Wykład 4 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

(1)

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 4 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

4.1. Pojęcia wstępne.

4.2. Przyklady z geometrii i fizyki prowadzące do równań różniczkowych.

4.3. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego pierwszego rzędu.

4.4. Równania różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych . 4.5. Równania różniczkowe jednorodne rzędu pierwszego.

4.1. Pojęcia wstępne

4A1 Definicja (równanie różniczkowe)

Równanie względem niewiadomej funkcji i jej pochodnych nazywamy różniczkowym (RR). RR o funkcji niewiadomej jednej zmennej nazywamy RR zwyczajnym (RRZ), równanie o funkcji dwóch lub większej liczby zmiennych nazywamy RR cząstkowym (RR o pochodnych cząstkowych). Rzędem RR nazywamy największy rząd n pochodnych (istotnie) występujących w tym równaniu. Mamy tu na myśli takie równania, w których zostały wykonane wszystkie możliwe redukcje i skrócenia mogące mieć wpływ na ustalenie liczby n .

4A2 Przykłady:

2.1. Równanie o postaci

( ) ( 1)

( , , ',...,

^

)



n n

y f x y y y , (1) gdzie f D :  , D 

ⁿ^¹

, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n rozwiązanym względem najwyższej pochodnej (tu x jest zmienną niezależną oraz

( )

y  y x jest funkcją (zmienną zależną)).

2.2. Rozważmy funkcję F G :  , gdzie G 

ⁿ^²

. Wtedy równanie o postaci ( , , ',...,

( )ⁿ

) 0

F x y y y  (2) jest najogólniejszą formą RRZ rzędu n w obszarze G (czasami zakładają że równanie (2) jest rozwiązalne w tym obszarze względem y

^{( )}ⁿ

), inaczej mówiąc RRZ rzędu n wiąże (istotnie) zmienną nizależną x , zmienną zależną y i jej pochodne aż do rzędu n .

2.3. Równanie o postaci

( ) ( 1)

1

( )

^

...

_1

( ) ' ( ) ( )

    

n n

y a x y a x y a x y f x (3) jest ogólną formą (na zbiorze X  ) RR liniowego zwyczajnego (RRL) rzędu n jednorodnego gdy f x ( )  0 dla x  X albo niejednorodnego gdy f x ( )  0 dla x  X (funkcje a x

₁

( ),..., a x

_n

( ) nazywamy współczynnikami, a funkcję f x nazywamy ( ) wyrazem wolnym (prawą częścią) tego równania.

2.4. Równania '  ( , )

y f x y , (4) ( , , ')  0

F x y y (5)

są odpowiednio równaniem rozwiązanym względem pochodnej i ogólną postacią RRZ

rzędu pierwszego.

(2)

2.5. Równanie '' ( , , ')

y  f x y y (6) jest RRZ rzędu drugiego rozwiązanym względem drugiej pochodnej oraz wyrażenie

( , , ', '') 0

F x y y y  (7) jest ogólną formą tego równania.

2.6. Równanie 0     y '' y ' y f x ( ) jest RRL rzędu pierwszego.

2.7. Równanie struny

2 2

  

 

u u

t x

jest RR cząstkowym rzędu drugiego.

Uwaga. Dalej pod nazwą „RR” będzimy rozumieć wyłącznie RRZ.

4A3 Definicja (rozwiązanie)

Funkcję y  y x x ( ),  X , nazywamy rozwiązaniem RR (2) na przedziale X jeżeli na tym przedziale funkcja ta jest n -krotnie różniczkowalna i zamienia to równanie w tożsamość: F x y x y x ( , ( ), '( ),..., y

^{( )}ⁿ

( )) x  0 dla x  X . Wykres rozwiązania RR nazywamy krzywą całkową tego RR, a znajdowanie rozwiązań RR nazywamy całkowaniem tego równania.

4A4 Definicja (zagadnienie początkowe Cauchy’ego)

Zagadnieniem (początkowym) Cauchy’ego (w obszarze D 

ⁿ^¹

) dla RRZ (1) rzędu n nazywamy zagadnienie następujące: znaleźć rozwiązanie y  y x tego równania ( ) które spełnia warunki początkowe:

0 0

1 ( 1) 1

0 0, 0 0

( )  '( )  ,....,

ⁿ^

( ) 

ⁿ^

y x y y x y y x y , (8) gdzie ( , x y y

₀ ₀

,

¹₀

,..., y

₀ⁿ^¹

)  D przy czym liczby x y y

₀

,

₀

,

¹₀

,..., y

₀ⁿ^¹

, zwane wartościami początkowymi, są dane.

4A5 Definicja (rozwiązanie ogólne)

Rozwiązaniem ogólnym (w obszarze D   X D X

₁

,  , D

₁



ⁿ

) RR (1) rzędu n nazywamy funkcję y   ( , x C C

₁

,

₂

,..., C

_n

) zmiennej niezależnej x i n zmiennych

1

,

2

,...,

_n

C C C , które są dowolnymi stałymi, jeżeli funkcja ta spełnia warunki:

1) przy ustalonych wartościach dowolnych stałych C C

₁

,

₂

,..., C

_n

funkcja φ jest rozwiązaniem RR (1) w przedziale X;

2) funkcja y   ( , x C C

₁

,

₂

,..., C

_n

) rozstrzyga dowolne zagadnienie Cauchy’ego (w obszarze D), tzn. dla każdego układu wartości początkowych ( x y y

₀

,

₀

,

¹₀

,..., y

₀ⁿ^¹

)  D wartości C C

₁

,

₂

,..., C

_n

można tak dobrać, aby otrzymać rozwiązanie y  y x C C ( ,

₁

,

₂

,..., C

_n

) spełniające warunki początkowe (8).

4A6 Definicja (rozwiązanie szczególne)

Rozwiązanie, które otrzymamy z rozwiązania ogólnego RR przy ustalonych wartościach

dowolnych stałych, nazywamy rozwiązaniem szczególnym.

(3)

4B7 Definicja

Wyrażenie

 ( , , x y C C

₁

,

₂

,..., C

_n

)  0

nazywamy całką ogólną RR (1), jeżeli ono określa rozwiązanie ogólne jako funkcję uwiklaną. Podobnie to wyrażenie przy ustalonych

1

,

2

,...,

_n

C C C

określa całkę szczególną

. 4A8 Przykłady:

8.1. Rozważmy RR rzędu pierwszego ' y  f x . Jeżeli funkcja f jest ciągła na ( ) przedziale X, to na tym przedziale istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (rodzina krzywych całkowych) y=φ(x,C)=F(x)+C, gdzie F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f w przedziale X, a funkcja φ zmiennej x i dowolnej stałej C jest rozwiązaniem ogólnym tego równania (w obszarze X  ). Jeżeli zażądamy dodatkowo, aby funckcja y=φ(x, C) spełniała warunek początkowy y(x

0

)=y

0

, x

₀

 X , to otrzymamy C  y

₀

 F x ( )

₀

oraz

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

x

y x  F x  y  F x  y   f t dt

jest rozwiązaniem szczególnym.

8.2. Jeżeli będziemy całkowali RR rżędu 4

(iv) 2

1 1 2

3 2 4 3 2

1 2 3 1 2 3 4

24 ''' 24 6 '' 12 6 2

' 4 3 2

y y x C y x C x C

y x C x C x C y x C x C x C x C

       

          

to otrzymamy rozwiązanie ogólne o postaci y  x

⁴

 C x

₁ ³

  C x

₂ ²

 C x

₃

 C jako

₄

funkcję zmiennej x i dowolnych stałych C C C C

₁

,

₂

,

₃

,

₄

.

4B9 Definicja

Zagadnieniem brzegowym w obszarze

D   X D

₁

  ... D

_n

 R

ⁿ^¹ dla RR (1) nazywamy zagadnienie następująco: znależc’ rozwiązanie

y  y x ( )

,

x  X

, tego równania spełniająco warunki brzegowe:

y x (

_k

)  y

_k , gdzie

x

_k

 X y ,

_k

 D

_k, dla k=1, ..., n. Dla RRL (3) możemy zalożyć, że

D

_k



dla k=1, ..., n.

Dla RR rzędu drugiego (n=2) zagadnienie brzegowe jest następująco: wśród krzywych całkowych RR znależć tę, która przechodzi przez punkty

P x y

₁

( ,

₁ ₁

), P x y

₂

( ,

₂ ₂

)

. lub ogólnej wśród rozwiązań tego równania znależć to, które spełnia warunki:



₁₁

y x ( )

₁

 

₁₂

y x (

₂

)  

₁,

21

( )

1 22

(

2

)

2

 y x   y x  

, gdzie

x x

₁

,

₂

 X

oraz liczby

     

₁₁

,

₁₂

,

₂₁

,

₂₂

,

₁

,

₂ są dane.

4A10 Prykład. Dla RR '' y   sin x rozwiązać podane zagadnienia brzegowe:

a) (0) 0, 1;

2   

     

y y b)

^'

3 (0) 3; (0) ( ) 3, (0) 3.

2 2 2 2

   

     

                  

y y y y y y y

(4)

Rozwiązanie: a)

2 '

1 1 2

1 2

0 (0)

cos sin

1 ( ) 1

2 2

 

 

 

             

y c

y x c y x c x c

y c c

2 '

1 1 2

1 2

0 (0)

cos sin

1 ( ) 1

2 2

 

 

 

        

   



y c

y x c y x c x c

y c c

1 2

0 sin

c c y x

     jest szukanym rozwiązaniem. Podobnie rozwiązujemy zagadnienie brzegowe b).

4B+C11 Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań)

Rozważmy RR (4) rzędu 1:

y '  f x y ( , )

w obszarze

D 

² oraz niech

( , x y

₀ ₀

)  D

. Jeżeli funkcja f oraz jej pochodna cząstkowa

f

y



są ciągłe na obszarze D, to zagadnienie początkowe

'

0 0

( , ), ( ) ,

y  f x y y x  y

ma dokladnie jedno rozwiązanie (inaczej mówiąc, istnieje otoczenie O(x0) i dokładnie jedno rozwiązanie

y  y x ( ), x  O x ( ),

₀ RR (4) spełniająco warunek początkowy

y x ( ) 

₀

y

₀ czyli w geometrycznej interpretacji: dla każdego punktu

( , x y

₀ ₀

)  D

istnieje otoczenie

O x y ( ,

₀ ₀

)  D

i w tym otoczeniu istnieje przy czym dokładnie jedna krzywa całkowa RR (4), która przechodzi przez punkt

( , x y

₀ ₀

)

.

Sformułowanie analogicznego twierdzenia dla RR rzędu n jest bardziej skomplikowane, ale dla RRL (3) w obszarze

X  D

₁



ⁿ^¹ zagadnienie początkowe (8) ma (przy czym dokładnie jedno) rozwiązanie, jeżeli wyraz wolny f(x) oraz współczynniki

a x

₁

( ),..., a x

_n

( )

są ciąqłe dla

x   X ( , ). a b

4B12 Definicja

Rozwiązanie RR nazywamy osobliwym, jeżeli w każdym punkcie tego rozwiązania nie ma jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego Cauchy’ego.

4B13 Przykłady:

13.1. Rozważmy RR

23

' 3

y  y

. (9)

Stąd mamy:

dy 3

²³ ²³

3 3

¹³

3 3 ( )

³

y y dy dx y x C y x C

dx

  



       

^jest

rozwiązaniem ogólnym. Wtedy rozwiązanie

y  0

jest

rozwiązaniem osobliwym, poniewaz przez każdy punkt

( ,0) x

₀ wykresu tego rozwiązania przechodzą dwie krzywę całkową o równaniach:

0 y 

oraz

y  ( x  x

₀

)

³.

