Równanie x2 1 0 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych . Tak więc nie każdy wielomian o współczynnikach należących do zbioru posiada miejsce zerowe należące do tego zbioru. Można powiedzied, że z punktu widzenia teorii wielomianów rzeczywistych i równao algebraicznych (tzn. wielomianowych) jest to pewna wada. Okazuje się jednak, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w większym zbiorze liczb zespolonych , który już tej „wady” nie posiada.
Początki teorii liczb zespolonych sięgają pierwszej połowy XVI wieku i są zasługą głownie matematyków włoskich – przede wszystkim Girolamo Cardano, Scipione del Ferro i Lodovico Ferrari.
Przypomnijmy, że iloczyn kartezjaoski zbiorów X i Y, oznaczany symbolem X Y , to uporządkowany zbiór par elementów należących do tych zbiorów:
{( , ) : , }.
XY def x y xX y Y
DEFINICJA. Zbiór , w którym określono dwa działania dwuargumentowe oraz następująco
1 1 2 2 : 1 2 1 2
( ,x y) ( , x y ) (x x y, y ), (1)
1 1 2 2 : 1 2 1 2 1 2 2 1
( ,x y) ( , x y ) (x x y y x y, x y), (2) nazywamy zbiorem liczb zespolonych.1 Elementy tego zbioru nazywamy liczbami zespolonymi.
Działanie „ ” nazywamy dodawaniem (zespolonym), a działanie „ ” nazywamy mnożeniem (zespolonym). Dla liczby zespolonej z( , )x y liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast y częścią urojoną liczby zespolonej .z Częśd rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy przez Re ,z a częśd urojoną przez Im .z Z definicji zbioru liczb zespolonych wynika, że możemy je interpretowad jako punkty na płaszczyźnie z układem współrzędnych OXY. Oś rzędnych (pozioma, OX) nazywamy osią rzeczywistą (Re), a oś odciętych (pionowa, OY) – osią urojoną (Im).
1 Ściśle rzecz biorąc, w matematyce zbiór (oznaczany też symbolem C) wraz z podanymi działaniami nazywa się ciałem liczb zespolonych. Terminologia ta związana jest z tym, że w Algebrze Ogólnej rozważa się przede wszystkim tzw. struktury algebraiczne. Najważniejsze z nich to grupa, pierścień i ciało. Każda z tych struktur ma zdefiniowane działania, które posiadają pewne charakterystyczne własności. Okazuje się, że liczby zespolone ze swoimi działaniami + i spełniają kryteria dla ciała (algebraicznego). Podobnie jest z liczbami rzeczywistymi – to też jest ciało algebraiczne (ale istotnie różne od ciała liczb zespolonych).
z = (x,y) = x+iy
x y
Im Re
Krzysztof Szyszkiewicz, AGH
W takim rozszerzonym zbiorze możemy wyróżnid podzbiór par ( ,0),x który ma wszystkie formalne własności liczb rzeczywistych. Dlatego możemy przyjąd, że , a geometrycznie zbiór liczb rzeczywistych utożsamid z osią poziomą na płaszczyźnie zespolonej.
Z definicji (1), (2) wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych ma typowe własności znane z arytmetyki liczb rzeczywistych. Niech z z z z, ,1 2, 3 . Wtedy:
1) z1z2 z2 z1 (przemiennośd dodawania) 2) (z1z2) z3 z1 (z2z3) (łącznośd dodawania)
3) z 0 z, gdzie 0 (0,0) (istnienie elementu neutralnego dodawania)
4) z w takie, żez w 0 (istnienie elementu przeciwnego względem dodawania) 5) z z1 2 z2 z1 (przemiennośd mnożenia)
6) 1 z z gdzie 1 (1,0) (istnienie elementu neutralnego dla mnożenia)
7) jeżeli z0, to istnieje w takie, że z w 1 (istnienie elementu przeciwnego względem mnożenia – nazywamy go liczbą odwrotną)
8) z1(z2z3) z z1 2 z z1 3 (rozdzielnośd mnożenia względem dodawania)
Szczególna rolę w zbiorze liczb zespolonych pełni liczba i(0, 1) , którą z powodów historycznych nazywamy jednostka urojoną. Obliczmy jej kwadrat (mnożenie zgodne ze wzorem (2)):
2 (0,1) (0,1) (0 0 1 1,0 1 1 0) ( 1,0) (1,0) 1, i i i
gdyż jak już wiemy liczba postaci (1,0) pełni rolę jedynki w i jest oznaczana symbolem 1.
