Ja k u b Lis
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne
Rozprawa doktorska przygotow ana pod kierunkiem
prof. Henryka A rodzia
Kraków, m aj 2010
Bardzo serdecznie dziękuję m oj e mu promotorowi, profesorowi Henrykowi Arodziowi, za czas m i poświęcony, za cenne rady i życzliwe uwagi. Dzięki nim powstanie tej pracy było możliwe.
Wdzięczny j e st em żonie za cierpliwość i wyrozumiałość - szczególnie w okresie spi
sywania pracy.
Dziękuję również rodzicom za wsparcie.
Spis treści
1 M o d e l sig n u m -G o r d o n a 1
1.1 H i s t o r i a ... 1
1.2 Rów nania Eulera-L agrange’a ... 2
1.3 W łasności rów nania r u c h u ... 5
1.4 S t a b iln o ś ć ... 6
1.5 Zespolony model s ig n u m -G o rd o n a ... 7
1.6 Wyniki w ła s n e ... 7
2 R o z w ią z a n ia ty p u Q -b a łł 9 2.1 Rozw iązania typu Q-ball - podstaw y m a te m a ty c z n e ... 9
2.2 A bsolutna stabilność Q - b a l l i ... 12
2.3 Q-balle w kwantowej teorii p o l a ... 14
2.4 Q-balle w f iz y c e ... 15
3 Q -b a łłe w m o d e lu sig n u m -G o r d o n a 17 3.1 Ogólne ro z w ią z a n ie ... 17
3.1.1 n = l ... 19
3.1.2 n = 2 ... 20
3.1.3 n = 3 ... 22
3.2 Stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona ... 22
4 Z reg u ła ry zo w a n y m o d e l sig n u m -G o r d o n a 25 4.1 Q-balle w zregularyzowanym m o d e l u ... 25
4.2 Wyniki numeryczne dla n = 3 ... 27
4.3 G ranica 5 ^ 0 a model s ig n u m - G o rd o n a ... 30
4.4 K onstrukcja przybliżonych r o z w ią z a ń ... 32
4.5 S t a b iln o ś ć ... 33
5 N ie lin io w a sk alarna e le k tr o d y n a m ik a 37 5.1 Model, Ans at z, r ó w n a n ia ... 37
5.2 M echaniczna interpretacja r ó w n a ń ... 40
5.3 Elektrycznie naładow ane Q-balle ... 41
5.4 Elektrycznie naładow ane Q - s h e l l e ... 43
5.5 Przejście od Q-balli do Q-shelli ... 45
5.6 U w a g i ... 47
6 Z a k o ń czen ie 49 6.1 Bieżąca p r a c a ... 49
6.2 Podsum owanie ... 51
A O g ra n iczen ie n a zre g u ła r y z o w a n y p o te n c ja ł 53 B R e la c ja m ię d z y Q -b a łła m i w m o d e lu z i b e z r eg u ła ry za cji 55 B,1 Definicje i ogólne o b s e rw a c je ... 55
B,2 G ranica lim ^ o f (0) ... 57
B,3 G ranica lim^ 0 / — 59 B.4 W n i o s k i ... 60
C R a ch u n ek z a b u r z eń 63
R ozdział 1
M odel signum -G ordona
1.1 H istoria
W 2002 roku prof, H, Arodź opublikował pracę [1] na tem at topologicznych kom- paktonów. Rozważał w niej model skalarnego, rzeczywistego pola 0 zadanego przez lagranżian
m = -d,4>cT4> - v m
—(1 2 przy czym
V f cos 0 - 1 dla \0\ < 00 < n, I to dla \0\ > 0O.
Część kinetyczna (zawierająca pochodne) w tym lagranżianie jest relatywistycznie nie
zmiennicza, greckie litery w indeksach odnoszą się w całej pracy do składowych wek
torów czasoprzestrzennych. M otywacją do tej pracy był prosty układ mechaniczny, W m odelu w ystępują dwie próżniowe wartości pola (spontaniczne łam anie sym etrii Z 2).
W związku z tym istnieje rozwiązanie interpolujące pom iędzy próżniam i (kink). Wyróż
nia się ono spośród podobnych rozwiązań tym , że pole m a wartość różną od próżniowej na skończonym przedziale (stąd nazwa kom pakton). Dokładniejsza analiza m odelu po
zwoliła stwierdzić, że ów zwarty nośnik rozw iązania jest związany z nieanalitycznością potencjału polowego w okolicy próżni, to jest brakiem dobrze określonej pochodnej z potencjału w jego m inimum . W ykryto również przybliżoną sym etrię skalowania dla wzbudzeń o m ałych am plitudach. Wobec tego naturalnie pojaw iło się zainteresowa
nie teorią, k tó ra pozwala przyjrzeć się dokładnie nieanalitycznej próżni. N ajprostszy możliwy model pozw alający na to zadany jest relatywistycznie niezm ienniczą funkcją Lagrange’a
£ W \ = \ d ß (t)dß ( t ) ~ \\<f>\, (1.1) gdzie A > 0, Początkowo nazywano teorię zadaną w ten sposób modelem z potencjałem o kształcie V (ang, V-shaped potential). W roku 2006 Benny L au tru p zaproponował
wcale dowcipną nazwę: model signum -Gordona,
Model ten w jednym i dwóch wym iarach przestrzennych posiada p ro stą realizację me
chaniczną: siatkę złożoną z piłek (punktów m aterialnych) połączonych z najbliższym i sąsiadam i nieważkimi sprężynam i. Oprócz sprężystych oddziaływ ań pom iędzy piłkam i uwzględnia się również oddziaływanie grawitacyjne: siatka jest umieszczona na jakiejś powierzchni a energia potrzebna do podniesienia piłki na pew ną wysokość jest propor
cjonalna do wysokości. P onadto zakłada się, że piłki o d b ijają się sprężyście od po
wierzchni, W zbudzenia długozasięgowe (to jest na skali znacznie większej niż odległość pomiędzy piłkam i) w takim układzie opisywane są przez podany powyżej lagranżian.
W artość pola 0 ( t , x ) jest proporcjonalna do wysokości, na jakiej znajduje się piłka z oczka siatki o współrzędnej x w chwili t.
B adania nad m odelam i signum -G ordona trw a ją od kilku lat. Najwięcej uwagi poświę
cono modelowi pola rzeczywistego w jednym wymiarze przestrzennym . Dla tej teorii udało się uzyskać całkiem sporo rozwiązań analitycznych, Do najważniejszych osią
gnięć należy z pewnością p ełna charakterystyka rozwiązań z sam opodobnym i w arun
kami początkowym i (zob, [2], [10]) oraz znalezienie rozwiązania typu oseylon (pulson) przedstawionego w [3], Drugi spośród wspom nianych rezultatów wydaje się szczegól
nie interesujący. Rozwiązanie to ma, ja k prawie wszystkie rozw iązania w tym modelu, zwarty nośnik przestrzenny, jest ono periodyczne w czasie i m a skończoną energię. Cie
kawie przedstaw ia się problem stabilności tych rozwiązań, W świetle pracy [11] m ożna się spodziewać, że m ałe zaburzenie może spowodować ich rozpad. We wspom nianej pracy prezentowane są jakościowo podobne rozw iązania w innym m odelu i wykazana jest ich liniowa niestabilność, W m odelu signum -G ordona narazie brak jest narzędzi do bad an ia tego typu efektów.
