1. Korzystając z reguły de l’Hˆ ospitala obliczyć granice następujących funkcji:

Lista nr 10 TRiL, sem.I, studia stacjonarne, 2013/14

Reguła de l’Hˆ ospitala. Badanie przebiegu zmienności funkcji

1. Korzystając z reguły de l’Hˆ ospitala obliczyć granice następujących funkcji:

a) lim

x → 0

e ^x + e ^−x − 2

1 − cos 2x , b) lim

x → 0

arc tg 2x

arc sin 5x , c) lim

x → +∞

x

ln(1 + x) , d) lim

x → 0

ln sin x ln sin 5x , e) lim

x → 0

 1 sin x − 1

x



, f) lim

x → 0



ctg x − 1 x



, g) lim

x → 0 ctg x · ln(x + e ^x ), h) lim

x →

sin(2x − 1) · tg(πx) 2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema następujących funkcji:

a) f (x) = x ³ + 3x ² + 3x, b) f (x) = x ³ − 3x + 5, c) f (x) = x ² (x − 6), d) f (x) = 3 − 2x ² − x ⁴ , e) f (x) = x ² 1 − x , f) f (x) = 4x

x ² + 4 , g) f (x) = x − x ² − 1, 5

2x + 1 , h) f (x) = 1 − x ³

x ² , i) f (x) = x ² 2 + 8

x ² . j) f (x) = x ² e ^−x , k) f (x) = e ^−x + e ^2x , l) f (x) = (x ² + 4x + 4)e ^2x , m) f (x) = x ln x, n) f (x) = x ² ln x, o) f (x) = x ³ ln x.

3. Znaleźć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości krzywych:

a) f (x) = x ³ − 3x ² − 9x + 9, b) f (x) = x + 36x ² − 2x ³ − x ⁴ , c) f (x) = 1

x ² − 4 , d) f (x) = x ² + 2x − 15 2 − x , e) f (x) = (x ² − x + 2)e ^x , f) f (x) = x ln x, g) f (x) = x ² ln x, h) f (x) = x ³ ln x.

4. Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy:

a) y = p

x ³ − 6x ² , b) y = x − x ² − 1, 5

2x + 1 , c) y = 1 − x ³

x ² , d) y = x ² + 2x − 15

2 − x .