Wzór 1 Wzór 2 Uwagi 1

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych infor- macji. Kryteria zbie»no±¢ dla caªek niewªa±ciwych nale»y zna¢.

Przydatne wzory:

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)⁰ = 0 c ∈ R

2. (x^α)⁰ = αx^α−1 (^α)⁰ = α^α−1· ⁰ α ∈ R \ {0}

3. (√ⁿ

x)⁰ = ¹

nⁿ√ xⁿ⁻¹

√n

0

= ^0

nⁿ√

ⁿ⁻¹ n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)⁰ = cos x (sin )⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x)⁰ = − sin x (cos )⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x)⁰ = _cos¹2x (tg )⁰ = _cos^2⁰ x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)⁰ = −_sin¹2x (ctg )⁰ = −_sin^2⁰ x 6= kπ, k ∈ N 8. (a^x)⁰ = a^x· ln a (a^)⁰ = a^· ln a · ⁰ a > 0 9. (e^x)⁰ = e^x (e^)⁰ = e^· ⁰

10. (ln x)⁰ = _x¹ (ln )⁰ = ^_⁰ x > 0

11. (log_ax)⁰ = _{x ln a}¹ (log_a)⁰ = _{ ln a}^0 a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)⁰ = ^{√ 1}

1−x² (arcsin )⁰ = ^√0

1−² |x| < 1 13. (arccos x)⁰ = ^√−1

1−x² (arccos )⁰ = ^√−0

1−² |x| < 1 14. (arctg x)⁰ = _1+x¹ 2 (arctg )⁰ = _1+^02

15. (arcctg x)⁰ = _1+x⁻¹2 (arcctg )⁰ = _1+^−02

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x0)) : y − y0= f⁰(x0)(x − x0).

Równanie prostej normalnej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x0))o ile f⁰(x0) 6= 0 : y = −_f0(x¹0)· (x − x0) + f (x0).

Wzór na przybli»on¡ warto±¢: f(x) ≈ f(x0) + f⁰(x0)(x − x0).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan    

f⁰(x0) − g⁰(x0) 1 + f⁰(x₀) · g⁰(x₀)

    . W przypadku gdy 1 + f⁰(x0) · g⁰(x0) = 0to styczne te s¡ prostopadªe.

Wzór Leibniza: (f · g)⁽ⁿ⁾(x₀) =

n

P

k=0 n

k
f^(n−k)(x₀) · g^(k)(x₀).

Asymptota uko±na: prosta y = ax + b, gdzie a = lim

x→∓∞

f (x)

x i b = lim

x→∓∞[f (x) − ax].

Twierdzenie 1. (Lagrange'a o warto±ci ±redniej)

Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa w przedziale domkni¦tym [a, b] i ró»niczkowalna w przedziale otwartym (a, b). Wówczas istnieje taki punkt ζ ∈ (a, b), »e

f⁰(ζ) = f (b) − f (a) b − a . Twierdzenie 2. (wzór Taylora)

Je»eli funkcja f(x) ma n−t¡ pochodn¡ f⁽ⁿ⁾(x)w pewnym przedziale domkni¦tym zawieraj¡cym punkt x0, wówczas dla ka»dego x z tego przedziaªu ma miejsce nast¦puj¡cy wzór Taylora:

f (x) = f (x0) +^f0(x_1!⁰⁾(x − x0) +^f00_2!^(x0)(x − x0)²+ . . . +^f(n−1)_(n−1)!^(x0)(x − x0)ⁿ⁻¹+^f(n)_n!^(cn)(x − x0)ⁿ, gdzie x0< cn< x, gdy x > x0 lub x < cn< x0,gdy x < x0.

Lp. Wzór Uwagi

1. R 0dx = c

2. R adx = ax + c

3. R x^αdx = _α+1¹ x^α+1+ c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh²xdx = tgh x + c

11. R ₁

sinh²xdx = − ctgh x + c

12. R a^xdx = _{ln a}¹ a^x+ c a > 0

13. R e^xdx = e^x+ c

14. R ₁

xdx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos²xdx = tg x + c x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin²xdx = −ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R _{√ 1}

a²−x²dx = arcsin^x_a + c a 6= 0

18. R ₁

a²+x²dx = ¹_aarctg^x_a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x²+adx = ln x +√

x²+ a

+ c a ∈ R

20. R ₁

a²−x²dx = _2a¹ ln ^a+x_a−x

+ c a > 0, |x| 6= a

21. R f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+bdx = ¹_aln |ax + b| + c

23. R sinⁿxdx = −¹_ncos x sinⁿ⁻¹x +ⁿ⁻¹_n R sinⁿ⁻²xdx n ≥ 2 24. R cosⁿxdx = ¹_nsin x cosⁿ⁻¹x +ⁿ⁻¹_n R cosⁿ⁻²xdx n ≥ 2 25. R tgⁿxdx = _n−1¹ tgⁿ⁻¹x −R tgⁿ⁻²xdx n ≥ 2 26. R ctgⁿxdx = _n−1⁻¹ ctgⁿ⁻¹x −R ctgⁿ⁻²xdx n ≥ 2 27. R √

x²+ adx = ¹₂x√

x²+ a + ^a₂ln |x +√

x² + a| + c

28. R _dx

(x²+1)ⁿ = _2n−2¹ _(1+x^x2)ⁿ⁻¹ + ²ⁿ⁻³_2n−2R ₁

(1+x²)ⁿ⁻¹dx n ≥ 2

29. R √

a²− x²dx = ^a₂² arcsin_|a|^x + ^x₂√

a²− x²+ c

Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju

Z Ax + B

(ax²+ bx + c)ⁿdx, (4 = b²− 4ac < 0).

Powy»sz¡ caªk¦ przedstawiamy w postaci:

Z Ax + B

(ax²+ bx + c)ⁿdx = C

Z 2ax + b

(ax²+ bx + c)ⁿdx +

Z D

(ax²+ bx + c)ⁿdx.

Pierwsz¡ caªk¦ liczymy stosuj¡c podstawienie ax²+ bx + c = t, a drug¡ sprowadzamy do postaci kanonicznej

Z D

[a(x − p)²+ q]ⁿdx, 

p = − b

2a, q = −4 4a



; nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p = p|^q_a| · t, mamy

Z D

(t²+ 1)ⁿdt.

T¡ caªk¦ (dla n ≥ 2) liczymy stosuj¡c wzór redukcyjny 28.

Obliczanie caªek niewymiernych:

2a. Caªk¦ postaci R ^√_ax2^dx+bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)²+q i dokonujemy podstawienia x − p =q₁

|a|t.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax²+ bx + cdxsprowadzamy do R pa(x − p)²+ qdxi dokonujemy podstawienia x−p =q ₁

|a|t, a nast¦pnie stosujemy wzory ze strony 1

3. Caªk¦ postaci R ^√_ax^W2ⁿ+bx+c^(x) dx,gdzie Wn(x)jest wielomianem stopnia n, przedstawiamy jako:

Z Wn(x)

√ax²+ bx + cdx = (A_n−1xⁿ⁻¹+ . . . A₁x + A₀)p

ax²+ bx + c + λ

Z dx

√ax²+ bx + c, w celu wyliczenia An−1, . . . , A₁, A₀, λobustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez√

ax²+ bx + ci otrzymujemy równanie wielomianowe.

4. Caªk¦ postaci R P (x)√

ax²+ bx + c dxpoprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez√

ax²+ bx + c przeksztaªcamy do postaci R ^(ax√²+bx+c)P (x)

ax²+bx+c dx. Nast¦pnie stosujemy algorytm z punktu 3.

5. Caªk¦ postaci R _(x−k)n√^dx

dx²+ex+f poprzez podstawienie x − k = ¹_t przeksztaªcamy do postaci R ^√_at^t2ⁿ⁻¹+bt+cdt,a wi¦c caªki z podpunktu 3.

6. Caªki typu R W (x,√

ax²+ bx + c)dx, gdzie W jest funkcj¡ wymiern¡ sprowadzamy najpierw do postaci kano- nicznej i stosujemy podstawienia:

a) R W (t,√

A²− t²)dtstosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;

b) R W (t,√

A²+ t²)dtstosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;

c) R W (t,√

t²− A²)dtstosujemy podstawienie: t = _{cos w}^A lub t = A cosh w.

7. Podstawienia Eulera

a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a > 0 : √

ax²+ bx + c = −√ ax + t;

b) drugie podstawienie Eulera, gdy c > 0 : √

ax²+ bx + c = xt +√ c;

c) trzecie podstawienie Eulera, gdy wyró»nik ∆ > 0 √

ax²+ bx + c = pa(x − x1)(x − x2) = t(x − x1), gdzie x1, x2 to pierwiastki trójmianu ax²+ bx + c.

8. Caªki dwumienne: caªki postaci R x^m(a + bxⁿ)^p, gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi. Wówczas a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie: ^N√

x = t,

gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;

b) gdy ^m+1_n jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:q ^N√

a + bxⁿ= t, gdzie N jest mianownikiem liczby p;

c) gdy ^m+1_n + pjest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie: ^Nq

a+bxⁿ xⁿ = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p.

Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg^x₂.Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t²dt, sin x = 2t

1 + t², cos x = 1 − t² 1 + t².

2. Caªk¦ R W (sin²x, cos²x, sin x cos x)dxobliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t²dt, sin²x = t²

1 + t², cos²x = 1 1 + t².

3. Caªk¦ postaci R sin^mx · cosⁿxdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzorów:

sin x sin y = 1

2[cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y =1

2[cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2[sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:

cos²x = ^{1+cos 2x}₂ , sin²x = ^{1−cos 2x}₂ , cos 2x = cos²x − sin²x, sin 2x = 2 sin x cos x.

Pole obszaru pªaskiego:

a) Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza, »e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = bwyra»a si¦ wzorem: |P | =R^b

a

[f (x) − g(x)]dx;

b) we wspóªrz¦dnych biegunowych r = f(ω), gdzie ω ∈ [α, β] wyra»a si¦ wzorem: |P | = ¹₂R^β

α

f²(ω)dω;

c) we wspóªrz¦dnych parametrycznych:

(x = x(t),

y = y(t), wyra»a si¦ wzorem |P | =

t2

R

t₁

y(t)x⁰(t)dt, o ile x(t), y(t) s¡ klasy C¹,przy czym y(t) ≥ 0 oraz x⁰(t) > 0dla [t1, t2]. Lub |P | =R^t2

t1

|y(t)x⁰(t)|dt, o ile funkcje x⁰(t), y(t)s¡ ci¡gªe, x(t) jest monotoniczna, a y(t) jest staªego znaku w przedziale [t1, t₂].

Dªugo±¢ krzywej:

a) w postaci y = f(x) dla x ∈ [a, b] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

b

R

a

p1 + (f⁰(x))²dx;

b) w postaci biegunowej r = f(ω) dla α ≤ ω ≤ β wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

β

R

α

q

r²+ _dω^dr
2 dω;

c) w postaci parametrycznej:

(x = x(t),

y = y(t), gdzie t ∈ [t1, t2] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

t2

R

t1

px⁰²(t) + y⁰²(t)dt, gdzie funkcje x(t), y(t) ∈ C¹([t₁, t₂])oraz x⁰²(t) + y⁰²(t) > 0dla ka»dego t ∈ [t1, t₂].

Obj¦to±¢ bryªy obrotowej V powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: |V | = π

b

R

a

f²(x)dx;

b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: |V | = 2π

b

R

a

xf (x)dx;

c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej

(x = x(t),

y = y(t), gdzie t ∈ [t1, t₂] wyra»a si¦

wzorem: |V | = π

t2

R

t₁

y²(t)|x⁰(t)|dt, gdzie x⁰(t), y(t) ∈ C([a, b]),ponadto funkcja x(t) jest w tym przedziale stale monotoniczna (x⁰(t)jest staªego znaku), a funkcja y(t) przybiera warto±ci nieujemne.

Pole powierzchni bryªy obrotowej powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: |P | = 2πR^b

a

f (x)p1 + (f⁰(x))²dx;

b) obrotu wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: |P | = 2πR^b

a

xp1 + (f⁰(x))²dx.

Zachodzi wzór:

d dx







b(x)

Z

a(x)

f (t)dt





= b⁰(x) · f b(x)
− a⁰(x) · f a(x)
,

o ile dla ka»dego x funkcja f(x) jest ci¡gªa na przedziale [a(t), b(t)], gdzie a(t), b(t) to funkcje klasy C¹.