• Nie Znaleziono Wyników

Zespolony model signum-Gordona i modele pokrewne

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Zespolony model signum-Gordona i modele pokrewne"

Copied!
73
0
0

Pełen tekst

(1)

Ja k u b Lis

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne

Rozprawa doktorska przygotow ana pod kierunkiem

prof. Henryka A rodzia

Kraków, m aj 2010

(2)
(3)

Bardzo serdecznie dziękuję m oj e mu promotorowi, profesorowi Henrykowi Arodziowi, za czas m i poświęcony, za cenne rady i życzliwe uwagi. Dzięki nim powstanie tej pracy było możliwe.

Wdzięczny j e st em żonie za cierpliwość i wyrozumiałość - szczególnie w okresie spi­

sywania pracy.

Dziękuję również rodzicom za wsparcie.

(4)
(5)

Spis treści

1 M o d e l sig n u m -G o r d o n a 1

1.1 H i s t o r i a ... 1

1.2 Rów nania Eulera-L agrange’a ... 2

1.3 W łasności rów nania r u c h u ... 5

1.4 S t a b iln o ś ć ... 6

1.5 Zespolony model s ig n u m -G o rd o n a ... 7

1.6 Wyniki w ła s n e ... 7

2 R o z w ią z a n ia ty p u Q -b a łł 9 2.1 Rozw iązania typu Q-ball - podstaw y m a te m a ty c z n e ... 9

2.2 A bsolutna stabilność Q - b a l l i ... 12

2.3 Q-balle w kwantowej teorii p o l a ... 14

2.4 Q-balle w f iz y c e ... 15

3 Q -b a łłe w m o d e lu sig n u m -G o r d o n a 17 3.1 Ogólne ro z w ią z a n ie ... 17

3.1.1 n = l ... 19

3.1.2 n = 2 ... 20

3.1.3 n = 3 ... 22

3.2 Stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona ... 22

4 Z reg u ła ry zo w a n y m o d e l sig n u m -G o r d o n a 25 4.1 Q-balle w zregularyzowanym m o d e l u ... 25

4.2 Wyniki numeryczne dla n = 3 ... 27

4.3 G ranica 5 ^ 0 a model s ig n u m - G o rd o n a ... 30

4.4 K onstrukcja przybliżonych r o z w ią z a ń ... 32

4.5 S t a b iln o ś ć ... 33

5 N ie lin io w a sk alarna e le k tr o d y n a m ik a 37 5.1 Model, Ans at z, r ó w n a n ia ... 37

(6)

5.2 M echaniczna interpretacja r ó w n a ń ... 40

5.3 Elektrycznie naładow ane Q-balle ... 41

5.4 Elektrycznie naładow ane Q - s h e l l e ... 43

5.5 Przejście od Q-balli do Q-shelli ... 45

5.6 U w a g i ... 47

6 Z a k o ń czen ie 49 6.1 Bieżąca p r a c a ... 49

6.2 Podsum owanie ... 51

A O g ra n iczen ie n a zre g u ła r y z o w a n y p o te n c ja ł 53 B R e la c ja m ię d z y Q -b a łła m i w m o d e lu z i b e z r eg u ła ry za cji 55 B,1 Definicje i ogólne o b s e rw a c je ... 55

B,2 G ranica lim ^ o f (0) ... 57

B,3 G ranica lim^ 0 / — 59 B.4 W n i o s k i ... 60

C R a ch u n ek z a b u r z eń 63

(7)

R ozdział 1

M odel signum -G ordona

1.1 H istoria

W 2002 roku prof, H, Arodź opublikował pracę [1] na tem at topologicznych kom- paktonów. Rozważał w niej model skalarnego, rzeczywistego pola 0 zadanego przez lagranżian

m = -d,4>cT4> - v m

—(1 2 przy czym

V f cos 0 - 1 dla \0\ < 00 < n, I to dla \0\ > 0O.

Część kinetyczna (zawierająca pochodne) w tym lagranżianie jest relatywistycznie nie­

zmiennicza, greckie litery w indeksach odnoszą się w całej pracy do składowych wek­

torów czasoprzestrzennych. M otywacją do tej pracy był prosty układ mechaniczny, W m odelu w ystępują dwie próżniowe wartości pola (spontaniczne łam anie sym etrii Z 2).

W związku z tym istnieje rozwiązanie interpolujące pom iędzy próżniam i (kink). Wyróż­

nia się ono spośród podobnych rozwiązań tym , że pole m a wartość różną od próżniowej na skończonym przedziale (stąd nazwa kom pakton). Dokładniejsza analiza m odelu po­

zwoliła stwierdzić, że ów zwarty nośnik rozw iązania jest związany z nieanalitycznością potencjału polowego w okolicy próżni, to jest brakiem dobrze określonej pochodnej z potencjału w jego m inimum . W ykryto również przybliżoną sym etrię skalowania dla wzbudzeń o m ałych am plitudach. Wobec tego naturalnie pojaw iło się zainteresowa­

nie teorią, k tó ra pozwala przyjrzeć się dokładnie nieanalitycznej próżni. N ajprostszy możliwy model pozw alający na to zadany jest relatywistycznie niezm ienniczą funkcją Lagrange’a

£ W \ = \ d ß (t)dß ( t ) ~ \\<f>\, (1.1) gdzie A > 0, Początkowo nazywano teorię zadaną w ten sposób modelem z potencjałem o kształcie V (ang, V-shaped potential). W roku 2006 Benny L au tru p zaproponował

(8)

wcale dowcipną nazwę: model signum -Gordona,

Model ten w jednym i dwóch wym iarach przestrzennych posiada p ro stą realizację me­

chaniczną: siatkę złożoną z piłek (punktów m aterialnych) połączonych z najbliższym i sąsiadam i nieważkimi sprężynam i. Oprócz sprężystych oddziaływ ań pom iędzy piłkam i uwzględnia się również oddziaływanie grawitacyjne: siatka jest umieszczona na jakiejś powierzchni a energia potrzebna do podniesienia piłki na pew ną wysokość jest propor­

cjonalna do wysokości. P onadto zakłada się, że piłki o d b ijają się sprężyście od po­

wierzchni, W zbudzenia długozasięgowe (to jest na skali znacznie większej niż odległość pomiędzy piłkam i) w takim układzie opisywane są przez podany powyżej lagranżian.

W artość pola 0 ( t , x ) jest proporcjonalna do wysokości, na jakiej znajduje się piłka z oczka siatki o współrzędnej x w chwili t.

B adania nad m odelam i signum -G ordona trw a ją od kilku lat. Najwięcej uwagi poświę­

cono modelowi pola rzeczywistego w jednym wymiarze przestrzennym . Dla tej teorii udało się uzyskać całkiem sporo rozwiązań analitycznych, Do najważniejszych osią­

gnięć należy z pewnością p ełna charakterystyka rozwiązań z sam opodobnym i w arun­

kami początkowym i (zob, [2], [10]) oraz znalezienie rozwiązania typu oseylon (pulson) przedstawionego w [3], Drugi spośród wspom nianych rezultatów wydaje się szczegól­

nie interesujący. Rozwiązanie to ma, ja k prawie wszystkie rozw iązania w tym modelu, zwarty nośnik przestrzenny, jest ono periodyczne w czasie i m a skończoną energię. Cie­

kawie przedstaw ia się problem stabilności tych rozwiązań, W świetle pracy [11] m ożna się spodziewać, że m ałe zaburzenie może spowodować ich rozpad. We wspom nianej pracy prezentowane są jakościowo podobne rozw iązania w innym m odelu i wykazana jest ich liniowa niestabilność, W m odelu signum -G ordona narazie brak jest narzędzi do bad an ia tego typu efektów.