Oznacza to, że równanie z2 1 0 w zbiorze ma rozwiązanie z1i (oczywiście drugim rozwiązaniem jest z2 i). Co więcej, łatwo sprawdzid, że są to jedyne rozwiązania, gdyż zachodzi tożsamośd
2 1 ( )( ),
z z i zi którą sprawdzamy bezpośrednim rachunkiem:
2 2 2 2
(zi z)( i) z zi iz i z ( 1) z 1.
Używając zatem znanego oznaczenia na pierwiastek kwadratowy możemy napisad: 1 i. Jest to jak najbardziej realna równośd, tyle że zachodzi w „szerszej” strukturze algebraicznej – w zbiorze zespolonych .
Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej
Z formalnej definicji liczb zespolonych wiemy, że są to pary ( , )x y liczb rzeczywistych. W praktyce (zwłaszcza rachunkowej) posługiwanie się takim zapisem nie jest wygodne. Postad algebraiczna takiej pary to wyrażenie x i y dla ,x y . Postad ta wynika z przyjętych działao w . Mamy zatem
( , ) ,
z x y x i y
Posługiwanie się taką reprezentacją liczb zespolonych niezwykle ułatwia wykonywanie standardowych rachunków (mnożenie, dzielenie, dodawanie). Należy tylko pamiętad, że i2 1, a do wyrażenia x i y stosowad znane prawa (łącznośd, przemiennośd, rozdzielnośd). Niech np.
1 2 5 , 2 3 2 .
z i z i Wtedy mamy
1 2
2
1 2
2 1
2 2
2
2 5 3 2 5 3 ,
(2 5 ) (3 2 ) 6 4 15 10 6 11 10 ( 1) 16 11 ,
2 5 (2 5 )(3 2 ) 6 4 15 10 6 19 10( 1) 4 19 4 19
3 2 (3 2 )(3 2 ) 3 (2 ) 9 4( 1) 13 13 13 .
z z i i i
z z i i i i i i i
z i i i i i i i i
z i i i i i
DEFINICJA. Sprzężeniem liczby zespolonej z x i y nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem .
z x i y
Geometrycznie liczba sprzężona do z na płaszczyźnie zespolonej 2 jest jej obrazem w symetrii względem osi OX.
FAKT. (Własności sprzężenia zespolonego). Niech z z1, 2 . Wtedy zachodzą równości:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
2 2
, , ,
, , 2 Re , 2 Im .
z z z z z z z z z z z z
z z
z z z z z z z z
z z
Moduł liczby zespolonej
DEFINICJA. Modułem liczby zespolonej z( , )x y x iy nazywamy liczbę rzeczywistą | |z określoną wzorem | |z x2y2.
Z definicji wynika, ze moduł liczby zespolonej jest nieujemny: | | 0.z Ponadto | | 0z z 0. Jeżeli 0,
z to | | 0.z
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględniej liczy rzeczywistej.
Geometrycznie moduł | |z jest równy odległości liczby z od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.
Dla dwóch liczb zespolonych z z1, 2 mamy z1 z2 x1 iy1(x2iy2)(x1x2)i y( 1y2), więc
2 2
1 2 1 2 1 2
|z z | (x x ) (y y ) ,
co oznacza, że moduł różnicy, |z1z2|, jest równy odległości pomiędzy punktami z z1, 2 na płaszczyźnie zespolonej.
FAKT. (Własności modułu liczby zespolonej). Niech z z z, 1, 2 . Wtedy mamy
Krzysztof Szyszkiewicz, AGH
2
1 1
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1) | | | | | |, 2) | | ,
| |
3) | | | || |, 4) ,
| |
5) | | | | | |, 6) | | | | | |,
7) | Re | | |, | Im | | | .
z z z z z z
z z
z z z z
z z
z z z z z z z z
z z z z
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Jak już wiemy liczby zespolone możemy reprezentowad jako punkty na płaszczyźnie zespolonej , która geometrycznie jest tożsama z płaszczyzną 2. Istotnym dodatkiem do tej struktury jest mnożenie takich punktów (lub wektorów) zdefiniowane wzorem (2). Jednak standardowa reprezentacja liczby zespolonej z( , )x y x i y , gdzie x y, są współrzędnymi kartezjaoskim punktu nie zawsze jest wygodna. Czasami wygodna jest reprezentacja odpowiadająca współrzędnym biegunowym: odległośd r0 od środka (0,0) oraz kąt 0 2 pomiędzy osią OX a półprostą przechodzącą przez środek i liczbę z( , ).x y
Jeżeli z x iy 0, to istnieje dokładnie jedna liczba 0 2 taka, że
cos , sin .
| | | |
x y
z z
(3)
Tak określoną liczbę będziemy nazywad argumentem głównym liczby zespolonej z0. Przyjmujemy dla z0 argument 0. Tak więc mamy x| | cos ,z y| | sin ,z co daje
(cos sin ),
z x iy r i (4)
gdzie r | | 0.z Ten sposób przedstawienia liczby zespolonej nazywamy postacią trygonometryczną.
Jeżeli dopuścimy w reprezentacji trygonometrycznej (4) argumenty dowolne (bez ograniczenia się do przedziału [0, 2 )), to przedstawienie (4) nie jest jednoznaczne, ale różne argumenty będą różniły się o całkowitą wielokrotnośd liczby 2 :
1 1 2 2 2 2
(cos sin ) (cos sin ) 2 dla pewnego .
zr i r i k k
Przykład. Podane liczby zespolone zapiszemy w postaci trygonometrycznej.
z = (x,y) = x+iy
x y
r
b) z 1: z 1 (cosisin ) cosisin ;
c) z 1 i z: | | (cosz 2isin )2 121 (cos2 2isin )2 2(cos2isin ).2
d) z 2 i2 33 : | |z 22
2 33 2 44 39 4 43 163 434 33 . Ponadto mamy2 3 3
4 3 4 3
3 3
2 3 1
cos , sin ,
| | 2 | | 2 6
x y
z z
zatem z 4 33 (cos6isin ).6
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej: niech
1 1(cos 1 sin 1),
z r i z2 r2(cos2isin2). Wtedy mamy
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cos sin ) (cos sin ) (cos cos sin sin )
(sin cos cos sin ) (cos( ) sin( )),
z z r i r i r r
i r r i
gdzie skorzystaliśmy ze wzorów na kosinus sumy oraz na sinus sumy. Tak więc przy mnożeniu liczb zespolonych moduły się mnożą, a argumenty dodają. Przy dzieleniu argumenty będą się odejmowały
1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 2 2
1 1 2 1 2
2 2
(cos sin ) (cos sin )(cos sin )
(cos sin ) (cos sin )(cos sin )
cos cos sin sin (sin cos cos sin )
(cos ) ( sin )
cos( ) sin( )
(cos
z r i r i i
z r i r i i
r i
r i
r i
r
1 1 2 1 2
2 2
2 2
1
1 2 1 2
2
cos( ) sin( )
) (sin ) 1
cos( ) sin( ) .
r i
r
r i
r
Funkcje zmiennej zespolonej, Wzór Eulera
Wszystkie znane z analizy rzeczywistej funkcje elementarne (sin , cos ,x x ex, ln ,x ) można rozszerzyd na zbiór liczb zespolonych (lub jego podzbiór – tak jest z funkcją logarytm). W praktyce definicje tych funkcji opierają się na rozwinięciu w szereg potęgowy, np.
2 1 2
0 0 0
( 1) ( 1) 1
sin , cos , dla .
(2 1)! (2 )! !
n n
n n z n
n n n
z z z z e z z x iy
n n n
(5)Tak określone funkcje przyjmują też wartości wychodzące poza , zatem mamy sin, cos, exp : .
Pewne własności tych funkcji znane z analizy rzeczywistej, np. okresowośd funkcji sin i cos, jedynka trygonometryczna
2 2
sin(z2 ) sin ,z cos(z2 ) cos , sinz zcos z1, (6) ale inne nie – np. funkcje sin i cos nie są ograniczone w zbiorze (nawet z uwzględnieniem modułu liczby zespolonej), tzn.
Krzysztof Szyszkiewicz, AGH
zachodzi | sin | 1 dlax x , ale | sin | jest dowolne dlaz z . (7) Funkcja logarytm może także byd rozszerzona, a nie na całą płaszczyznę zespoloną. Najbardziej naturalne jest rozszerzenie funkcji ln(x) na zbiór \ {( , ) :x y x0, y0} (czyli wycinamy całą półoś liczb ujemnych wraz z zerem). Natomiast funkcja x określona w dziedzinie rzeczywistej tylko dla
0,
x po przejściu do warianty dla liczb zespolonych jest określona dla dowolnej liczby zespolonej:
z istnieje dla każdego z .
Pomiędzy funkcjami sin, cos oraz exp istnieje ważny związek (którego nie widad gdy funkcje te rozpatrujemy tylko na osi rzeczywistej):
sin , cos .
2 2
iz iz iz iz
e e e e
z z
i
(8)
Równości te są równoważne następującej tożsamości eizcoszisin ,z której szczególnym przypadkiem jest wzór Eulera
cos sin dla .
eix xi x x (9)
Wzór de Moivre’a
Niech zcosisin . Wtedy z2 z z cos( )isin( ), czyli z2cos 2isin 2 . Podobnie z3cos3isin 3 . Ogólnie mamy: dla dowolnej liczby rzeczywistej oraz liczby całkowitej n zachodzi
(cosisin ) ncosnisinn. (10) Równośd (10) nazywamy wzorem de Moivre’a (czyt. muawra)
Przykład. Doprowadzimy do najprostszej postaci liczbę zespoloną z
2312i
26. Postadtrygonometryczna liczby :z
3 1 11 11
cos sin .
2 2 6 6
z i i
Ze wzoru de Moivre’a mamy:
116 116
26 116 116 1433 14333
5 138 5 138 5 5 5 5 1
3 3 3 3 3 3 2 2
cos sin cos(26 ) sin(26 ) cos( ) sin( )
cos( ) sin( ) cos( 46 ) sin( 46 ) cos sin .
i i i
i i i i
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Niech w . Pierwiastkiem stopnia n z liczby w nazywamy każdą liczbę zespoloną z spełniającą warunek
n .
z w (11)
Jest to definicja analogiczna do określenia pierwiastka rzeczywistego x z liczby rzeczywistej a :
n . x a
Ponadto gdy to mamy wtedy dwa pierwiastki (różniące się znakiem). W przypadku gdy wykładnik jest nieparzysty, to dla dowolnego a istnieje dokładnie jeden pierwiastek stopnia .n W przypadku zespolonym sytuacja jest bardziej klarowna: każda liczba zespolona różna od zera ma dokładnie n różnych pierwiastków w zbiorze . Spróbujemy teraz opisad te pierwiastki.
Zapiszmy obie liczby występujące w równości (11) w postaci trygonometrycznej
| | (cos sin ),
zz i w|w| (sinisin ). Podstawiając do (11) otrzymujemy
| | (cos sin ) | | (cos sin ) | | (sin sin ).
n n n n
z z i z ni n w i
Stąd mamy | |z n|w|, n 2k, gdzie k . Tak więc
| | n| |, k 2k , .
z w k
n
Jednak ostatnie wyrażenie daje tak naprawdę n różnych argumentów k dla k0, ,n1, gdyż dla kn argument n różni się od 0 o dokładnie 2 , czyli przedstawia tą samą liczbę .z Podobnie jest z pozostałymi wartościami kn oraz k0. Ostatecznie mamy następujące różne rozwiązania (pierwiastki):
2 2
| |(cos sin ), dla 0,1, , 1.
n k
k k
z w i k n
n n
(12)
Przykład. Podad pierwiastki stopnia 3 z liczby 1.
Mamy w 1 1 (cos0isin 0). Zatem | | 1,w 0, co po wstawieniu do (12) daje
3 0 2 0 2
1(cos sin ) dla 0,1, 2,
3 3
k
k k
z i k
czyli
0
1
2
cos 0 sin 0 1,
2 2 1 3
cos sin ,
3 3 2 2
3 3
cos sin cos sin .
3 3
z i
z i i
z i i i
Ostatecznie w dziedzinie zespolonej mamy 31 {1, 12i 23,i}.
Zasadnicze twierdzenie algebry
Jak już wiemy zbiór liczb zespolonych pozwala pierwiastkowad dowolną liczbę (patrz (12)). Okazuje się, że ta własnośd jest szczególnym przypadkiem innej fundamentalnej własności, która mówi, że w zbiorze każdy wielomian ma miejsce zerowe.
TWIERDZENIE (ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY). Każdy wielomian zespolony różny od stałej ma miejsce zerowe.
Krzysztof Szyszkiewicz, AGH
Zadania
Zad. 1. Opisad następujące pierwiastki zespolone 1: 1, 41, 51, 1. W każdym przypadku podad 6 reprezentację trygonometryczną, narysowad pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej oraz podad postad algebraiczną x i y , gdzie częśd rzeczywista (x) i urojona (y) będą w postaci dziesiętnej z dwoma miejscami po przecinku.
Zad. 2. Jeżeli dana jest liczba zespolona w a ib, to możemy obliczyd jej zespolone pierwiastki kwadratowe w{ , }z z0 1 korzystając ze wzorów (12) dla n=2. Ale w przypadku pierwiastka kwadratowego można go obliczyd bezpośrednio – nie korzystając z tych wzorów. Zgodnie z definicją liczba z x iy jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby w a ib jeżeli spełniona jest równośd (11) dla n=2. Korzystając z tej równości oraz własności algebraicznych liczb zespolonych:
(i) podad wyrażenia na ,x y w zależności od , ;a b
(ii) obliczyd 2 3i z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku i zaznaczyd te pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej.
Zad. 3. Rozwiązad poniższe równania kwadratowe (2-ego stopnia).
a) x22x 3 0 b) (x1)(x2) 10 c) 2x20,3x0,90 d) x2 5x 3 0 Zad. 4. Dokonad rozkładu na czynniki nierozkładalne następujących wielomianów:
a) z23z4 b) z3z24z4 c) z43z34z2 d) z41 e) z4z22z4 f) z33z24z