1.2 R ów nania E u lera-L agrange’a
Analizę teorii (1.1) zaczniemy od znalezienia równań ruchu. W tym celu policzymy wariację działania wokół pola 0 O, Na mocy definicji są to wyrazy rzędu e w następującej różnicy
przy czym e jest bliskie zera, O 0 O zakładam y, że jest klasy C 2 w obszarach o ustalonym znaku, globalnie zaś jest to funkcja ciągła. Dopuszczenie skokowej zmiany wartości 0 O na granicy obszarów o ustalonym znaku komplikuje analizę, fizycznie nie jest zaś interesujące. Rów nania ruchu wyznaczone są przez warunek znikania różnicy (1.2), W poszczególnych obszarach gdzie 0 O m a ustalony znak, dla dostatecznie małego e
5 S [0o] = J dn+lx (L[0o + e^] - L[<£o]) , (1.2)
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne (takiego, aby s i g n (0o + e0) = s i g n (0o)) różnica powyższa wynosi
6S = e Y '' ( dn+1x 0 [d»d»0o — s i g n (0o)] + e i Vi
Drugi człon wynika ze wzoru Leibniza: d»0 d» 0 o = —0d»d»0o + d»(0d»0o), Na mocy tw ierdzenia Stokesa m ożna go wyrazić przez całkę powierzchniową
e V / dn+1x d» (0d»0o) = e V / da (0d»0o) , (1.4)
i J Vi i JdVi
da n
każdej powierzchni całkujem y dwukrotnie: raz tra k tu ją c j ą jako granicę obszaru, gdzie 0 o > 0, po raz w tóry jako granicę obszaru z 0 o < 0, Obszar, gdzie 0 o = 0 nie daje w kładu do całki. Dla obszarów Vi \ Vj sąsiadujących ze sobą m ożna ten wzór przepisać jako całkowanie po „jednej stronie” hiperpowierzchni; należy uwzględnić ich przeciwną
orientację, co daje następujący wynik
f da 0 (d"0Ó — d"0Ó) , JdVindVj
przez 0o oznaczamy funkcję 0 o na obszarze V;. Jeżeli w ariacja m a znikać, to i powyższa 0
punkcie powierzchni d V R dVj musi być spełniona równość
da (d»0o — d »0o) = 0 . (1.5)
N ajprostszym sposobem zapew nienia tej równości jest żądanie
d» 0o = d»0Ó- (1.6)
Tak więc szukana funkcja jest klasy C 1, to jest, funkcja i jej pierwsza pochodna są cią
głe, Ten sposób łączenia rozwiązań jest istotny z pun k tu widzenia wyników zawartych w tej pracy. Nie jest to wszak jedyne rozwiązanie tego problem u. We wspom nianych powyżej pracach na tem at rozwiązań z sam opodobnym i warunkam i początkowym i wy
korzystano możliwość sklejania na stożku świetlnym rozwiązania próżniowego z pew
nym nietryw ialnym rozwiązaniem, W tym w ypadku warunek (1.6) nie jest spełniony w przeciwieństwie do w arunku (1,5),
W arto zwrócić uwagę na funkcję tożsamościowo równą zero na pewnym odcinku, Za-
0 e
S[e<j>] = J dn+lx
(^0<^0-À|e0|
V / dn+1x d» (0 d » 0 o ). (1.3) i Vi
e
samośeiowo równa zero jest nieanalityeznym m aksimum działania. Dlatego funkcję tę należy uważać za rozwiązanie teorii,
W powyższym wyprowadzeniu może niepokoić m om ent, gdy zaniedbano w kład od ob
szaru s i g n ( 0 O) = s i g n ( 0 O +
e0
), Aby to uzasadnić oszacujemy w artość całkina tym obszarze. Funkcję podcałkową m ożna oszacować w tym obszarze następująco
—2 |
e0
| < |0
o +e0
| - |0
o| < 2 |e0
|.
Dla dostatecznie małej wartości
e
powierzchnie0
O = 0 ie0
+0
O = 0, pom iędzy którymi całkujemy, powinny być blisko siebie. Jeżeli pochodna w kierunku stycznym do powierzchni
0
O = 0 istnieje na całej tej powierzchni i m ożna jej m oduł ograniczyć przez pew ną d o d atn ią liczbę, wówczas odległość pom iędzy tym i dwoma płaszczyznam i jest rzędue
, Można się o tym przekonać rozw ijając równaniee0
+0
O = 0 wokół£
spełniającego równość
0
O(£
) = 0. W rozwiązaniu pojaw iają się wyrazy rzędue
oraz wyższe potęgi tego param etru. Tak więc całkowanie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny0
O = 0 daje w kład rzędue
, całka w kierunkach równoległych jest z założenia skończona, e2 Nieco inaczej w ygląda sytuacja, gdy podany powyżej warunek na pochodną styczną nie jest spełniony, W szczególności dzieje się tak, gdy w kierunku stycznym do hi- perpłaszezyzny0
O = 0 m am y zachowanie potęgowe -0
O ~x
m, przy czym m > 1, Wówczas odległość pom iędzy płaszczyznam i jest rzędue
1/m dla dostatecznie małegoe,
całka (1,7) zaś jest rzędu
e
1+1/m. To sugeruje problem y z definicją drugiej pochodnej wariacyjnej z działania dla takich rozwiązań. Istotnie, do jej wyznaczania koniecznee
co jest równoznaczne z szacowaniem obszaru pom iędzy
0
O +e0
= 0 a0
O = 0, W powyższym wzorze
0
i0
1 to funkcje próbne. Rozwiązania omawiane w kolejnych rozdziałach odpow iadająm
= 2, Dlatego 52S w ich przypadku nie istnieje.Aby podsum ować dotychczasowe rozważania definiujemy funkcję s i g n (-)
J dn+1x (|0q + e0| - |0q|) (1.7)
/
dn+1x dn+1y [sign(y0O(x) +e0
(y
)) — sign
(0O
(x
))] 01
(x
)si gn{4>) = !
+ 1 gdy 0 > 0 0 gdy 0 = 0
— 1 gdy 0 < 0.
(1.8)
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne Przy jej pom ocy możemy napisać klasyczne równanie ruchu w m odelu signum -G ordona
które należy uzupełnić uwagą, że szukamy rozwiązań klasy C l .
Powyższa definicja sign(-) pozwala uważać funkcję 0 = 0 za rozwiązanie równania Eulera-L agrange’a, D la kompletności odnotujm y, że równanie ruchu m ożna odtworzyć tra k tu ją c model signum -G ordona jako graniczny przypadek dla zregularyzowanych po
tencjałów
Jak zobaczymy w rozdziale 4 , traktow anie modelu signum -G ordona jako m odelu bli
skiego takim „porządnym ” modelom jest czasem bardzo owocne,
1.3 W łasności rów nania ruchu
Powyżej zapisane równanie ruchu (1,9) m a raczej zaskakującą własność: niezmien- 0
(1,9) przeskalowanie zmiennych yß = x ß/ rq i funkcji 0 = n -2 0 prowadzi do relacji
gdzie różniczkuje się względem nowych zmiennych y ß. Tak więc powyższa transform a
cja pozwala znajdować nowe rozwiązania równań. D ziałanie S skaluje się przy takiej zam ianie S [0] = rj3+nS [0], Z tego widać, że jest to sym etria typu on-shell, to zna
czy sym etria równań ruchu a nie teorii na poziomie lagranżianu. Pewne rozwiązania sam opodobne jak i analiza rozwiązań startujących z sam opodobnych warunków po
czątkowych zostały przedstawione w pracach [3] i [4], Energia w m odelu signum -G ordona w yraża się wzorem
Sym etria skalowania pozwala wyrazić energię dla rodziny rozwiązań różniących się transform acją skalowania poprzez prosty wzór E = rj2+nE 0, gdzie E0 to liczba - ener
gia policzona dla wybranego rozwiązania.
Jak zostało już zasygnalizowane, w tej pracy będziemy zajmować się rozwiązaniami, które przyjm ują nietryw ialne wartości w skończonej objętości. Jest to zachowanie gene- ryczne w modelu sigum -G ordona, Aby się o tym przekonać zobaczmy, ja k pole osiąga wartość próżniową modelu. Dla potrzeb analizy założymy sym etrię sferyczną rozwią
zania (niech r oznacza zm ienną radialną w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej),
3ß3ß 0 = —A si gn(0) (1.9)
101 = lim K^o 4>2 + K? - K,, K > 0. ( 1 . 1 0 )
3ß3ß 0 = —A s i gn(0) ( 1 . 1 1 )
E = [ d " x i ( S „ « 2 + i ( V « 2 + A|0| . (1.12)
0 m a postać
n 1
<t>"
H
(f)' = sign{d>).r
Przybliżone rozwiązanie m a postać 0 (r) = ± ( r — r o)2/2n, dla pewnego r o. Możemy 0
ezoność działania i energii (i ewentualnie innych wielkości).
Sposób zbliżania się do próżni jest charakterystyczny dla szerokich klas modeli; w mo
delach masowych podejście do próżni jest eksponencjalne, w modelach bezmasowych- potęgowe. Obrazowo rzecz ujm ując mówimy, że paraboliczne podejście do próżni jest charakterystyczne dla modeli o nieskończonej masie (o nieskończonej masie m ożna mó
wić w przypadku wielu modeli, przykładem jest model badany w [11]).
0 sig n (0 )
runki. O trzym ane rozwiązanie obowiązuje do m om entu osiągnięcia przez pole wartości zerowej. Do tego rozw iązania doklejam y albo w artość próżniową, o ile warunek ciągło
ści pochodnej na to pozwala, albo rozwiązanie o przeciwnym znaku. P rocedura jest pow tarzana do czasu uzyskania rozw iązania w całym interesującym obszarze. Równa
nie (1.9) jest dosyć proste w obszarach o ustalonym znaku: jest to wówczas równanie liniowe niejednorodne. Nieliniowość daje o sobie znać tylko przy zmianie znaku.