1.2 R ów nania E u lera-L agrange’a

Analizę teorii (1.1) zaczniemy od znalezienia równań ruchu. W tym celu policzymy wariację działania wokół pola 0 O, Na mocy definicji są to wyrazy rzędu e w następującej różnicy

przy czym e jest bliskie zera, O 0 O zakładam y, że jest klasy C 2 w obszarach o ustalonym znaku, globalnie zaś jest to funkcja ciągła. Dopuszczenie skokowej zmiany wartości 0 O na granicy obszarów o ustalonym znaku komplikuje analizę, fizycznie nie jest zaś interesujące. Rów nania ruchu wyznaczone są przez warunek znikania różnicy (1.2), W poszczególnych obszarach gdzie 0 O m a ustalony znak, dla dostatecznie małego e

5 S [0o] = J dn+lx (L[0o + e^] - L[<£o]) , (1.2)

(9)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne (takiego, aby s i g n (0o + e0) = s i g n (0o)) różnica powyższa wynosi

6S = e Y '' ( dn+1x 0 [d»d»0o — s i g n (0o)] + e i Vi

Drugi człon wynika ze wzoru Leibniza: d»0 d» 0 o = —0d»d»0o + d»(0d»0o), Na mocy tw ierdzenia Stokesa m ożna go wyrazić przez całkę powierzchniową

e V / dn+1x d» (0d»0o) = e V / da (0d»0o) , (1.4)

i J Vi i JdVi

da n

każdej powierzchni całkujem y dwukrotnie: raz tra k tu ją c j ą jako granicę obszaru, gdzie 0 o > 0, po raz w tóry jako granicę obszaru z 0 o < 0, Obszar, gdzie 0 o = 0 nie daje w kładu do całki. Dla obszarów Vi \ Vj sąsiadujących ze sobą m ożna ten wzór przepisać jako całkowanie po „jednej stronie” hiperpowierzchni; należy uwzględnić ich przeciwną

orientację, co daje następujący wynik

f da 0 (d"0Ó — d"0Ó) , JdVindVj

przez 0o oznaczamy funkcję 0 o na obszarze V;. Jeżeli w ariacja m a znikać, to i powyższa 0

punkcie powierzchni d V R dVj musi być spełniona równość

da (d»0o — d »0o) = 0 . (1.5)

N ajprostszym sposobem zapew nienia tej równości jest żądanie

0o = d»0Ó- (1.6)

Tak więc szukana funkcja jest klasy C 1, to jest, funkcja i jej pierwsza pochodna są cią­

głe, Ten sposób łączenia rozwiązań jest istotny z pun k tu widzenia wyników zawartych w tej pracy. Nie jest to wszak jedyne rozwiązanie tego problem u. We wspom nianych powyżej pracach na tem at rozwiązań z sam opodobnym i warunkam i początkowym i wy­

korzystano możliwość sklejania na stożku świetlnym rozwiązania próżniowego z pew­

nym nietryw ialnym rozwiązaniem, W tym w ypadku warunek (1.6) nie jest spełniony w przeciwieństwie do w arunku (1,5),

W arto zwrócić uwagę na funkcję tożsamościowo równą zero na pewnym odcinku, Za-

0 e

S[e<j>] = J dn+lx

(^0<^0-À|e0|

V / dn+1x d» (0 d » 0 o ). (1.3) i Vi

(10)

e

samośeiowo równa zero jest nieanalityeznym m aksimum działania. Dlatego funkcję tę należy uważać za rozwiązanie teorii,

W powyższym wyprowadzeniu może niepokoić m om ent, gdy zaniedbano w kład od ob­

szaru s i g n ( 0 O) = s i g n ( 0 O +

e0

), Aby to uzasadnić oszacujemy w artość całki

na tym obszarze. Funkcję podcałkową m ożna oszacować w tym obszarze następująco

—2 |

e0

| < |

0

o +

e0

| - |

0

o| < 2 |

e0

|

.

Dla dostatecznie małej wartości

e

powierzchnie

0

O = 0 i

e0

+

0

O = 0, pom iędzy któ­

rymi całkujemy, powinny być blisko siebie. Jeżeli pochodna w kierunku stycznym do powierzchni

0

O = 0 istnieje na całej tej powierzchni i m ożna jej m oduł ograniczyć przez pew ną d o d atn ią liczbę, wówczas odległość pom iędzy tym i dwoma płaszczyznam i jest rzędu

e

, Można się o tym przekonać rozw ijając równanie

e0

+

0

O = 0 wokół

£

spełnia­

jącego równość

0

O(

£

) = 0. W rozwiązaniu pojaw iają się wyrazy rzędu

e

oraz wyższe potęgi tego param etru. Tak więc całkowanie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny

0

O = 0 daje w kład rzędu

e

, całka w kierunkach równoległych jest z założenia skończona, e2 Nieco inaczej w ygląda sytuacja, gdy podany powyżej warunek na pochodną styczną nie jest spełniony, W szczególności dzieje się tak, gdy w kierunku stycznym do hi- perpłaszezyzny

0

O = 0 m am y zachowanie potęgowe -

0

O ~

x

m, przy czym m > 1, Wówczas odległość pom iędzy płaszczyznam i jest rzędu

e

1/m dla dostatecznie małego

e,

całka (1,7) zaś jest rzędu

e

1+1/m. To sugeruje problem y z definicją drugiej pochodnej wariacyjnej z działania dla takich rozwiązań. Istotnie, do jej wyznaczania konieczne

e

co jest równoznaczne z szacowaniem obszaru pom iędzy

0

O +

e0

= 0 a

0

O = 0, W powyż­

szym wzorze

0

i

0

1 to funkcje próbne. Rozwiązania omawiane w kolejnych rozdziałach odpow iadają

m

= 2, Dlatego 52S w ich przypadku nie istnieje.

Aby podsum ować dotychczasowe rozważania definiujemy funkcję s i g n (-)

J dn+1x (|0q + e0| - |0q|) (1.7)

/

dn+1x dn+1y [sign(y0O(x) +

e0

(

y

)

) — sign

(

0O

(

x

))

] 01

(

x

)

si gn{4>) = !

+ 1 gdy 0 > 0 0 gdy 0 = 0

— 1 gdy 0 < 0.

(1.8)

(11)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne Przy jej pom ocy możemy napisać klasyczne równanie ruchu w m odelu signum -G ordona

które należy uzupełnić uwagą, że szukamy rozwiązań klasy C l .

Powyższa definicja sign(-) pozwala uważać funkcję 0 = 0 za rozwiązanie równania Eulera-L agrange’a, D la kompletności odnotujm y, że równanie ruchu m ożna odtworzyć tra k tu ją c model signum -G ordona jako graniczny przypadek dla zregularyzowanych po­

tencjałów

Jak zobaczymy w rozdziale 4 , traktow anie modelu signum -G ordona jako m odelu bli­

skiego takim „porządnym ” modelom jest czasem bardzo owocne,

1.3 W łasności rów nania ruchu

Powyżej zapisane równanie ruchu (1,9) m a raczej zaskakującą własność: niezmien- 0

(1,9) przeskalowanie zmiennych yß = x ß/ rq i funkcji 0 = n -2 0 prowadzi do relacji

gdzie różniczkuje się względem nowych zmiennych y ß. Tak więc powyższa transform a­

cja pozwala znajdować nowe rozwiązania równań. D ziałanie S skaluje się przy takiej zam ianie S [0] = rj3+nS [0], Z tego widać, że jest to sym etria typu on-shell, to zna­

czy sym etria równań ruchu a nie teorii na poziomie lagranżianu. Pewne rozwiązania sam opodobne jak i analiza rozwiązań startujących z sam opodobnych warunków po­

czątkowych zostały przedstawione w pracach [3] i [4], Energia w m odelu signum -G ordona w yraża się wzorem

Sym etria skalowania pozwala wyrazić energię dla rodziny rozwiązań różniących się transform acją skalowania poprzez prosty wzór E = rj2+nE 0, gdzie E0 to liczba - ener­

gia policzona dla wybranego rozwiązania.

Jak zostało już zasygnalizowane, w tej pracy będziemy zajmować się rozwiązaniami, które przyjm ują nietryw ialne wartości w skończonej objętości. Jest to zachowanie gene- ryczne w modelu sigum -G ordona, Aby się o tym przekonać zobaczmy, ja k pole osiąga wartość próżniową modelu. Dla potrzeb analizy założymy sym etrię sferyczną rozwią­

zania (niech r oznacza zm ienną radialną w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej),

3ß3ß 0 = —A si gn(0) (1.9)

101 = lim K^o 4>2 + K? - K,, K > 0. ( 1 . 1 0 )

3ß3ß 0 = —A s i gn(0) ( 1 . 1 1 )

E = [ d " x i ( S „ « 2 + i ( V « 2 + A|0| . (1.12)

(12)

0 m a postać

n 1

<t>"

H

(f)' = sign{d>).

r

Przybliżone rozwiązanie m a postać 0 (r) = ± ( r — r o)2/2n, dla pewnego r o. Możemy 0

ezoność działania i energii (i ewentualnie innych wielkości).

Sposób zbliżania się do próżni jest charakterystyczny dla szerokich klas modeli; w mo­

delach masowych podejście do próżni jest eksponencjalne, w modelach bezmasowych- potęgowe. Obrazowo rzecz ujm ując mówimy, że paraboliczne podejście do próżni jest charakterystyczne dla modeli o nieskończonej masie (o nieskończonej masie m ożna mó­

wić w przypadku wielu modeli, przykładem jest model badany w [11]).

0 sig n (0 )

runki. O trzym ane rozwiązanie obowiązuje do m om entu osiągnięcia przez pole wartości zerowej. Do tego rozw iązania doklejam y albo w artość próżniową, o ile warunek ciągło­

ści pochodnej na to pozwala, albo rozwiązanie o przeciwnym znaku. P rocedura jest pow tarzana do czasu uzyskania rozw iązania w całym interesującym obszarze. Równa­

nie (1.9) jest dosyć proste w obszarach o ustalonym znaku: jest to wówczas równanie liniowe niejednorodne. Nieliniowość daje o sobie znać tylko przy zmianie znaku.

