Funkcj¡ wymiern¡ nazywamy funkcj¦ f : (R \ A

Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne

Informacje pomocnicze

Denicja 1. (uªamki proste) Wyra»enia postaci

A

(dx + e)ⁿ, gdzie A, d, e ∈ R, n ∈ N nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju.

Wyra»enia postaci Bx + C

(ax²+ bx + c)^k, gdzie B, C, a, b, c ∈ R, k ∈ N, oraz ∆ = b²− 4ac < 0 nazywamy uªamkami prostymi drugiego rodzaju.

Przypomnijmy znan¡ ju» denicj¦:

Denicja 2. Funkcj¡ wymiern¡ nazywamy funkcj¦ f : (R \ A) → R b¦d¡c¡ ilorazem dwóch wielomianów:

f (x) = P_n(x) Qm(x)

gdzie Pn(x)jest wielomianem stopnia n, a Qm(x)to wielomian stopnia m, za± A to zbiór wszystkich miejsc zerowych wielomianu Qm(x). Ponadto je»eli n < m, to tak¡ funkcj¦ nazywamy funkcj¡

wymiern¡ wªa±ciw¡.

Twierdzenie 1. Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ wªa±ciw¡ postaci:

W (x) = P_n(x)

Q_m(x), gdzie n < m (1)

mo»na w sposób jednoznaczny rozªo»y¢ na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.

Algorytm rozkªadania na uªamki proste funkcji wymiernej wªa±ciwej:

1. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) = _Q(x)^{P (x)} zgodnie z wªasno±ci¡:

wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y¢ na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci:

Q(x) = q_m(x − e₁)ⁿ¹(x − e₂)ⁿ²· · · (x − e_l)^nl· (x² + b₁x + c₁)^k1. . . (x²+ b_rx + c_r)^kr, gdzie δi = b²_i − 4c_i < 0 dla i = 1, 2, ...., r.

2. Wspóªczynnik qm przyjmujemy, »e jest równy 1. Mo»na tak zrobi¢, o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez qm.

3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast¦puj¡cy sposób na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju:

W (x) = P (x)

Q(x) = p_nxⁿ+ p_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + p₁x + p₀

(x − e₁)ⁿ¹(x − e₂)ⁿ²· · · (x − e_l)^nl· (x²+ b₁x + c₁)^k1. . . (x²+ b_rx + c_r)^kr

= A₁ x − e1

+ A₂

(x − e1)² + · · · + A_n1

(x − e1)ⁿ¹ + . . . + B₁ x − el

+ B₂

(x − el)² + · · · + B_nl (x − el)^nl + C₁x + D₁

x² + b1x + c1

+ C₂x + D₂

(x²+ b1x + c1)² + · · · + C_k1x + D_k1 (x²+ b1x + c1)^k1 + · · · + E₁x + F₁

x²+ b_rx + c_r + E₂x + F₂

(x²+ b_rx + c_r)² + · · · + E_krx + F_kr

(x²+ b_rx + c_r)^kr (2) 4. Aby wyznaczy¢ wspóªczynniki A1, A2, . . . , B1, B2, . . . C1, D1, . . . , Ekr, Fkr nale»y sprowadzi¢

praw¡ stron¦ (2) do wspólnego mianownika, a nast¦pnie porówna¢ licznik otrzymanego wy- ra»enia z wielomianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych.

Uwaga 1. Je»eli W (x) = ^{P (x)}_Q(x) oraz stopie« wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli¢ wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt¦ z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa¢:

P (x)

Q(x) = Z(x) + R(x)

Q(x). (3)

Przykªad 1. Zaproponuj posta¢ uªamków prostych dla nast¦puj¡cych wyra»e« wymiernych:

a) _(x−1)(x+2)^2x−1 = _x−1^A +_x+2^B ;

b) _(x−1)^2x2+3x−12(x+2) = _x−1^A +_(x−1)^B 2 +_x+2^C ;

c) _(x−1)3(x+2)^2x+12(x+1)(x−2) = _x−1^A +_(x−1)^B 2 + _(x−1)^C 3 + _x+2^D +_(x+2)^E 2 + _x+1^F +_x−2^G ;

d) _(x²_+x+5)(x+2)^10x2−1 = _x^Ax+B2+x+5 + _x+2^C ;

e) _(x²_+2x+2)²_(x^3x22_+3)(x−2)^{−1 2}_(x−1) = _x2^Ax+B+2x+2+ _(x2^Cx+D+2x+2)² + ^Ex+F_x2+3 + _x−2^G + _(x−2)^H 2 +_x−1^I . Przykªad 2. Rozªó» na uªamki proste:

a) _x3+x^{1 2}. Najpierw rozkªadamy mianownik na czynniki x³+ x² = x²(x + 1), a nast¦pnie funkcj¦ wymiern¡ na uªamki proste:

1

x³+ x² = A x + B

x² + C

x + 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx²

x²(x + 1) = (A + C)x²+ (A + B)x + B x²(x + 1) .

St¡d

x² : 0 = A + C x¹ : 0 = A + B, x⁰ : 1 = B.

Rozwi¡zuj¡c powstaªy ukªad mamy: B = 1, A = −1, C = 1, wi¦c 1

x³+ x² = −1 x + 1

x² + 1 x + 1. b) ^2x_x3²−3x+2^−3x−1.

Najpierw rozkªadamy mianownik na czynniki np. z u»yciem metody Hornera x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2).

Teraz rozkªadamy na uªamki proste:

2x²+ 3x − 1

(x − 1)²(x + 2) = A

x − 1+ B

(x − 1)² + C x + 2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

2x²+ 3x − 1

(x − 1)²(x + 2) ≡ A(x − 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1)² (x − 1)²(x + 2)

= (A + C)x + (B − A − 2C)x + C − 2A + 2B (x − 1)²(x + 2) . Porównuj¡c wspóªczynniki mamy:

x² : 2 = A + C, x¹ : 3 = B − A − 2C, x⁰ : −1 = C − 2A + 2B

Rozwi¡zuj¡c powy»szy ukªad trzech równa« z trzema niewiadomymi mamy: A = 3²₅, B = 3³₅, C = −1²₅. Wobec tego:

2x² + 3x − 1

(x − 1)²(x + 2) = 32 5

1

x − 1 + 33 5

1

(x − 1)² − 12 5

1 x + 2. Denicja 3. Funkcj¦ wymiern¡ postaci:

f (x) = ax + b

cx + d, gdzie ad 6= bc oraz c 6= 0

nazywamy funkcj¡ homograczn¡. Wykresem jej jest hiperbola. Dziedzin¡ jest zbiór Df = R\{^−d_c }, a zbirem warto±ci funkcji Wf = R \ {^a_c}.

Posiada, dwie asymptoty:

• asymptot¦ pionow¡ o równaniu x = −^d_c;

• asymptot¦ poziom¡ o równaniu y = ^a_c. Jest monotonicznie:

• malej¡ca, gdy ad − bc < 0;

• rosn¡ca, gdy ad − bc > 0.

Rysunek 1: funkcja homograczna Szczególnym przypadkiem funkcji homogracznej jest funkcja postaci:

f (x) = a x.

Jej Df = R \ {0}, a Wf = R \ {0}. Posiada, te» dwie asymptoty:

• asymptot¦ pionow¡ o równaniu x = 0;

• asymptot¦ poziom¡ o równaniu y = 0.

Dla a < 0 jest monotonicznie malej¡ca i jej wykres znajduje si¦ w II i IV ¢wiartce ukªadu wspóª- rz¦dnych, a dla a > 0 monotonicznie rosn¡ca i jej wykres znajduje si¦ w I i III ¢wiartce ukªadu wspóªrz¦dnych.

Rysunek 2: funkcja y = ^a_x

Uwaga 2. Wykresem funkcji f(x) = _x−p^s + q jest hiperbola, któr¡ otrzymujemy z przesuni¦cia wykresu funkcji f(x) = ^s_x o p jednostek w prawo i q jednostek do góry.

Uwaga 3. Posta¢ f(x) = _x−p^s + q funkcji homogracznej nazywamy postaci¡ kanoniczn¡.

Uwaga 4. Wzór ka»dej funkcji homogracznej postaci f(x) = ^ax+b_cx+d, gdzie ad − bc 6= 0 i c 6= 0 mo»na zapisa¢ w postaci f(x) = _x−p^s + q.

Zadania

1. Wyznacz dziedzin¦ wyra»e« wymiernych, a nast¦pnie wykonaj dziaªania. Wynik przedstaw w jak najprostszej postaci.

a) _x−4^2x + 5, b) ^3x−1_x+5 − _x−1^4x ,

c) ^x−1_x+3 − x², d) ^4−x_x2 + _x³3, e) _(x+1)(x−3)^4x2+1 + ^1−5x_x−3, f ) _x^x2²+3x⁻¹ + ^x+5_x+3

g) _x2−x−12^3x +_x+3² , h) _x2^x−1−x−6 +_x2+7x+10^x+1 − _x2+x−2²

i) _x2⁵−4 · ^x−2_x−5, j) _x^x2²−4x−5^−x−6 · ^x2−6x+5_x+2 k) _x+5^3x2 : _x^x2²⁻²⁵+3x, l) ^x_x²2^+4x+3−7x+6 : _x^x2²−2x−3^+x−2. 2. Rozwi¡» równania:

a) ^3x+6_x2−1 = 0, b) _x2^x−6x+5²⁻²⁵ = 0, c) ^x_x²2^+3x−10+6x+5 = 0, d) ^8x−2_1−x2 +^2x+1_x−1 = 0, e) _2x+1^5x − 2 = ^x−2_x+5, f ) _x3+4x^3x2+2x+8 = _x2+6x+8² , g) _4−x⁴ 2 + _x+2¹ = 2, h) _x−2⁷ + _x2−2x⁴ − _x2−3x+2¹ = 0, i) 1 − _x¹2
· _x+1^x = ^x−1_x , j) _x2^x+2x+4³⁻⁸ = 1 −_x¹2
: ¹_x − x
3. Rozwi¡» nierówno±ci:

a) ^x(x+3)_x−4 < 0, b) ^x_x−3²⁻⁹ ≥ 0,

c) _x−2¹ < _8x⁷ , d) ^x_x²2^−2x−3−x−12 ≤ 0,

e) _5+3x⁴ + _6−5x⁷ < 0, f ) _x2−4x+3³ − _−x2+5x−4^x ≥ 0, g) ^x_x+1^2+x +^x_x−1^2−x > 2, h) 

_x+4^x  ≤ 3, i) 

^x−1

x−2

> x − 1.

4. Zaproponuj posta¢ uªamków prostych wyra»e« wymiernych:

a) _(x−4)(x+5)^x+3 , b) (x+1)(x−2)(x+5)^x2−9 , c) (x+1)(x−2)(x+5)^{x2+7 3}, d) _(x+1)(x−2)^x2+72(x+5)⁵, e) _(x−1)(x^x2+72+1), f ) _(x−1)(x2+1)(x^x2+72+x+2)³. 5. Rozªó» wyra»enie wymierne na uªamki proste:

a) _x2^x−14−3x−4, b) ^x_x³3^+4x+3x^22+9x+9+4x+2, c) _x^2x3−x^2+x−42−2x, d) _(x+2)^x2²(x+4)², e) _x3−9x^3x2−8x+32+6x−54dx, f ) ^2x4_2x^−2x3−x−1^2+4x−1,

6. Dla jakiej warto±ci parametru m funkcja f(x) = ^x2_x^{−2(m−3)x+12}_+3x+m+2 jest okre±lona dla ka»dej liczby rzeczywistej x i ma dwa ró»ne miejsca zerowe.

7. Wyznacz warto±ci parametru m dla których równanie |x + 3| = _m−4^m ma dwa pierwiastki ró»nych znaków.

8. Znajd¹ asymptoty oraz wspóªrz¦dne wierzchoªków hiperboli:

a) y = _x−5¹ + 3, b) y = _x+4⁻² − 7,

9. Zapisz wzór funkcji homogracznej w postaci kanonicznej oraz wyznacz asymptoty tych funk- cji:

a) y = ^2x+8_x+3, b) y = ^−6x+5_2x−3 ,

c) y = _2x+5^x+4 , d) y = ^−5x+1_3x−4 ,

10. Asymptot¡ pionow¡ wykresu funkcji f(x)^4x+a_x+b jest prosta x = −3.

a) Oblicz b i podaj równanie asymptoty poziomej wykresu funkcji f.

b) Oblicz a, je»eli wiadomo, »e wykres funkcji f otrzymano z przesuni¦cia wykresu funkcji g(x) = _x⁵.