m , połączone linkami zawieszone są na 2 bloczkach jak na rysunku. Jakie

Fizyka I (mechanika), rok akad. 2011/2012 Zadania z kolokwium I

Zadanie 1 (zadanie domowe, seria II)

Masy m ,

m i

m , połączone linkami zawieszone są na 2 bloczkach jak na rysunku. Jakie

muszą być spełnione warunki, aby możliwe było osiągnięcie stanu równowagi? Jakie będą kąty α ⁱ β pomiędzy linkami i pionem w sytuacji, kiedy układ będzie w równowadze?

m₁

m₂

m₃ α β

Rozwiązanie:

W równowadze wypadkowe siły działające na każdą z 3 mas muszą znikać. Stąd wniosek, że siła naciągu lewej nici musi wynosić N

= m

g , zaś prawej N

= m

g . Równowaga masy środkowej wymaga znikania zarówno poziomej jak i pionowej składowej siły wypadkowej:

β

α ^sin

sin

1

g m g

m = (1)

g m g

m g

m

cos α +

cos β =

⁽²⁾

Upraszczając oba równania przez g i podnosząc (1) do kwadratu otrzymujemy:

2 3 2 1 2 2

3 2 2

1

cos m cos m m

m α − β = − ⁽³⁾

2 3

1

cos m cos m

m α + β = ⁽⁴⁾

Lewa strona równania (3) jest różnicą kwadratów 2 wyrażeń, wobec tego równanie to można zapisać jako:

2 3 2 1 2 3

1 3

1 3

1

cos cos )( cos cos ) ( cos cos )

( m α − m β m α + m β = m α − m β ⋅ m = m − m

Stąd łatwo już doprowadzić do rozwiązania:

3 2

2 3 2 1 2 2 1

2

2 3 2 1 2 2

cos 2 cos 2

m m

m m m m

m m m

m + − = − +

= β

α ⁽⁵⁾

Pierwszy warunek umo ż liwiaj ą cy wyst ą pienie równowagi wynika z równania (4). Poniewa ż oba cosinusy musz ą by ć nie wi ę ksze od 1 (i nieujemne), to:

2 3

1

m m

m + ≥ (6)

Poza tym, skoro oba cosinusy nie mog ą by ć ujemne, to z (5) wynika, ż e ż adna z mas m

i m

nie mo ż e by ć zbyt du ż a:

2 1 2 2 2 3

2 3 2 2 2 1

m m m

m m m

+

≤ +

≤ (7)

Maksymalna warto ść masy m

mo ż e by ć równa m

+ m

. Łatwo pokaza ć , ż e wtedy cos α = 1

i cos β = 1 ^{, a wi} ę c α = 0 ⁱ β = ⁰ . Z kolei nie ma ograniczenia od dołu na mas ę m

. Wtedy

jednak, dla m

→ 0 zwi ą zki (7) prowadz ą do m

= m

.

Zadanie 2a

W polu grawitacyjnym o przyspieszen iu g wystrzelono z działa pod kątem α pocisk z prędkością początkową v

. Po jakim czasie należy wystrzelić drugi pocisk w tych samych warunkac h aby w pewnej chwili znalazły się jednocześnie na tej samej wysokości h (mniejszej niż wysokość maksymalna)? Jaka będzie wtedy odległość miedzy pociskami?

Wykonaj obliczenia dla α=30

, v

=1000m/s, h=8km.

Zadanie 2b

W polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g wystrzelono z działa pod kątem α pocisk z prędkością początkową v

. Po jakim czasie należy wystrzelić drugi pocisk w tych samych warunkach aby w pewnej chwili znalazły się jednocześnie na tej samej wysokości h (mniejszej niż wysokość maksymalna)? Jaka będzie wtedy odległość miedzy pociskami?

Wykonaj obliczenia dla α=60

, v

=600m/s, h=9km.

Rozwiązanie

Niech oś y będzie skierowana ku górze, mamy wówczas: ( )

2

2 0

t gt v t

y = −

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Z żądania y(t

) = h wyznaczamy czas po jakim pierwszy pocisk znajdzie się na wysokości h - pierwszy raz wznosząc się (znak minus), drugi raz opadając (znak plus):

( ^{v v gh} )

t g 1 sin

sin

2

0 0

1

= α ± α − , Czas po jakim należy wystrzelić drugi pocisk to różnica

czasów z plusem i minusem: v gh

t g 2

sin

2

0

−

=

∆ α , a wartości liczbowe:

A: t 20 8000 [ s ] 0 , 2 25 10 16 10 [ s ] 0 , 2 300 s 60 s 4

10 100 10

2

− ⋅ = ⋅

− ⋅

= ⋅ =

=

∆

km t

v

x =

cos ⋅ ∆ = 10

⋅ 3 / 2 ⋅ 60 = 52

∆ α

B: t 20 9000 [ s ] 0 , 2 27 10 18 10 [ s ] 0 , 2 300 s 60 s 4

3 10 36 10

2

=

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅ −

=

∆

km t

v

x =

cos ⋅ ∆ = 600 ⋅ 1 / 2 ⋅ 60 = 18

∆ α

Zadanie 3 AB (FMiNI) 

Wahadło balistyczne to drewniany klocek o masie M zawieszony na nieważkiej nici w ziemskim polu

grawitacyjnym. Wahadło wychylono o pewien kąt a następnie puszczono. W chwili, gdy klocek znajdował się w położeniu minimum, w zaniedbywalnie krótkim czasie wbił się w niego pocisk o masie m, nadlatując z przeciwnego kierunku (zwroty prędkości klocka i pocisku były przeciwne). Ile razy większa była prędkość pocisku w stosunku do prędkości klocka w położeniu minimum, skoro całość powróciła do wyjściowego wychylenia? Wartości liczbowe: m = 4g, M =498g.

v

v

M

, v

m r

v r

3B: m = 2g, M =399g.