1.4 Stabilność

Dysponując nietryw ialnym rozwiązaniem w jakiejś teorii pola z gładkim potencja­

łem wiadomo dosyć dokładnie, jak szukać przybliżonych rozwiązań bliskich rozwiązaniu 0

nie 52S [0] musi mieć sens. W przypadku rozwiązań m odelu signum -G ordona, ja k widać z dotychczasowych rozważań, nie jest to wyrażenie dobrze określone w pobliżu granicy obszaru, gdzie rozwiązanie jest nietryw ialne, nie w spom inając o obszarze, gdzie pole m a wartość próżniową. Dlatego problem ewolucji czasowej zaburzonych rozwiązań jest wciąż problem em otw artym .

Łatwo m ożna opisać propagację zaburzenia w krótkim okresie czasu, o ile zaburzenie m a zwarty nośnik i rozm iary dużo mniejsze od rozmiarów oryginalnego rozwiązania.

M ożna wówczas wykonać linearyzację, k tó ra prawidłowo opisuje ewolucję czasową za­

burzonego rozwiązania. Opis ten załam uje się, gdy zaburzenie dociera w okolice brzegu pierwotnego rozwiązania. Nie jest jasne, co wówczas m a znaczenie, choćby w jakościo­

wym opisie ewolucji.

(13)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne

1.5 Zespolony m odel signum -G ordona

Zespolony model signum -G ordona zadany jest przez następującą funkcję Lagrange’a

L = 8ß$8^ $ — A |$|, (1.13)

gdzie $ i $ to zespolone pole skalarne i jego zespolone sprzężenie, | ■ | oznacza m oduł liczby zespolonej, A > 0. Wywody dotyczące wyprowadzenia równań ruchu i wariacji d ziałania pozostają w mocy. Rów nania ruchu należy przepisać w następującej postaci

dßd » $ = - ^ f a z a ( $ ) , (1.14)

przy czym

' ' / * » ( * ) = { * * * ° n (1.15)

[ 0 gdy $ = 0.

Definicję tę m ożna uzasadnić poprzez ponowne odwołanie się do pojęcia działania i jego wariacji, bądź poprzez przywołanie regularyzacji

|$ | = V ^ + k2- k , k > 0. (1.16) Isto tn ą różnicą między modelem rzeczywistym a zespolonym jest pojawienie się do­

datkowej sym etrii względem zmiany fazy pola. Konsekwencjom tego faktu poświęcony jest następny rozdział. Wyniki dotyczące sym etrii skalowania i trudności z pojęciem stabilności w m odelu rzeczywistym, w zasadzie bez zm ian przenoszą się na model z polem zespolonym.

Po raz pierwszy zespolony model signum -G ordona w jednym wymiarze został wpro­

wadzony w pracy [4], Zaproponowano tam , aby przy jego pom ocy opisać przyklejanie się struny w trzech w ym iarach do linii prostej. W tym m odelu m oduł wartości pola odpow iada odległości struny od prostej, faza odpow iada kątowi pom iędzy położeniem struny a pewnym umownym kierunkiem w płaszezyznie prostopadłej do prostej, do której stru n a jest przyciągana. Równocześnie podano nietryw ialne rozwiązania rów­

nań pola wychodząc od pewnego sam opodobnego Ansatzu.

1.6 W yniki w łasne

Przedstaw ione w tej pracy wyniki zostały zaprezentowane w trzech pracach: [7], [8], [9], Dwie pierwsze prace zostały napisane wspólnie z prof. H. Arodziem. W [7]

podane zostały rozwiązania typu Q-ball w zespolonym m odelu signum -G ordona. Treść tej pracy przedstaw iona została, w nieco zmienionej formie, w rozdziale 3 . P raca [8]

zawiera wyniki dotyczące rozszerzonego modelu signum -G ordona, w którym globalną

(14)

sym etrię U (1) zastąpiono jej lokalną wersją. R ezultaty uzyskane w tej pracy przed­

stawione są w rozdziale 5 ; rozważania zawarte w dod atk u C publikowane są po raz pierwszy. A rtykuł [9] dotyczy zregularyzowanego m odelu signum -G ordona i jego związ­

ków z modelem oryginalnym (tak będziemy czasem określać zespolony model signum- G ordona), W ykazano w niej, że Q-balle w zregularyzowanym m odelu istnieją oraz pokazano, że z absolutnej stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym wynika ab­

solutna stabilność Q-balli w modelu signum -Gordona, U dało się również dostosować dowód absolutnej stabilności znany dla pewnej klasy modeli w trzech wym iarach prze­

strzennych na potrzeby m odelu zregularyzowanego. Te wyniki omówione są częściowo w rozdziale 3 oraz w rozdziale 4 i w dodatkach A oraz B ,

(15)

R ozdział 2

R ozw iązania ty p u Q-ball

Jak już zostało zasygnalizowane, w zespolonym m odelu signum -G ordona pojaw ia się dodatkow a wielkość zachowana - ładunek związany z sym etrią U (1) obecną w tej teorii. Ten rozdział poświęcony jest teorii Q-balli, Są to rozw iązania pojaw iające się w teoriach, w których, obok energii, istnieje jeszcze inna całka ruchu związana z sym etrią wewnętrzną (to jest nie sprzęgającą się ze zmiennymi czasoprzestrzennym i) modelu.

N ajpierw więc przedstaw im y ogólne rozważania m atem atyczne, pozwalające sformuło­

wać odpowiedni Ansat z oraz kilka m atem atycznych obserwacji dotyczących uzyskanych tą drogą rozwiązań, Q-balle należą do klasy nietopologieznych solitonów. Są to bowiem stabilne rozwiązania, których gęstość energii i ładunku jest dobrze zlokalizowana i nie zależy od czasu. P rzym iotnik „nietopologiezne” oznacza, że ich istnienie i stabilność nie są związane z topologicznymi własnościam i teorii.

2.1 R ozw iązania ty p u Q -ball - p odstaw y m atem aty czn e

U(1)

w ładająca zmianie fazy zespolonego pola skalarnego. Na tym przykładzie omówimy m atem atyczne własności Q-balli, Rozważania te przeprowadzimy dla ogólnego lagran- żianu polowego w postaci

gdzie U jest potencjałem polowym, O potencjale zakładamy, że U ($ ) > 0 dla każdego

$ i posiada globalne m inim um dla $ = 0 (U (0) = 0), Lagranżian ten jest niezmienniczy względem transform acji Lorentza, w ym iar czasoprzestrzeni wynosi n + 1 , W takiej teorii na mocy tw ierdzenia N oether istnieje ładunek Q, wielkość sta ła dla rozwiązań równań ruchu. Jest ona d ana wzorem

L = 3ß$ d ß$ — U ( $ $ ) (2.1)

(2.2)

(16)

W powyższym wzorze całkuje się po całej przestrzeni; w kolejnych wzorach w tym roz­

dziale, o ile nie zostanie inaczej podane, całki bez jaw nie podanego zakresu całkowania należy rozumieć w ten sam sposób. Oprócz tego również energia jest całką ruchu.

W yraża się ona następująco

Litery łacińskie i = 1, 2 , . . . n num erują składowe wektorów w przestrzeni euklidesowej, Uprawnione jest pytanie o rozw iązania m inim alizujące energię przy zadanej wartości Q, P y tan ie to postaw ił Sidney Coleman w pracy [12], Precyzyjniej rzecz ujm ując zbadamy, dla jakich warunków początkowych energia jest najm niejsza przy ustalonym ładunku.

Dla wygody od tej chwili przyjm iem y oznaczenia x ß = ( t , x ), Przez warunki począt­

kowe rozumiemy podanie przestrzennej konfiguracji pola oraz jego pochodnej czasowej w chwili t = ^ l e $ m ożna przedstaw ić w formie F ( t,x ) e x p ( i6 (t,x )), gdzie funkcje F i 6 są rzeczywiste. Przy powyższych oznaczeniach ładunek liczony w chwili t = 0 w yraża się wzorem

gdzie kropka nad nazwą funkcji oznacza jej pochodną czasową. Energia zaś w yraża się następująco

F (0, ) 6 (0, )

skonstruować dane początkowe o takiej samej lub niższej energii. Po pierwsze, założenie F ( 0 , x ) = 0 nie zm ienia ładunku i pozwala obniżyć energię konfiguracji - kładziem y F ( 0 ,x ) = 0 , Podobnie m a się rzecz z wyrazem F 2(V 6 (0 ,x ))2 i dlatego przyjmujemy, że

Nierówność ta wysyca się, gdy funkcje F i 6f są liniowo zależne, czyli gdy 6(0, x ) =

F (0, )

Po trzecie, w arto wziąć pod uwagę twierdzenie o sferycznej zam ianie (spherical re­

arrangement, podajem y za [12], [13]), Mówi ono, że przy ustalonej wartości całek E = J dnx [ 0 0 $ + d d i $ + U ($ $ ) ] . (2.3)

