Mechanika o´srodków ci ˛ agłych
Fizyka I (Mechanika)
Wykład XIII:
• Bryła sztywna: tensor momentu bezwładno´sci
• Statyka cieczy
• Prawo Bernouliego
• Lepko´s´c
Zyroskop ˙
Równowaga
L
“Waga”: ci ˛e˙zar ˙zyroskopu jest zrównowa˙zona przez odpowiednio dobrane ci ˛e˙zarki.
Je´sli ˙zyroskop jest w równowadze przy L = 0 ~ to b ˛edzie tak˙ze w równowadze dla L 6= 0 ~
Jak zachowa si ˛e ˙zyroskop gdy zwi ˛ekszymy
lub zmniejszymy “przeciwwag ˛e” ?
Zyroskop ˙
Precesja
zwi ˛ekszone obci ˛ a˙zenie
L M r
ω p
F
zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ˛ ac os góry)
zmniejszone obci ˛ a˙zenie (przypadek b ˛ aka)
L M r
ω p
F
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Cz ˛esto´s´c precesji ω p = mrg L ⇒ proporcjonalna do dodanej/brakuj ˛ acej masy
Zyroskop ˙
Precesja
ω p L p
L z
L Θ
Niech moment p ˛edu zrównowa˙zonego
˙zyroskopu wynosi L. ~
Co si ˛e dzieje gdy zdejmiemy jeden ci ˛e˙zarek ?
Warto´s´c całkowitego moment p ˛edu nie ulega zmianie, gdy˙z moment siły ci ˛e˙zko´sci jest prostopadły do L. ~
Obrót ˙zyroskopu z cz ˛esto´sci ˛ a ω p wzgl ˛edem pionowej osi ⇒ moment p ˛edu L ~ p = ω p I p . Aby całkowity moment p ˛edu nie uległ zmianie, o´s ˙zyroskopu musi si ˛e nachyli´c o k ˛ at:
θ ∼ L p
L = mrgI p L 2
Du˙ze L ⇒ θ → 0 ( L p mo˙zna pomin ˛ a´c) Małe L ⇒ ˙zyroskop/b ˛ ak wywraca si ˛e...
Moment p ˛edu
Do tej pory rozpatrywali´smy wył ˛ acznie ruch obrotowy wzgl ˛edem ustalonej osi.
Naogół była to o´s symetrii bryły, lub o´s do niej równoległa.
W ogólnym przypadku problem jest bardziej skomplikowany
Przykład - dwa wiruj ˛ ace ci ˛e˙zarki Ci ˛e˙zarki w jednej płaszczy´znie ⊥ osi
L
ω
S
O´s obrotu jest osi ˛ a symetrii L k ~ ~ ω
Ci ˛e˙zarki rozsuni ˛ete wzdłu˙z osi obrotu
S ω
L
O´s obrotu nie jest osi ˛ a symetrii ⇒ L/|| ~ ~ ω
L ~ i = m i ~ r i × ~v i ⊥ ~ r i
Moment p ˛edu
Przykład II
Dysk wiruj ˛ acy wokół osi nachylonej do osi symetrii Pr ˛edko´s´c k ˛ atow ˛ a mo˙zemy rozło˙zy´c na
składow ˛ a równoległ ˛ a i prostopadła do osi symetrii
ω ω ω
~
ω = ~ ω ⊥ + ~ ω k
Moment bezwładno´sci dysku: (wykład 12)
I ⊥ = 1
mr 2 I k = 1
mr 2 = 1 I ⊥
Moment p ˛edu dysku
L = ~ ~ L ⊥ + ~ L k
= I ⊥ ~ ω ⊥ + I k ~ ω k
= I ⊥
~
ω ⊥ + 1 2 ~ ω k
L ω
L L
L/|| ~ ~ ω
Moment p ˛edu
W ogólnym przypadku bryła sztywna mo˙ze nie mie´c ˙zadnej osi symetrii.
Jak wtedy wyznaczy´c moment p ˛edu, znaj ˛ ac pr ˛edko´s´c k ˛ atow ˛ a ~ ω ?
Zdefinicji momentu p ˛edu:
L = ~ X
i
m i ~ r i × ~v i
Z definicji bryły sztywnej:
~v i = ~ ω × ~ r i
Otrzymujemy:
L = ~ X
i
m i ~ r i × (~ ω × ~ r i ) = X
i
m i h ω ~ r i 2 − ~ r i (~r i ~ ω) i
korzystamy z to˙zsamo´sci wektorowej: A × ~
B × ~ ~ C
= ~ B
A · ~ ~ C
− ~ C
A · ~ ~ B
Kierunek L ~ zale˙zy od kierunku ~ ω jak i poło˙ze ´n poszczególnych elementów bryły ~ r i .
Moment p ˛edu
Rozpisuj ˛ ac na składowe:
~ r i = (x i , y i , z i ) ~ ω = (ω x , ω y , ω z ) ⇒ ~ r i ~ ω = x i ω x + y i ω y + z i ω z
Otrzymujemy (na przykładzie L x ):
L x = X
i
m i h ω x r i 2 − x i (x i ω x + y i ω y + z i ω z ) i
= ω x · X
i
m i (r i 2 − x 2 i ) − ω y · X
i
m i x i y i − ω z · X
i
m i x i z i L x zale˙zy w ogólno´sci od waszystkich skladowych pr ˛edko´sci k ˛ atowej !
Podobnie:
L y = − ω x · X
i
m i x i y i + ω y · X
i
m i (r i 2 − y i 2 ) − ω z · X
i
m i y i z i
L z = − ω x · X
i
m i x i z i − ω y · X
i
m i y i z i + ω z · X
i
m i (r i 2 − z i 2 )
Tensor momentu bezwładno´sci
Wyra˙zenie na składowe L ~ mo˙zemy zapisa´c w postaci macierzowej:
L = ~
L x L y L z
=
P m i (r 2 i − x 2 i ) − P m i x i y i − P m i x i z i
− P m i x i y i P m i (r 2 i − y i 2 ) − P m i y i z i
− P m i x i z i − P m i y i z i P m i (r i 2 − z i 2 )
·
ω x ω y ω z
L ~ = I ˆ · ω ~
tensor momentu bezwładno´sci Składowe tensora - współczynniki bezwładno´sci
I = ˆ
I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz
ogólna posta´c (u, v = x, y, z) I uv = X m i (δ uv r i 2 − u i v i )
lub
I uv =
Z
dV ρ(~ r)(δ uv r 2 − u v)
delta Kroneckera: δ uv = 1 dla u = v i 0 dla u 6= v
Tensor momentu bezwładno´sci
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:
X Y
Z
a M Tensor bezwładno´sci
I = ˆ
2 −1 0
−1 2 0 0 0 2
· M a 2
Osie główne
W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładno´sci mog ˛ a by´c ró˙zne od zera (tensor symetryczny ⇒ 6 niezale˙znych wielko´sci)
Okazuje si ˛e jednak, ˙ze w ka˙zdym przypadku mo˙zna tak obróci´c osie układu odniesienia,
˙zeby elementy pozadiagonalne znikały: (diagonalizacja tensora) I xy = I xz = I yz = I yx = I zx = I zy = 0
układ taki definiuje nam osie główne bryły (kierunki własne tensora) Je´sli bryła ma o´s symetrii to b ˛edzie ona jedn ˛ a z osi głównych !
⇒ pozostaj ˛ a tylko 3 współczynniki diagonalne I xx , I yy , I zz (warto´sci własne) L = (L ~ x , L y , L z ) = (I xx ω x , I yy ω y , I zz ω z )
Dla obrotu wokół osi głównej L k ~ ~ ω
np. ~ ω = (ω, 0, 0) ⇒ L = (I ~ xx ω, 0, 0) = I xx ~ ω
Osie główne
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:
Z
Y’
X’
M
a Tensor bezwładno´sci
I = ˆ
1 0 0 0 3 0 0 0 2
· M a 2
Osie X’, Y’ i Z s ˛ a osiami głównymi I ˆ :
• o´s X’ - najmniejszy moment bezwładno´sci
• o´s Y’ - najwi ˛ekszy moment bezwładno´sci
• o´s Z - po´sredni moment bezwładno´sci
Osie główne
Prostopadło´scian
Rakieta tenisowa
00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111
000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000
111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111
000 000 000 111 111 111
I xx 6= I yy 6= I zz
Walec
I xx = I yy 6= I zz
Kula
I xx = I yy = I zz
Sze´scian
I xx = I yy = I zz
Tak jak dla kuli !
