑝(𝑟)

pracę wykonuje siła zewnętrzna aby Ekin=0 𝐹𝑧 = −𝐹𝑔

3 r lub

F 

r G Mm

g = − r

r G Mm

g ˆ

2

= F

gdzie

𝑊𝑧 = න 𝐹𝑧°𝑑𝑟 = න

𝑟

𝐺 𝑀𝑚

𝑟2 𝑑𝑟 = −𝐺𝑀𝑚 ൨1 𝑟

𝑟

∞ = −𝐺 𝑀𝑚

𝑟 = 𝐸𝑝(𝑟)

(17)

Siła zachowawcza Energia potencjalna układ:

g F  

= m E

p

( x ) = mgx

r G Mm )

r (

E

p

= −

masa m – masa M

r

F ˆ

r Qq 4π

) 1 r

(

2

0

 =

r Qq 4π

) 1 r ( E

0

p

=

r F  ( r ) = − kr ˆ

2

p

kr

2 ) 1

r (

E =

masa m – sprężyna k

masa m - Ziemia

ładunek q – ładunek Q

= −𝑚𝑔 ො 𝑥 𝐅 𝑟 = −𝐺 Ԧ 𝑀𝑚

𝑟

2

Ƹ𝑟

(18)

Związek pomiędzy siłą a energią potencjalną

Ep

−

Przypadek jednowymiarowy

Uogólnienie na 3D

=

x x

p

( x ) F dx

E dx

F

x

= − dE

p

=

r

p

( ) d

E r F r

 

 =

− 

− 

− 

= i j k

F ˆ

z ˆ E

y ˆ E

x

E

p p p

k j

i ˆ

ˆ z ˆ y

x 

+ 

 + 

= 

Ep

grad

=

operator „nabla”

stąd

F =...?

(19)

r k

j i

grad F

k ˆ )

ˆ z ˆ y

k(x

E

p

= +

+

=

=

zatem:

UWAGA! Praca wykonana nad układem przez siłę zewnętrzną jest przeciwna do pracy wykonanej przez siły układu.

(20)

Przykład – siła sprężystości

Energia potencjalna układu masa-sprężyna dana jest wzorem:

Korzystając z zależności wyprowadzić wzór na siłę sprężystości.

Rozwiązanie:

Ep

grad F − =

2

p kr

2 ) 1 r (

E =

) z y 2 k(x

kr 1 2 ) 1 r (

Ep = 2 = 2 + 2 + 2

(

x y z

)

kx

2k 1 ) x

z y, x, ( x E

2 2 2

p =

+ +

=

(

x y z

)

ky

2k 1 E y

y

2 2 2

p =

+ +

=

(

x y z

)

kz

2k 1 E z

z

2 2 2

p =

+ +

=

k

j i

grad Ep = kx ˆ +ky ˆ + kz ˆ

r k

j i

grad

F 

k ˆ)

ˆ z ˆ y k(x

E = − + + = −

=

(21)

Zasada zachowania energii

W układzie izolowanym, w którym zmiany energii pochodzą jedynie od sił zachowawczych energia

kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna E

mech

nie może

ulegać zmianie.

0 = ΔE

k

+ ΔE

p

→ 0 = E

k2

- E

k1

+ E

p2

- E

p1

E

k1

+E

p1

= E

k2

+ E

p2

 E

k

+E

p

= const

0 ) E E

dt ( d

p

k + =

(22)

Zastosowanie zasady zachowania energii dla oscylatora harmonicznego

0 ) E E

dt ( d

p

k + =

2 m v E

2 k =

2 k x Ep = 2

0 )

( + =

2 k x 2

m v dt

d

2 2

=

+ 0

dt x dx 2 2

k dt

v dv 2 2

m

+ kx = 0

dt x m d

2 2

równanie oscylatora harmonicznego

(23)

Przykład 3:

Obliczyć:

- średnią siłę gazów wylotowych oraz - średnią moc rozwijaną przez

gazy w lufie karabinu w trakcie wystrzału pocisku.

Karabin snajperski Barett 82A1 o długości lufy 503 mm, strzela

pociskami o masie 51 g na skuteczną odległość 2 km. Prędkość

wylotowa pocisku wynosi 𝑉𝑤 = 854 m/s

(24)

Podsumowanie

 Istnieje ścisły związek pomiędzy pracą a energią

 O energii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych

 Zasada zachowania energii mechanicznej pozwala

rozwiązywać zagadnienia, które są trudne lub niemożliwe do rozwiązania na gruncie zasad dynamiki

 Całkowita energia jest wielkością stałą. Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być

wytwarzana ani niszczona

W = ΔE

mech

+ ΔE

term

+ΔE

wew

(25)

Przykład 4:

Kolarz o masie 80 kg chce wyjechać na wzgórze o wysokości h =100 m, prostą drogą nachyloną pod kątem 100. Jeden obrót pedałów

poruszających się po okręgu o średnicy D = 36 cm powoduje

przemieszczenie roweru o odcinek S = 5,1 m. Zaniedbując straty energii oblicz:

a) Wartość pracy jaka wykona kolarz, b) Siłę z jaką kolarz naciska na pedały.