Rozwiązanie:

Oznaczmy prędkość klocka w położeniu minimum przez v

. Dygresja: oczywiście v

= 2gh, gdzie h jest wysokością względem położenia minimum, na jaka podniósł sie klocek wskutek wychylenia ale to nie jest potrzebne do rozwiązania. Niech v

oznacza prędkość pocisku w chwili zderzenia a v

– prędkość całości po tym zderzeniu. Prawo zachowania pędu w przypadku zderzenia zachodzącego w punkcie minimum ma wiec postać:

( )

1

2

Mv m M v

mv − = + ,

Skoro zadamy aby całość wróciła do położenia wyjściowego wahadła, czyli podniosła sie (na nici) na tę samą wysokość, to musi zachodzić: v

= v

i stad otrzymujemy wynik:

( )

1

2

Mv m M v

mv − = +

co daje

2

m v m

v M +

= i odpowiednio wartości liczbowe:

A:

250

4

1000 v v

v = = i B:

400

2

800 v v

v = =

Zadanie 3 B (Fizyka)

Wahadło balistyczne to drewniany klocek o masie M zawieszony na nieważkiej nici w ziemskim polu grawitacyjnym. Wahadło wychylono o pewien kąt odpowiadający wzniesieniu się klocka na wysokość h względem położenia minimum, a następnie puszczono. W chwili, gdy klocek znajdował się w położeniu minimum, w zaniedbywalnie krótkim czasie wbił się w niego

M

, v

m r

v r

h

pocisk, nadlatując z przeciwnego kierunku (zwroty prędkości klocka i pocisku były przeciwne).

Stosunek masy klocka do masy pocisku wynosi γ. Ile wynosiła prędkość pocisku v

, skoro całość wzniosła się na wysokość h

? Wartości liczbowe: h = 10 cm, h

= 20cm, γ = 5, g ≈ 10m/s

.

Rozwiązanie Zad. 3A i 3B:

Oznaczmy prędkość klocka w położeniu minimum przez v

. Oczywiście v

=

2gh, gdzie h jest wysokością względem położenia minimum, na jaka podniósł sie klocek wskutek wychylenia ale to nie jest potrzebne do rozwiązania. Niech v

oznacza prędkość pocisku w chwili zderzenia a v

– prędkość całości po tym zderzeniu. Prawo zachowania pędu w przypadku zderzenia zachodzącego w punkcie minimum ma wiec postać:

( )

1

2

Mv m M v

mv − = + ,

Oczywiście v

= 2gh

, więc

Skoro zadamy aby całość wróciła do położenia wyjściowego wahadła, czyli podniosła sie (na nici) na tę samą wysokość, to musi zachodzić: v

= v

i stad otrzymujemy wynik:

( )

2

M 2 gh m M 2 gh

mv − = + , skąd otrzymujemy wynik

( )

2

M 2 gh m M 2 gh

mv = + + , co daje wartości liczbowe →

A: v

= 5 2 ⋅ 10 ⋅ 3 , 2 / 100 + 6 2 ⋅ 10 ⋅ 5 / 100 = 5 0 , 64 + 6 1 = 10 m / s

B: v

= 5 2 ⋅ 10 ⋅ 20 / 100 + 6 2 ⋅ 10 ⋅ 45 / 100 = 5 4 + 6 9 = 28 m / s

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2011/2012)

Kolokwium 14.11.2011

Pytania testowe (A)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. Jakajestli zbazarejestrowany hrozpadówpotrzebnadowyzna zeniaaktywno± i¹ródeªkapromieniotwór-

zego zbªdem statysty znym 10%

A 10 B 100 C 50 D 25

2. Samo hódstartuj¡ y zestaªym przyspieszeniem osi¡ga 25m/sw i¡gu8sekund. Jak¡ drogpokonujew

tym zasie?

A 200m B 100m C 160 m D 80m

3. Je±li masa iaªa poruszaj¡ ego si podwpªywem siªy spr»ysto± i wzro±nie zterokrotnie to okresdrga«

bdzie

A zteryrazy wiksze B dwa razy wikszy C nie zmienisi D dwarazy mniejsze

4. Wahadªomatematy zne odªugo± i 1mmaokresdrga« okoªo 2s. Jaka jestdªugo±¢ wahadªa ookresie 1s

A 25 m B 50 m C 140 m D 70 m

5. Ciaªo spo zywana równi na hylonej pod k¡tem

α

A

Q cos α

Q

Q sin α

X

X X

X

X

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2011/2012)

Kolokwium 14.11.2010

Pytania testowe (B)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. Jakajestli zbazarejestrowany hrozpadówpotrzebnadowyzna zeniaaktywno± i¹ródeªkapromieniotwór-

zego zbªdem statysty znym 20%

A 20 B 100 C 10 D 25

2. Samo hódstartuj¡ y zestaªym przyspieszeniem osi¡ga 40m/sw i¡gu8sekund. Jak¡ drogpokonujew

tym zasie?

A 200m B 80m C 160m D 100m

3. Je±li masa iaªa zwikszy sidwukrotnieto jego przyspieszenie poddziaªaniem ustalonejsiªybdzie

A zteryrazy wiksze B dwa razy mniejsze C takiesamo D dwarazy wiksze

4. Wahadªomatematy zne odªugo± i 1mmaokresdrga« okoªo 2s. Jaka jestdªugo±¢ wahadªa ookresie 4s

A 140 m B 2 m C 4m D 70 m

5. Ciaªo spo zywana równi na hylonej pod k¡tem

α

A

µ

Q

µ

Q sin α X

Q sin α

µ

Q cos α

X X

X

X