1.4 Stabilność
Dysponując nietryw ialnym rozwiązaniem w jakiejś teorii pola z gładkim potencja
łem wiadomo dosyć dokładnie, jak szukać przybliżonych rozwiązań bliskich rozwiązaniu 0
nie 52S [0] musi mieć sens. W przypadku rozwiązań m odelu signum -G ordona, ja k widać z dotychczasowych rozważań, nie jest to wyrażenie dobrze określone w pobliżu granicy obszaru, gdzie rozwiązanie jest nietryw ialne, nie w spom inając o obszarze, gdzie pole m a wartość próżniową. Dlatego problem ewolucji czasowej zaburzonych rozwiązań jest wciąż problem em otw artym .
Łatwo m ożna opisać propagację zaburzenia w krótkim okresie czasu, o ile zaburzenie m a zwarty nośnik i rozm iary dużo mniejsze od rozmiarów oryginalnego rozwiązania.
M ożna wówczas wykonać linearyzację, k tó ra prawidłowo opisuje ewolucję czasową za
burzonego rozwiązania. Opis ten załam uje się, gdy zaburzenie dociera w okolice brzegu pierwotnego rozwiązania. Nie jest jasne, co wówczas m a znaczenie, choćby w jakościo
wym opisie ewolucji.
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne
1.5 Zespolony m odel signum -G ordona
Zespolony model signum -G ordona zadany jest przez następującą funkcję Lagrange’a
L = 8ß$8^ $ — A |$|, (1.13)
gdzie $ i $ to zespolone pole skalarne i jego zespolone sprzężenie, | ■ | oznacza m oduł liczby zespolonej, A > 0. Wywody dotyczące wyprowadzenia równań ruchu i wariacji d ziałania pozostają w mocy. Rów nania ruchu należy przepisać w następującej postaci
dßd » $ = - ^ f a z a ( $ ) , (1.14)
przy czym
' ' / * » ( * ) = { * * * ° n (1.15)
[ 0 gdy $ = 0.
Definicję tę m ożna uzasadnić poprzez ponowne odwołanie się do pojęcia działania i jego wariacji, bądź poprzez przywołanie regularyzacji
|$ | = V ^ + k2- k , k > 0. (1.16) Isto tn ą różnicą między modelem rzeczywistym a zespolonym jest pojawienie się do
datkowej sym etrii względem zmiany fazy pola. Konsekwencjom tego faktu poświęcony jest następny rozdział. Wyniki dotyczące sym etrii skalowania i trudności z pojęciem stabilności w m odelu rzeczywistym, w zasadzie bez zm ian przenoszą się na model z polem zespolonym.
Po raz pierwszy zespolony model signum -G ordona w jednym wymiarze został wpro
wadzony w pracy [4], Zaproponowano tam , aby przy jego pom ocy opisać przyklejanie się struny w trzech w ym iarach do linii prostej. W tym m odelu m oduł wartości pola odpow iada odległości struny od prostej, faza odpow iada kątowi pom iędzy położeniem struny a pewnym umownym kierunkiem w płaszezyznie prostopadłej do prostej, do której stru n a jest przyciągana. Równocześnie podano nietryw ialne rozwiązania rów
nań pola wychodząc od pewnego sam opodobnego Ansatzu.
1.6 W yniki w łasne
Przedstaw ione w tej pracy wyniki zostały zaprezentowane w trzech pracach: [7], [8], [9], Dwie pierwsze prace zostały napisane wspólnie z prof. H. Arodziem. W [7]
podane zostały rozwiązania typu Q-ball w zespolonym m odelu signum -G ordona. Treść tej pracy przedstaw iona została, w nieco zmienionej formie, w rozdziale 3 . P raca [8]
zawiera wyniki dotyczące rozszerzonego modelu signum -G ordona, w którym globalną
sym etrię U (1) zastąpiono jej lokalną wersją. R ezultaty uzyskane w tej pracy przed
stawione są w rozdziale 5 ; rozważania zawarte w dod atk u C publikowane są po raz pierwszy. A rtykuł [9] dotyczy zregularyzowanego m odelu signum -G ordona i jego związ
ków z modelem oryginalnym (tak będziemy czasem określać zespolony model signum- G ordona), W ykazano w niej, że Q-balle w zregularyzowanym m odelu istnieją oraz pokazano, że z absolutnej stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym wynika ab
solutna stabilność Q-balli w modelu signum -Gordona, U dało się również dostosować dowód absolutnej stabilności znany dla pewnej klasy modeli w trzech wym iarach prze
strzennych na potrzeby m odelu zregularyzowanego. Te wyniki omówione są częściowo w rozdziale 3 oraz w rozdziale 4 i w dodatkach A oraz B ,
R ozdział 2
R ozw iązania ty p u Q-ball
Jak już zostało zasygnalizowane, w zespolonym m odelu signum -G ordona pojaw ia się dodatkow a wielkość zachowana - ładunek związany z sym etrią U (1) obecną w tej teorii. Ten rozdział poświęcony jest teorii Q-balli, Są to rozw iązania pojaw iające się w teoriach, w których, obok energii, istnieje jeszcze inna całka ruchu związana z sym etrią wewnętrzną (to jest nie sprzęgającą się ze zmiennymi czasoprzestrzennym i) modelu.
N ajpierw więc przedstaw im y ogólne rozważania m atem atyczne, pozwalające sformuło
wać odpowiedni Ansat z oraz kilka m atem atycznych obserwacji dotyczących uzyskanych tą drogą rozwiązań, Q-balle należą do klasy nietopologieznych solitonów. Są to bowiem stabilne rozwiązania, których gęstość energii i ładunku jest dobrze zlokalizowana i nie zależy od czasu. P rzym iotnik „nietopologiezne” oznacza, że ich istnienie i stabilność nie są związane z topologicznymi własnościam i teorii.
2.1 R ozw iązania ty p u Q -ball - p odstaw y m atem aty czn e
U(1)
w ładająca zmianie fazy zespolonego pola skalarnego. Na tym przykładzie omówimy m atem atyczne własności Q-balli, Rozważania te przeprowadzimy dla ogólnego lagran- żianu polowego w postaci
gdzie U jest potencjałem polowym, O potencjale zakładamy, że U ($ ) > 0 dla każdego
$ i posiada globalne m inim um dla $ = 0 (U (0) = 0), Lagranżian ten jest niezmienniczy względem transform acji Lorentza, w ym iar czasoprzestrzeni wynosi n + 1 , W takiej teorii na mocy tw ierdzenia N oether istnieje ładunek Q, wielkość sta ła dla rozwiązań równań ruchu. Jest ona d ana wzorem
L = 3ß$ d ß$ — U ( $ $ ) (2.1)
(2.2)
W powyższym wzorze całkuje się po całej przestrzeni; w kolejnych wzorach w tym roz
dziale, o ile nie zostanie inaczej podane, całki bez jaw nie podanego zakresu całkowania należy rozumieć w ten sam sposób. Oprócz tego również energia jest całką ruchu.
W yraża się ona następująco
Litery łacińskie i = 1, 2 , . . . n num erują składowe wektorów w przestrzeni euklidesowej, Uprawnione jest pytanie o rozw iązania m inim alizujące energię przy zadanej wartości Q, P y tan ie to postaw ił Sidney Coleman w pracy [12], Precyzyjniej rzecz ujm ując zbadamy, dla jakich warunków początkowych energia jest najm niejsza przy ustalonym ładunku.
Dla wygody od tej chwili przyjm iem y oznaczenia x ß = ( t , x ), Przez warunki począt
kowe rozumiemy podanie przestrzennej konfiguracji pola oraz jego pochodnej czasowej w chwili t = ^ l e $ m ożna przedstaw ić w formie F ( t,x ) e x p ( i6 (t,x )), gdzie funkcje F i 6 są rzeczywiste. Przy powyższych oznaczeniach ładunek liczony w chwili t = 0 w yraża się wzorem
gdzie kropka nad nazwą funkcji oznacza jej pochodną czasową. Energia zaś w yraża się następująco
F (0, ) 6 (0, )
skonstruować dane początkowe o takiej samej lub niższej energii. Po pierwsze, założenie F ( 0 , x ) = 0 nie zm ienia ładunku i pozwala obniżyć energię konfiguracji - kładziem y F ( 0 ,x ) = 0 , Podobnie m a się rzecz z wyrazem F 2(V 6 (0 ,x ))2 i dlatego przyjmujemy, że
Nierówność ta wysyca się, gdy funkcje F i 6f są liniowo zależne, czyli gdy 6(0, x ) =
F (0, )
Po trzecie, w arto wziąć pod uwagę twierdzenie o sferycznej zam ianie (spherical re
arrangement, podajem y za [12], [13]), Mówi ono, że przy ustalonej wartości całek E = J dnx [ 0 0 $ + d d i $ + U ($ $ ) ] . (2.3)
Q = J ^ "x 6 ( 0 -x )F 2 (0 ' x ) - (2.4)
E
/
dnx 62F 2 + F 2 + F 2(V 6)2 + ( V F )2 + U ( F ) . (2.5)V 6 (0 ,x ) = 0. Po drugie, nierówność Schwarza dla funkcji F i 6F pozwala oszacować ładunek następująco
Q 2 < Z dnx F 2 J dnx 62F 2. (2.6)
const. Wówczas wyraz f dnx 02F 2 m a w artość Q 2/ / dnx F 2 i jest to w artość mini-
sta łą 6(0, x ) przez w, Funkcjonał energii przyjm uje postać
(2.7)
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne f dnx F 2 ora z f dnx U ( F ) najm niejszą w artość c ałka f dnx ( V F )2 przyjm uje dla pew
nej sferycznie sym etrycznej, m onotonicznie malejące wzdłuż zmiennej radialnej funkcji, n > 2
rachunku wariacyjnego. Zam iast pełnego rów nania różniczkowego z pochodnym i cząst
kowymi wystarczy ograniczyć się więc do analizy rów nania różniczkowego zwyczajnego w zmiennej radialnej. Ma ono postać następującą
gdzie ' oznacza różniczkowanie względem zmiennej r a p aram etr
w zgodzie z powyższym wyprowadzeniem. P odstaw iając do równań ruchu pola można sprawdzić, że ewolucja czasowa dla ta k znalezionej konfiguracji początkowej d an a jest przez Ansat z
Rozwiązania uzyskane przy pom ocy takiego podstaw ienia nazywamy właśnie Q-ballam i, Równanie (2,8) m ożna interpretow ać jako newtonowskie równanie ruchu cząstki w po
tencjalnym polu sił (prawa strona równania). W yraz zawierający pierwszą pochodną r
nania m iało znaczenie w teorii pola, musi spełniać dwa warunki: po pierwsze F i F' m ają być funkcjam i ciągłym i, skąd F '(0 ) = 0, Po drugie interesujące rozwiązanie m a maleć do zera, aby całki we wzorach na ładunek i energię były dobrze określone, W
F (0)
swobodnie puszczona cząstka (F '(0 ) = 0) po upływie nieskończonego czasu znajduje
F = 0 F
jest czasem nazyw ana funkcją profilu,
W literaturze często spotyka się wyprowadzenie Ansat zu (2,10) korzystające z funk
cjonału energii dla zadanego ładunku. Funkcjonał ten definiowany jest przy użyciu mnożników Lagrange’a (zob, np, [16]), Podejście to uzasadnia podane podstaw ie
nie, nie jest jednak pom ocne w zbadaniu, czy energia przy danym ładunku posiada g lo b a ln e m inimum , Do uzyskania odpowiedzi na takie pytanie lepiej nadaje się funk
cjonał (2,7), Istnienie konfiguracji odpow iadającej globalnem u m inim um energii przy danej wartości ładunku nie jest oczywiste - ja k za chwilę zobaczymy, w teorii swo
bodnej taka konfiguracja nie istnieje, Sidney Coleman w pracy [12] pokazał, że dla pewnej klasy potencjałów Q-balle istotnie m ają najm niejszą możliwą energię, W roz
dziale 4 przedstaw im y stosowny dowód dla konkretnego modelu. Rozwiązania, które m ają m inim alną energię przy zadanym ładunku, nazywamy absolutnie stabilnym i.
(2.8)
$ ( t, x) = exp ( i u t ) F (r). (2.10)
UJ = -t - Q — - (2.9)
f dnx F2
2.2 A b so lu tn a stabilność Q-balli
Poniżej prezentujem y kilka obserwacji dotyczących Q-balli, Są one ważne dla do
wodu absolutnej stabilności przedstawionego w rozdziale 4 , w ydają się również intere
sujące per se. Najpierw sform ułujem y warunek konieczny (i jak się okaże - w ystarcza
jący) istnienia rozwiązań absolutnie stabilnych.
P unktem wyjścia do dalszej analizy jest wzór (2,7), Założymy, że potencjał połowy (por, (2,1)) spełnia następujące warunki
t / ( 0 ) = 0 , ™ = 0, ^ = /<2.
W takim razie możemy rozbić potencjał na część kw adratową ^ F 2 i resztę W { F ) = U{F) — \ F 2. Przy tych oznaczeniach wzór wyjściowy m ożna przepisać w formie
E[F] =
j
ct'x [(V F )2 + H-’(F )] + É .J
dnx F2 + (2.11)Rozważmy teraz funkcję F pow iązaną z wyjściową funkcją F następująco F ( x ) = F (x) + L~“/2 g ( ( d + x ) / L ) ,
g L
Modyfikację taką nazywamy za Colem anem dodawaniem mezonu w nieskończoności, L
2
/ dnx ( V f ) + W (F) - dnx [(V F )2 + W ( F )]
uczynić dowolnie bliską zera. Istotnie, liniowa zam iana zmiennych pozwala uzyskać równość
L~"
j
dnx(
V g(
(d
+ x } /L))
2 = L~'2j
dny ( V g ( y))2 , a odpowiedni dobór w ektorad
pozwala (przy ustalonym L) w artość całkiL -n/2 J dnx V F (x) V g ( ^ ^ x ) / L)
g F
połowy W ( F ) m ożna rozwinąć w szereg Taylora wokół zera; pierwszy nieznikająey wyraz jest rzędu F 3, Podobnie ja k powyżej pokazuje się, że odpowiednio dobierając L i
d
wpływ funkcji g na wartość całki f dnx W (F) może być dowolnie mały, W przypadku całki z F 2 poprzednie argum enty prow adzą do równościJ dnx F2 = J dnx F2 + J dnx g 2(x),
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie nie m a już zależności od L i d.
Na tej podstaw ie m ożna podać w arunek konieczny na to, aby w m odelu istniały rozwią
zania o m ninim alnej dopuszczalnej energii przy zadanym ładunku. Aby go sformułować zauważmy jeszcze, że sum a pojaw iająca się w wyrażeniu na energię (2,11)
y j c T x F 2 + (2.12)
m a m inim um dla f dnx F2 = y/2\Q\/fi, jej m inim alna w artość wynosi \^2\Q\ß. Dlatego, jeżeli w powyższym rozumowaniu wstawi się F = 0 (i odpowiednio dobierze się funkcję
g definiującą F ) , to zwiększając L m ożna otrzym ać konfiguracje, dla których lim E[F] = y/2p\Q\.
To rozumowanie zastosowane do pola swobodnego pokazuje, że w tym w ypadku nie m a konfiguracji o m inim alnej energii przy zadanym ładunku. Łatwo teraz zrozumieć w spom niany warunek konieczny: aby w modelu istn iała konfiguracja absolutnie sta
bilna przy zadanej wartości Q*, to musi istnieć funkeja F *, dla której
E[F*} < y/2ß\Q*\. (2.13)
Spełnienie tego w arunku dla ładunku o wartości |Q*| gw arantuje, że dla wszystkich
|Q| > |Q*| istnieje konfiguracja spełniająca tę nierówność. Aby się o tym przekonać, zauważmy, że z w arunku (2.13) i istnienia m inim um dla w yrażenia (2.12) wynika, że
J dnx [( V F *)2 + W ( F *)] < 0. (2.14) W takim razie zam ieniając funkcję F * ^ F * poprzez dodanie w nieskończoności me
zonu otrzym ujem y następujący wzór na energię
£[F*] = J <f* [(VFł)2 + l¥(F*)] +
yJ d*x (F' 2 + 9 2') + Jd„x{% + g2y (2-W )
Jeżeli w powyższym wzorze ładunek m a w artość \Q\ = fi f dnx ( F*2 + g2) j \ f 2 , to na mocy (2.14) funkcja F * zadaje konfigurację, k tó ra spełnia warunek (2.13). Zawsze m ożna ta k dobrać funkcję g, aby |Q*| było mniejsze od |Q |, Jak pokazał Colem an w [12], warunek (2,13) dla szerokiej klasy potencjałów jest również warunkiem w ystar
czającym , aby istniały absolutnie stabilne Q-balle, Skoro tak, to w danym modelu może istnieć ładunek m inim alny dopuszczający ich istnienie, nie m a za to z pewnością maksym alnej wartości ładunku, dla której takie rozwiązania m ożna znaleźć.
Kolejna obserwacja ogranicza możliwe wartości w yrażenia (2,12), Przyjm ijm y, że znamy funkcję Fm, k tó ra minim alizuje funkcjonał energii (2,7), Pokażemy, że
[ dnx F™(x) > . (2,16)
J ß
Najpierw wykażemy, że niemożliwe jest, aby f dnx i ^ ( x ) < ^ 2 . Istotnie, jeżeli by ta k było, to poprzez dodanie mezonu w nieskończoności (zwiększenie wartości f dnx F 2 bez zmiany Q) m ożna by obniżyć wartość w yrażenia (2,12) i, co za tym idzie, war-
Fm
f dnx F ^ ( x ) = W tym celu przeskalowujemy zmienne x —► (1 + a) x. Po takiej zmianie energia skaluje się według wzoru
E ^ E + a ^ (n - 2) j dnx (V F m)2 + n j dnx W ( F m^ + o(a). (2.17) Na mocy założenia sum a (2,12) jest w m inim um , nie modyfikuje więc w yrażenia na
Fm
nału, wówczas pozostałe wyrazy w rzędzie a powinny się kasować, czyli
J
dnx (V F m)2 = -J
dnxW
(Fm).Stąd wynika, że dla n = 2
J dnx ( V Fm )2 > J dnx W (Fm) . (2.18)
Na mocy wzoru (2.11) oraz założeń: E[Fm] < \f 2\ i Q i f dnx i ?m(x ) = mamy nierówność
J dnx ( V F m)2 < J dnx W (Fm) . (2.19) W yrażenie (2.18) jest negacją relacji (2.19), co dowodzi tezy. W przypadku n = 2 znikanie wyrazów rzędu a w wyrażeniu możliwe jest tylko wtedy, gdy f dnx W ( F m) = 0.
Fm
2.3 (}-balie w kwantowej teorii pola
Równanie profilu dla Q-balli (2.8) m ożna otrzym ać w inny sposób opierając się na pracy E. E a ja ra m an a i E. W einberga [14], A rtykuł ten odpow iada na pytanie o rolę klasycznej sym etrii U (1) (i innych grup sym etrii) na poziomie kwantowym. Problem jest rozważany w ram ach form alizm u całek po trajek to riach i polowego przybliżenia W KB, Poniżej zostanie zarysowane przedstawione tam rozumowanie prowadzące rów
nież do rów nania profilu. W oryginalnej pracy rozważano model w wymiarze 1 + 1, wynik wydaje się jednak być prawdziwy dla dowolnej liczby wymiarów przestrzennych.
W formalizmie całek po trajek to riach w kwantowej teorii pola fundam entalną wielko
ścią jest
Z = J ,
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie działanie dane jest wzorem
S = / ^ £ | a * , a # , $ , ą
a lagranżian L m a postać ja k w (2,1 ) , Pole $ w tym lagranżianie w yrażam y następnie przez „promień” i „kąt”: $( t , x) = p(t, x) exp (î9(t, x )), przy czym przyjmujemy, że p > 0, Dla uniknięcia trudności, ograniczam y się do rozważania pola na odcinku (w zwartej przestrzeni). N astępnie funkcję 9 wyrażam y w postaci szeregu harm onicznego
9 = b(t) + Y , bn(t)eikn*.
kn = 0
W tych nowych zmiennych całka funkcjonalna jest kw adratowa w zmiennej b i można ją w sposób jaw ny wykonać, W rezultacie otrzym uje się efektywny lagranżian
\ / ~\2 / ~ \21 (q + 1 ppdt9dnx )
£.11 = M - (Vp)2 + p2 (a,0) - (v » j - u ( P) - v ’ . (2.20)
p2 dnx
gdzie q jest skwantowanym ładunkiem (w jednostkach ładunku jest to liczba n a tu ralna) a 9 = 9 — b(t). Innym i słowy, 9 to funkcja k ąta spełniająca warunek f dnx 9 = 0, Należy wspomnieć, że ten lagranżian efektywny został wyprowadzony przy pewnych upraszczających założeniach. Wyprowadzenie bez tych uproszczeń jest możliwe, jed nak zdaniem autorów wynik jest bardziej skomplikowany. Mimo to dalsza dyskusja pozostaje prawdziwa również w ram ach pełnej teorii,
Z otrzym anego L e/ / m ożna wyprowadzić równ ania na p i 9. W staw iając do tych rów
nań 9 = 0 pozostaje równanie na p równoważne równaniu profilu Q -balla dla Q = q.
Tak więc, w przybliżeniu W KB rozwiązanie typu Q-ball jest analogiczne do statycz
nego rozwiązania interpolującego pom iędzy dwoma próżniam i w teorii 0 4, Podobnie ja k w tam ty m modelu, energię Q -balla m ożna traktow ać jako dobre oszacowanie ener
gii pewnych stanów obecnych w teorii kwantowej, por, [15], W przypadku kinku popraw ki kwantowe do m asy są m ałe dla małej stałej sprzężenia. W yznaczenie kwan
towych poprawek do masy Q-balli jest nietryw ialnym zadaniem , w przypadku modelu signum -G ordona jest to w tym momencie zadanie niewykonalne. Trudno więc orzec, choćby jakościowo, jak a jest rola Q-balli w kwantowym m odelu signum -Gordona,
2.4 (}-balie w fizyce
Q -ballom poświęcono wiele uwagi w literaturze. Analitycznych rozwiązań istnieje bardzo niewiele, stąd też liczne opracowania dotyczące przybliżonych własności rozwią
zań typu Q-ball, Dobry przegląd tego, co na ten tem at zostało ustalone, znajduje się
w pracy doktorskiej M, Tsum agari [16], Z aletą tej pracy jest również kom pletny spis literatury. W iele spośród wyników dotyczących Q-balli nie stosuje się do rozwiązań tego typu w m odelu signum -G ordona ze względu na jego nieanalityczność. Jak m ożna się spodziewać, choćby na podstaw ie paragrafu 2,2, dużą rolę w analizach Q-balli od
grywa p aram etr masowy obecny w teorii, W interesującym nas m odelu ten p aram etr nie jest zdefiniowany.
P raca przeglądowa z 1992 roku [17] o nietopologieznych solitonach wym ienia trzy ob
szary ich zastosowań: kondensaty bozonowe, model Friedberga-Lee hadronów i soli
tonowe modele gwiazd, W ostatnich latach Q-balle odzyskały popularność. Stało się ta k za sprawą supersym etrycznych teorii. Opisując początki wszechświata w ich ra
mach Q-balle naturalnie pojaw iają się w wyniku procesów nierównowagowych. Jako rozw iązania stabilne (choć nawet słabe oddziaływ ania z innymi polam i mogą zamienić je z konfiguracji absolutnie stabilnej w konfiguracje długożyjące, por, [19]) mogły prze
trw ać bardzo długo. Dlatego dziś są wymieniane jako kandydaci na ciem ną m aterię.
Pojaw iające się w tym kontekście efektywne potencjały określające sam ooddziaływ anie pola U (|$ |) są jakościowo bliższe potencjałow i signum -G ordona niż potencjałom anali
tycznym, Często są one nieanalityczne w m inim um - pojaw ia się w nich człon propor
cjonalny do $ $ ln ( $ $ ) a dla dużych wartości pola zachodzi U ( |$ |) / |$ |2 ^ 0, Również E (Q ) potęgowa, por, [18],
R ozdział 3
Q-balle w m odelu signum -G ordona
W tym rozdziale przedstaw im y rozw iązania typu Q-ball w m odelu signum -G ordona w dowolnej liczbie wymiarów przestrzennych n. Dla n > 1 dosyć szczegółowo om a
wiamy konstrukcję tych rozwiązań; okaże się ona isto tn a w rozdziale 4 , N astęp
nie przedstaw iam y bardziej szczegółowo własności Q-balli w wym iarach n = 1, 2, 3, W przypadku n = 2 dyskutujem y pokrótce rozwiązania m odelu signum -G ordona, które m inim alizują energię dla zadanego ładunku i m om entu pędu a także powiązanie tego m odelu z modelem znanym w literatu rze pod nazwą baby-Skyrme model. Przy omawia
niu rozwiązań dla n = 3 prezentujemy, obok charakterystyk rozw iązania podstawowego, również „wzbudzone” Q-balle,
3.1 Ogólne rozw iązanie
W staw iając Ans atz (2,10) na rozw iązania typu Q-ball do rów nania (1.14) otrzym u- F
F " + ^— ^ F ' ( r ) = —s i g n (F ) - oj2F, (3.1)
r 2
gdzie funkcja sign(-) jest zdefiniowana wzorem (1.8). Przeskalowanie zmiennej radial
nej y = u r i funkcji Àf (y) = 2 u 2F (y /w ) pozwala przepisać powyższe równanie w następującej formie
/" + — /' + / = signU). (3.2)
y
W równaniu występuje sym etria zam iany f ^ — f . W ystarczy więc ograniczyć się f(0 ) > 0
jest liniowym równaniem niejednorodnym. Ogólne rozwiązanie takiego problem u to sum a rozw iązania szczególnego spełniającego niejednorodne równanie i liniowo nie
zależnych funkcji spełniających równanie jednorodne. W spółczynniki przy rozwiąza
niach rów nania jednorodnego dobiera się tak, aby były spełnione w arunki brzegowe.
