ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOM ATYKA z. 134
2002 N r kol. 1554
Stanisław GAW IEJNOW ICZ, W iesław KURC*, Lidia PANKOW SKA Uniwersytet im. A dam a M ickiewicza, Poznań
PRZEJŚCIA FAZOWE W SZEREGOWANIU ZADAŃ CZASOWO- ZALEŻNYCH
Streszczenie. W pracy rozważam y złożoność problem u szeregow ania postaci 1 | p ,{t)= \+ a jt | ||C||p jako funkcję param etru p . Dowodzim y istnienia takich liczb po < pi, że w kolejnych przedziałach: (1, p0 ], (po < pi], (pi ,+<») złożoność w yrażona je st odpowiednio wzorami: 0 ( 2 ” ), 0 ( n k +nlogn), O (nlogn), gdzie k = l,2 ,...,0 (f(n )),. Wyniki te ujaw niają w ew nętrzną naturę badanego problem u dostarczając argumentów, że dla 1 ^ p < po należy oczekiwać złożoności 0 (2 ” ). Zastosow aniem rezultatów są w ielom ianowe metody przybliżone dla kryterium ||C||j = ZCj.
PHASE TRANSITIONS IN TIME-DEPENDENT SCHEDULING
S u m m ary . In the paper we study the com plexity o f the linear tim e-dependent problem 1 | P j { t ) =1 + a y | ||C||p as a function o f a param eter p . W e show that there exist num bers po < pi such that in the intervals (1, po ], (po < Pi], (pi >+0°) the com plexity is given by 0 ( 2 ” ), 0 ( n k +nlogn) and O(nlogn), respectively, for k = l,2 ,...,0 (f(n )). Such approach explains intrinsic nature o f the problem and gives a basis for construction o f approxim ate algorithms in the case o f l i c i i r s c j .
1. Wprowadzenie
W pracy rozpatrujem y problem szeregow ania zadań czasowo-zależnych, w przypadku liniowym, dla kryteriów normowych. Problem ten będzie oznaczany sym bolicznie następująco
1 | p /0 = l+ c x jt I ||C||p (1)
gdzie a j > 0 dla j = 0, 1 n, C=[CQ ,Cj,...,Cn]T, t oznacza czas startu j-tego zadania, Cqh1, Cj=Cj_| +pj(Cj_[)= 1 +ajC j.i oznaczają czasy zakończenia j-tego zadania, przy czym Oy=l+a.
dla_/=l, 2 , Symbol ||C||p oznacza norm ę H oldera (inaczej lp-normę) [10] w ektora C, to
znaczy ||C||p = ( ] T " j C j I'')' " dla 1 :£ p < +co oraz HCH«, = max {|C,-|: j=0,...,n} dla p = -fos.
Pow yższy problem szeregow ania (1) polega na wyznaczeniu takiego uszeregowania n+1 zadań, lub takiej perm utacji ciągu a , gdzie a = ( a 0, a a,,), że wartość normy ||C||p jest najm niejsza z możliwych.
Problem szeregow ania zadań czasowo-zależnych ma ju ż bogatą literaturę. Szczególny przypadek rozpatryw anego problem u dotyczący kryterium Cmax, czyli problem 1 | Pj(t)= /}■
+Ojt | \\C \\„ , gdzie aj, Pj >0 dla j - 0 ,l,..n , je st rozwiązywalny w czasie 0 (n\ogn) poprzez takie uszeregow anie zadań, że ułam ki a j/P j tw orzą ciąg nierosnący ([1], [3], [9], [14]). Znane są także wyniki dotyczące problem u (1) dla kryterium ZCj, tzn. 1 | Pj(t)= 1 +a.jt | ||C||j ([2], [4], [6], [8], [11], [12], [13]; por. też [5] i [7]). Jednak nadal nie je st znany wielomianowy algorytm rozw iązujący problem (1) dla kryterium ||C||]=ECj. Co więcej, nie m a j a k dotąd dow odu na to, że taki algorytm nie istnieje. W [12] dokonano dw óch istotnych spostrzeżeń.
Po pierw sze, w arunkiem koniecznym na to, aby ciąg a = ( a Q, a a tt) tworzył optymalne uszeregow anie dla kryterium ||C ||j= £C j, je s t to, aby był V -ciągiem ([4], [12]). Po drugie, najlepszą strategią, także w przypadku ciągu optymalnego, jest, aby zadanie odpowiadające m aksym alnem u elem entow i w ciągu było przetwarzane w pierwszej kolejności. Oznacza to, że bez zm niejszenia ogólności zaw sze m ożem y przyjm ować, że a Q je st największym elem entem ciągu a i rozpatrywać jedynie perm utacje pozostałych elem entów ciągu a w celu w yznaczenia optym alnego uszeregow ania zadań.
W pracy przedstaw iam y metodę, która wypełniając lukę dotyczącą statusu problemu (1) dla pośrednich kryteriów normowych, czyli dla norm H oldera ||-||p, gdzie 1 < p < +«.
dostarcza dodatkowych inform acji wspierających hipotezę o wykładniczej zło żo n o ści problem u (1) dla kryterium ||C||j=ZCj. Przy okazji rozwijamy analityczne środki badania rozpatryw anego problem u oraz wskazujem y na m etodę konstrukcji przybliżonych
Przejścia fazowe w szeregowaniu.. 165
algorytmów o złożoności wielomianowej dla kryterium ||C ||j=2C j. M etody te przenoszą się na ogólniejszy przypadek 1 | Pj = Pj + otjt | ||C||(p dla tzw. norm modularnych IjCH^ w Rn+I.
W dalszym ciągu wygodniej będzie zastąpić tradycyjne oznaczenia i pisać Xj zam iast Cj , x w miejsce sym bolu C oraz przedstaw ić problem (1) w postaci matem atycznej, którą nazywać będziem y kanoniczną. Dzięki m ożliwości ustalenia pierwszego elem entu w ciągu a
= (a 0, a j , . . . , a n) ja k o mcaj{aj} (por. [12]) i rozpatrywania perm utacji tylko pozostałych elementów przyjm ijmy, że a = (aj, &2, ... An), gdzie aj = 1 + aj, aj > 1, dla j = 1, 2, ... ,n.
Problem (1) m ożna zatem zredukować do zagadnienia w yznaczania takiej permutacji i f eFIn , że([4])
llx ( a jt*)llp = n 6 n n)> (2 )
przy czym a^ oznacza tutaj perm utację n ciągu a = (aj, a2, ... ,a„), w ektor x(a7l) je st rozwiązaniem układu rów nań A ^ ) x(a7t) = d (l), gdzie d ( l) = [ l,l,...,l ] T 6 R n+1, a m acierz A(a), dla ciągu a = ( a i , a 2, ... ,an), zdefiniow ana je st następująco
■ 1 0 . . 0 0' -«1 1 . . 0 0 0 ~a2 . 0 0 0 0 ■ ~a„ 1_
W dalszym ciągu zarówno perm utację o ptym alną ja k i d o w o ln ą choć u sta lo n ą perm utację wyjściowego ciągu a oznaczać będziem y tą sam ą literą a, co nie doprowadzi do nieporozumień. N ietrudno zauważyć, że m acierz A ‘'(a) = [c,^] istnieje, przy czym Cjj= 0 dla i<j oraz cjj=cij...aj_] dla i >j gdzie 1=1,...,« oraz y = l,...,n + l. Jest to m acierz u n im odalną podczas gdy m acierz A (a) je s t M -macierzą. W ektor x(a) = [xo(a), x i(a ),...,x n(a)]T stanowi tylko inne oznaczenie w ektora C = [Co, C i,...,C n]T z problem u (1). Układ rów nań A(a) x(a) = d(l) jest m acierzow ym zapisem zw iązku rekurencyjnego x0= l, X|=a]X0+ l, x-f=a-jxj+1, ..., W n - l + l ze sform ułow ania (1) problem u określającego czasy zakończenia kolejnych zadań w rozpatryw anym porządku. Poniew aż l= x0(a)<xj(a)<...<xw(a), w ięc ||x(i2) ||c0 = x n(a).
2. Podstawowe rezultaty
N iech b = a (a q -o-cr,*,) oznacza wyjściowy ciąg a = (ai, a2, ... , an), w którym przestaw iono elem enty aq oraz aq+i. N iech x(b) oznacza rozwiązanie układu A(b) x(b) = d(l).
L e m a t 1 ([4],[6]). N iech q e {],...,n -l}. Wówczas dla i = oraz n ¿ 2
<7-1
i a q+] ~ a i/)z^ja j+ f-a il-\ >? = , >
J . 0
0 , q > i.
P oniew aż dla 1 < p < +oo norm a H óldera ||-|| je st funkcją różniczkow alną w e wnętrzu dodatniego stożka w R n+1, dlatego m ożna zastosow ać tw ierdzenie o wartości średniej. Mamy IML=IMIp+ v l|x0ll/> (y-x), gdzie r y e R " 11, x > 0 i y > 0, x9 = 0x + (1 -0)y dla pewnego 0e(O,l) natom iast V|lx9||p oznacza gradient normy ||-||p w punkcie Poniew aż w rozpatrywanym przypadku x=x(a) > 0 oraz y=x(b) > 0, w ięc także x ^ ( a ) > 0 dla j= 0 ,l,...n . Ostatecznie m ożem y otrzym ać w zór Taylora w postaci ([4], [6]) ||x(b)||p = |[x(a)||^ + V|pce(a)||p (x(b) - x(a)), gdzie x6(a) = 0x(a)+ (l-0)x(b) dla pewnego 0 e (0,1) oraz
V || 11,=
[6], [7]).
(a)
\ x ' m , j
. Stąd wynika ważny dla naszych rozw ażań lemat ([4],
L e m a t 2. Niech A(a)x(a)= d(l), A (b )x (b )-d (l)- oraz b = a (a q O ) . Wówczas dla w szystkich 1 < p <+co
11*0) II,-II *(<011 ,«
* * (« )I x \a ) || p
gdzie aj, 02, ... ,aq.i są zaw arte w pierw szej sumie, aq+2.... ,an są zaw arte w drugiej sumie w
f 9, p "-1
Xj (a )
wyrażeniu A (a, q, p ) = Y ! ^ o a J* 1 - a ?-i “ X " .ł+i a 2...a,. Elem enty aq, i aqn
w ystępują tylko w (aq - aq+i). Jeśli p = +oą to ||x 0 ) l l , - | | x ( a ) | | ;,= ( a , - a , +, ) - < V i - a«
Przejścia fazowe w szeregowaniu.. 167
Jako wniosek otrzym ujem y tw ierdzenie stanowiące pierwszy etap naszych rozważań.
Twierdzenie 1 ([4],[6],[7]). Niech 1 < p <+oo oraz niech a Jest uporządkowaniem wyjściowego ciągu realizującym minimum dla kryterium ||xfa^l||p (zrelZ ) w rozpatryw anym zagadnieniu (2). Wówczas dla każdego q = l,2 ,....,n -l istnieje 9 e (0,1) takie, że albo
0) a q*\ ~ a q ^ ® 0raz A(°> p ) - 0 alb°
(ii) fl,+ l - a ? > 0 oraz A (a ,q , p ) ź O , gdzie wyrażenie A(a,q,p) zostało zdefiniowane w Lem acie 2.
Dowód. Skoro ||x(a)||p osiaga najm niejszą z m ożliwych w artości, to dla dowolnej transpozycji b = a (a q a qt]) w ciągu a otrzym ujem y ||x(b)||p - ||x(a)||p > 0. T eza wynika wprost z Lem atu 2.
.
X1
(a)W dalszym ciągu niezbędne s ą jednostajne oszacow ania ułam ków postaci — ---- Xq{a) występujących w wyrażeniu A(a,q,p). Zachodzi następujący Lemat.
Lemat 3 ([4],[6]). Istnieje a„ (a) > 1, niezależne o d 6, j oraz q ( j > q) takie, że spełniona je s t nierówność
. A (a )
1 + cr; ( a ) < — — < o -ja ).
A («)
W szczególności m ożna przyjąć, że a n (a) = m axxtn_ || x ( a !r)\\p , czyli m aksym alną z możliwych wartości rozpatryw anego kryterium uszeregowania.
Na mocy tych oszacow ań oraz Tw ierdzenia 1 otrzym ujem y wynik dotyczący istnienia wspomnianych wyżej liczb 1< po < pi < +°o, stanowiących punkty przejść fazowych (rys. 1).
Twierdzenie 2 ([4],[6],[7]). Istnieją liczby po, p i spełniające w arunek 1 < po < p i < +oo takie, że: (i) dla wszystkich p i < p < +<x> (skończonych lub nie) problem (2) dla kryterium || j | może być rozw iązany w czasie O(nlogn); (ii) dla wszystkich I ś p ś po problem (2) dla kryterium ||-|| może być rozw iązany w czasie 0 ( 2 n) (lub w czasie wielomianowym, o ile taki algorytm istnieje).
Aby dokładniej zbadać złożoność problem u (2) dla kryterium ||-|| przy po < p < pi, należy dokładniej zbadać zachowanie się funkcji A(a,q,p), uw zględniając w szystkie m ożliw e
perm utacje ciągu a = (ai, a2, ... ,a„) oraz w szelkie nie znane a priori wartości parametru 0 e [0,1]. Z uwagi na obecność w ielu technicznych lematów przedstawim y m etodę postępowania w ykorzystując poniższy szkic (rys. 1). N a osi poziomej odłożono wartości parametru q = l,2 ,...,n -l zw iązanego z transpozycjam i b = a (a q a ł+l) optymalnego dla kryterium ||-|
ciągu a. Zw racam y uw agę na trudność polegającą na tym, że mówiąc o perm utacji optymalnej jeszcze nie wiemy, ja k a konkretnie wartość param etru p je st rozpatrywana. N a osi pionowej odłożono w artości param etru 1 < p < +co.
K rzyw a G obrazuje m iejsca zerowe funkcji ( q ,p ) —> A { a „ ,q ,p ) dla konkretnej perm utacji 7t e n n, podczas gdy wyraźniej zaznaczone krzywe F obrazują górne i dolne obw iednie tych m iejsc zerowych. Ich przebieg je st ju ż niezależny od 0 e [0,1].
Rys. 1.Obwiednie miejsc zerowych funkcji D(a,q,p) Fig. l.Enveiopes of zéros of the functions D(a,q,p)
O bw iednie te w yznaczam y obliczając explicite m iejsca zerowe dla minoranty i m ajoranty funkcji ( q ,p ) - > A ( a „ ,q ,p ) . M inoranty i m ajoranty tej funkcji uzyskujemy na podstaw ie oszacow ań z Lem atu 3. M ożna pokazać, że te obw iednie m ożna wyznaczył punktow o w sposób dokładny w czasie 0 ( n log n), poprzez odpowiedni wybór permutacji wyjściow ego ciągu a ([7]). Skoro tak jest, to m ożem y ta k ą w artość pi< górnej obwiedni wyznaczyć w punkcie q = n-k+ l, odległym o k punktów (k transpozycji) od q = n-l (k = 0,l,2,...). Zw racam y uwagę, że biorąc teraz p k < p < p x oraz odpowiadające®
kryterium norm ow e ||-|| w (2) możemy przecinać (dzięki opisanej konstrukcji) zbiór miejsc zerowych funkcji ( q ,p ) - > A ( a x , q , p ) , a zatem i zbiór m iejsc zerowych dla przypadto optymalnej perm utacji n , w ten sposób, że na prawo od punktu H (rys. 1) pozostaje zawsze nie więcej punktów niż w przypadku punktu B - czyli co najwyżej k punktów. Zwracam)
Przejścia fazowe w szeregowaniu... 169
także uwagę, że liczbę tych punktów k wybieramy a priori i dlatego będzie ona swoistym regulatorem złożoności dla wspom nianych wyżej kryteriów norm owych w (2).
Wniosek ten je s t kluczow y dla naszej metody. W obec Tw ierdzenia 1 fakt przecinania linią poziomą m iejsc zerowych funkcji ( q ,p ) —» A (a „ ,q ,p ) dla optymalnej perm utacji n ciągu a oznacza, że na lewo od tego punktu przecięcia (to znaczy dla q mniejszych) funkcja A(ax,q ,p ) przyjm uje w artości ujem ne, co w obec optymalności ciągu a = a„, a w ięc i nierówności ||x(b)|| - ||x(a)||p > 0, pociąga konkluzję, iż ciąg optymalny a = a . dla tych wartości q musi być m alejący. Odwrotnie, na prawo od tego punktu przecięcia (dla q większych) A(a x , q , p ) przyjm uje wartości dodatnie, a w ięc ponow nie w obec optymalności rozpatrywanego ciągu (tj. wobec |jx(b)|tp - ||x(a)||p > 0, przy w szystkich transpozycjach b = a(aq -o -a ł+| ) ) na mocy Tw ierdzenia 1 otrzymujemy, że druga część optym alnego ciągu a = a„ musi być niemalejąca. O znacza to, że optym alna perm utacja m usi być V-ciągiem.
W rozpatrywanym jed n ak przypadku, ustalając k = 0,l,2,... i rozpatrując kryterium normowe ||-|| w (2), dla p k < p < p ] , doprowadzamy do tego, że wynikający optymalny V- ciąg będzie miał p raw ą gałąź utw orzoną z co najwyżej k= 0,l,2,... elementów. Będziem y takie ciągi nazywać Vk-ciągami. O znacza to, że dla kryterium ||-|| w (2) { p k < p < p {) wystarczy wyznaczyć wszystkie V k-ciągi. Takie V k-ciągi m ożna wyznaczyć w czasie 0 ( n k +«logn).
Istotnie, najpierw porządkujem y wyjściowy ciąg a w porządku nierosnącym , a następnie kosztem 0 (n k) operacji w yznaczam y wymagane Vk-ciągi. Stąd w ynika w spom niana wyżej złożoność. Otrzymujemy ostatecznie następujące istotne uzupełnienie T w ierdzenia 2.
Twierdzenie 3 ([7]). Niech dany będzie ciąg a = (a/, a2, ... ,a„) taki, że a, > 1 oraz rozw ażm y liczbę naturalną k ta k ą że q k = n - k + 1 je s t dostatecznie bliskie n-1. Wówczas istnieją takie liczby 1 < po < p i < +co, które wyznaczyć można w czasie 0(nlogn), że
(i) jeśli 1 < p < p 0, to problem (2) dla kryterium ||*|| może być rozw iązany w czasie co najwyżej 0(2 n),
(ii) jeśli p k < p < p u to problem (2) dla kryterium ||-|| może być rozw iązany w czasie 0(nk +nlogn),
(iii) jeśli p i < p < +ao (p skończone lub nie), to problem (2) dla kryterium ||-|| m oże być rozwiązany w czasie O(nlogn).
3. Uwagi końcowe
Założenie, że qk = r t - k + 1 je st dostatecznie bliskie n-1, oznacza na rys. 1, że dolna obw iednia F przecina oś q pom iędzy q = l i q=n-l i że rozpatrujem y tylko ten zakres wartości q, dla których ta obw iednia je st dodatnia. M ożna udow odnić ([7]), że funkcja (q, p ) - y A(a „ ,q ,p ) je s t dodatnia dla q= n-l przy dowolnej perm utacji n. A zatem założenie to zaw sze je s t spełnione. Z drugiej strony praktyczne znaczenie m a ją tylko m ałe wartości param etru k, gdyż oznaczają m niejszą złożoność algorytmu polegającego na wyznaczeniu w szystkich V k-ciągów.
Jeżeli param etr p dla kryterium ||-||p w zagadnieniu (2) zm niejsza sw oją wartość, począw szy od p = +oo do wartości p = 1, to złożoność problem u je st stała do pewnego m om entu i w ynosi O(nlogn). Jeśli p je s t nie w iększe od pi, to przy dalszym zmniejszaniu p złożoność pow iększa się zgodnie ze w zorem 0 ( n k+nlogn) dla k = l,2 ,.... Jeśli k je st niezależne od n, m am y oczywiście do czynienia ze złożonością wielom ianową. Jednak nie można wykluczyć, że w arunek: " q k = n - k + 1 je st dostatecznie bliskie n-1" je st spełniony nawet
wtedy, gdy k = l,2,...,C >(/(n)), gdzie np. / ( « ) = O znacza to, że w końcu (z dokładnością
do odpow iedniego czynnika, zależnego od n) dochodzim y do złożoności 0 ( 2 n). Powyższa obserw acja dotycząca możliw ości przyjm ow ania przez k wartości zależnych od n jest argum entem na to, iż problem (2), a zatem i problem (1), dla kryterium ||C||j=ZCj ma
aktualnie przestrzeń poszukiw ań rozw iązań optymalnych o mocy rzędu 0 ( 2 n ). Oczywiście nie w yklucza to istnienia algorytm u wielom ianowego rozw iązującego ten problem .
Przedstaw ione rozw ażania (por. też [7]) um ożliw iają konstrukcję wielomianowych algorytm ów przybliżonych (zam iast norm y ||-||j rozpatrujem y normy H óldera ||-||p) o złożoności 0 ( n +nlogn), z regulatorem tej złożoności k -l,2 ,...,0 ( f( n )) poprzez konstrukcję w szystkich V k-ciągów.
*) Adres do korespondencji: Uniwersytet im. A. Mickiewicza, Wydział Matematyki i Informatyki, 61-611 Poznań, Umultowska 87. e-mail: wkurc@main.amu.edu.pl
Przejścia fazowe w szeregowaniu... 171
LITERATURA
1. Browne S., Yechiali U.: Scheduling deteriorating jo b s on a single processor. O perations Research, 38, 1990, s. 495-498.
2. Chen Z-L.: Parallel m achine scheduling with tim e dependent processing tim es. Discrete Applied M athem atics, 70, 1996, s. 81-93.(Erratum: Discrete A pplied M athem atics, 75, 1996, p .103).
3. Gupta J.N.D., G upta S.K.: Single facility scheduling w ith nonlinear processing tim es.
Computers and Industrial Engineering 14,1988, s. 387-393.
4. Gawiejnowicz S., K urc W., Pankow ska L., Suwalski C.: Approxim ate solution o f tim e- dependent scheduling problem for lp-norm based criteria. In: Fleischm ann B. et al. (eds), Operations Research OR2000. Springer, Berlin, 2001, s. 372-377.
5. Gawiejnowicz S., Kurc W., Pankow ska L.: Bicriterion approach to a single m achine time- dependent scheduling problem . In: Chamoni P. et al. (eds.), Operations Research Proceedings 2001. Springer, Berlin, 2002, s. 199-206.
6. Gawiejnowicz S., K urc W ., Pankow ska L.: Approxim ate 0 ( n log n) solution o f linear time-dependent scheduling problem subject to the total com pletion tim e m inim ization.
Report No. 113, 2001, Faculty o f M athem atics and Com puter Science, Poznań, Poland.
7. Gawiejnowicz S., K urc W ., Pankow ska L.: A Linear D eterioration and Phase Transitions.
Report No. 114,2002, Faculty o f M athem atics and Com puter Science, Poznań, Poland.
8. Gawiejnowicz S., Lai T-C, Chiang M-H.: Polynom ially solvable cases o f scheduling deteriorating jo b s to m inim ize total com pletion time. In: Brucker P., et al. (eds.): Seventh International W orkshop on Project M anagem ent and Scheduling. Extended Abstracts, University o f Osnabriick, 2000, s. 131-134.
9. Gawiejnowicz S., Pankow ska L.: Scheduling jo b s w ith varying processing tim es.
Information Processing Letters, 54, 1995, s. 175-178.
10. Hirsch F., Lacom be G.: Elements o f Functional Analysis. Springer, Berlin 1999.
11. Kononov A.: Scheduling problem s w ith linear increasing processing tim es. In:
Zimmermann U. et al. (eds), Operations Research 1996. Springer, Berlin 1997, s.208-212.
12. Mosheiov G.: V -shaped policies for scheduling deteriorating jobs. O perations Research, 39,1991, s. 979-991.
13. Mosheiov G.: Scheduling jo b s under sim ple linear deterioration. Com puters and Operations Research, 2 1 ,1 9 9 4 , s. 653-659.
14. Tanaev V .S., G ordon V.S., Shafransky Y.M.: Scheduling Theory. Single-stage Systems.
Kluwer, D ordrecht 1994.
Recenzent: Dr hab. inż. C zeslaw Smutnicki
A b stra c t
In this paper (cf. [4], [7]) w e study a tim e dependent scheduling problem for norm-based criteria. The problem can be denoted shortly as
1 |
Pj{ t ) = \ + a f| l|C||p (1)
w here a > 0 , C = [C0,C ,,...,C n], C0= l, Cf=Cj.x+pJ{Cj .{ ) r \+ a £ j.\ w ith ay=l+ay- (ay- > 1) and j= 0, 1 ,2 ,...,« w here t is the starting tim e o f a job. The optim ization is carried over all perm utations o f a given sequence a = ( a 0, .. ., a n). It is well know n ([1],[3],[9]) that a single m achine scheduling problem 11 pj(t)=$j+a.jt\ jCH^, w here a j, P^>0 for 7= 1,2 ,...,« , is solvable in Ofnlogn) tim e by scheduling the jo b s in an nonincreasing order o f clJ $j ratios. Hence, to get the m inim um o f the com pletion tim e ||CH00=C„ in (1) it is sufficent to arrange the sequence a = (a 0, ...,a n) in an nonincreasing way, w hich can be done in O(rtlogn) time.
How ever, an efficient (i.e. polynom ial-tim e) algorithm for solving the problem (1) with
||C ||i=EC j is not known.
Our first goal in this paper is to fill the gap betwen the opposite norm criteria HCH^ and
||C ||,. W e call this shortly a ’’phase transition” since the interm ediate norm s ||j| link quite different states o f the com plexity: polynom ial for HCjl^ and the (actually recognized) com plexity 0 (2 ") for ||C|| j criteria. O ur main result in this direction is the following theorem.
T h e o re m . L et a= (al , . . . , a f be such that a > l . L et m oreover a natural num ber k be such that q i = n - k + \ is sufficiently close to n-1. Then there exist numbers 1 < po < P i < +c0, which can be determ ined in O(nlogn) time, such that
(i) i f 1 <p <po,, then the problem (1) can be solved in at m ost 0 (2 n) time, (ii) i f p k < p < p {, then the problem (1) can be solved in 0 (n k +nlogn) time, (iii) i f p i < p < +oo, then the problem (1) can be solved in O(nlogn) time.
N ext, since w e cannot exclude the case w hen ¿ = 0,1,2,..., n we conclude that the
_2_
com plexity o f the problem (1) can increase according to the form ula 0 ( n k +nlogn) to 0(2n) (clearly up to som e, dependent on n, coefficient). This is our argum ent on the final com plexity (i.e. 0 ( 2 n )) o f the problem (1) w ith ||C ||j=E C j.
Finally, by careful study o f envelopes o f prescribed functions related to our norm-related measures, we obtain a fam ily o f approxim ate but polynom ial-tim e algorithm s solving the problem (1) w ith ||C||j=ECj. These algorithms are based on the construction o f V-shaped sequences w ith k-elem ents (k=0,l,2,...) right branch. In this way w e obtain 0 ( n k +nlogn) elem ent set o f such V -shaped sequence in w hich optim al solution can be easily identified.
