Wykład 3 - całki oznaczone, zastosowania, całki niewłaściwe
Definicja 1. Ciąg podziałów przedziału ha, bi punktami: a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b, nazywamy ciągiem normalnym podziałów, gdy limx→∞δn= 0, gdzie
δn= max|xk− xk−1| = max1≤k≤n|∆xk| - średnica podziału
Definicja 2. Niech funkcja f będzie określona i ograniczona na przedziale ha, bi.
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału ha, bi istnieje taka sama właściwa granica (niezależna od wyboru punktów x∗k∈ hxk−1, xki):
n→∞lim
n
X
k=1
f (x∗k)∆xk,
to tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale ha, bi. Symbolicznie:
Z b a
f (x)dx = lim
n→∞
n
X
k=1
f (x∗k)∆xk,
Ponadto przyjmujemy:
Z a a
f (x)dx = 0, oraz Z a
b
f (x)dx = − Z b
a
f (x)dx, dla a < b
Interpretacja geometryczna
Niech f (x) > 0 i ciągła na ha, bi. Wtedy Z b
Twierdzenie 1. Funkcja ciągła na ha, bi jest całkowalna.
Twierdzenie 2. [liniowość całki] Niech funkcje f i g będą całkowalne na ha, bi i α, β ∈ R. Wtedy:
Z b a
(αf (x) + βg(x))dx = α Z b
a
f (x)dx + β Z b
a
g(x)dx.
Twierdzenie 3. [addytywność całki] Niech funkcja f będzie całkowalna na ha, bi i c ∈ (a, b). Wtedy:
Z b a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
Twierdzenie 4. [ Newtona - Leibniza]
Jeżeli funkcja f jest ciągła na ha, bi, to Z b
a
f (x)dx = F (b) − F (a) gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na ha, bi.
Przykłady:
Definicja 3. [wartość średnia]
fsr´ = 1 b − a
Z b a
f (x)dx Przykład:
Całka funkcji nieparzystej f (x):
Z a
−a
f (x)dx = 0
Całka funkcji parzystej f (x):
Z a
−a
f (x)dx = 2 Z a
0
f (x)dx
ZASTOSOWANIE CAŁEK Obliczanie pól
Niech funkcje f i g będą ciągłe na ha, bi i niech f (x) < g(x) dla każdego x ∈ (a, b). Pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x = a i x = b wyraża się wzorem:
|D| = Z b
a
(g(x) − f (x))dx Przykład:
Obliczanie długości łuku
Definicja 4. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie nazywamy linię o równaniach parametrycznych:
x = x(t), y = y(t) , t ∈ hα, βi, gdzie x(t) i y(t) są to funkcje ciągłe, przy czym różnym wartościom
Rysunek
WZÓR NA DŁUGOŚĆ ŁUKU:
|l| = Z β
α
r (dx
dt)2+ (dy
dt)2dt. (∗)
Gdy łuk jest wykresem funkcji y = f (x), x ∈ ha, bi to wzór (∗) przyjmuje postać:
|l| = Z b
a
r 1 + (dy
dx)2dx.
Przykład:
Pole powierzchni obrotowej
Niech funkcja nieujemna y = f (x) ma ciągłą pochodną na przedziale ha, bi. Pole powierzchni S powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyraża się wzorem:
|S| = 2π Z b
a
f (x) r
1 + (dy dx)2dx.
Rysunek
Przykład:
Objętość bryły obrotowej
Niech funkcja nieujemna y = f (x) będzie ciągła na przedziale ha, bi. Nie T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f , osią Ox oraz prostymi x = a i x = b. Trapez T obraca się wokół osi Ox i wyznacza bryłę V . Jej objętość wyraża się wzorem:
|V | = π Z b
a
f2(x)dx.
Rysunek
Przykład:
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Definicja 5. [ całki niewłaściwej I rodzaju] Niech funkcja f będzie całkowalna na ha, T i, dla każdego T > a.
Z ∞ a
f (x)dx = lim
T →∞
Z T a
f (x)dx Rysunek:
Jeżeli granica po prawej stronie jest skończona, to mówimy że całka niewłaściwaR∞
a f (x)dx jest zbieżna.
Jeżeli granica ta nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka nie istnieje lub jest rozbieżna.
Analogicznie gdy x ∈ (−∞, ai:
Z a
−∞
f (x)dx = lim
T →−∞
Z a T
f (x)dx Przykład:
Całkę niewłaściwą na (−∞, +∞) określamy następująco:
Z +∞
−∞
f (x)dx = Z a
−∞
f (x)dx + Z +∞
a
f (x)dx
Definicja 6. [ całki niewłaściwej II rodzaju] Niech funkcja f : (a, bi → R będzie nieograniczona na S+(a, δ) oraz całkowalna na ht, bi, dla każdego t ∈ S+(a, δ).
Z b a
f (x)dx = lim
t→a+
Z b t
f (x)dx
Analogicznie gdy f : ha, b) → R i f - nieograniczona w S−(b, δ):
Z b a
f (x)dx = lim
t→b−
Z t a
f (x)dx Przykład:
