• Nie Znaleziono Wyników

Liczby zespolone – podstawy Równanie

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Liczby zespolone – podstawy Równanie"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

Równanie x2 1 0 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych . Tak więc nie każdy wielomian o współczynnikach należących do zbioru posiada miejsce zerowe należące do tego zbioru. Można powiedzied, że z punktu widzenia teorii wielomianów rzeczywistych i równao algebraicznych (tzn. wielomianowych) jest to pewna wada. Okazuje się jednak, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w większym zbiorze liczb zespolonych , który już tej „wady” nie posiada.

Początki teorii liczb zespolonych sięgają pierwszej połowy XVI wieku i są zasługą głownie matematyków włoskich – przede wszystkim Girolamo Cardano, Scipione del Ferro i Lodovico Ferrari.

Przypomnijmy, że iloczyn kartezjaoski zbiorów X i Y, oznaczany symbolem X Y , to uporządkowany zbiór par elementów należących do tych zbiorów:

{( , ) : , }.

XY defx y xX y Y

DEFINICJA. Zbiór   , w którym określono dwa działania dwuargumentowe  oraz  następująco

1 1 2 2 : 1 2 1 2

( ,x y) ( , x y )  (xx y, y ), (1)

1 1 2 2 : 1 2 1 2 1 2 2 1

( ,x y) ( , x y )  (x xy y x y, x y), (2) nazywamy zbiorem liczb zespolonych.1 Elementy tego zbioru nazywamy liczbami zespolonymi.

Działanie „ ” nazywamy dodawaniem (zespolonym), a działanie „ ” nazywamy mnożeniem (zespolonym). Dla liczby zespolonej z( , )x y liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast y częścią urojoną liczby zespolonej .z Częśd rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy przez Re ,z a częśd urojoną przez Im .z Z definicji zbioru liczb zespolonych wynika, że możemy je interpretowad jako punkty na płaszczyźnie z układem współrzędnych OXY. Oś rzędnych (pozioma, OX) nazywamy osią rzeczywistą (Re), a oś odciętych (pionowa, OY) – osią urojoną (Im).

1 Ściśle rzecz biorąc, w matematyce zbiór (oznaczany też symbolem C) wraz z podanymi działaniami nazywa się ciałem liczb zespolonych. Terminologia ta związana jest z tym, że w Algebrze Ogólnej rozważa się przede wszystkim tzw. struktury algebraiczne. Najważniejsze z nich to grupa, pierścień i ciało. Każda z tych struktur ma zdefiniowane działania, które posiadają pewne charakterystyczne własności. Okazuje się, że liczby zespolone ze swoimi działaniami + i  spełniają kryteria dla ciała (algebraicznego). Podobnie jest z liczbami rzeczywistymi – to też jest ciało algebraiczne (ale istotnie różne od ciała liczb zespolonych).

z = (x,y) = x+iy

x y

Im Re

(2)

Krzysztof Szyszkiewicz, AGH

W takim rozszerzonym zbiorze możemy wyróżnid podzbiór par ( ,0),x który ma wszystkie formalne własności liczb rzeczywistych. Dlatego możemy przyjąd, że  , a geometrycznie zbiór liczb rzeczywistych utożsamid z osią poziomą na płaszczyźnie zespolonej.

Z definicji (1), (2) wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych ma typowe własności znane z arytmetyki liczb rzeczywistych. Niech z z z z, ,1 2, 3 . Wtedy:

1) z1z2 z2 z1 (przemiennośd dodawania) 2) (z1z2)  z3 z1 (z2z3) (łącznośd dodawania)

3) z 0 z, gdzie 0 (0,0) (istnienie elementu neutralnego dodawania)

4)    z w takie, żez w 0 (istnienie elementu przeciwnego względem dodawania) 5) z z1  2 z2 z1 (przemiennośd mnożenia)

6) 1 z z gdzie 1 (1,0) (istnienie elementu neutralnego dla mnożenia)

7) jeżeli z0, to istnieje w takie, że z w 1 (istnienie elementu przeciwnego względem mnożenia – nazywamy go liczbą odwrotną)

8) z1(z2z3)   z z1 2 z z1 3 (rozdzielnośd mnożenia względem dodawania)

Szczególna rolę w zbiorze liczb zespolonych pełni liczba i(0, 1) , którą z powodów historycznych nazywamy jednostka urojoną. Obliczmy jej kwadrat (mnożenie zgodne ze wzorem (2)):

2 (0,1) (0,1) (0 0 1 1,0 1 1 0) ( 1,0) (1,0) 1, i   i i              

gdyż jak już wiemy liczba postaci (1,0) pełni rolę jedynki w i jest oznaczana symbolem 1.

Oznacza to, że równanie z2 1 0 w zbiorze ma rozwiązanie z1i (oczywiście drugim rozwiązaniem jest z2  i). Co więcej, łatwo sprawdzid, że są to jedyne rozwiązania, gdyż zachodzi tożsamośd

2 1 ( )( ),

z   z i zi którą sprawdzamy bezpośrednim rachunkiem:

2 2 2 2

(zi z)(  i) z    zi iz i z   ( 1) z 1.

Używając zatem znanego oznaczenia na pierwiastek kwadratowy możemy napisad:  1 i. Jest to jak najbardziej realna równośd, tyle że zachodzi w „szerszej” strukturze algebraicznej – w zbiorze zespolonych .

Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej

Z formalnej definicji liczb zespolonych wiemy, że są to pary ( , )x y liczb rzeczywistych. W praktyce (zwłaszcza rachunkowej) posługiwanie się takim zapisem nie jest wygodne. Postad algebraiczna takiej pary to wyrażenie x i y dla ,x y . Postad ta wynika z przyjętych działao w . Mamy zatem

( , ) ,

zx y  x i y

(3)

Posługiwanie się taką reprezentacją liczb zespolonych niezwykle ułatwia wykonywanie standardowych rachunków (mnożenie, dzielenie, dodawanie). Należy tylko pamiętad, że i2  1, a do wyrażenia x i y stosowad znane prawa (łącznośd, przemiennośd, rozdzielnośd). Niech np.

1 2 5 , 2 3 2 .

z   i z   i Wtedy mamy

1 2

2

1 2

2 1

2 2

2

2 5 3 2 5 3 ,

(2 5 ) (3 2 ) 6 4 15 10 6 11 10 ( 1) 16 11 ,

2 5 (2 5 )(3 2 ) 6 4 15 10 6 19 10( 1) 4 19 4 19

3 2 (3 2 )(3 2 ) 3 (2 ) 9 4( 1) 13 13 13 .

z z i i i

z z i i i i i i i

z i i i i i i i i

z i i i i i

      

               

           

      

     

DEFINICJA. Sprzężeniem liczby zespolonej z x i y nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem .

z x i y

Geometrycznie liczba sprzężona do z na płaszczyźnie zespolonej 2 jest jej obrazem w symetrii względem osi OX.

FAKT. (Własności sprzężenia zespolonego). Niech z z1, 2 . Wtedy zachodzą równości:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1

2 2

, , ,

, , 2 Re , 2 Im .

z z z z z z z z z z z z

z z

z z z z z z z z

z z

      

 

     

 

 

Moduł liczby zespolonej

DEFINICJA. Modułem liczby zespolonej z( , )x y  x iy nazywamy liczbę rzeczywistą | |z określoną wzorem | |zx2y2.

Z definicji wynika, ze moduł liczby zespolonej jest nieujemny: | | 0.z  Ponadto | | 0z   z 0. Jeżeli 0,

z to | | 0.z

Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględniej liczy rzeczywistej.

Geometrycznie moduł | |z jest równy odległości liczby z od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Dla dwóch liczb zespolonych z z1, 2 mamy z1  z2 x1 iy1(x2iy2)(x1x2)i y( 1y2), więc

2 2

1 2 1 2 1 2

|zz | (xx ) (yy ) ,

co oznacza, że moduł różnicy, |z1z2|, jest równy odległości pomiędzy punktami z z1, 2 na płaszczyźnie zespolonej.

FAKT. (Własności modułu liczby zespolonej). Niech z z z, 1, 2 . Wtedy mamy

(4)

Krzysztof Szyszkiewicz, AGH

2

1 1

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1) | | | | | |, 2) | | ,

| |

3) | | | || |, 4) ,

| |

5) | | | | | |, 6) | | | | | |,

7) | Re | | |, | Im | | | .

z z z z z z

z z

z z z z

z z

z z z z z z z z

z z z z

   

 

     

 

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Jak już wiemy liczby zespolone możemy reprezentowad jako punkty na płaszczyźnie zespolonej , która geometrycznie jest tożsama z płaszczyzną 2. Istotnym dodatkiem do tej struktury jest mnożenie takich punktów (lub wektorów) zdefiniowane wzorem (2). Jednak standardowa reprezentacja liczby zespolonej z( , )x y   x i y , gdzie x y,  są współrzędnymi kartezjaoskim punktu nie zawsze jest wygodna. Czasami wygodna jest reprezentacja odpowiadająca współrzędnym biegunowym: odległośd r0 od środka (0,0) oraz kąt 0  2 pomiędzy osią OX a półprostą przechodzącą przez środek i liczbę z( , ).x y

Jeżeli z  x iy 0, to istnieje dokładnie jedna liczba 0  2 taka, że

cos , sin .

| | | |

x y

z z

  (3)

Tak określoną liczbę będziemy nazywad argumentem głównym liczby zespolonej z0. Przyjmujemy dla z0 argument 0. Tak więc mamy x| | cos ,zy| | sin ,z  co daje

(cos sin ),

z  x iy r i  (4)

gdzie r | | 0.z Ten sposób przedstawienia liczby zespolonej nazywamy postacią trygonometryczną.

Jeżeli dopuścimy w reprezentacji trygonometrycznej (4) argumenty dowolne  (bez ograniczenia się do przedziału [0, 2 )), to przedstawienie (4) nie jest jednoznaczne, ale różne argumenty będą różniły się o całkowitą wielokrotnośd liczby 2 :

1 1 2 2 2 2

(cos sin ) (cos sin ) 2 dla pewnego .

zr  i  r  i      kk

Przykład. Podane liczby zespolone zapiszemy w postaci trygonometrycznej.

z = (x,y) = x+iy

x y

r

(5)

b) z 1: z 1 (cosisin ) cosisin ;

c) z 1 i z: | | (cosz 2isin )2  121 (cos2 2isin )2  2(cos2isin ).2

d) z 2 i2 33 : | |z  22

 

2 33 2  44 39  4 43 163434 33 . Ponadto mamy

2 3 3

4 3 4 3

3 3

2 3 1

cos , sin ,

| | 2 | | 2 6

x y

z z

       

zatem z4 33 (cos6isin ).6

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej: niech

1 1(cos 1 sin 1),

zr  iz2r2(cos2isin2). Wtedy mamy

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

(cos sin ) (cos sin ) (cos cos sin sin )

(sin cos cos sin ) (cos( ) sin( )),

z z r i r i r r

i r r i

       

       

    

     

gdzie skorzystaliśmy ze wzorów na kosinus sumy oraz na sinus sumy. Tak więc przy mnożeniu liczb zespolonych moduły się mnożą, a argumenty dodają. Przy dzieleniu argumenty będą się odejmowały

1 1 1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2

1 1 2 1 2

2 2

(cos sin ) (cos sin )(cos sin )

(cos sin ) (cos sin )(cos sin )

cos cos sin sin (sin cos cos sin )

(cos ) ( sin )

cos( ) sin( )

(cos

z r i r i i

z r i r i i

r i

r i

r i

r

     

     

       

 

   

  

 

  

  

 

  

 

1 1 2 1 2

2 2

2 2

1

1 2 1 2

2

cos( ) sin( )

) (sin ) 1

cos( ) sin( ) .

r i

r

r i

r

   

   

  

 

   

Funkcje zmiennej zespolonej, Wzór Eulera

Wszystkie znane z analizy rzeczywistej funkcje elementarne (sin , cos ,x x ex, ln ,x ) można rozszerzyd na zbiór liczb zespolonych (lub jego podzbiór – tak jest z funkcją logarytm). W praktyce definicje tych funkcji opierają się na rozwinięciu w szereg potęgowy, np.

2 1 2

0 0 0

( 1) ( 1) 1

sin , cos , dla .

(2 1)! (2 )! !

n n

n n z n

n n n

z z z z e z z x iy

n n n

 

     

 

(5)

Tak określone funkcje przyjmują też wartości wychodzące poza , zatem mamy sin, cos, exp :  .

Pewne własności tych funkcji znane z analizy rzeczywistej, np. okresowośd funkcji sin i cos, jedynka trygonometryczna

2 2

sin(z2 ) sin ,z cos(z2 ) cos , sinz zcos z1, (6) ale inne nie – np. funkcje sin i cos nie są ograniczone w zbiorze (nawet z uwzględnieniem modułu liczby zespolonej), tzn.

(6)

Krzysztof Szyszkiewicz, AGH

zachodzi | sin | 1 dlaxx , ale | sin | jest dowolne dlaz z . (7) Funkcja logarytm może także byd rozszerzona, a nie na całą płaszczyznę zespoloną. Najbardziej naturalne jest rozszerzenie funkcji ln(x) na zbiór \ {( , ) :x y x0, y0} (czyli wycinamy całą półoś liczb ujemnych wraz z zerem). Natomiast funkcja x określona w dziedzinie rzeczywistej tylko dla

0,

x po przejściu do warianty dla liczb zespolonych jest określona dla dowolnej liczby zespolonej:

z istnieje dla każdego z .

Pomiędzy funkcjami sin, cos oraz exp istnieje ważny związek (którego nie widad gdy funkcje te rozpatrujemy tylko na osi rzeczywistej):

sin , cos .

2 2

iz iz iz iz

e e e e

z z

i

 

  (8)

Równości te są równoważne następującej tożsamości eizcoszisin ,z której szczególnym przypadkiem jest wzór Eulera

cos sin dla .

eixxi x x (9)

Wzór de Moivre’a

Niech zcosisin . Wtedy z2   z z cos(  )isin(  ), czyli z2cos 2isin 2 . Podobnie z3cos3isin 3 . Ogólnie mamy: dla dowolnej liczby rzeczywistej  oraz liczby całkowitej n zachodzi

(cosisin ) ncosnisinn. (10) Równośd (10) nazywamy wzorem de Moivre’a (czyt. muawra)

Przykład. Doprowadzimy do najprostszej postaci liczbę zespoloną z

2312i

26. Postad

trygonometryczna liczby :z

3 1 11 11

cos sin .

2 2 6 6

z ii

Ze wzoru de Moivre’a mamy:

116 116

26 116 116 1433 1433

3

5 138 5 138 5 5 5 5 1

3 3 3 3 3 3 2 2

cos sin cos(26 ) sin(26 ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( ) cos( 46 ) sin( 46 ) cos sin .

i i i

i i i i

       

         

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Niech w . Pierwiastkiem stopnia n z liczby w nazywamy każdą liczbę zespoloną z spełniającą warunek

n .

zw (11)

Jest to definicja analogiczna do określenia pierwiastka rzeczywistego x z liczby rzeczywistej a :

n . xa

(7)

Ponadto gdy to mamy wtedy dwa pierwiastki (różniące się znakiem). W przypadku gdy wykładnik jest nieparzysty, to dla dowolnego a istnieje dokładnie jeden pierwiastek stopnia .n W przypadku zespolonym sytuacja jest bardziej klarowna: każda liczba zespolona różna od zera ma dokładnie n różnych pierwiastków w zbiorze . Spróbujemy teraz opisad te pierwiastki.

Zapiszmy obie liczby występujące w równości (11) w postaci trygonometrycznej

| | (cos sin ),

zz iw|w| (sinisin ). Podstawiając do (11) otrzymujemy

| | (cos sin ) | | (cos sin ) | | (sin sin ).

n n n n

zz i   z ni n  w i

Stąd mamy | |z n|w|, n  2k, gdzie k . Tak więc

| | n| |, k 2k , .

z w k

n

 

  

Jednak ostatnie wyrażenie daje tak naprawdę n różnych argumentów k dla k0, ,n1, gdyż dla kn argument n różni się od 0 o dokładnie 2 , czyli przedstawia tą samą liczbę .z Podobnie jest z pozostałymi wartościami kn oraz k0. Ostatecznie mamy następujące różne rozwiązania (pierwiastki):

2 2

| |(cos sin ), dla 0,1, , 1.

n k

k k

z w i k n

n n

   

    (12)

Przykład. Podad pierwiastki stopnia 3 z liczby 1.

Mamy w  1 1 (cos0isin 0). Zatem | | 1,w 0, co po wstawieniu do (12) daje

3 0 2 0 2

1(cos sin ) dla 0,1, 2,

3 3

k

k k

z    i   k

czyli

0

1

2

cos 0 sin 0 1,

2 2 1 3

cos sin ,

3 3 2 2

3 3

cos sin cos sin .

3 3

z i

z i i

z i i i

 

   

  

    

     

Ostatecznie w dziedzinie zespolonej mamy 31 {1, 12i 23,i}.

Zasadnicze twierdzenie algebry

Jak już wiemy zbiór liczb zespolonych pozwala pierwiastkowad dowolną liczbę (patrz (12)). Okazuje się, że ta własnośd jest szczególnym przypadkiem innej fundamentalnej własności, która mówi, że w zbiorze każdy wielomian ma miejsce zerowe.

TWIERDZENIE (ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY). Każdy wielomian zespolony różny od stałej ma miejsce zerowe.

(8)

Krzysztof Szyszkiewicz, AGH

Zadania

Zad. 1. Opisad następujące pierwiastki zespolone 1: 1, 41, 51, 1. W każdym przypadku podad 6 reprezentację trygonometryczną, narysowad pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej oraz podad postad algebraiczną x i y , gdzie częśd rzeczywista (x) i urojona (y) będą w postaci dziesiętnej z dwoma miejscami po przecinku.

Zad. 2. Jeżeli dana jest liczba zespolona w a ib, to możemy obliczyd jej zespolone pierwiastki kwadratowe w{ , }z z0 1 korzystając ze wzorów (12) dla n=2. Ale w przypadku pierwiastka kwadratowego można go obliczyd bezpośrednio – nie korzystając z tych wzorów. Zgodnie z definicją liczba z x iy jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby w a ib  jeżeli spełniona jest równośd (11) dla n=2. Korzystając z tej równości oraz własności algebraicznych liczb zespolonych:

(i) podad wyrażenia na ,x y w zależności od , ;a b

(ii) obliczyd 2 3i z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku i zaznaczyd te pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej.

Zad. 3. Rozwiązad poniższe równania kwadratowe (2-ego stopnia).

a) x22x 3 0 b) (x1)(x2) 10 c) 2x20,3x0,90 d)  x2 5x 3 0 Zad. 4. Dokonad rozkładu na czynniki nierozkładalne następujących wielomianów:

a) z23z4 b) z3z24z4 c) z43z34z2 d) z41 e) z4z22z4 f) z33z24z

Cytaty

Powiązane dokumenty

Za l´ o˙zmy teraz, ˙ze teza zachodzi dla pewnego naturalnego n.. St ad na mocy zasady indukcji mamy tez

Pozwala ono też na rozwiązanie bardzo wielu użytecznych równań, ale jednak nie wszystkich; na przykład równanie x 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań w zbiorze R, gdyż lewa strona

Obwód RLC, wyrażenie siły elektromotorycznej źródła przez natężenie prądu Zastosujmy uzyskane wzory do obwodu prądu przemiennego RLC.. Symbol t oznaczać

Standardowa interpretacja wykresu funkcji wymaga 4 wymiarów rzeczywistych.. Obrazem jest więc

Korzystając ze wzoru de Moivre’a, wyrazić cos 4x oraz sin 4x przez funkcje sin x oraz cos

[r]

Działania w zbiorze liczb zespolonych Dodawaj liczby zespolone 3+5i oraz

Proszę wysyłać z poczty szkolnej, każdy uczeń w domenie zstio ma założony adres, informacja była do was wysyłana.. Jeżeli ktoś tego adresu nie aktywował, to ostatni raz