Q = J ^ "x 6 ( 0 -x )F 2 (0 ' x ) - (2.4)

E

/

dnx 62F 2 + F 2 + F 2(V 6)2 + ( V F )2 + U ( F ) . (2.5)

V 6 (0 ,x ) = 0. Po drugie, nierówność Schwarza dla funkcji F i 6F pozwala oszacować ładunek następująco

Q 2 < Z dnx F 2 J dnx 62F 2. (2.6)

const. Wówczas wyraz f dnx 02F 2 m a w artość Q 2/ / dnx F 2 i jest to w artość mini-

sta łą 6(0, x ) przez w, Funkcjonał energii przyjm uje postać

(2.7)

(17)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne f dnx F 2 ora z f dnx U ( F ) najm niejszą w artość c ałka f dnx ( V F )2 przyjm uje dla pew­

nej sferycznie sym etrycznej, m onotonicznie malejące wzdłuż zmiennej radialnej funkcji, n > 2

rachunku wariacyjnego. Zam iast pełnego rów nania różniczkowego z pochodnym i cząst­

kowymi wystarczy ograniczyć się więc do analizy rów nania różniczkowego zwyczajnego w zmiennej radialnej. Ma ono postać następującą

gdzie ' oznacza różniczkowanie względem zmiennej r a p aram etr

w zgodzie z powyższym wyprowadzeniem. P odstaw iając do równań ruchu pola można sprawdzić, że ewolucja czasowa dla ta k znalezionej konfiguracji początkowej d an a jest przez Ansat z

Rozwiązania uzyskane przy pom ocy takiego podstaw ienia nazywamy właśnie Q-ballam i, Równanie (2,8) m ożna interpretow ać jako newtonowskie równanie ruchu cząstki w po­

tencjalnym polu sił (prawa strona równania). W yraz zawierający pierwszą pochodną r

nania m iało znaczenie w teorii pola, musi spełniać dwa warunki: po pierwsze F i F' m ają być funkcjam i ciągłym i, skąd F '(0 ) = 0, Po drugie interesujące rozwiązanie m a maleć do zera, aby całki we wzorach na ładunek i energię były dobrze określone, W

F (0)

swobodnie puszczona cząstka (F '(0 ) = 0) po upływie nieskończonego czasu znajduje

F = 0 F

jest czasem nazyw ana funkcją profilu,

W literaturze często spotyka się wyprowadzenie Ansat zu (2,10) korzystające z funk­

cjonału energii dla zadanego ładunku. Funkcjonał ten definiowany jest przy użyciu mnożników Lagrange’a (zob, np, [16]), Podejście to uzasadnia podane podstaw ie­

nie, nie jest jednak pom ocne w zbadaniu, czy energia przy danym ładunku posiada g lo b a ln e m inimum , Do uzyskania odpowiedzi na takie pytanie lepiej nadaje się funk­

cjonał (2,7), Istnienie konfiguracji odpow iadającej globalnem u m inim um energii przy danej wartości ładunku nie jest oczywiste - ja k za chwilę zobaczymy, w teorii swo­

bodnej taka konfiguracja nie istnieje, Sidney Coleman w pracy [12] pokazał, że dla pewnej klasy potencjałów Q-balle istotnie m ają najm niejszą możliwą energię, W roz­

dziale 4 przedstaw im y stosowny dowód dla konkretnego modelu. Rozwiązania, które m ają m inim alną energię przy zadanym ładunku, nazywamy absolutnie stabilnym i.

(2.8)

$ ( t, x) = exp ( i u t ) F (r). (2.10)

UJ = -t - Q — - (2.9)

f dnx F2

(18)

2.2 A b so lu tn a stabilność Q-balli

Poniżej prezentujem y kilka obserwacji dotyczących Q-balli, Są one ważne dla do­

wodu absolutnej stabilności przedstawionego w rozdziale 4 , w ydają się również intere­

sujące per se. Najpierw sform ułujem y warunek konieczny (i jak się okaże - w ystarcza­

jący) istnienia rozwiązań absolutnie stabilnych.

P unktem wyjścia do dalszej analizy jest wzór (2,7), Założymy, że potencjał połowy (por, (2,1)) spełnia następujące warunki

t / ( 0 ) = 0 , ™ = 0, ^ = /<2.

W takim razie możemy rozbić potencjał na część kw adratową ^ F 2 i resztę W { F ) = U{F) — \ F 2. Przy tych oznaczeniach wzór wyjściowy m ożna przepisać w formie

E[F] =

j

ct'x [(V F )2 + H-’(F )] + É .

J

dnx F2 + (2.11)

Rozważmy teraz funkcję F pow iązaną z wyjściową funkcją F następująco F ( x ) = F (x) + L~“/2 g ( ( d + x ) / L ) ,

g L

Modyfikację taką nazywamy za Colem anem dodawaniem mezonu w nieskończoności, L

2

/ dnx ( V f ) + W (F) - dnx [(V F )2 + W ( F )]

uczynić dowolnie bliską zera. Istotnie, liniowa zam iana zmiennych pozwala uzyskać równość

L~"

j

dnx

(

V g

(

(

d

+ x } /L

))

2 = L~'2

j

dny ( V g ( y))2 , a odpowiedni dobór w ektora

d

pozwala (przy ustalonym L) w artość całki

L -n/2 J dnx V F (x) V g ( ^ ^ x ) / L)

g F

połowy W ( F ) m ożna rozwinąć w szereg Taylora wokół zera; pierwszy nieznikająey wyraz jest rzędu F 3, Podobnie ja k powyżej pokazuje się, że odpowiednio dobierając L i

d

wpływ funkcji g na wartość całki f dnx W (F) może być dowolnie mały, W przypadku całki z F 2 poprzednie argum enty prow adzą do równości

J dnx F2 = J dnx F2 + J dnx g 2(x),

(19)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie nie m a już zależności od L i d.

Na tej podstaw ie m ożna podać w arunek konieczny na to, aby w m odelu istniały rozwią­

zania o m ninim alnej dopuszczalnej energii przy zadanym ładunku. Aby go sformułować zauważmy jeszcze, że sum a pojaw iająca się w wyrażeniu na energię (2,11)

y j c T x F 2 + (2.12)

m a m inim um dla f dnx F2 = y/2\Q\/fi, jej m inim alna w artość wynosi \^2\Q\ß. Dlatego, jeżeli w powyższym rozumowaniu wstawi się F = 0 (i odpowiednio dobierze się funkcję

g definiującą F ) , to zwiększając L m ożna otrzym ać konfiguracje, dla których lim E[F] = y/2p\Q\.

To rozumowanie zastosowane do pola swobodnego pokazuje, że w tym w ypadku nie m a konfiguracji o m inim alnej energii przy zadanym ładunku. Łatwo teraz zrozumieć w spom niany warunek konieczny: aby w modelu istn iała konfiguracja absolutnie sta­

bilna przy zadanej wartości Q*, to musi istnieć funkeja F *, dla której

E[F*} < y/2ß\Q*\. (2.13)

Spełnienie tego w arunku dla ładunku o wartości |Q*| gw arantuje, że dla wszystkich

|Q| > |Q*| istnieje konfiguracja spełniająca tę nierówność. Aby się o tym przekonać, zauważmy, że z w arunku (2.13) i istnienia m inim um dla w yrażenia (2.12) wynika, że

J dnx [( V F *)2 + W ( F *)] < 0. (2.14) W takim razie zam ieniając funkcję F * ^ F * poprzez dodanie w nieskończoności me­

zonu otrzym ujem y następujący wzór na energię

£[F*] = J <f* [(VFł)2 + l¥(F*)] +

y

J d*x (F' 2 + 9 2') + Jd„x{% + g2y (2-W )

Jeżeli w powyższym wzorze ładunek m a w artość \Q\ = fi f dnx ( F*2 + g2) j \ f 2 , to na mocy (2.14) funkcja F * zadaje konfigurację, k tó ra spełnia warunek (2.13). Zawsze m ożna ta k dobrać funkcję g, aby |Q*| było mniejsze od |Q |, Jak pokazał Colem an w [12], warunek (2,13) dla szerokiej klasy potencjałów jest również warunkiem w ystar­

czającym , aby istniały absolutnie stabilne Q-balle, Skoro tak, to w danym modelu może istnieć ładunek m inim alny dopuszczający ich istnienie, nie m a za to z pewnością maksym alnej wartości ładunku, dla której takie rozwiązania m ożna znaleźć.

Kolejna obserwacja ogranicza możliwe wartości w yrażenia (2,12), Przyjm ijm y, że znamy funkcję Fm, k tó ra minim alizuje funkcjonał energii (2,7), Pokażemy, że

[ dnx F™(x) > . (2,16)

J ß

(20)

Najpierw wykażemy, że niemożliwe jest, aby f dnx i ^ ( x ) < ^ 2 . Istotnie, jeżeli by ta k było, to poprzez dodanie mezonu w nieskończoności (zwiększenie wartości f dnx F 2 bez zmiany Q) m ożna by obniżyć wartość w yrażenia (2,12) i, co za tym idzie, war-

Fm

f dnx F ^ ( x ) = W tym celu przeskalowujemy zmienne x —► (1 + a) x. Po takiej zmianie energia skaluje się według wzoru

E ^ E + a ^ (n - 2) j dnx (V F m)2 + n j dnx W ( F m^ + o(a). (2.17) Na mocy założenia sum a (2,12) jest w m inim um , nie modyfikuje więc w yrażenia na

Fm

nału, wówczas pozostałe wyrazy w rzędzie a powinny się kasować, czyli

J

dnx (V F m)2 = -

J

dnx

W

(Fm).

Stąd wynika, że dla n = 2

J dnx ( V Fm )2 > J dnx W (Fm) . (2.18)

Na mocy wzoru (2.11) oraz założeń: E[Fm] < \f 2\ i Q i f dnx i ?m(x ) = mamy nierówność

J dnx ( V F m)2 < J dnx W (Fm) . (2.19) W yrażenie (2.18) jest negacją relacji (2.19), co dowodzi tezy. W przypadku n = 2 znikanie wyrazów rzędu a w wyrażeniu możliwe jest tylko wtedy, gdy f dnx W ( F m) = 0.

Fm

2.3 (}-balie w kwantowej teorii pola

Równanie profilu dla Q-balli (2.8) m ożna otrzym ać w inny sposób opierając się na pracy E. E a ja ra m an a i E. W einberga [14], A rtykuł ten odpow iada na pytanie o rolę klasycznej sym etrii U (1) (i innych grup sym etrii) na poziomie kwantowym. Problem jest rozważany w ram ach form alizm u całek po trajek to riach i polowego przybliżenia W KB, Poniżej zostanie zarysowane przedstawione tam rozumowanie prowadzące rów­

nież do rów nania profilu. W oryginalnej pracy rozważano model w wymiarze 1 + 1, wynik wydaje się jednak być prawdziwy dla dowolnej liczby wymiarów przestrzennych.

W formalizmie całek po trajek to riach w kwantowej teorii pola fundam entalną wielko­

ścią jest

Z = J ,

(21)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie działanie dane jest wzorem

S = / ^ £ | a * , a # , $ , ą

a lagranżian L m a postać ja k w (2,1 ) , Pole $ w tym lagranżianie w yrażam y następnie przez „promień” i „kąt”: $( t , x) = p(t, x) exp (î9(t, x )), przy czym przyjmujemy, że p > 0, Dla uniknięcia trudności, ograniczam y się do rozważania pola na odcinku (w zwartej przestrzeni). N astępnie funkcję 9 wyrażam y w postaci szeregu harm onicznego

9 = b(t) + Y , bn(t)eikn*.

kn = 0

W tych nowych zmiennych całka funkcjonalna jest kw adratowa w zmiennej b i można ją w sposób jaw ny wykonać, W rezultacie otrzym uje się efektywny lagranżian

\ / ~\2 / ~ \21 (q + 1 ppdt9dnx )

£.11 = M - (Vp)2 + p2 (a,0) - (v » j - u ( P) - v ’ . (2.20)

p2 dnx

gdzie q jest skwantowanym ładunkiem (w jednostkach ładunku jest to liczba n a tu ­ ralna) a 9 = 9 — b(t). Innym i słowy, 9 to funkcja k ąta spełniająca warunek f dnx 9 = 0, Należy wspomnieć, że ten lagranżian efektywny został wyprowadzony przy pewnych upraszczających założeniach. Wyprowadzenie bez tych uproszczeń jest możliwe, jed ­ nak zdaniem autorów wynik jest bardziej skomplikowany. Mimo to dalsza dyskusja pozostaje prawdziwa również w ram ach pełnej teorii,

Z otrzym anego L e/ / m ożna wyprowadzić równ ania na p i 9. W staw iając do tych rów­

nań 9 = 0 pozostaje równanie na p równoważne równaniu profilu Q -balla dla Q = q.

Tak więc, w przybliżeniu W KB rozwiązanie typu Q-ball jest analogiczne do statycz­

nego rozwiązania interpolującego pom iędzy dwoma próżniam i w teorii 0 4, Podobnie ja k w tam ty m modelu, energię Q -balla m ożna traktow ać jako dobre oszacowanie ener­

gii pewnych stanów obecnych w teorii kwantowej, por, [15], W przypadku kinku popraw ki kwantowe do m asy są m ałe dla małej stałej sprzężenia. W yznaczenie kwan­

towych poprawek do masy Q-balli jest nietryw ialnym zadaniem , w przypadku modelu signum -G ordona jest to w tym momencie zadanie niewykonalne. Trudno więc orzec, choćby jakościowo, jak a jest rola Q-balli w kwantowym m odelu signum -Gordona,

2.4 (}-balie w fizyce

Q -ballom poświęcono wiele uwagi w literaturze. Analitycznych rozwiązań istnieje bardzo niewiele, stąd też liczne opracowania dotyczące przybliżonych własności rozwią­

zań typu Q-ball, Dobry przegląd tego, co na ten tem at zostało ustalone, znajduje się

(22)

w pracy doktorskiej M, Tsum agari [16], Z aletą tej pracy jest również kom pletny spis literatury. W iele spośród wyników dotyczących Q-balli nie stosuje się do rozwiązań tego typu w m odelu signum -G ordona ze względu na jego nieanalityczność. Jak m ożna się spodziewać, choćby na podstaw ie paragrafu 2,2, dużą rolę w analizach Q-balli od­

grywa p aram etr masowy obecny w teorii, W interesującym nas m odelu ten p aram etr nie jest zdefiniowany.

P raca przeglądowa z 1992 roku [17] o nietopologieznych solitonach wym ienia trzy ob­

szary ich zastosowań: kondensaty bozonowe, model Friedberga-Lee hadronów i soli­

tonowe modele gwiazd, W ostatnich latach Q-balle odzyskały popularność. Stało się ta k za sprawą supersym etrycznych teorii. Opisując początki wszechświata w ich ra­

mach Q-balle naturalnie pojaw iają się w wyniku procesów nierównowagowych. Jako rozw iązania stabilne (choć nawet słabe oddziaływ ania z innymi polam i mogą zamienić je z konfiguracji absolutnie stabilnej w konfiguracje długożyjące, por, [19]) mogły prze­

trw ać bardzo długo. Dlatego dziś są wymieniane jako kandydaci na ciem ną m aterię.

Pojaw iające się w tym kontekście efektywne potencjały określające sam ooddziaływ anie pola U (|$ |) są jakościowo bliższe potencjałow i signum -G ordona niż potencjałom anali­

tycznym, Często są one nieanalityczne w m inim um - pojaw ia się w nich człon propor­

cjonalny do $ $ ln ( $ $ ) a dla dużych wartości pola zachodzi U ( |$ |) / |$ |2 ^ 0, Również E (Q ) potęgowa, por, [18],

(23)

R ozdział 3

Q-balle w m odelu signum -G ordona

W tym rozdziale przedstaw im y rozw iązania typu Q-ball w m odelu signum -G ordona w dowolnej liczbie wymiarów przestrzennych n. Dla n > 1 dosyć szczegółowo om a­

wiamy konstrukcję tych rozwiązań; okaże się ona isto tn a w rozdziale 4 , N astęp­

nie przedstaw iam y bardziej szczegółowo własności Q-balli w wym iarach n = 1, 2, 3, W przypadku n = 2 dyskutujem y pokrótce rozwiązania m odelu signum -G ordona, które m inim alizują energię dla zadanego ładunku i m om entu pędu a także powiązanie tego m odelu z modelem znanym w literatu rze pod nazwą baby-Skyrme model. Przy omawia­

niu rozwiązań dla n = 3 prezentujemy, obok charakterystyk rozw iązania podstawowego, również „wzbudzone” Q-balle,

3.1 Ogólne rozw iązanie

W staw iając Ans atz (2,10) na rozw iązania typu Q-ball do rów nania (1.14) otrzym u- F

F " + ^— ^ F ' ( r ) = —s i g n (F ) - oj2F, (3.1)

r 2

gdzie funkcja sign(-) jest zdefiniowana wzorem (1.8). Przeskalowanie zmiennej radial­

nej y = u r i funkcji Àf (y) = 2 u 2F (y /w ) pozwala przepisać powyższe równanie w następującej formie

/" + — /' + / = signU). (3.2)

y

W równaniu występuje sym etria zam iany f ^ — f . W ystarczy więc ograniczyć się f(0 ) > 0

jest liniowym równaniem niejednorodnym. Ogólne rozwiązanie takiego problem u to sum a rozw iązania szczególnego spełniającego niejednorodne równanie i liniowo nie­

zależnych funkcji spełniających równanie jednorodne. W spółczynniki przy rozwiąza­

niach rów nania jednorodnego dobiera się tak, aby były spełnione w arunki brzegowe.

