Udowodnić, że wielomian wieżowy następującej szachownicy wymiaru n × n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p p p

Matematyka dyskretna II

Zestaw 7 – Liczby Stirlinga, Bella i wielomiany Gaussa 1. Wyliczyć  _n

n−1 i _n−2ⁿ . 2. Pokazać, że

n + 1 k



=

n

X

j=0

n j

 j k − 1

 .

3. Udowodnić, że wielomian wieżowy następującej szachownicy wymiaru

n × n _{p p p}

p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p pp

p pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p p p

p

@@@

@@

@ @

@@

@

@@@

@ @

@@

@

@@ @

@@

@

@@@

@

@@

jest równy

n

X

k=0

 n + 1 n + 1 − k

 t^k.

4. Niech

P_n(t) =

n

X

k=0

n k

 t^k będzie wielomianem Stirlinga. Udowodnić, że:

• P_n(t) = t[P_n−1⁰ (t) + P_n−1(t)];

• P_n(t) = tPn−1 j=0

n−1

j
Pj(t);

• P_n⁰(t) =Pn−1 j=0

n

j
P_j(t).

5. Niech f (n, k) oznacza ilość tych k-elementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych od 1 do n, które nie zawierają dwóch kolejnych liczb natu- ralnych. Udowodnić, że

f (n, k) =n − k + 1 k

 .

6. Udowodnić, że b_n≤ n!, gdzie b_n oznacza n-tą liczbę Bella.

7. Udowodnić następujące własności wielomianów Gaussa.

• _n

0 = ⁿ_n = 1.

• _n

m = _n−mⁿ .

• _n

m = ⁿ⁻¹_m  + t^n−m_n−1

m−1.

• _n

m = _m−1ⁿ⁻¹ + t^m_n−1

m .

• _n

m jest wielomianem stopnia (n − m)m.

• _n

m(1) = _mⁿ
.

8. Niech G(k, l) będzie funkcją generującą dla ciągu p(n, k, l). Pokazać, że G(k, l) =_k+l

l .

9. Udowodnić, że ilość m-wymiarowych podprzestrzeni liniowych w Fⁿq

jest równa _n

m(q).

10. Udowodnić, że

n−1

Y

i=0

(1 + qⁱ) =

n

X

r=0

q^r(r−1)2 n r

 .