(5)

13.2. Rozważmy RR

( ) y

^{' 2}

   y

^'

2 0

. Ćwiczenie (A+B): sprawdzić, czy ma to równanie rozwiązania osobliwe, rozwiązania ogólne.

4.2. Przyklady z geometrii i fizyki prowadzące do równań różniczkowych

4A+B14 Przyklad (z geometrii – równanie rodziny krzywych).

Znależeć rodziną krzywych, dla których odcinek stycznej zawarty między osiami układu współrzędnych dzieli się na równe części w punkcie styczności.

Model matematyczny problemu.

Niech y  y x ( ) będzie równaniem szukanej krzywej oraz punkt M x y będzie punktem ( , ) styczności. Mamy zatem równanie stycznej

'

( )( )

Y   y y x X  x

,

gdzie punkt ( , ) X Y leży na stycznej. Wtedy:

przy Y 0 X x y

_'

A x ( y

_'

,0)

y y

      ,

przy X     0 Y y xy

^'

 B (0, y  xy

^'

)

Mamy:

'

2 2 ,

2 2

A B

M

A B

M

x y

x x y

x x

y y y xy

y y

 

  

 

  

.

Stąd

otrzymamy równanie rodziny krzywych:

xy    y 0 . (9) 4A+B15 Przyklad (z fizyki).

Mamy punktowe żródło stwiatła.

Znależć formę reflektora, dla którego promieni tego żródła wracają od reflektora wiązką promieni równoległych.

Model matematyczny problemu.

Rozważmy oś Ox ze żródło o początku i która będzie równoległa wiąskę promieni. Niech punkt M x y będzie ( , ) dowolnym punktem reflektora. Niech dalej kąt  będzie kątem między promieniem padającym do reflektora i

promieniem, wracającym od reflektora oraz kąt  będzie kątem między stycznej i promieniem wracającym w punkcje M . Z fizuki wiemy, że kąt padania jest równy kątu odbicia. Wtedy

2 2

 

  

.

Stąd mamy:

(6)

    2  oraz

' 2

2 2

'

' 2 ' '

' 2

2 2

' '

( 2 ) 2 2

1 2 ( ) 2 0

1 ( )

(z fizyki 0) .

y tg

tg tg tg

tg y

x tg

x x y

y y y xy y y

y y

x x y

y y y y

    

 

 

     

  

  

       



  

   

Mamy wtedy równanie reflektora:

2 2

x x y

y y

 

   (10)

4.3. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego pierwszego rzędu Pamiętamy, że równanie o postaci F x y y  jest ogólną formą RR rzędu pierwczego ( , , )

^'

0 oraz rozwiązanie ogólne RR

( , )

y   f x y

(11)

rzędu 1 ma postać y   ( , ) x C i jest funkcją zmiennej niezależnej x i dowolnej stałej C Rozważmy teraz RR

(11)

oraz w postaci różniczkowej

P x y dx ( , )  Q x y dy ( , )  0

(12) (to jest formą różniczkową RR w obszarze D  R

²).

Każdemu punktowie ( , ) x y tego obszaru jest zatem przyporządkowany kierunek stycznej do krzywej całkowej przechodzącej przez ten punkt i nachylonej do osi Ox pod kątem, którego tangens jest równy ( , ) f x y (czyli − ( , )

( , ) P x y

Q x y dla RR (12)) lub nachylonej do osi Oy pod kątem o tangensu 1

( , )

f x y (czyli − ( , ) ( , ) Q x y

P x y dla RR (12)). RR określa wtedy na obszarze D pole kierunków (odcinków) które są stycznymy. Kierunek jest określony, jeżeli istnieje dy

dx lub dx

dy . Jeżeli w pewnym punkcie obszaru D nie istnieje zarówno dy

dx jak i dx

dy , to punkt

taki jest (nazywamy) osobliwym. Zatem całkowanie RR wygodnie rozumieć w szerszym

sensie: całkować RR na obszarze D, znaczy znależć na tym obszarze (oprócz punktów

osobliwych) wszystkie krzywe całkowe, które w każdym swym punkcie będą styczne do

odpowiednego kierunku RR. Przy wykonamiu tego zadania oraz przy rysowaniu pola

kierunków stycznych jest pożyteczne pojęcie izokliny RR, tzn. zbioru punktów

płaszcyzny (obszaru D), w których styczne do krzywych całkowych tego równania mają

jednakowy kierunek.

(7)

4A+B16 Przykład. Rozważmy RR: 0 dy x xdx ydy

dx y

     lub dx y

dy   x

.

Mamy zatem równania izoklin: x

k const

   y lub

y :

const

  x

Stąd otrzymamy rodzinę krzywych całkowych:

4A17 Uwaga

RR (12) o różniczkach jest równoważne dwóm RR o pochodnych:

( , ) ( , ) dy P x y

dx   Q x y lub ( , ) ( , ) dx Q x y dy   P x y .

4.4. Równania różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych

4A18 Definicja (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych) W ten sposób nazywamy RR o postaci

( ) ( ) ( ) ( ) M x N y

y   P x  Q y (13) o funkcji niewiadomej y  y x ( ) lub ogólnej równanie o postaci różniczkowej

( ) ( ) P x Q y dy  M x N y dx ( ) ( )

(13) o funkcji niewiadomej y  y x* ( ) , x  ( , ) a b

,

lub o funkcji niewiadomej x  x y ( ) ,

( , )

y  c d . Stąd wynika, że jeżeli N y (

₀

)  0 dla pewnego y

₀

 ( , ) c d , to funkcja stała ( )

0

y x  y , x  ( , ) a b

,

jest jednym z rozwiązań równania (13) oraz (13*), natomiast jeżeli ( )

0

0 M x  dla pewnego x

₀

 ( , ) a b , to funkcija stała x y ( )  jest jednym z rozwiązań x

₀

RR (13). Założmy teraz, że zmienna x jest różna od pierwiastków funkcji P oraz* zmienna y różni się od pierwiastków funkcji N. Wówczas zapisujemy (13) w postaci* rozdzielonej (od której pochodzi nazwa): ( ) ( )

( ) ( )

Q y M x

dy dx

N y  P x

,

całkujemy zatem

( ) ( )

Q y M x

dy dx C

N y  P x 

  (14)

(8)

i otrzymujemy całke ogólną (tutaj C jest dowolną stąła, całki rozumiane są jako dowolne, lecz ustałone, funkcje pierwotne). Jeżeli mamy rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy’ego y x ( )

₀

 y

₀,

to możemy skorzystać z całki szczególną

:

0 0

( ) ( )

y x

Q t M t

dt dt

N t  P t

  ^.

4B19

Twierdzenie

(

istnienie i jednoznaczność rozwiązań)

Jeżeli funkcji ^{de f}

( )

^{de f}

( )

( ) , ( , ), ( ) , ( , ),

( ) ( )

M x N y

x x a b y y c d

P x Q y

     

są ciągłe, pry czym

( ) y 0

 

dla

y  ( , ) c d

, to zagadnienie początkowe

y x (

₀

)  y

₀ dla równania

y

^'

   ( ) ( ) x y

^,

gdzie

( , x y

₀ ₀

)   D {( , ) x y 

²

: x  ( , ), a b y  ( , )} c d

, ma dokładnie jedno rozwiązanie, to znaczy przez każdy punkt prostokąta D przechodzi jedna (i tylko jedna) krzywa całkowa tego równania.

4A20 Przykład. Rozważmy równanie (9) w 4A+B14:

'

0 dy y dy dx ln ln ln C

xy y y x C y

dx x y x x

              jest rodziną

krzywych (giperbole) całkowych (rozwiązanie ogólne). Zamiast stałej dowolnej, którą oznaczamy jedną litęra, napisaliśmy tu ln C . Oczywiście, każdą stałę można zapisać w takiej postaci.

