Rozwa˙zmy ci¸ ag liczbowy {a n }, gdzie a n ∈ R dla ka˙zdego n ∈ N. Z wyraz´ow tego ci¸agu tworzymy nowy ci¸ ag {S n } w spos´ ob nast¸epuj¸ acy:

Szeregi liczbowe

1 Definicja szeregu liczbowego

Rozwa˙zmy ci¸ ag liczbowy {a n }, gdzie a n ∈ R dla ka˙zdego n ∈ N. Z wyraz´ow tego ci¸agu tworzymy nowy ci¸ ag {S _n } w spos´ ob nast¸epuj¸ acy:

S ₁ = a ₁ , S ₂ = a ₁ + a ₂ , S ₃ = a ₁ + a ₂ + a ₃ , og´ olnie

S n = a 1 + a 2 + . . . + a n ≡

n

X

k=1

a k . Przyk lad 1. Niech a n = ₂ ¹

, n ∈ N. Wtedy

S 1 = 1 2 , S ₂ = 1

2 + 1 4 = 3

4 , S ₃ = 1

2 + 1 4 + 1

8 = 7 8 , og´ olnie

S _n = 1 2 + 1

4 + . . . + 1 2 ⁿ =

n

X

k=1

1 2 ^k . Poniewa˙z ci¸ ag {a _n } jest ci¸agiem geometrycznym, wi¸ec

S _n = 1

2 · 1 − ¹ ₂
n

1 − ¹ ₂ = 1 −  1 2

 n

. Definicja 1. Ci¸ ag {S _n } sum cz¸e´sciowych

S n =

n

X

k=1

a k (1)

nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem

∞

X

n=1

a _n . (2)

Zamiast (2) mo˙zna te˙z napisa´ c

a ₁ + a ₂ + . . . + a _n + . . .

lub

a ₁ + a ₂ + a ₃ + . . . .

Liczby a 1 , a 2 , a 3 , . . ., nazywamy wyrazami szeregu (2), a n nazywamy n-tym wyrazem szeregu.

Wyrazy ci¸ agu (1) nazywamy sumami cz¸ e´ sciowymi szeregu (2). Wyraz n-ty ci¸ agu {S _n } nazywamy n-t¸ a sum¸ a cz¸ e´ sciow¸ a szeregu (2).

Definicja 2. Szereg liczbowy (2) nazywamy zbie˙znym, je˙zeli ci¸ ag jego sum cz¸e´sciowych (1) jest zbie˙zny do granicy w la´sciwej, czyli

n→∞ lim S _n = S (3)

natomiast rozbie˙znym w przeciwnym przypadku. Granic¸e S, okre´slon¸ a wzorem (3), nazywamy sum¸ a szeregu (2).

Przyk lad 2. Szereg

∞

X

n=1

1 2 ⁿ = 1

2 + 1

4 + . . . + 1 2 ⁿ + . . . jest zbie˙zny, poniewa˙z

n→∞ lim



1 −  1 2

 n 

= 1.

Suma tego szeregu jest r´ owna 1, tzn.

∞

X

n=1

1 2 ⁿ = 1.

Szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ = 1 − 1 + . . . + (−1) ⁿ⁺¹ + . . . jest rozbie˙zny, poniewa˙z

S _n =  1 gdy n nieparzyste 0 gdy n parzyste wi¸ec lim S n nie istnieje.

Twierdzenie 1. (warunek konieczny zbie˙zno´ sci szeregu) Je˙zeli szereg (2) jest zbie˙zny, to

n→∞ lim a _n = 0. (4)

Przyk lad 3. Szereg

∞

X

n=1

1 2 ⁿ jest zbie˙zny, zatem

n→∞ lim

 1 2

 n

= 0.

Szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ jest rozbie˙zny, poniewa˙z

n→∞ lim (−1) ⁿ⁺¹

nie istnieje.

Klasycznym i wa˙znym przyk ladem szeregu, kt´ ory mimo, ˙ze spe lnia warunek (4), jest rozbie˙zny, jest tzw. szereg harmoniczny

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1

2 + . . . + 1

n + . . . . Twierdzenie 2. Szereg postaci

∞

X

n=1

a · q ⁿ⁻¹ = a + a · q + . . . + a · q ⁿ + . . .

zwany szeregiem geometrycznym, jest rozbie˙zny, gdy |q| ≥ 1, natomiast zbie˙zny, gdy a = 0 (wtedy S = 0) lub |q| < 1 (wtedy S = _1−q ^a ).

2 Szeregi liczbowe o wyrazach nieujemnych

Rozwa˙zmy szereg (2), czyli

∞

X

n=1

a _n , gdzie a _n ≥ 0.

Twierdzenie 3. (kryterium por´ ownawcze) Je˙zeli wyrazy szereg´ ow

∞

X

n=1

a _n (5)

oraz ∞

X

n=1

b _n (6)

s¸ a nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba n ₀ ∈ N ∪ {0}, ˙ze dla ka˙zdego n > n 0 spe lniona jest nier´ owno´s´ c

0 ≤ a n ≤ b n

to

1 ⁰ ze zbie˙zno´sci szeregu (6) wynika zbie˙zno´s´ c szeregu (5), 2 ⁰ z rozbie˙zno´sci szeregu (5) wynika rozbie˙zno´s´ c szeregu (6).

Przyk lad 4. Szereg

∞

X

n=1

√ 1 n jest rozbie˙zny, poniewa˙z dla ka˙zdego n ∈ N zachodzi

0 ≤ 1 n ≤ 1

√ n , a szereg

∞

X

n=1

1

n

jest rozbie˙zny.

Szereg

∞

X

n=1

1 n · 2 ⁿ jest zbie˙zny, poniewa˙z dla ka˙zdego n ∈ N zachodzi

0 ≤ 1

n · 2 ⁿ ≤ 1 2 ⁿ , a szereg

∞

X

n=1

1 2 ⁿ jest zbie˙zny.

Twierdzenie 4. Szereg postaci

∞

X

n=1

1

n ^α α ∈ R

zwany szeregiem Dirichleta lub uog´ olnionym szeregiem harmonicznym, jest rozbie˙zny dla α ≤ 1, natomiast jest zbie˙zny dla α > 1.

Twierdzenie 5. (kryterium d’Alemberta) Je˙zeli istnieje granica (w la´sciwa albo niew la´sciwa) λ = lim

n→∞

a n+1

a _n (7)

to szereg o wyrazach dodatnich

∞

X

n=1

a _n (8)

jest zbie˙zny, gdy λ < 1, natomiast rozbie˙zny, gdy λ > 1.

Uwaga Je˙zeli λ = 1, to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga tego, czy szereg (8) jest zbie˙zny, czy te˙z rozbie˙zny. Trzeba wtedy stosowa´ c inne kryteria.

Przyk lad 5. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=1

2 ⁿ n!

Mamy

a n = 2 ⁿ

n! oraz a n+1 = 2 ⁿ⁺¹ (n + 1)!

wi¸ec

a n+1

a _n = 2 ⁿ⁺¹ (n + 1)! · n!

2 ⁿ = 2 n + 1 st¸ ad

λ = lim

n→∞

2 n + 1 = 0 co oznacza, ˙ze szereg jest zbie˙zny.

Rozwa˙zmy teraz szereg

∞

X

n=1

3 ⁿ

n ³

Mamy

a n = 3 ⁿ

n ³ oraz a n+1 = 3 ⁿ⁺¹ (n + 1) ³ wi¸ec

a _n+1

a _n = 3 ⁿ⁺¹ (n + 1) ³ · n ³

3 ⁿ = 3 ·

 n

n + 1

 3

st¸ ad

λ = 3 · lim

n→∞

 n

n + 1

 3

= 3 co oznacza, ˙ze szereg jest rozbie˙zny.

W przypadku szereg´ ow

∞

X

n=1

1 n

∞

X

n=1

1 n ²

mo˙zna pokaza´ c, ˙ze λ = 1, co oznacza, ˙ze kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga zbie˙zno´sci tych szereg´ ow, a z twierdzenia o szeregu Dirichleta wynika, ˙ze pierwszy z nich jest rozbie˙zny, a drugi zbie˙zny.

Twierdzenie 6. (kryterium Cauchy’ego) Je˙zeli istnieje granica (w la´sciwa albo niew la´sciwa) λ = lim

n→∞

√

a n (9)

to szereg o wyrazach nieujemnych

∞

X

n=1

a _n (10)

jest zbie˙zny, gdy λ < 1, natomiast rozbie˙zny, gdy λ > 1.

Uwaga Je˙zeli λ = 1, to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga tego, czy szereg (8) jest zbie˙zny, czy te˙z rozbie˙zny. Trzeba wtedy stosowa´ c inne kryteria.

Przyk lad 6. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=1

n · 3 ⁿ 5 ⁿ Mamy

a _n = n · 3 ⁿ

5 ⁿ oraz √

a _n = 3 5 · √

n st¸ ad

λ = 3 5 · lim

n→∞

√

n = 3 5 co oznacza, ˙ze szereg jest zbie˙zny.

Rozwa˙zmy teraz szereg

∞

X

n=1

 2n − 1 n + 3

 n

Mamy

a _n =  2n − 1 n + 3

 n

oraz √

a _n = 2n − 1 n + 3 st¸ ad

λ = lim

n→∞

2n − 1

n + 3 = 2

co oznacza, ˙ze szereg jest rozbie˙zny.

W przypadku szereg´ ow

∞

X

n=1

1 n

∞

X

n=1

1 n ²

mo˙zna pokaza´ c, ˙ze λ = 1, co oznacza, ˙ze kryterium Cauchy’ego tak˙ze nie rozstrzyga zbie˙zno´sci tych szereg´ ow.

3 Szeregi o wyrazach dowolnych

Definicja 2. Szereg postaci

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · b n ≡ b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + . . . (11)

gdzie b _n > 0 dla n ∈ N, nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Twierdzenie 7. (kryterium Leibniza) Je˙zeli ci¸ ag {b _n } spe lnia warunki

b ₁ ≥ b ₂ ≥ . . . ≥ b _n ≥ . . . (12)

oraz

n→∞ lim b _n = 0 (13)

to szereg naprzemienny (11) jest zbie˙zny.

Uwaga Je˙zeli szereg (11) jest zbie˙zny, to dla ka˙zdego n ∈ N mamy

|S − S n | ≤ b n+1

Przyk lad 7. Szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n jest zbie˙zny na podstawie kryterium Leibniza, gdy˙z

b ₁ = 1

1 > b ₂ = 1

2 > b ₃ = 1

3 > . . . > b _n = 1 n > . . . oraz

n→∞ lim b _n = lim

n→∞

1 n = 0.

Analogicznie szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n ³ jest zbie˙zny na postawie kryterium Leibniza. Mamy ponadto

S ₄ = 1 1 ³ − 1

2 ³ + 1 3 ³ − 1

4 ³ = 1 − 1 8 + 1

27 − 1

64 = 1549

1728 ≈ 0, 896412.

Poniewa˙z

|S − S ₄ | ≤ b ₅ = 1

5 ³ ≈ 0, 008,

wi¸ec

S ₄ − 0, 008 ≤ S ≤ S ₄ + 0, 008, czyli

0, 888412 ≤ S ≤ 0, 904412.

Definicja 3. Szereg zbie˙zny

∞

X

n=1

a n (14)

nazywamy bezwzgl¸ ednie zbie˙znym, je˙zeli szereg

∞

X

n=1

|a _n | (15)

jest zbie˙zny.

Definicja 4. Szereg zbie˙zny

∞

X

n=1

a _n (16)

nazywamy warunkowo zbie˙znym, je˙zeli szereg

∞

X

n=1

|a n | (17)

jest rozbie˙zny.

Przyk lad 8. Szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n jest warunkowo zbie˙zny, gdy˙z szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n    

=

∞

X

n=1

1 n jest rozbie˙zny.

Szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n ³ jest bezwzgl¸ednie zbie˙zny, gdy˙z szereg

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ · 1 n ³

=

∞

X

n=1

1

n ³

jest zbie˙zny.