116 УДК 519.635.1 Биків Н. –ст. гр. МБ-31 Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя

(1)

X Всеукраїнська студентська науково - технічна конференція "ПРИРОДНИЧІ ТА ГУМАНІТАРНІ НАУКИ. АКТУАЛЬНІ ПИТАННЯ"

116 УДК 519.635.1

Биків Н. –ст. гр. МБ-31

Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя

МЕТОД ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РЯДІВ РІБЬЄРА-ФАЙЛОНА

Науковий керівник: к.т.н., доцент Федак С.І.

Bykiv N.

Ternopil Ivan Pul’uj National Technical University

METHOD OF TRIGONOMETRIC SERIES OF RIBIERRE FALON

Supervisor: Fedak S.

Ключові слова: тригонометричні ряди, бігармонічна функція. Key words: trigonometric series, bi-harmonic function.

Розв’язок бігармонічного рівняння плоскої задачі теорії пружності може бути виражений через функцію напружень (x,y). Для її знаходження використовують тригонометричні ряди. Із цією метою використовують тригонометричну функцію , cos x Y   де Y - функція, що залежить тільки від координати у;  n/ l; n — будь-яке ціле число; l — довжина пластинки в напрямку осі x. Необхідно з'ясувати при яких умовах функція  є бігармонічною. Знайдемо четверті похідні функції : ; cos 4 4 4 x Y x    _   ; cos 2 2 2 4 x Y y x n    __    . cos 4 4 x Y y IV   _   . Підставляючи їх у бігармонічне рівняння, одержуємо: 4Ycosx22YcosxYIV cosx0 або



2



0. cosxYIV  2Y4Y  Це рівняння перетворюється в тотожність при будь-яких значеннях аргументу x якщо Y

 

y задовольняє диференціальне рівняння , 0 2 2  4   Y Y YIV   розв’язок якого можна представити за допомогою гіперболічних функцій: Y AnchyBnychyCnshyDnyshy. Підставляючи розв’язок у вираз функції  , одержимо бігармонічну функцію у вигляді 

 

x,y cosx



A_nchyB_nychyC_nshyD_nyshy



. Аналогічно можна показати, що функція  

 

x,y sinx



A_nchyB_nychyC_nshyD_nyshy



також є бігармонічною і може бути використана для рішення плоскої задачі. Якщо числу n надавати різні значення, то отримуємо нові функції, що відрізняються значеннями параметра  та постійних A_n, B_n, C_n, D_n. Тому загальний розв’язок бігармонічного рівняння може бути представлений як сума всіх його можливих розв’язків:

 

_







      1 [cos , n n n n nch y B ych y C sh y D ysh y A x y x      





]

sinx A_nchyB_nychyC_nshyD_nyshy