Rozwiązując zagadnienie Cauchy’ego: (1) 1 y  , otrzymamy 1

1 1

1 C C y

     jest x rozwiązaniem szczególnym. Uwzględniając warunek początkowy (0) 0 y  otrzymamy rozwiązanie ( ) 0 y x  . Czy to jest rozwiązaniem szczególnym?

4.5. Równania różniczkowe jednorodne rzędu pierwszego

4A21 Definicja (równanie jednorodne) W ten sposób nazywamy RR o postaci

y   f x y ( , ) , (15) gdzie ( , ) f tx ty  f x y ( , ) dla dowolnego t  , ( , ) x y   D

²

, lub o postaci

'

y

y _{  }  ^{ } x

  (15

^*

) gdzie funkcja  jest ciągła w przedziale ( , ) a b , lub o postaci różniczkowej

( , ) ( , ) 0

M x y dx  N x y dy  , (15**) gdzie M tx ty ( , )  t M x y N tx ty

^k

( , ), ( , )  t N x y t

^k

( , ),  ,    k 1 ,( , ) x y  D

.

RR jednorodne można za pomocą podstawienia

y   (16) u x sprowadzić do RR o zmiennych rozdzielonych.

Dowód na przykład dla równania (15) mamy:

' ' '

( ) ( , ) (1, ) du (1, )

y ux u x u f x ux f u x f u u

      dx   

(9)

(1, )

du dx

f u u x

 

 (równanie o zmiennych rozdzielonych).

4B22

Twierdzenie(istnienie i jednoznaczność rozwiązań)

Jeżeli funkcja

f u ( )

w (13^*) będzie ciągła na przedziale (a,b) i spełnia na nim warunek f u( )u. Wtedy dla każdego punktu ( ,t y₀ ₀) takiego, że ⁰

0

y ,

a b

 x 

zagadnienie początkowe:

0 0

' y , ( )

y f y x y

x

     

 

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

4A+B23 Przykład. Rożważmy RR (10) w 4A+B15:

2 2

'

x x y

y y

 

 

.

Mamy:

2 2 2 2

( ) ( )

( , ) tx tx ty x x y ( , )

f tx ty f x y

ty y

   

    

^.

Więc jest wtedy to równanie

jednorodne.

Podstawiając y u x   , otrzymamy po redukcji

^'

1 1 u

²

u x u

u

 

  

.

Stąd wynika:

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

(1 1 )

1 1

ln 1 1 ln ln ln

1 1 1 ( 1) 2

2 .

du u u u

x u

dx u u

udu dx

u u x

udu dx u u x

d u dx

u x

u x C C

x

y C y C y C C

x x x x x x x

y C Cx

    

     

  

  

   

  

    

 

      

          

 

 

Stąd wynika, że reflektorami szukanymi są paraboli.

Praca domowa

1. Sprawdzić, czy podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych RR na zadanych przedziałach:

(10)

a) ln , (1, ), ;

x

x e

y e x x y y

 x

     ²

2

arcsin

b) , ( 1,1), (1 ) 1;

1

y x x y x xy

x

      



2 2 2

c) y  x   x 1, x  , y   0; d) y  x  cos , x x  , y     y 2 x .

2. Sprawdzić, czy podane funkcje są rozwiązaniami (całkami) ogólnymi wskazanych RR na zadanych przedziałach:

2

1 2 3

a) ln , (1, ), ; b) , , 0;

x

x x e

y Ce e x x y y y C x C x C x y

 x 

          

2 2

1 2

c) y  x  cos , x x  , y    y C sin x  C cos x   2 x .

3. Rozwiązać zagadnienie początkowe

(0) 0, (0) 1, (0) 2 y

y y

 

  

   



dla RR y  . 0

4. Scałkować podane RR rzedu pierwszego oraz rozwązać odpowiedniezagadnienia początkowe: