Wówczas y0 = dy dx = dy dt · dt dx = a ax + by;˙ y00= d dx  a ax + by

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 25 kwietnia 2015

Równanie Eulera

Zajmiemy si¦ teraz pewnym szczególnym przypadkiem równania liniowego o zmiennych wspóª- czynnikach, które b¦dzie sprowadzalne do równania liniowego o staªych wspóªczynnikach.

Równanie:

a₀(ax + b)ⁿy⁽ⁿ⁾(x) + a₁(ax + b)ⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . + a_n−1(ax + b)y⁰(x) + a_ny(x) = f (x), (1) gdzie wspóªczynniki a0, a₁, . . . , a_n, a, b s¡ liczbami rzeczywistymi nazywamy ogólnym równaniem Eulera. Równanie to zostaje sprowadzone do równania o staªych wspóªczynnikach poprzez pod- stawienie:

t = ln(ax + b) lub ax + b = e^t. Wówczas

y⁰ = dy dx = dy

dt · dt

dx = a ax + by;˙ y⁰⁰= d

dx

 a

ax + by˙



= d ˙y dx

a

ax + b + d dx

 a

ax + b



˙ y = d ˙y

dt · dt dx

a ax + b −

 a

ax + b

2

˙ y

=

 a

ax + b

2

(¨y − ˙y);

y⁰⁰⁰ = d dx

"

 a

ax + b

2

(¨y − ˙y)

#

= d(¨y − ˙y) dx

 a

ax + b

2

+ d dx

 a

ax + b

2

(¨y − ˙y)

= d(¨y − ˙y) dt · dt

dx

 a

ax + b

2

− 2

 a

ax + b

3

(¨y − ˙y) =

 a

ax + b

3

(...

y − 3¨y + 2 ˙y);

y^{(IV )}=

 a

ax + b

4

(^....y − 6...

y + 11¨y − 6 ˙y);

...

(2)

Najcz¦±ciej spotykany jest przypadek szczególny równania (1), gdy a = 1, b = 0 :

a₀xⁿy⁽ⁿ⁾(x) + a₁xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . + a_n−1xy⁰(x) + a_ny(x) = f (x), (3) Zatem u»ywamy podstawienia:

t = ln x lub x = e^t oraz mamy

y⁰ = 1 xy;˙ y⁰⁰ = 1

x²(¨y − ˙y);

y⁰⁰⁰ = 1 x³(...

y − 3¨y + 2 ˙y);

y^{(IV )}= 1

x⁴(^....y − 6...

y + 11¨y − 6 ˙y);

...

(4)

1

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 25 kwietnia 2015

Przykªad 1. Rozwi¡» równanie:

x³y⁰⁰⁰− x²y⁰⁰+ 2xy⁰ − 2y = x³. (5) Rozwi¡zanie: Jest to równanie Eulera typu (3). Zatem kªad¡c t = ln x oraz korzystaj¡c ze wzorów (4) równanie (5) przybiera posta¢:

x³· 1 x³(...

y − 3¨y + 2 ˙y) − x² 1

x²(¨y − ˙y) + 2x1

xy − 2y = e˙ ^3t, wi¦c otrzymali±my równanie liniowe trzeciego rz¦du o staªych wspóªczynnikach:

...y − 4¨y + 5 ˙y − 2y = e^3t. (6)

Rozwi¡zujemy najpierw równanie jednorodne...

y −4¨y+5 ˙y−2y = 0.Odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne ma posta¢:

λ³− 4λ²+ 5λ − 2 = 0.

Rozkªadamy do postaci iloczynowej (np. z wykorzystaniem metody Hornera):

(λ − 1)²(λ − 2) = 0.

Pierwiastki równania charakterystycznego to λ1,2 = 1 λ₃ = 2. Zatem (CORJ) ma posta¢:

y(t) = (C₁+ C₂t) e^t+ C₃e^2t.

Nast¦pnie stosujemy metod¦ przewidywa« do wyznaczenia (CSRN). Mamy tutaj przypadek nierezonansowy, wi¦c przewidywana posta¢ to:

ey(t) = Ae^3t,

wi¦c ˙

ey(t) = 3Ae^3t, ¨

y(t) = 9Aee ^3t, ...

y (t) = 27Aee ^3t. Kªad¡c powy»sze y(t), . . . ,e ...

y (t)e w równaniu (6) mamy równanie na wyznaczenie A : 27Ae^3t− 36Ae^3t+ 15Ae^3t− 2Ae^3t= e^3t.

St¡d 4a = 1, wi¦c a = ¹₄ oraz y(t) =e ¹₄e^3t. Wówczas rozwi¡zanie ogólne równania (6) jest postaci:

y(t) = (C₁+ C₂t) e^t+ C₃e^2t+ 1 4e^3t.

Uwzgl¦dniaj¡c dokonane podstawienie t = ln x, otrzymujemy rozwi¡zanie ogólne równania (5):

y(x) = (C₁+ C₂ln x) x + C₃x²+ 1 4x³.

2