Wykłady 8 i 9. Poj˛ecia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równa´n liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie macierzy; macierz odwrotna.

Wykłady 8 i 9. Poj˛ecia przestrzeni wektorowej i macierzy.

Układy równa´n liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie macierzy; macierz

odwrotna.

dr Mariusz Grz ˛ adziel 15,29 kwietnia 2014

Przestrze ´n R^k R^k = R × R × . . . R

| {z }

k razy

Elementy R^k— wektory;

x = (x₁, x₂, . . . , x_k) Operacje na wektorach

Niech a ∈ R, y = (y1, y₂, . . . , y_k) ∈ R^koraz z = (z₁, z₂, . . . , z_k).

Definiujemy

ay =(ay₁, ay₂, . . . , ay_k); (1)

y + z =(y₁+ z₁, . . . , y_k+ z_k). (2)

Przestrzenie liniowe

Mówimy, ˙ze podzbiór V przestrzeni R^k jest przestrzeni ˛a liniow ˛a, je´sli dla dowolnych y, z ∈ V i a₁, a₂ ∈ R

a₁y + a₂z ∈ V.

Przykłady: przestrzeniami liniowymi s ˛a zbiory:

• X₁ = {0} jest przestrzeni ˛a liniow ˛a;

• X₂ = {cx, c ∈ R} gdzie x jest dowolnym ustalonym wektorem R^k. Nie jest przestrzeni ˛a liniow ˛a X₃ = {5}.

Uwaga Istniej ˛a przestrzenie liniowe, które nie s ˛a podzbiorami R^k (dla ˙zadnego k). Np. zbiór wielo- mianów stopnia mniejszego lub równego 2 jest przestrzeni ˛a liniow ˛a.

Iloczyn skalarny wektorów w R^k

Iloczyn skalarny wektorów x = (x₁, . . . , x_k) oraz y = (y₁, . . . , y_k) (oznaczony symbolem < x, y >) okre´slamy wzorem:

< x, y >= x1y1+ . . . + xkyk. Długo´s´c wektora x ∈ R^k definiujemy wzorem

√< x, x > =^qx²₁+ x²₂+ . . . + x²_k. Metryk˛e euklidesow ˛a („odległo´s´c”) definiujemy wzorem:

d_E(x, y) =√

< x − y, x − y >.

Układ równa ´n z dwoma niewiadomymi

Rozwa˙zmy układ równa´n z dwoma niewiadomymi:

a₁₁x + a₁₂y = h₁ a₂₁x + a₂₂y = h₂. a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂s ˛a znane, x i y s ˛a niewiadomymi.

Je˙zeli pierwsze z równa´n pomno˙zymy przez a22 a drugie przez a12, a nast˛epnie odejmiemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy:

(a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁)x = h₁a₂₂− h₂a₁₂. Je´sli a11a₂₂− a₁₂a₂₁6= 0, to

x = h₁a₂₂− h₂a₁₂ a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁ Układy równa ´n i poj˛ecie macierzy

Analogicznie:

y = h₂a₁₁− h₁a₁₂ a11a22− a12a21

Problem. W jaki sposób uogólni´c te wzory na przypadek układu n równa´n z n niewiadomymi?

U˙zyteczne jest w tym celu poj˛ecie macierzy.

Definicja 1. Macierz ˛aA wymiaru m × n nazywamy tablic˛e liczb:

A =













a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... . . . ... a_m1 a_m2 · · · a_mn













Poj˛ecie macierzy— c.d.

Macierz A (w Definicji 1) składa si˛e z m wierszy i n kolumn.

Skrócony zapis:

A = (a_ij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n).

Je´sli m = n to powiemy, ˙ze A macierz ˛a kwadratow ˛a (lub dokładniej: macierz ˛a kwadratow ˛a stopnia n).

Macierze diagonalne

Wa˙zna klasa macierzy kwadratowych: macierze diagonalne (przek ˛atniowe) postaci

D =













d1 0 · · · 0 0 d₂ · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · d_n













= diag(d₁, d₂, . . . , d_n).

Macierz jednostkowa (identyczno´sciowa) Injest okre´slona wzorem I_n= diag(1, 1, . . . , 1).

Wektory i macierze

Macierz składaj ˛aca si˛e z jednej kolumny

x =













x₁ x₂ ... x_m













b˛edziemy nazywa´c wektorem kolumnowym.

Macierz składaj ˛ac ˛a si˛e z jednego wiersza b˛edziemy nazywa´c wektorem wierszowym.