Osie główne
W przypadku bryły wiruj ˛ acej swobodnie (stała warto´s´c L) ~
stabilny ruch obrotowy (stały kierunek wektora ~ ω) mo˙zliwy jest
tylko wokół osi głównych o najwi ˛ekszym i najmniejszym momencie bezwładno´sci O´s o najwi ˛ekszym I
obrót stabilny
O´s o po´srednim I
obrót niestabilny
O´s o najmniejszym I
obrót stabilny
Osie główne
Energia kinetyczna w układzie osi głównych E k = 1
2 ω ~ ~ L = 1
2 (I xx ω x 2 + I yy ω y 2 + I zz ω z 2 )
Je´sli nało˙zymy wi ˛ezy narzucaj ˛ ace obrót ciała ze stała pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a ~ ω to przyjmie ono uło˙zenie odpowiadaj ˛ ace maksymalnej energii kinetycznej
⇒ obrót wokół osi o najwi ˛ekszym momencie bezwładno´sci
⇒ maksymalna warto´s´c momentu p ˛edu
Wiruj ˛ acy dysk Wiruj ˛ acy pr ˛et
Osie główne
Wiruj ˛ acy ła ´ncuszek
Przybiera kształt obr ˛eczy
odpowiadaj ˛ acy maksymalnemu momentowi bezwładno´sci
⇒ maksymalnej warto´sci momentu p ˛edu
⇒ maksymalnej energii kinetycznej W układzie obracaj ˛ acym si ˛e
Siła od´srodkowa d ˛ a˙zy do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.
Stabilny jest stan odpowiadaj ˛ acy minimum energii potencjalnej (siły od´srodkowej) F ~ i = m i ω 2 ~ r i⊥ ⇒ E p,i = − 1
2 m i ω 2 r ⊥ 2 E p = X
i
E p,i = − 1
2 ω 2 X
i
m i r ⊥ 2 = − 1
2 ω 2 I = −E k Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimu energii kinetycznej.
W układzie laboratoryjnym ⇒ masa “oddala si ˛e” od osi zgodnie z zasad ˛ a bezwładno´sci
Mechanika płynów
Płyn
Substancja, która mo˙ze dowolnie zmienia´c swój kształt w zale˙zno´sci od naczynia, w którym si ˛e znajduje, a tak˙ze swobodnie si ˛e przemieszcza´c (przepływa´c)
pod wpływem przyło˙zonych sił (ci´snie ´n).
W tej ogólnej definicji do płynów zaliczamy zarówno ciecze jak i gazy!
Mikroskopowo płynem nazwiemy substancje, której molekuły moga swobodnie przemieszcza´c si ˛e wzgl ˛edem siebie (w odró˙znieniu od molekuł w kryształach).
Przy czym w cieczach molekuły pozostaj ˛ a zwi ˛ azane wzajemnymi oddziaływaniami, a w gazie nie s ˛ a ze sob ˛ a zwi ˛ azane.
Płyn doskonały (idealny)
Płynem doskonalym nazwiemy ciecz nie´sci´sliw ˛ a, w której nie wyst ˛epuj ˛ a opory ruchu
(poza bezwładno´sci ˛ a cieczy).
Poj ˛ecia podstawowe
G ˛esto´s´c
Definiujemy jako stosunek masy do obj ˛eto´sci (tak jak dla ciał stałych):
ρ = lim
∆V →0
∆m
∆V
W przypadku płynu doskonałego ρ = const. W ogólym przypadku ρ = ρ(x, y, z, t).