Dla rów nania (3,2) z warunkiem f (0) > 0 szczególne rozwiązanie to funkcja sta ła f = +1. Rozwiązanie części jednorodnej gdy n > 1 m ożna znaleźć poprzez podstaw ie
nie f (y) = y ~ aR ( y ) , przy czym a = (n — 2 )/2 (przypadek n = 1 omówimy poniżej).
Równanie na funkcję R jest równaniem Bessela rzędu a. Rozwiązania wyjściowego problem u są więc powiązane z funkcjam i Bessela pierwszego Ja i drugiego Ya rodzaju.
Przyjmujemy, że dwa liniowo niezależne rozwiązania « i i u2 wyjściowego problem u (3,2) m ają postać:
«1 = y ~a Ja (y ) , «2 = y - a Y a (y ) . (3.3) y
u1 « a — by2, u2 « cy-2a , (3,4) gdzie a, b i c są dodatnim i stałymi. W przypadku n = 2 powyższy wzór zawodzi dla
u2 u2 ln (y ) .
y > 0
szczególności |u1 (0) | > |u1(y)| dla dowolnego y. Można ten fakt uzasadnić następu
jąco: część jednorodna rów nania (3.2) odpow iada równaniu oscylatora harm onicznego z tarciem zależnym od czasu. Jakościowo rozw iązania te dobrze reprezentowane są przez rozwiązanie dla n = 3, gdzie u1(y) = sin y / y i u2(y) = cos y / y . W arunkiem brzegowym dla funkcji profilu jest f ' ( 0 ) = 0. Dowolne rozwiązanie rów nania (3.2) spełniające ten warunek oraz m ające w ybraną w artość w zerze f (0) > 0 m a następującą postać
f + ( y ) = l u i(y) + !• (3-5)
u1(0)
(0 , y1 ) y1 najm niejszym pierw iastkiem rów nania f+ (y) = 0. Jeżeli f (0) jest dostatecznie małe, f+ jest prawidłowym rozwiązaniem rów nania dla wszystkich argumentów. W ynika to z konstrukcji f+ - m a ona postać przeskalowanej funkcji u 1, której wykres przesunięto o wektor (0, +1) S tąd też wnioskujemy, że poehodne funkcji u-^i f+ zerują się dla tych
y0 > 0 y
u i(yo) = 0 oraz / 0 = 1 — ; należy zauważyć, że u i ( y 0) < 0, co widać choćby z podanej analogii mechanicznej. Przy tych oznaczeniach m ożna podać, kiedy warunek f+ (y 1) = 0 ma rozwiązanie. Dzieje się tak, gdy f (0) > f0 - wówczas f+ (y 0) < 0. Za
tem y1 < y0 i f+ (y1) < Jeżeli f (0) < f 0, wówczas nie istnieje pun k t y1 i f+(y) > 0 dla wszystkich nieujemnych argumentów. Sytuacja komplikuje się, gdy f (0) = f 0.
Wówczas f (y0) = 0 i f '(y0) = 0 a równanie traci jednoznaczność. Dla y > y0 dopusz
czalne są trzy rozwiązania: ± f + oraz rozwiązanie f = 0. Ze względu na kontekst teorii pola wybieram y tę o statn ią możliwość. Tak więc profil Q -balla opisywany jest przez
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne następującą funkcję
{ — U1^ _|_ i dla y < y0
f ( y ) = { "1("> ,, (3.6)
I 0 dla y > y0.
W ten sposób pokazaliśmy, że w dowolnej liczbie wymiarów n > 1 w m odelu signum- G ordona Q-balle istnieją. Teraz należy zbadać globalne charakterystyki tych rozwiązań:
ładunek i energię. Okazuje się, że fizycznie cenną informację m ożna otrzym ać w yrażając wzory na ładunek i energię przez f i y:
e = (3'7)
E = ( “ T / ^ yn~‘ [</,)2 + /2 + 2 |/ l ] ) ■ (3'8) W powyższych wzorach Qn-1 oznacza powierzchnię sfery n — 1 - wymiarowej. Za
uważmy, że w yrażenia w nawiasach okrągłych są liczbami nie m ającym i istotnego wpływu na fizyczne właściwości Q-balli, Oznaczymy je odpowiednio przez cq i cE, Z powyższych wzorów wynika zależność
n + 2
2 / 0 \ n + 3
E = ceX ^ \ ^ - J ■ (3.9)
Związek ten nie zależy od postaci rozwiązań, może być zastosowany do modelu w jed nym wymiarze przestrzennym przy odpowiedniej definicji stałych ce i cq. Takiej relacji pom iędzy energią i ładunkiem m ożna się spodziewać na podstaw ie sym etrii skalowania.
Zależność (3,9) świadczy o stabilności rozwiązań ze względu na rozpad - energia poje
dynczego Q -balla o ładunku Q jest m niejsza od energii dwóch Q-balli o ładunkeh Qx i Q 2, przy czym |Q ^ + |Q 2| = |Q |, W ynika to z własności funkcji potęgowej: jeżeli x G (0,1), to x s > x gdy 0 < s < 1 i x s < x gdy s > 1, Stąd otrzym ujem y nierówność
n -\-2 n -\-2
Q i 11+3 Q2 11+3 1
Q Q - ’
któ ra jest równoznaczna ze stwierdzeniem, że E ( Qi) + E ( Q 2) > E (Q )
3.1.1 n = l
W jednym wymiarze przestrzennym równanie profilu (3,2) redukuje się do elemen
tarnego równania:
f " + f = 1 , (3.10)
gdzie założyliśmy, że szukane rozwiązanie jest dodatnie ( s i g n ( f ) = 1), Rozwiązanie ze środkiem ciężkości w Y m ożna zapisać w następującej formie:
{
0 dla y — Y < —n1 + cos (y — Y — n) dla —n < y — Y < n (3,11)
0 dla y — Y > n.
Ładunek i energia dane są wzorami
<3 = S?. E = ^ <3'12)
Jak zostało wspom niane w rozdziale 1, model ten może opisywać przyciągające od
działywanie struny z linią prostą. Powyższe rozwiązanie m a wówczas interpretację obracającego się wokół owej prostej „garba” o skończonej szerokości; na pozostałym obszarze stru n a jest przyklejona do przyciągającej linii.
Na osi rzeczywistej m ożna umieszczać obok siebie wiele różnych Q-balli, O ile ich nośniki nie stykają się, Q-balle ze sobą nie oddziałują. Interakcje pom iędzy nimi są opisywane jako procesy w pełni nieliniowe, W pierwszym odruchu dobrym podejściem do b ad an ia oddziaływ ania w ydaje się rozwiązanie pow stałe w wyniku umieszczenia obok siebie dwóch rozwiązań tak, aby się stykały (osiągały wartość próżniową w tym samym punkcie - jedno od prawej, drugie od lewej strony). Taka konfiguracja jest dokładnym rozwiązaniem rów nania Eulera-L agrange’a, Niestety, opis małego zabu
rzenia tego rozw iązania nic nie wnosi. Jak wynika z dyskusji w rozdziale 1, liniowa ewolucja (z uwzględnieniem stałości ładunku) zwartego zaburzenia na krótką m etę jest dozwolona i spraw dza się wszędzie wewnątrz rozw iązania z w yjątkiem interesującego obszaru,
3.1 .2 n = 2
W tym w ypadku interesujące stałe wyznaczono numerycznie. Funkcja profilu m a postać
/ \ f i + 1 dla y > yo f (y) = {[
|Jo(^'
0 dla y < yo,gdzie y0 « 3.8317, J0(y0) ~ —0.4028, Ładunek i energię m ożna obliczyć m ając
CQ = \Vo i ce = ^ f y l ■ W yrażenia na cq i cE m ożna otrzym ać w staw iając do odpowied
nich całek zależności wynikające z rów nania (3,2) a następnie całkując przez części, W dwóch w ym iarach przestrzennych udało się uogólnić otrzym ane rozwiązania, zob, [6],
Q E
kość niezm ienną w czasie - m oment pędu M z
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie $ jest zespolonym polem skalarnym w ystępującym w lagranżianie (1,13) a 6 współ
rzędną kątową w płaszezyznie (xi, x 2). N aturalne jest więc pytanie o konfigurację pola, któ ra przy zadanym ładunku Q i momencie pędu M z m a najm niejszą możliwą energię.
Zagadnienie to m ożna sformalizować w prowadzając mnożniki Lagrange’a, Problem sprowadza się wówczas do m inim alizacji funkcjonału E + A1Q + A2M z, gdzie A1 i À2 to wspom iane mnożniki. Bliższa analiza tego funkcjonału pozwala ograniczyć poszukiwa
nia poprzez wstawienie do równań ruchu Ansat zu
$ = exp (iut) exp ( i N6) F (r),
gdzie N jest liczbą n atu raln ą, W ten sposób otrzym uje się równanie na funkcję profilu
1 f N 2 \ À
F " + - F ' + ^ - - j = - ^ n
przy czym F '(0 ) = 0 a dla N > 0 dodatkowo F (0) = 0, Jak należy oczekiwać, dla N = 0 dostajem y wzór (3.1). A naliza rów nania pozwala uzasadnić, że tylko dla N = 1
r = 0
N > 1 F
nietryw ialne wartości na odcinku ( r 1;r 2), przy czym 0 < r 1 < r 2. Dzięki sym etrii skalowania m ożna wzory na całki ruchu wyrazić następująco
E - ä f . Q ~ - ‘ M , = - N Q ,
gdzie g1 i g2 są funkcjam i zależnymi tylko od N . Dla dużych wartości N została znaleziona przybliżona relacja łącząca trzy całki ruchu
E - À2/5|M z|1/5|Q |3/5.
Omówione powyżej wyniki zostały wykorzystane w pracy [20] dotyczącej modelu znanego pod angielską nazwą baby-Skyrme model. Teoria ta opisuje odwzorowanie z trójwym iarowej czasoprzestrzeni (dwa wym iary przestrzenne) na pole wektorowe:
trójwym iarowe wektory o ustalonej długości. Aby zapewnić skończoność energii ko
nieczne jest w ybranie próżni, czyli w ektora do którego dążą wartości pola w nieskoń
czoności. Tak więc teoria ta opisuje odwzorowanie S 2 ^ S 2 (gdzie S 2 jest dwuwymia
rową sferą). S tąd wynika nietryw ialna stru k tu ra topologiczna rozwiązań. Co więcej, aby w teorii pojaw iały się stabilne rozwiązania, konieczne jest dodanie do m odelu (ar
bitralnego) potencjału polowego. Zazwyczaj potencjał ten jest taką funkcją odchylenia od w ektora odniesienia, że pozostaje w teorii swoboda obrotu wektorów w płaszezy
znie prostopadłej do w ektora próżniowego. Ta swoboda powoduje pojawienie się całki
ruchu - ładunku innego niż ładunek topologiczny. Przy pom ocy projekcji stereogra- ficznej m ożna przepisać lagranżian tej teorii przy użyciu skalarnego pola zespolonego u.
W tym języku m a on postać
dßudßu o (dßudßu f - {dßu)2{dvu f ^ \u\
(1 + M 2)2 p (i + M 2)4 y / T T W ’
gdzie ß > 0 i A > 0 są param etram i modelu. O statn i wyraz w powyższym wzorze pochodzi od oddziaływ ania. W spom niana sym etria w tym języku odpow iada sym etrii zmiany fazy pola. Jak zauw ażają autorzy cytowanej pracy, przy tym wyborze od
działyw ania dla pól o m ałych am plitudach lagranżian powyższy dąży do lagranżianu zespolonego m odelu signum -G ordona, Ten fakt pozwala oczekiwać, że dla małych wartości pola Q-balle są rozwiązaniam i teorii, przynajm niej w sektorze topologicznie tryw ialnym . N um eryczna analiza potw ierdza to przypuszczenie a jakościowe własności rozwiązań pozostają bliskie Q-ballom znanym z m odelu signum -G ordona, N ajbardziej znaczącą różnicą jest pojawienie się m inim alnej częstości u , dla której udało się znaleźć rozw iązania typu Q-ball,
3.1 .3 n = 3
W trzech w ym iarach przestrzennych u 1 w yraża się przez funkcję elem entarną sin y / y . W tym w ypadku rozwiązanie m a postać
f i _ y°J™y_ dla y < y0 , ,
f (y) = < y siny0 , 3.13)
\ 0 dla y > y o
gdzie y0 « 4.4934, Całkowanie pozwala wyznać zvć stałe cq = 5nyQ/6 ora z cE = 2ny3- Powyższa funkcja nie jest jedynym rozwiązaniem rów nania (3.2). Oprócz niego moż
liwe są rozwiązania, które zm ieniają znak zanim zostaną sklejone z w artością próżniową.
Ilość izolowanych zer dobrze charakteryzuje kolejne rozwiązania. Na rysunku 3.1 wy
kreślone zostały trzy przykładowe funkcje profilu tego typu. Chociaż rozw iązania takie prezentujem y dla n = 3, pojaw iają się one w dowolnej liczbie wymiarów n > 1. W rozdziale 5 przedstaw im y uogólnienie podstawowych Q-balli w trzech w ym iarach prze
strzennych.
3.2 Stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona
Ważne miejsce Q-balli w wielu teoriach wynika z ich stabilności. Póki co, w mo
delu signum -G ordona niewiele wiadomo na ten tem at: ja k pokazano powyżej, rozpad Q -balla na mniejsze nie jest energetycznie korzystny. Pojęcie liniowej stabilności nie m a
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne
Rysunek 3.1: Trzy rozwiązania równania (3.2) w trzech wymiarach przestrzennych o najniż
szych energiach.
sensu. Pozostaje pytanie o absolutną stabilność. Poniżej przedstaw iam y rozumowa
nie, które dowodzi, że dla zadanego ładunku Q nie istnieje inne rozwiązanie o mniejszej energii od energii pojedynczego Q-balla, Dowód ten jest koncepcyjnie bardzo prosty. Z drugiej strony, mimo użycia elem entarnych narzędzi m atem atycznych, jest on w znacz
nej mierze techniczny i rozległy. Dlatego tu ta j zaprezentujem y jego ideę i ostateczny argum ent na rzecz absolutnej stabilności. Wyniki cząstkowe zn ajdują się w następnym rozdziale i dod atk u B .
Pierwszym krokiem jest rozważenie Q-balli w zregularyzowanej teorii. Odpowiedni model, sygnalizowany już wcześniej, zadany jest lagranżianem
C K = d ^ d ß$> - A + k2 - k ) , (3.14) gdzie A > 0 i k > 0. W modelu tym również w ystępują Q-balle, Są one scharaktery
zowane w rozdziale 4. Równanie profilu w takim m odelu zależy od jednego p aram etru 8 = 2 u2k / A, gdzie u pochodzi z Ansatzu (2.10). Wykażemy najpierw , że w granicy 8 ^ 0 rozwiązania zregularyzowanego m odelu dążą do rozwiązań m odelu bez regula- ryzacji (dla tej samej wartości A i u ) w sposób jednostajny. W tej granicy również energia i ładunek wyliczone w zregularyzowanym m odelu dążą do wartości znanych z m odelu signum -Gordona. Te fakty uzasadniają oznaczenie funkcji profilu Q-balli przez F K(x), przy czym dla k = 0 odpow iada ona Q-ballom w zregularyzowanym modelu a dla k = 0 odpow iada rozwiązaniom w oryginalnym modelu. N astępnie pokażemy, że rozwiązania w zregularyzowanym m odelu są absolutnie stabilne. M ając na uwa
dze te wyniki możemy teraz wykazać, że stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona wynika ze stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym. Zgodnie z wprowadzeniem (por. rozdział 2) , ograniczamy się do bad ania warunków początkowych w pewnej chwili czasu. Ładunek Q trak tu jem y jako ustalony param etr. Energia konfiguracji F dana
jest wówczas wzorem (w oryginalnym modelu)
= + / ^ [<VF)2 + m I •
Funkcjonał energii w teorii zregularyzowanej param etrem k m a postać
e4 f ] = j ^ + S æ x ■
Ze wzoru |a| — |b| = (a2 — b2) / ( |a | + |b|) wynika, że
E , _ a [ F ] - E 4F ] = 2^ j ^ 7 = ^ w -i,
czyli
Es- G[F] > Ek[F] (3.15)
dla każdej funkcji F przy ustalonej wartości ładunku. Oznacza to, że dla każdego k > 0 prawdziwe są nierówności
Es-G [F0] > Ek [F0] > Ek[Fk]- (3,16) Teraz możemy pokazać absolutną stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona przy założeniu absolutnej stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym i wspom nianej powyżej zależności E K[FK] ^ Es- G [F0] gdy k ^ funkeja F spełnia nastę
pujący ciąg nierówności (na podstaw ie wzoru (3,15) i absolutnej stabilności Q-balli w m odelu z regularyzacją)
Es-g[F] > Ek[F] > Ek[Fk]. (3.17) O dejm ując w powyższych nierównościach Es-G [F0] od każdego wyrazu otrzym ujem y
Es- G [F ] — Es-G [F0] > E k[Fk ] — Es-G [Fo]. (3,18) Na podstaw ie (3,16) wiadomo, że wyraz po prawej stronie tej nierówności jest nie- dodatni. Powyższa relacja (3,18) jest prawdziwa dla dowolnej wartości p aram etru k, dlatego m oduł różnicy po prawej stronie znaku równości może być dowolnie bliski zera.
U zasadnia to ostatecznie szukaną relację
Es-g[f] — Es-g[Fo] > °- (3,19) Pozostaje wykazać, że w m odelu zregularyzowanym Q-balle istnieją i są absolutnie sta
bilne oraz uzasadnić relację E K[FK] ^ Es-G [F0], Dwa pierwsze zagadnienia omówione są w kolejnym rozdziale, ostatnie w dod atk u B ,
R ozdział 4
Zregularyzow any m odel signum -G ordona
W tym rozdziale zostaną przedstaw ione wyniki, w dużej części numeryczne, doty
czące zregularyzowanego m odelu signum -G ordona, Większość z nich została już za
sygnalizowana w o statn im paragrafie poprzedniego rozdziału. Prezentowane ustalenia analityczne w zasadzie nie zależą od w ym iaru przestrzeni. W yjątkiem jest dowód ab
solutnej stabilności, który został przeprowadzony w trzech w ym iarach przestrzennych.
Obliczenia numeryczne ilustrujące Q-balle dotyczą również przypadku n = 3,
4.1 Q -balle w zregularyzow anym m odelu
Jak już wspominaliśmy, zregularyzowany model signum -G ordona zadany jest la- granżianem
C K = d ^ d ß$> - A ( \ / $ $ + k2- k ) . (4.1) Wstawienie Ansatzu (2.10) do rów nania Eulera-L agrange’a, przeskalowanie zmiennej radialnej y = u r i funkcji 2 u 2F ( y / u ) = A f(y ) prowadzi do rów nania
f i + + . U = ^ = = , (4.2)
gdzie 5 = 2 u 2k/A. Interesujące nas rozw iązania m ają wszędzie ciągłą pochodną (więc f (0) = 0) oraz skończony ładunek i energię, skąd f (to ) = 0. Rozwiązanie spełnia
jące te warunki oznaczamy przez f , W ram ach analogii mechanicznej patrzym y na to równanie ja k na równanie Newtona dla cząstki w potencjale | / 2 — \ J b2 + / 2 + 5. Na cząstkę tę działa również siła tarcia zależna od czasu. Potencjał m a dwa sym etryczne m inim a dla 0 < 5 < 1: / = ± V l — S2 i jedno lokalne m aksimum dla / = 0, G dy 5 > 1
f = 0
struow anie rozw iązania nieoseylującego w nieskończoności - zlinearyzowane równanie wokół takiego pojedynczego m inim um odpow iada jednorodnej części rów nania (3,2), u 1
u 2
całkowalne, co widać choćby na przykładzie n = 3 - odpowiednie rozwiązanie jest proporcjonalne do funkcji Fas = sin(r + r0) / r dla pewnego r0. C ałka JR° dr r2Fa2s, gdzie R > 0, nie istnieje,
W przypadku n > 1 analogia m echaniczna prowadzi do heurystycznego argum entu na rzecz istnienia poszukiwanych rozwiązań. Z akładając, że 0 < 5 < 1, jesteśm y w stanie tak dobrać w artość f ( 0 ) że cząstka startu ją c z zerową prędkością ( f (0) = 0) nie zdoła pokonać bariery lokalnego m aksim um i przez nieskończony czas będzie oscylować wokół jednego z sym etrycznych minimów potencjału, Z drugiej strony można znaleźć takie f (0), że cząstka pokona barierę potencjału wokół f = 0 i przejdzie do drugiego „dołka”
potencjału. S tąd wnioskujemy, że istnieje f (0) dzielące te dwie rodziny rozwiązań. Dla takiego rozwiązania f (to ) = 0, To rozwiązanie jest funkcją profilu Q-balla,
Zauważmy, że dla n = 1 analogia m echaniczna m a większą wartość: pozwala podać dokładną postać rozwiązania, W tym w ypadku cząstka porusza się bez tarcia. Stąd otrzymujemy, że energia m echaniczna
+ j / 2 + i - s / p T W
jest całką rów nania (4,2), Szukane rozwiązanie (funkcję profilu Q-balla) otrzym ujem y w staw iając E mech = 0, To prowadzi do niejawnej postaci rozwiązania
y (fs) = j = [ fS dZ = •
V 2 Jy/l^Ś j z 2 _|_ fi2 _ fi _ l z 2
Przypadek ten pozostawiam y jednak na marginesie rozważań. Dla n = 2 nie dysponu
jem y żadnym twierdzeniem uzasadniającym istnienie rozwiązań typu Q-ball, dlatego jesteśm y zdani na p o d an ą powyżej heurezę. Dla n > 3 istnienie poszukiwanych roz
wiązań jest zagwarantowane na mocy tw ierdzenia wykazanego w [13], Twierdzenie to mówi, że jeśli V spełnia pewne warunki, to równanie na funkcję rzeczywistą ÿ
= ^ ( « J
m a jedno, sferycznie sym etryczne, m onotonicznie malejące (w kierunku zmiennej ra
dialnej) i znikające w nieskończoności rozwiązanie różne od rozw iązania ÿ = 0, Co więcej, w artość całki
[ dnx [(V ÿ )2 + V (ÿ)]
J
Rndla tego rozwiązania jest równa lub mniejsza od wartości tej całki policzonej dla ja kiejkolwiek innej znikającej w nieskończoności funkcji. Równość może zajść tylko dla funkcji sferycznie symetrycznych i monotonicznie malejących. Twierdzenie to zostało wykazane przy założeniu, że
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne
• V (0 ) jest funkcją ciągłą i różniczkowalną;
• V (0) = dV (0 )/d 0 = 0;
• istnieje takie 0 O, że V (0 O) < 0;
• istnieją dodatnie liczby a, b, a i ß, takie że a < ß < 2 n /(n — 2) oraz V > a |0 |a — b |0 |ß.
Zauważmy, że równanie (4,2) m ożna zapisać w formie (4,3) przyjm ując, że
v ( h ) = U f i + P - 6 ^ ~ -2f l (4.4)
Potencjał ten w sposób oczywisty spełnia pierwsze trzy warunki konieczne do zasto
sowania powyższego twierdzenia. Spełnienie ostatniego w arunku jest również możliwe, przynajm niej dla n = 3, 4, 5 (patrz dodatek A ); wskazanie odpowiednich stałych dla większej liczby wymiarów w ydaje się kwestią techniczną. Tak więc istnienie rozwiązań typu Q-ball m am y zagwarantowane dla n = 3 ,4 ,5 dla oddziaływ ań typu + ft2- Zanim zostaną zaprezentowane wyniki numeryczne dotyczące Q-balli w trzech wymia
rach, przedstaw im y jeszcze prosty wniosek z rów nania (4,2), Równanie to zlinearyzo
wane wokół rozwiązania f (0) = 0 m a postać
n + — n - o*-1 - 1) u = o.
y
Rozwiązania tego rów nania znikające w nieskończoności w yrażają się poprzez zm ody
fikowane funkcje Bessla: y1~n^2K n/2- i ( \ /S~1 — 1 y). To oznacza, że daleko od centrum funkcje profilu Q-balli zanikają jak y(1- n)/‘2e- ' / s~1~1y_ Dlatego oczekujemy, że nie tylko całka f dy yn -1f2 jest wykonalna, ale i całka f dy y n -1fs jest skończona.
4.2 W yniki num eryczne dla n = 3
Rysunek 4,1 przedstaw ia funkcje profilu otrzym ane z numerycznego całkowania rów nania (4,2) w trzech w ym iarach przestrzennych dla różnych wartości p aram etru 5.
Dla porów nania wykreślono również rozwiązanie znane z oryginalnego modelu signum- 5 = 0
signum -G ordona zregularyzowanym i oryginalnym są ze sobą związane,
Z pun k tu widzenia fizyki ciekawe są zależności pomiędzy globalnymi wielkościami