Rozwiązanie:

Ad a) W = 𝐸𝑝= mgh = 80·9,81·100 [J]= 78,5 [kJ]

Ad b) Praca podczas jednego obrotu pedałami: 𝑊1 = 𝐹 ∙ 𝜋 ∙ 𝐷 powoduje zmianę energii potencjalnej o

𝐸𝑝= mgS·sin100 = 4002,5·0,174 =696,4 [J]

stąd FD = 𝐸𝑝 F = 696,4

3,14∙0,36 = 616,1 [𝑁]

(26)

Zadanie domowe

Oddziaływania jądrowe między dwoma neutronami w jądrze atomowym opisuje tzw. potencjał Yukawy: 𝑈 𝑟 = −𝑈0 𝑟0

𝑟 𝑒−𝑟/𝑟0 gdzie r – odległość między neutronami, 𝑈0 i 𝑟0 to stałe.

• Obliczyć siłę 𝐹𝑗(𝑟) oddziaływania neutronów.

• Obliczyć stosunek 𝐹𝑗(3𝑟0)/𝐹𝑗(𝑟0).

• Oddziaływania dwóch naładowanych cząsteczek opisuje potencjał U(r) = - 𝐶

𝑟 gdzie C to stała. Obliczyć taki sam stosunek sił elektrycznych 𝐹𝑒(3𝑟0)/𝐹𝑒(𝑟0) dla oddziaływań elektrycznych cząsteczek.

• Na podstawie obliczonych stosunków wyciągnij wnioski z porównania sił jądrowych i elektrycznych.

(27)

Przykład 5:

Pocisk wystrzelony z szybkością 𝑉0 wbija się w masywną tarczę zawieszoną na linie o długości L.

Masa tarczy jest n – razy większa od masy pocisku.

Lina z zawieszona tarczą po trafieniu przez pocisk odchyla się o kąt .

Obliczyć początkową szybkość pocisku.

L

Wahadło balistyczne

(28)

Energia relatywistyczna

Lukrecjusz (99 p.n.e.-55 p.n.e.) „De Rerum Natura” –

„Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, a gdy zostały stworzone, nie mogą zamienić się w nicość” – pierwsze sformułowanie ZASADY ZACHOWANIA MATERII.

 Lavoisier (1743-1794) zasada zachowania masy

 Einstein (1915r) „Teoria względności połączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania energii”.

 Masa relatywistyczna

2 / 1 0 2

2 2

0 (1 )

1

=

= m

c v m m

(29)

m0m zatem energia kinetyczna:

dla małych prędkości, gdy  = v/c <<1

 Zasada równoważności masy i energii:

Każda ilość dostarczonej energii powoduje wzrost masy ciała.

 Przykład:

powstawanie deuteronu (jądra deuteru) mp = 1,00731 u

mn = 1,00867 u md = 2,01360 u

0 2

2 1 m v

Ek = Ek = mc2 m0c2 =

(

mm0

)

c2 = mc2

0 2

2

1 m v Ek =

c2

m = E

H n

p

01 12

11

+ →

Δm = 0,00238 u E = 2,225·106 eV

Δm = (mp + mn) - md

(30)

Taka energia wyzwala się jako kwant  - energia wiązania.

 Energia całkowita = en. spoczynkowa + en. kinetyczna

stąd

 Energia a pęd

nierelatywistycznie:

relatywistycznie stąd

E

k

c m c

m = +

0 2 0 2

(

1

)

0 2

= m cEk

HRW, t4

2 2E m0

p = k

( )

pc 2 = Ek2 +2Ekm0c2

( )

2

( )

0 2 2

2 p c m c

E =  +

E = 2,225·106 eV

Cytaty

Powiązane dokumenty

Co się stanie z energią kinetyczną wózka, jeśli wykonana przez siłę praca spowoduje, że wózek przyspieszy.. Jak będzie wyglądało porównanie wartości wykonanej pracy nad

▪ Praca wypadkowej kilku sił jest równa sumie prac wykonanych przez poszczególne siły.. ▪ Ciało może przemieszczać się w innym kierunku niż działa

d) pracę wykonaną przez siłę, jaką powierzchnia działa na blok, e) pracę wykonaną przez siłę wypadkową przy przemieszczaniu bloku, f) zmianę energii kinetycznej bloku.

4. Oblicz średnią moc silnika samochodu o masie 1000 kg, który poruszając się ruchem jednostajnie zmiennym w ciągu czasu 10 s od początku ruchu zmienił prędkość od

Właśnie dlatego satelita poruszający się po orbicie nie wymaga napędu – w takim przypadku nie jest wykonywana

Proszę zwrócić uwagę na fakt, że przesuwanie ładunku prostopadle do linii pola nie daje wkładu do pracy, bo siły działające prostopadle do przesunięcia nie wykonują pracy..

3) Praca jest wykonywana wtedy, gdy na ciało działa siła, a ciało porusza się w kierunku innym niż kierunek prostopadły do kierunku

ładunek q, który znajdzie się w tej przestrzeni dozna działania siły kulombowskiej (ładunek q znalazł się w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek Q). Ładunek