(24)

Dla rów nania (3,2) z warunkiem f (0) > 0 szczególne rozwiązanie to funkcja sta ła f = +1. Rozwiązanie części jednorodnej gdy n > 1 m ożna znaleźć poprzez podstaw ie­

nie f (y) = y ~ aR ( y ) , przy czym a = (n — 2 )/2 (przypadek n = 1 omówimy poniżej).

Równanie na funkcję R jest równaniem Bessela rzędu a. Rozwiązania wyjściowego problem u są więc powiązane z funkcjam i Bessela pierwszego Ja i drugiego Ya rodzaju.

Przyjmujemy, że dwa liniowo niezależne rozwiązania « i i u2 wyjściowego problem u (3,2) m ają postać:

«1 = y ~a Ja (y ) , «2 = y - a Y a (y ) . (3.3) y

u1 « a — by2, u2 « cy-2a , (3,4) gdzie a, b i c są dodatnim i stałymi. W przypadku n = 2 powyższy wzór zawodzi dla

u2 u2 ln (y ) .

y > 0

szczególności |u1 (0) | > |u1(y)| dla dowolnego y. Można ten fakt uzasadnić następu­

jąco: część jednorodna rów nania (3.2) odpow iada równaniu oscylatora harm onicznego z tarciem zależnym od czasu. Jakościowo rozw iązania te dobrze reprezentowane są przez rozwiązanie dla n = 3, gdzie u1(y) = sin y / y i u2(y) = cos y / y . W arunkiem brzegowym dla funkcji profilu jest f ' ( 0 ) = 0. Dowolne rozwiązanie rów nania (3.2) spełniające ten warunek oraz m ające w ybraną w artość w zerze f (0) > 0 m a następującą postać

f + ( y ) = l u i(y) + !• (3-5)

u1(0)

(0 , y1 ) y1 najm niejszym pierw iastkiem rów nania f+ (y) = 0. Jeżeli f (0) jest dostatecznie małe, f+ jest prawidłowym rozwiązaniem rów nania dla wszystkich argumentów. W ynika to z konstrukcji f+ - m a ona postać przeskalowanej funkcji u 1, której wykres przesunięto o wektor (0, +1) S tąd też wnioskujemy, że poehodne funkcji u-^i f+ zerują się dla tych

y0 > 0 y

u i(yo) = 0 oraz / 0 = 1 — ; należy zauważyć, że u i ( y 0) < 0, co widać choćby z podanej analogii mechanicznej. Przy tych oznaczeniach m ożna podać, kiedy warunek f+ (y 1) = 0 ma rozwiązanie. Dzieje się tak, gdy f (0) > f0 - wówczas f+ (y 0) < 0. Za­

tem y1 < y0 i f+ (y1) < Jeżeli f (0) < f 0, wówczas nie istnieje pun k t y1 i f+(y) > 0 dla wszystkich nieujemnych argumentów. Sytuacja komplikuje się, gdy f (0) = f 0.

Wówczas f (y0) = 0 i f '(y0) = 0 a równanie traci jednoznaczność. Dla y > y0 dopusz­

czalne są trzy rozwiązania: ± f + oraz rozwiązanie f = 0. Ze względu na kontekst teorii pola wybieram y tę o statn ią możliwość. Tak więc profil Q -balla opisywany jest przez

(25)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne następującą funkcję

{ — U1^ _|_ i dla y < y0

f ( y ) = { "1("> ,, (3.6)

I 0 dla y > y0.

W ten sposób pokazaliśmy, że w dowolnej liczbie wymiarów n > 1 w m odelu signum- G ordona Q-balle istnieją. Teraz należy zbadać globalne charakterystyki tych rozwiązań:

ładunek i energię. Okazuje się, że fizycznie cenną informację m ożna otrzym ać w yrażając wzory na ładunek i energię przez f i y:

e = (3'7)

E = ( “ T / ^ yn~‘ [</,)2 + /2 + 2 |/ l ] ) ■ (3'8) W powyższych wzorach Qn-1 oznacza powierzchnię sfery n — 1 - wymiarowej. Za­

uważmy, że w yrażenia w nawiasach okrągłych są liczbami nie m ającym i istotnego wpływu na fizyczne właściwości Q-balli, Oznaczymy je odpowiednio przez cq i cE, Z powyższych wzorów wynika zależność

n + 2

2 / 0 \ n + 3

E = ceX ^ \ ^ - J (3.9)

Związek ten nie zależy od postaci rozwiązań, może być zastosowany do modelu w jed ­ nym wymiarze przestrzennym przy odpowiedniej definicji stałych ce i cq. Takiej relacji pom iędzy energią i ładunkiem m ożna się spodziewać na podstaw ie sym etrii skalowania.

Zależność (3,9) świadczy o stabilności rozwiązań ze względu na rozpad - energia poje­

dynczego Q -balla o ładunku Q jest m niejsza od energii dwóch Q-balli o ładunkeh Qx i Q 2, przy czym |Q ^ + |Q 2| = |Q |, W ynika to z własności funkcji potęgowej: jeżeli x G (0,1), to x s > x gdy 0 < s < 1 i x s < x gdy s > 1, Stąd otrzym ujem y nierówność

n -\-2 n -\-2

Q i 11+3 Q2 11+3 1

Q Q - ’

któ ra jest równoznaczna ze stwierdzeniem, że E ( Qi) + E ( Q 2) > E (Q )

3.1.1 n = l

W jednym wymiarze przestrzennym równanie profilu (3,2) redukuje się do elemen­

tarnego równania:

f " + f = 1 , (3.10)

(26)

gdzie założyliśmy, że szukane rozwiązanie jest dodatnie ( s i g n ( f ) = 1), Rozwiązanie ze środkiem ciężkości w Y m ożna zapisać w następującej formie:

{

0 dla y — Y < —n

1 + cos (y — Y — n) dla —n < y — Y < n (3,11)

0 dla y — Y > n.

Ładunek i energia dane są wzorami

<3 = S?. E = ^ <3'12)

Jak zostało wspom niane w rozdziale 1, model ten może opisywać przyciągające od­

działywanie struny z linią prostą. Powyższe rozwiązanie m a wówczas interpretację obracającego się wokół owej prostej „garba” o skończonej szerokości; na pozostałym obszarze stru n a jest przyklejona do przyciągającej linii.

Na osi rzeczywistej m ożna umieszczać obok siebie wiele różnych Q-balli, O ile ich nośniki nie stykają się, Q-balle ze sobą nie oddziałują. Interakcje pom iędzy nimi są opisywane jako procesy w pełni nieliniowe, W pierwszym odruchu dobrym podejściem do b ad an ia oddziaływ ania w ydaje się rozwiązanie pow stałe w wyniku umieszczenia obok siebie dwóch rozwiązań tak, aby się stykały (osiągały wartość próżniową w tym samym punkcie - jedno od prawej, drugie od lewej strony). Taka konfiguracja jest dokładnym rozwiązaniem rów nania Eulera-L agrange’a, Niestety, opis małego zabu­

rzenia tego rozw iązania nic nie wnosi. Jak wynika z dyskusji w rozdziale 1, liniowa ewolucja (z uwzględnieniem stałości ładunku) zwartego zaburzenia na krótką m etę jest dozwolona i spraw dza się wszędzie wewnątrz rozw iązania z w yjątkiem interesującego obszaru,

3.1 .2 n = 2

W tym w ypadku interesujące stałe wyznaczono numerycznie. Funkcja profilu m a postać

/ \ f i + 1 dla y > yo f (y) = {[

|Jo(^'

0 dla y < yo,

gdzie y0 « 3.8317, J0(y0) ~ —0.4028, Ładunek i energię m ożna obliczyć m ając

CQ = \Vo i ce = ^ f y l ■ W yrażenia na cq i cE m ożna otrzym ać w staw iając do odpowied­

nich całek zależności wynikające z rów nania (3,2) a następnie całkując przez części, W dwóch w ym iarach przestrzennych udało się uogólnić otrzym ane rozwiązania, zob, [6],

Q E

kość niezm ienną w czasie - m oment pędu M z

(27)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne gdzie $ jest zespolonym polem skalarnym w ystępującym w lagranżianie (1,13) a 6 współ­

rzędną kątową w płaszezyznie (xi, x 2). N aturalne jest więc pytanie o konfigurację pola, któ ra przy zadanym ładunku Q i momencie pędu M z m a najm niejszą możliwą energię.

Zagadnienie to m ożna sformalizować w prowadzając mnożniki Lagrange’a, Problem sprowadza się wówczas do m inim alizacji funkcjonału E + A1Q + A2M z, gdzie A1 i À2 to wspom iane mnożniki. Bliższa analiza tego funkcjonału pozwala ograniczyć poszukiwa­

nia poprzez wstawienie do równań ruchu Ansat zu

$ = exp (iut) exp ( i N6) F (r),

gdzie N jest liczbą n atu raln ą, W ten sposób otrzym uje się równanie na funkcję profilu

1 f N 2 \ À

F " + - F ' + ^ - - j = - ^ n

przy czym F '(0 ) = 0 a dla N > 0 dodatkowo F (0) = 0, Jak należy oczekiwać, dla N = 0 dostajem y wzór (3.1). A naliza rów nania pozwala uzasadnić, że tylko dla N = 1

r = 0

N > 1 F

nietryw ialne wartości na odcinku ( r 1;r 2), przy czym 0 < r 1 < r 2. Dzięki sym etrii skalowania m ożna wzory na całki ruchu wyrazić następująco

E - ä f . Q ~ - ‘ M , = - N Q ,

gdzie g1 i g2 są funkcjam i zależnymi tylko od N . Dla dużych wartości N została znaleziona przybliżona relacja łącząca trzy całki ruchu

E - À2/5|M z|1/5|Q |3/5.

Omówione powyżej wyniki zostały wykorzystane w pracy [20] dotyczącej modelu znanego pod angielską nazwą baby-Skyrme model. Teoria ta opisuje odwzorowanie z trójwym iarowej czasoprzestrzeni (dwa wym iary przestrzenne) na pole wektorowe:

trójwym iarowe wektory o ustalonej długości. Aby zapewnić skończoność energii ko­

nieczne jest w ybranie próżni, czyli w ektora do którego dążą wartości pola w nieskoń­

czoności. Tak więc teoria ta opisuje odwzorowanie S 2 ^ S 2 (gdzie S 2 jest dwuwymia­

rową sferą). S tąd wynika nietryw ialna stru k tu ra topologiczna rozwiązań. Co więcej, aby w teorii pojaw iały się stabilne rozwiązania, konieczne jest dodanie do m odelu (ar­

bitralnego) potencjału polowego. Zazwyczaj potencjał ten jest taką funkcją odchylenia od w ektora odniesienia, że pozostaje w teorii swoboda obrotu wektorów w płaszezy­

znie prostopadłej do w ektora próżniowego. Ta swoboda powoduje pojawienie się całki

(28)

ruchu - ładunku innego niż ładunek topologiczny. Przy pom ocy projekcji stereogra- ficznej m ożna przepisać lagranżian tej teorii przy użyciu skalarnego pola zespolonego u.

W tym języku m a on postać

dßudßu o (dßudßu f - {dßu)2{dvu f ^ \u\

(1 + M 2)2 p (i + M 2)4 y / T T W ’

gdzie ß > 0 i A > 0 są param etram i modelu. O statn i wyraz w powyższym wzorze pochodzi od oddziaływ ania. W spom niana sym etria w tym języku odpow iada sym etrii zmiany fazy pola. Jak zauw ażają autorzy cytowanej pracy, przy tym wyborze od­

działyw ania dla pól o m ałych am plitudach lagranżian powyższy dąży do lagranżianu zespolonego m odelu signum -G ordona, Ten fakt pozwala oczekiwać, że dla małych wartości pola Q-balle są rozwiązaniam i teorii, przynajm niej w sektorze topologicznie tryw ialnym . N um eryczna analiza potw ierdza to przypuszczenie a jakościowe własności rozwiązań pozostają bliskie Q-ballom znanym z m odelu signum -G ordona, N ajbardziej znaczącą różnicą jest pojawienie się m inim alnej częstości u , dla której udało się znaleźć rozw iązania typu Q-ball,

3.1 .3 n = 3

W trzech w ym iarach przestrzennych u 1 w yraża się przez funkcję elem entarną sin y / y . W tym w ypadku rozwiązanie m a postać

f i _ y°J™y_ dla y < y0 , ,

f (y) = < y siny0 , 3.13)

\ 0 dla y > y o

gdzie y0 « 4.4934, Całkowanie pozwala wyznać zvć stałe cq = 5nyQ/6 ora z cE = 2ny3- Powyższa funkcja nie jest jedynym rozwiązaniem rów nania (3.2). Oprócz niego moż­

liwe są rozwiązania, które zm ieniają znak zanim zostaną sklejone z w artością próżniową.

Ilość izolowanych zer dobrze charakteryzuje kolejne rozwiązania. Na rysunku 3.1 wy­

kreślone zostały trzy przykładowe funkcje profilu tego typu. Chociaż rozw iązania takie prezentujem y dla n = 3, pojaw iają się one w dowolnej liczbie wymiarów n > 1. W rozdziale 5 przedstaw im y uogólnienie podstawowych Q-balli w trzech w ym iarach prze­

strzennych.

3.2 Stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona

Ważne miejsce Q-balli w wielu teoriach wynika z ich stabilności. Póki co, w mo­

delu signum -G ordona niewiele wiadomo na ten tem at: ja k pokazano powyżej, rozpad Q -balla na mniejsze nie jest energetycznie korzystny. Pojęcie liniowej stabilności nie m a

(29)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne

Rysunek 3.1: Trzy rozwiązania równania (3.2) w trzech wymiarach przestrzennych o najniż­

szych energiach.

sensu. Pozostaje pytanie o absolutną stabilność. Poniżej przedstaw iam y rozumowa­

nie, które dowodzi, że dla zadanego ładunku Q nie istnieje inne rozwiązanie o mniejszej energii od energii pojedynczego Q-balla, Dowód ten jest koncepcyjnie bardzo prosty. Z drugiej strony, mimo użycia elem entarnych narzędzi m atem atycznych, jest on w znacz­

nej mierze techniczny i rozległy. Dlatego tu ta j zaprezentujem y jego ideę i ostateczny argum ent na rzecz absolutnej stabilności. Wyniki cząstkowe zn ajdują się w następnym rozdziale i dod atk u B .

Pierwszym krokiem jest rozważenie Q-balli w zregularyzowanej teorii. Odpowiedni model, sygnalizowany już wcześniej, zadany jest lagranżianem

C K = d ^ d ß$> - A + k2 - k ) , (3.14) gdzie A > 0 i k > 0. W modelu tym również w ystępują Q-balle, Są one scharaktery­

zowane w rozdziale 4. Równanie profilu w takim m odelu zależy od jednego p aram etru 8 = 2 u2k / A, gdzie u pochodzi z Ansatzu (2.10). Wykażemy najpierw , że w granicy 8 ^ 0 rozwiązania zregularyzowanego m odelu dążą do rozwiązań m odelu bez regula- ryzacji (dla tej samej wartości A i u ) w sposób jednostajny. W tej granicy również energia i ładunek wyliczone w zregularyzowanym m odelu dążą do wartości znanych z m odelu signum -Gordona. Te fakty uzasadniają oznaczenie funkcji profilu Q-balli przez F K(x), przy czym dla k = 0 odpow iada ona Q-ballom w zregularyzowanym modelu a dla k = 0 odpow iada rozwiązaniom w oryginalnym modelu. N astępnie pokażemy, że rozwiązania w zregularyzowanym m odelu są absolutnie stabilne. M ając na uwa­

dze te wyniki możemy teraz wykazać, że stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona wynika ze stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym. Zgodnie z wprowadzeniem (por. rozdział 2) , ograniczamy się do bad ania warunków początkowych w pewnej chwili czasu. Ładunek Q trak tu jem y jako ustalony param etr. Energia konfiguracji F dana

(30)

jest wówczas wzorem (w oryginalnym modelu)

= + / ^ [<VF)2 + m I •

Funkcjonał energii w teorii zregularyzowanej param etrem k m a postać

e4 f ] = j ^ + S æ x

Ze wzoru |a| — |b| = (a2 — b2) / ( |a | + |b|) wynika, że

E , _ a [ F ] - E 4F ] = 2^ j ^ 7 = ^ w -i,

czyli

Es- G[F] > Ek[F] (3.15)

dla każdej funkcji F przy ustalonej wartości ładunku. Oznacza to, że dla każdego k > 0 prawdziwe są nierówności

Es-G [F0] > Ek [F0] > Ek[Fk]- (3,16) Teraz możemy pokazać absolutną stabilność Q-balli w m odelu signum -G ordona przy założeniu absolutnej stabilności Q-balli w m odelu zregularyzowanym i wspom nianej powyżej zależności E K[FK] ^ Es- G [F0] gdy k ^ funkeja F spełnia nastę­

pujący ciąg nierówności (na podstaw ie wzoru (3,15) i absolutnej stabilności Q-balli w m odelu z regularyzacją)

Es-g[F] > Ek[F] > Ek[Fk]. (3.17) O dejm ując w powyższych nierównościach Es-G [F0] od każdego wyrazu otrzym ujem y

Es- G [F ] — Es-G [F0] > E k[Fk ] — Es-G [Fo]. (3,18) Na podstaw ie (3,16) wiadomo, że wyraz po prawej stronie tej nierówności jest nie- dodatni. Powyższa relacja (3,18) jest prawdziwa dla dowolnej wartości p aram etru k, dlatego m oduł różnicy po prawej stronie znaku równości może być dowolnie bliski zera.

