Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 13. Estymacja przedzia lowa
Cw. 13.1 W losowo wybranej grupie 10 samochod´´ ow marki Skoda przeprowadzono ba- danie zu˙zycia benzyny. Okaza lo si¸e, ˙ze ´srednie zu˙zycie benzyny (w l/100 km) dla tej grupy wynios lo 8,1. Zak ladaj¸ac, ˙ze badana cecha ma rozk lad normalny o odchyleniu standardowym r´ownym 0,8, wyznaczy´c przedzia l ufno´sci dla warto´sci oczekiwanej na poziomie ufno´sci 99%.
Cw. 13.2 Zwa˙zono 10 torebek z nasionami nasturcji i otrzymano nast¸epuj¸´ ace wyniki (w gramach): 7 8 9 9 10 10 11 11 12 13. Na podstawie powy˙zszych wynik´ow, na poziomie ufno´sci 0,9, skonstruowa´c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej wagi torebek z nasionami. Zak ladamy, ˙ze rozk lad wagi torebek jest normalny.
Cw. 13.3 W centrali telefonicznej dokonano 17 pomiar´´ ow d lugo´sci rozm´ow w ci¸agu pewnego dnia i otrzymano (w min): ¯x = 5, 48, ˆs = 1, 16. Przy za lo˙zeniu, ˙ze d lugo´sci rozm´ow maj¸a rozk lad normalny wyznaczy´c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej d lugo´sci rozmowy na poziomie ufno´sci 0,95.
Cw. 13.4 Zmierzono ´srednice 51 drzew wybranych losowo w lesie sosnowym i otrzymano´
´sredni¸a ´srednic¸e r´own¸a 37,3 cm oraz wariancj¸e z pr´oby s2 = 13, 5 cm2. Zak ladaj¸ac,
˙ze ´srednice drzew maj¸a rozk lady normalne, wyznaczy´c 90% przedzia l ufno´sci dla warto´sci oczekiwanej ´srednicy drzewa w tym lesie.
Cw. 13.5 W pewnej przychodni lekarskiej w´sr´´ od losowo wybranych 980 os´ob poddanych prze´swietleniu ma loobrazkowemu stwierdzono zmiany chorobowe u 10 z nich. Na poziomie ufno´sci 0,95 wyznaczy´c przedzia l ufno´sci dla frakcji os´ob chorych w´sr´od wszystkich os´ob obs lugiwanych przez t¸e przychodni¸e.
Cw. 13.6 Obliczy´´ c niezb¸edn¸a liczb¸e pomiar´ow, jak¸a nale˙zy wykona´c w celu wyznaczenia 95% przedzia lu ufno´sci o d lugo´sci nie przekraczaj¸acej 0,08 mm dla warto´sci prze- ci¸etnej grubo´sci tkaniny, wiedz¸ac, ˙ze cecha ta ma rozk lad normalny o odchyleniu standardowym 0,1 mm.
Cw. 13.7 W celu wyznaczenia warto´sci przeci¸etnej d lugo´sci drogi hamowania samochodu´ przeprowadzono 12 pr´ob i otrzymano odchylenie standardowe s = 1, 33. Zak ladaj¸ac,
˙ze droga hamowania ma rozk lad normalny, zbada´c, czy liczba pr´ob jest wystar- czaj¸aca do znalezienia 90% przedzia lu ufno´sci dla warto´sci przeci¸etnej o d lugo´sci nie wi¸ekszej ni˙z 0,5 m. Je´sli nie, jak¸a liczb¸e pr´ob nale˙zy jeszcze przeprowadzi´c?
Cw. 13.8 Jak liczna powinna by´´ c pr´oba, je˙zeli przy wsp´o lczynniku ufno´sci 0,99 chcemy oszacowa´c, jaka cz¸e´s´c gospodarstw wiejskich posiada przynajmniej jedn¸a ˙zniwiark¸e?
Z poprzednich bada wiadomo, ˙ze frakcja ta wynosi la 0,4. Zak ladamy, ˙ze b l¸ad sza- cunku nie powinien by´c wi¸ekszy ni˙z 0,01.
Cw. 13.9 Jak liczna powinna by´´ c pr´oba, aby na poziomie ufno´sci 0,95 ustali´c procent wyrob´ow wadliwych, zak ladaj¸ac, ˙ze b l¸ad oszacowania powinien by´c r´owny 0,03?
Cw. 13.10 Z jakim prawdopodobiestwem oczekiwa´´ c mo˙zna, ˙ze przedzia l liczbowy [52, 8%, 67, 2%] b¸edzie jednym z wielu, kt´ore okre´sl¸a odsetek student´ow ucz¸eszczaj¸acych na wyk lady profesora X, je˙zeli na losowo wybranym wyk ladzie, prowadzonym przez tego profesora w zesz lym semestrze stwierdzono obecno´s´c 303 student´ow na 500 zapisanych?