Pr ˛edko´s´c przepływu
Definiujemy jako granic ˛e ´sredniej pr ˛edko´sci niewielkiej obj ˛eto´sci płynu.
~v = lim
∆V →0
∆~ p
∆m
W ogólnym przypadku, tak˙ze dla płynu doskonałego, zale˙zy od poło˙zenia i czasu: ~v = ~v(x, y, z, t).
∆ m ∆ p
v
Przepływ stacjonarny: niezale˙zny od czasu, ~v = ~v(x, y, z)
Poj ˛ecia podstawowe
Równanie ci ˛ agło´sci
W przypadku przepływu stacjonarnego, zmiana pr ˛ed- ko´sci przepływu wzdłu˙z lini pr ˛ adu wi ˛ a˙ze si ˛e ze zmian ˛ a przekroju poprzecznego: przepływ masy przez kolejne powierzchnie musi by´c taki sam
S 1 v 1 ρ 1 = S 2 v 2 ρ 2 Dla płynu idealnego:
S v = const
Ci´snienie
Siła działaj ˛ aca na jednostk ˛e powierzchni elementu płynu ze strony płynu lub ´scianek naczynia
p = | ~ F |
∆S
S
2S
1v
1v
2∆ S
F
Statyka
Prawo Pascala
Sformułowane w połowie XVIIw. przez Blaise’a Pascala
Je˙zeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkni ˛etym wywierane jest ci´snienie zewn ˛etrzne, to ci´snienie wewn ˛ atrz zbiornika jest wsz ˛edzie jednakowe i równe ci´snieniu zewn ˛etrznemu.
Prawo to obowi ˛ azuje w przypadku statycznym (płyn nie porusza si ˛e). Nie uwzgl ˛ednia te˙z wpływu oddziaływania grawitacyjnego (ci´snienienia hydrostatycznego).
Prasa hudrauliczna
Przykład wykorzystania prawa Pascala
p = F 1
S 1 = F 2
S 2
Statyka
Ci´snienienie hydrostatyczne
Szczególnym przypadkiem oddziaływania na ciecz jest pole grawitacyjne Ziemi. Na element o powierzchni ∆S znajduj ˛ acy si ˛e na gł ˛eboko´sci h wywierane jest zewn ˛etrzne ci´snienie p 0 oraz do- datkowy nacisk słupa cieczy
N = ∆Q = ρ g h ∆S
Całkowite ci´snienie na gł ˛eboko´sci h wyniesie wi ˛ec:
p = ρ g h + p 0 ∆ S
p 0
h
g
ρ
Statyka
Siła wyporu
Prawo Arhimedesa wynika wprost ze wzoru na ci´snienie hydrostatyczne. Dla prostopadlo´scianu za- nurzonego całkowicie w cieczy o g ˛esto´sci ρ:
W = N 1 − N 2 = ρ g (h + ∆h) ∆S − ρ g h ∆S
= ρ g ∆h ∆S
= ρ g V
gdzie V jest obj ˛eto´sci ˛ a ciała, czyli obj ˛eto´sci ˛ a wypartej cieczy.
Siła wyporu jest równa co do warto´sci ci ˛e˙zarowi cieczy wypartej przez ciało (ale przeciwnie skierowana)
W = −ρ V ~g ~
p 0
∆ h
∆ S
Ν 2
Ν 1
g ρ
h
Statyka
Siła wyporu
Rozwa˙zmy naczynie z ciecz ˛ a, do którego wkładamy ciało o g ˛esto´sci mniejszej od g ˛esto´sci cieczy.
Nowa wysoko´s´c cieczy w naczyniu (h + ∆h)S = hS + x∆S Zanurzenie x wynika z siły wyporu
g ρ x ∆S = Q
∆ h g
ρ
h
∆ S
S S
h x
Nacisk cieczy na dno naczynia po wło˙zeniu ciała wyniesie
N = g ρ (h + ∆h)S = g ρ h S + g ρ x∆S = g ρ h S + Q
Nacisk zwi ˛eksza si ˛e dokładnie o ci ˛e˙zar pływaj ˛ acego ciała.
Przepływ płynu
Płyn idealny
Dla płynu idealnego nie wyst ˛epuj ˛ a opory ruchu - przepływ odbywa si ˛e bez strat energii.
Płyn idealny jest te˙z nie´sci´sliwy - nie zmienia si ˛e jego energia wewn ˛etrzna (pomijamy zmi- any temperatury). Mo˙zemy wykorzysta´c zasad ˛e zachowania energii do opisu przepływu!
Rozwa˙zmy obj ˛eto´s´c płynu ograniczon ˛ a powierzch- niami S 1 i S 2 . W czasie ∆t przesunie si ˛e ona odpowiednio o
∆l 1 = v 1 ∆t ∆l 2 = v 2 ∆t
Praca sił ci´snienienia działaj ˛ acego na rozwa˙zan ˛ a obj ˛eto´s´c płynu wyniesie
∆W p = p 1 S 1 ∆l 1 − p 2 S 2 ∆l 2
= p 1 ∆V − p 2 ∆V
∆ l ∆ l p 1
p 2
v
1v
2S
1S
21 2
gdzie z równania ci ˛ agło´sci: S 1 ∆l 1 = S 2 ∆l 2 = ∆V
Przepływ płynu
Je´sli przepływ jest stacjonarny to zmian ˛e energii kinetycznej wybranej obj ˛eto´sci cieczy mo˙zemy policzy´c zawa˙zaj ˛ ac, ˙ze po czasie ∆t obj ˛eto´s´c ∆V poruszaj ˛ ac ˛ a si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a
~v 1 zast ˛epuje obj ˛eto´s´c ∆V poruszaj ˛ aca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a ~v 2
∆E k = ∆V ρ v 2 2
2 − ∆V ρ v 1 2 2
Zmiana energii kinetycznej wynika z pracy wykonanej przez siły ci´snienia
∆ l ∆ l p 1
p 2
v
1v
2S
1S
21 2
∆W p = p 1 ∆V − p 2 ∆V = ∆V ρ v 2 2
2 − ∆V ρ v 1 2
2 = ∆E k
dziel¡ przez
∆V p 1 − p 2 = ρ v 2 2
2 − ρ v 1 2 2
Ale powierzchnie S 1 i S 2 mogli´smy wybra´c dowolnie. Musi wi ˛ec by´c spełnione p + ρ v 2
2 = const
Prawo Bernouliego
Je´sli przepływ odbywa si ˛e w polu grawitacyjnym g to dodatkowo trzeba uwzgl ˛edni´c zmian ˛e energii potencjalnej:
∆E p = ∆V ρ g y 2 − ∆V ρ g y 1
Z zachowania energii mamy wtedy:
∆W p = ∆E k + ∆E p
Co prowadzi do ostateczneg wzoru:
p + ρgy + ρ v 2
2 = const zwanym prawem Bernouliego
∆ l
∆ l p 1
p 2 g
x y
v 1
2
S 2
1
v 2
S 1
Prawo Bernouliego
Przykład
Z jak ˛ a pr ˛edko´sci ˛ a wypływa ciecz z naczynia, je´sli otwór znajduje si ˛e h poni˙zej poziomu cieczy?
Stosuj ˛ ac prawo Bernouliego do punktów A i B:
p 0 + ρgh = p + ρ v 2 2
⇒ v = q 2gh
p
0h g ρ
v A
B
Tak jak przy spadku swobodnym lub wahadle! Zaniedbujemy opory!
Dysza Venturiego
Przyrz ˛ ad słu˙z ˛ acy do pomiaru pr ˛edko´sci cieczy lub gazu
∆p = ρgh = ρ
2 (v 2 2 − v 1 2 ) = ρv 1 2 2
A 1 A 2
! 2
− 1
Ruch w o´srodku
Siła no´sna
Prawo Bernouliego tłumaczy tak˙ze powstawanie siły no´snej w przypadku ciał (na przykład skrzydła samolotu) poruszaj ˛ acych si ˛e w o´srodku.