W dalszym ci ˛agu wykładu b˛edziemy traktowa´c wektory jak macierze kolumnowe (pewni autorzy preferuj ˛a podej´scie, w którym wektory s ˛a uto˙zsamione z macierzami wierszowymi).

Macierze— przykłady







2 3 5





,







1 3 −8 0

−10 2 4 3

−2 5 −4 6





,







1 3 −8

−10 2 4

12 1 5





,

"

1 0 0 1

#

.

Macierze: 3×1 (wektor kolumnowy) , macierz wymiaru 3×4, macierz kwadratowa stopnia 3, macierz identyczno´sciowa stopnia 2.

Operacje na macierzach: transpozycja Macierz ˛a transponowan ˛a do macierzy

A = (aij), i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n nazywamy macierz

A⁰ = (b_ij), i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m, gdzie b_ij = a_ji, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

Widzimy, ˙ze macierz A⁰otrzymuje si˛e z macierzy A przez zamian˛e wierszy na kolumny (lub kolumny na wiersze).

Przykład Wektor kolumnowy

v =







2 3 5







mo˙zemy zapisa´c w postaci v = [2, 3, 5]⁰.

Operacje na macierzach — c.d.

Dla macierzy A i B wymiaru m × n

A = (a_ij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), B = (b_ij)(i = 1, 2, . . . , m) sum˛e C = (cij) (i = 1, 2, . . . m = 1, 2, . . . , n) okre´slamy wzorem

c_ij = a_ij + b_ij.

Dla macierzy A = (aij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) i B = (b_jk)(i = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p) okre´slony jest ich iloczyn C = (c_ik)(i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p) wzorem

c_ik =

n

X

j=1

a_ijb_jk, i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p.

Zapis macierzowy układu równa ´n Układ równa´n

a₁₁x + a₁₂y = h₁ (3)

a₂₁x + a₂₂y = h₂ (4)

mo˙zna zapisa´c w postaci:

Av = h, gdzie

A =

"

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

#

, v =

"

x y

#

, h =

"

h₁ h₂

#

.

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Dla macierzy kwadratowej (aij)(i = 1, 2, . . . , 2; j = 1, 2, . . . , 2) stopnia 2, jej wyznacznik, oznaczo- ny symbolem |A| (lub det A) definiujemy wzorem:

|A| = a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁.

Dla macierzy kwadratowej A stopnia 3, A = (aij)(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) jej wyznacznik definiujemy wzorem:

|A| = a₁₁a₂₂a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁+ a₁₃a₂₁a₃₂− a₁₂a₂₁a₃₃− a₁₁a₂₃a₃₂− a₁₃a₂₂a₃₁. (5) Wyznacznik macierzy kwadratowej st. n— suma n! składników.

Wyznacznik macierzy— zastosowanie do rozwi ˛azywania układu równa ´n Rozwi ˛azanie układu równa´n (3)–(4) mo˙zna zapisa´c w postaci:

x = |A₁|

|A| , y = |A₂|

|A| , gdzie

A1 =

"

h1 a12

h₂ a₂₂

#

,

A₂ =

"

a₁₁ h₁ a₂₁ h₂

#

.

Zakładamy, ˙ze |A| 6= 0. Dla układów równa´n z liczb ˛a niewiadomych > 2 — analogiczne wzory.

Inne metody rozwi ˛azywania układów równa ´n

• eliminacja Gaussa; por. [Bed04, str. 170–171];

• metody oparte na tzw. dekompozycjach macierzowych (np. QR).

W naszym wykładzie ograniczamy si˛e do rozwa˙zania układów n równa´n z n niewiadomymi; za- kładamy, ˙ze macierz układu jest nieosobliwa. Rozwa˙zania dotycz ˛ace układów równa´n liniowych, w których liczba równa´n mo˙ze by´c ró˙zna od liczby niewiadomych, mo˙zna znale´z´c np. [Bed04, str. 167–

178].

Macierze i przekształcenia płaszczyzny

Przekształcenia płaszczyzny, takie jak: symetria wzgl˛edem osi OX lub obrót o k ˛at α wzgl˛edem ´srodka układu współrz˛ednych, mo˙zna opisa´c przy u˙zyciu macierzy stopnia 2.

Np. punktowi P = [^xy] w wyniku obrotu płaszczyzny o k ˛at α zostanie przyporz ˛adkowany punkt P⁰ =^hx_y⁰⁰ⁱ,

"

x⁰ y⁰

#

=

"

cos α − sin α sin α cos α

# "

x y

#

.

Mno˙zenie macierzy— odpowiada składaniu przekształce´n. Oznaczmy macierz obrotu o k ˛at α przez R_α,

R_α =

"

cos α − sin α sin α cos α

#

.

Macierze i przekształcenia płaszczyzny— c.d.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze

R_α+β = R_αR_β

dla dowolnych k ˛atów α i β. Macierz I = (^{1 0}_{0 1}) odpowiada przekształceniu identyczno´sciowemu płaszczyzny.

Macierz odwrotna

Macierz kwadratow ˛a A nazywamy nieosobliw ˛a, je´sli |A| 6= 0.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze je´sli A jest macierz ˛a nieosobliw ˛a stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz B spełniaj ˛aca równo´s´c:

AB = In.

Macierz B (spełniaj ˛ac ˛a powy˙zsz ˛a równo´s´c) nazywamy macierz ˛a odwrotn ˛a do A i oznaczamy sym- bolem A⁻¹.

Obliczanie macierzy odwrotnej

• jawna posta´c macierzy odwrotnej— mo˙zna j ˛a wyrazi´c wykorzystuj ˛ac poj˛ecie wyznacznika;

• praktyczny sposób obliczania macierzy odwrotnej— metoda elementarna (por. [Bed04, str.

165]).

Obliczanie macierzy odwrotnych dla macierzy kwadratowych stopnia 2 i 3 Dla macierzy nieosobliwej A = [^{a b}_{c d}]

A⁻¹ = 1

|A|

"

d −c

−b a

#

,

dla macierzy nieosobliwej

A =







a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃







mamy

A⁻¹ = 1

|A|







|^a_a²²₃₂ ^a_a²³₃₃| |_a^a13_{33 a}^a12₃₂| |_a^a12₂₂ ^a_a¹³₂₃|

|^a_a²³₃₃ ^a_a²¹₃₁| |_a^a11_{31 a}^a13₃₃| |_a^a13₂₃ ^a_a¹¹₂₁|

|^aa²¹31 ^aa²²32| |a^a1232 a^a1131| |a^a1121 ^aa¹²22|





.

Zastosowanie do rozwi ˛azywania układu równa ´n liniowych Jeste´smy zainteresowani rozwi ˛azaniem układu równa´n:

Av = h, (6)

gdzie A jest macierz ˛a nieosobliw ˛a stopnia n ­ 2, h jest znanym wektorem n-wymiarowym, v jest n-wymiarowym wektorem niewiadomych. Rozwi ˛azaniem układu równa´n (6) jest

v = A⁻¹h.

Obliczanie macierzy odwrotnej przy u˙zyciu tego wzoru zalecane, gdy chcemy rozwi ˛aza´c równanie (6) dla kilku warto´sci h (i tej samej macierzy A).

Zastosowanie — znajdowanie równania paraboli przechodz ˛acej przez zadane trzy punkty.

Chcemy znale´z´c równanie paraboli, której równanie dane jest wzorem y = ax²+bx+c, przechodz ˛acej przez punkty P₁ = (x₁, y₁), P₂ = (x₂, y₂), P₃ = (x₃, y₃). Zakładamy, ˙ze P₁, P₂i P₃nie le˙z ˛a na jednej prostej.

Zastosowanie– znajdowanie równania paraboli przechodz ˛acej przez zadane trzy punkty— c.d.

Problem sprowadza si˛e do znalezienia rozwi ˛azania układu równa´n:

Av = y, gdzie

A =







1 x₁ x²₁ 1 x₂ x²₂ 1 x₃ x²₃





, v =







c b a





, y =







y₁ y₂ y₃





.

Zastosowanie– znajdowanie równania paraboli przechodz ˛acej przez zadane trzy punkty.

Zało˙zyli´smy, ˙ze punkty P₁, P₂, i P₃ nie le˙z ˛a na jednej prostej— st ˛ad wynika, ˙ze x₁, x₂ i x₃ s ˛a ró˙zne (od siebie wzajemnie); mo˙zna pokaza´c, ˙ze st ˛ad wynika, ˙ze wyznacznik macierzy A jest ró˙zny od 0, a zatem do znalezienia rozwi ˛azania układu równa´n mo˙zna zastosowa´c podany na wykładzie wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia 3.

Zastosowanie– znajdowanie równania paraboli przechodz ˛acej przez zadane trzy punkty.

Metody algebry macierzowej znajduj ˛a zastosowanie zagadnie´n zwi ˛azanych z „dopasowywaniem rów- na´n do danych” (np. nale˙zy „dopasowa´c” parabol˛e do punktów P₁ = (x₁, y₁), . . . , P_n = (x_n, y_n), gdzie n > 3).

Polecana literatura

[Bed04] Tadeusz Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych, Oficyna Ekonomicz- na 2004, Rozdz. 5.