Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 4. Funkcje wektorów losowych
Ćw. 4.1 Rozkład wektora losowego (X, Y ) dany jest tabelką
Y ↓, X → 1 0
1 0, 5 0, 125
−1 0, 375 0
Wyznacz rozkład wektora losowego (X − Y, X + 2Y ).
Ćw. 4.2 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach, odpowiednio, geometrycznym z parametrem 12 i jednostajnym na odcinku [0, 2). Znajdź rozkład zmiennej [X + Y ].
Ćw. 4.3 Zmienne losowe X i Y są niezależne. X ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1) oraz P (Y = −1) = 1 − P (Y = 1) = 13.
Wyznacz rozkład zmiennej U = XY .
Ćw. 4.4 Zmienne losowe: X o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ i Y o rozkładzie geometrycznym z parametrem p są niezależne. Wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X/Y .
Ćw. 4.5 Wyznacz rozkład zmiennej U = sgn(X − Y ), jeśli X i Y są niezależnymi zmien- nymi losowymi, X ma rozkład jednostajny na przedziale (−1, 1), a Y wykładniczy z parametrem 2.
Ćw. 4.6 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1).
Znajdź gęstość zmiennej losowej X/Y .
Ćw. 4.7 Niech X1, X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym E (λ). Niech Y = X1− X2, Z = X2.
1. Wyznacz gęstość łącznego rozkładu wektora losowego (Y, Z).
2. Wykaż, że zmienna losowa Y ma rozkład Laplace’a o gęstości f (y) = λ
2e−λ|y|.
Ćw. 4.8 Zmienne losowe X i Y są niezależne, X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, Y ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Znajdź gęstość zmiennej losowej
Z = X − ln(1 − Y ).