Ci´snienie jest mniejsze w obszarze wiekszych pr ˛edko´sci opływania (p + ρv 2 2 = const)
⇒ ciało jest “wci ˛ agane” w obszar wiekszych pr ˛edko´sci
Ale mo˙zna na to spojrze´c te˙z z punktu widzenia praw Newtona! Siła no´sna jest sił ˛ a
reakcji! Ciało wymusza zmian ˛e kierunku ruch cz ˛ asteczek o´srodka, pcha go “w dół”...
Ruch w o´srodku
Zjawisko Magnusa
Walec wiruj ˛ acy w przepływaj ˛ acej poprzecznie
do osi obrotu cieczy lub gazie. zgodne kierunki pr ˛edko´sci:
⇒ pr ˛edko´s´c przepływu wzrasta
⇒ przyspieszenie do´srodkowe ro´snie
⇒ ci´snienie maleje
przeciwne kierunki pr ˛edko´sci:
⇒ pr ˛edko´s´c przepływu maleje
⇒ przyspieszenie do´srodkowe maleje
⇒ ci´snienie wzrasta
⇒ wypadkowa siła no´sna F ~ N ⊥ ~v
Lepko´s´c
Ciało poruszaj ˛ ace si ˛e po powierzchni cieczy:
V F
d
S
Warstwa cieczy przylegaj ˛ aca do ciała porusza si ˛e wraz z nim.
Warstwa cieczy przylegaj ˛ aca do dna spoczywa.
“tarcie wewn ˛etrzne” pomi ˛edzy warstwami cieczy poruszaj ˛ acymi si ˛e z ró˙znymi pr ˛edko´sciami.
Formuła empiryczna:
F ~ L = −~i V η v S d gdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała
S - powierzchnia styku z ciecz ˛ a d - gł ˛eboko´s´c naczynia
η - współczynnik lepko´sci
Lepko´s´c
Typowe warto´sci:
eter 0.0002 N s/m 2
woda 0.001 N s/m 2
gliceryna 1.5 N s/m 2 miód 500. N s/m 2 wodór 0.000009 N s/m 2 powietrze 0.000018 N s/m 2 tlen 0.000021 N s/m 2
Lepko´s´c cieczy maleje z temperatur ˛ a Lepko´s´c gazów ro´snie z temperatur ˛ a
ciecz
gaz
Ruch w o´srodku
Opór czołowy
Siły jakie działaj ˛ a na ciało poruszaj ˛ ace si ˛e w o´srodku mo˙zemy podzieli´c na:
• sił ˛e oporu czołowego F ~ ◦ ↑↓ ~v
• sił ˛e no´sn ˛ a F ~ N ⊥ ~v
V F
F
F
= −V
N
o
c
Z analizy wymiarowej:
F ~ ◦ = −~i v C
2 ρv 2 S
wzór Newtonagdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała
S - powierzchnia poprzeczna ρ - g ˛esto´s´c cieczy
C -bezwymiarowy współczynnik zale˙zny od kształtu ciała, jego orientacji wzgl ˛edem ~v
oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:
Re = v l ρ η
Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny
O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy
Ruch w o´srodku
Opór czołowy
Dla ciała kulistego i Re ≪ 1
istnieje ´scisłe rozwi ˛ azanie problemu:
(G.Stokes 1851)
C = 24 Re
F ~ ◦ = −6πηr ~v
siła oporu proporcjonalna do v
W obszarze du˙zych warto´sci Re C ≈
onstF ◦ ∼ v 2
Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:
C ≈ 24 Re
C ≈ Re 4 0.3 ↑ ↑ C ≈ 0.45
małe pr ˛edko´sci du˙ze pr ˛edko´sci
Ruch w o´srodku
Pr ˛edko´s´c graniczna
πη F = −6 r v o
Q = m g
W= −m g p
Równanie ruchu kuli spadaj ˛ acej w cieczy (Re ≪ 1) m ~a = m~g − m p ~g − 6πηr~v
Rozwi ˛ azanie (ruch w pionie):
v(t) = v gr + (v 0 − v gr ) exp
− 6πηr m t
t
v
vgr
> vgr
v0
0 = 0 v