U zasadnia to ostatecznie szukaną relację

Es-g[f] — Es-g[Fo] > °- (3,19) Pozostaje wykazać, że w m odelu zregularyzowanym Q-balle istnieją i są absolutnie sta­

bilne oraz uzasadnić relację E K[FK] ^ Es-G [F0], Dwa pierwsze zagadnienia omówione są w kolejnym rozdziale, ostatnie w dod atk u B ,

(31)

R ozdział 4

Zregularyzow any m odel signum -G ordona

W tym rozdziale zostaną przedstaw ione wyniki, w dużej części numeryczne, doty­

czące zregularyzowanego m odelu signum -G ordona, Większość z nich została już za­

sygnalizowana w o statn im paragrafie poprzedniego rozdziału. Prezentowane ustalenia analityczne w zasadzie nie zależą od w ym iaru przestrzeni. W yjątkiem jest dowód ab­

solutnej stabilności, który został przeprowadzony w trzech w ym iarach przestrzennych.

Obliczenia numeryczne ilustrujące Q-balle dotyczą również przypadku n = 3,

4.1 Q -balle w zregularyzow anym m odelu

Jak już wspominaliśmy, zregularyzowany model signum -G ordona zadany jest la- granżianem

C K = d ^ d ß$> - A ( \ / $ $ + k2- k ) . (4.1) Wstawienie Ansatzu (2.10) do rów nania Eulera-L agrange’a, przeskalowanie zmiennej radialnej y = u r i funkcji 2 u 2F ( y / u ) = A f(y ) prowadzi do rów nania

f i + + . U = ^ = = , (4.2)

gdzie 5 = 2 u 2k/A. Interesujące nas rozw iązania m ają wszędzie ciągłą pochodną (więc f (0) = 0) oraz skończony ładunek i energię, skąd f (to ) = 0. Rozwiązanie spełnia­

jące te warunki oznaczamy przez f , W ram ach analogii mechanicznej patrzym y na to równanie ja k na równanie Newtona dla cząstki w potencjale | / 2 — \ J b2 + / 2 + 5. Na cząstkę tę działa również siła tarcia zależna od czasu. Potencjał m a dwa sym etryczne m inim a dla 0 < 5 < 1: / = ± V l — S2 i jedno lokalne m aksimum dla / = 0, G dy 5 > 1

f = 0

struow anie rozw iązania nieoseylującego w nieskończoności - zlinearyzowane równanie wokół takiego pojedynczego m inim um odpow iada jednorodnej części rów nania (3,2), u 1

(32)

u 2

całkowalne, co widać choćby na przykładzie n = 3 - odpowiednie rozwiązanie jest proporcjonalne do funkcji Fas = sin(r + r0) / r dla pewnego r0. C ałka JR° dr r2Fa2s, gdzie R > 0, nie istnieje,

W przypadku n > 1 analogia m echaniczna prowadzi do heurystycznego argum entu na rzecz istnienia poszukiwanych rozwiązań. Z akładając, że 0 < 5 < 1, jesteśm y w stanie tak dobrać w artość f ( 0 ) że cząstka startu ją c z zerową prędkością ( f (0) = 0) nie zdoła pokonać bariery lokalnego m aksim um i przez nieskończony czas będzie oscylować wokół jednego z sym etrycznych minimów potencjału, Z drugiej strony można znaleźć takie f (0), że cząstka pokona barierę potencjału wokół f = 0 i przejdzie do drugiego „dołka”

potencjału. S tąd wnioskujemy, że istnieje f (0) dzielące te dwie rodziny rozwiązań. Dla takiego rozwiązania f (to ) = 0, To rozwiązanie jest funkcją profilu Q-balla,

Zauważmy, że dla n = 1 analogia m echaniczna m a większą wartość: pozwala podać dokładną postać rozwiązania, W tym w ypadku cząstka porusza się bez tarcia. Stąd otrzymujemy, że energia m echaniczna

+ j / 2 + i - s / p T W

jest całką rów nania (4,2), Szukane rozwiązanie (funkcję profilu Q-balla) otrzym ujem y w staw iając E mech = 0, To prowadzi do niejawnej postaci rozwiązania

y (fs) = j = [ fS dZ = •

V 2 Jy/l^Ś j z 2 _|_ fi2 _ fi _ l z 2

Przypadek ten pozostawiam y jednak na marginesie rozważań. Dla n = 2 nie dysponu­

jem y żadnym twierdzeniem uzasadniającym istnienie rozwiązań typu Q-ball, dlatego jesteśm y zdani na p o d an ą powyżej heurezę. Dla n > 3 istnienie poszukiwanych roz­

wiązań jest zagwarantowane na mocy tw ierdzenia wykazanego w [13], Twierdzenie to mówi, że jeśli V spełnia pewne warunki, to równanie na funkcję rzeczywistą ÿ

= ^ ( « J

m a jedno, sferycznie sym etryczne, m onotonicznie malejące (w kierunku zmiennej ra­

dialnej) i znikające w nieskończoności rozwiązanie różne od rozw iązania ÿ = 0, Co więcej, w artość całki

[ dnx [(V ÿ )2 + V (ÿ)]

J

Rn

dla tego rozwiązania jest równa lub mniejsza od wartości tej całki policzonej dla ja ­ kiejkolwiek innej znikającej w nieskończoności funkcji. Równość może zajść tylko dla funkcji sferycznie symetrycznych i monotonicznie malejących. Twierdzenie to zostało wykazane przy założeniu, że

(33)

Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne

• V (0 ) jest funkcją ciągłą i różniczkowalną;

• V (0) = dV (0 )/d 0 = 0;

istnieje takie 0 O, że V (0 O) < 0;

istnieją dodatnie liczby a, b, a i ß, takie że a < ß < 2 n /(n — 2) oraz V > a |0 |a — b |0 |ß.

Zauważmy, że równanie (4,2) m ożna zapisać w formie (4,3) przyjm ując, że

v ( h ) = U f i + P - 6 ^ ~ -2f l (4.4)

Potencjał ten w sposób oczywisty spełnia pierwsze trzy warunki konieczne do zasto­

sowania powyższego twierdzenia. Spełnienie ostatniego w arunku jest również możliwe, przynajm niej dla n = 3, 4, 5 (patrz dodatek A ); wskazanie odpowiednich stałych dla większej liczby wymiarów w ydaje się kwestią techniczną. Tak więc istnienie rozwiązań typu Q-ball m am y zagwarantowane dla n = 3 ,4 ,5 dla oddziaływ ań typu + ft2- Zanim zostaną zaprezentowane wyniki numeryczne dotyczące Q-balli w trzech wymia­

rach, przedstaw im y jeszcze prosty wniosek z rów nania (4,2), Równanie to zlinearyzo­

wane wokół rozwiązania f (0) = 0 m a postać

n + — n - o*-1 - 1) u = o.

y

Rozwiązania tego rów nania znikające w nieskończoności w yrażają się poprzez zm ody­

fikowane funkcje Bessla: y1~n^2K n/2- i ( \ /S~1 — 1 y). To oznacza, że daleko od centrum funkcje profilu Q-balli zanikają jak y(1- n)/‘2e- ' / s~1~1y_ Dlatego oczekujemy, że nie tylko całka f dy yn -1f2 jest wykonalna, ale i całka f dy y n -1fs jest skończona.

4.2 W yniki num eryczne dla n = 3

Rysunek 4,1 przedstaw ia funkcje profilu otrzym ane z numerycznego całkowania rów nania (4,2) w trzech w ym iarach przestrzennych dla różnych wartości p aram etru 5.

Dla porów nania wykreślono również rozwiązanie znane z oryginalnego modelu signum- 5 = 0

signum -G ordona zregularyzowanym i oryginalnym są ze sobą związane,

Z pun k tu widzenia fizyki ciekawe są zależności pomiędzy globalnymi wielkościami

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Jeśli granica (11.59) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcja f w przedziale (−∞, b] nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna..

Każda taka klasa jest wyznaczona przez pewne drzewo de Bruijna, możemy więc uważać, że λ-termy to tak naprawdę drzewa de Bruijna.. λ-wyrażenia są tylko ich

Warstwa zewnętrzna jest gładka, niepofałdowana, natomiast warstwa wewnętrzna posiada liczne uwypuklenia,

Cele lekcji: Uczeń posługuje się pojęciem energii kinetycznej, potencjalnej grawitacji i potencjalnej sprężystości; opisuje wykonaną pracę jako zmianę energii; wyznacza

sprowadzić można do kilku nierozłącznych kategorii: (l) badania takie są zbędne, bo skuteczność programu można z góry zalożyć, (2) przeprowadze- nie badań

Ilość ciepła pobrana przez ciała w układzie izolowanym jest równa ilości ciepła oddanego przez inne ciała znajdujące się w tym układzie.. Energia wewnętrzna ciała może

Onyszkiewicza Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach (PWN 2004) albo jest wzorowana na zadaniach tam zamieszczonych..