BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

IMiF UTP

06

(2)

przed wykonaniem wykresu...

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wykonujemy wykres funkcji wyznaczaja¸c wcześniej:

1 dziedzine¸ funkcji;

2 granice na końcach przedziałów określoności, asymptoty;

3 pochodna¸ f⁰(x ) i jej znaki (ustalaja¸c ekstrema i przedziały monotoniczności);

4 pochodna¸ f⁰⁰(x ) i jej znaki (ustalaja¸c punkty przegie¸cia i przedziały wypukłości i wkle¸słości).

(3)

ASYMPTOTY

DEFINICJA.Asymptota pionowawykresu funkcji y = f (x ) to prosta x = x₀, jeżeli lim_{x →x}⁻

0 f (x ) = +∞

x y

x0

(4)

ASYMPTOTY

0 f (x ) = +∞ (albo −∞)

x y

x0

(5)

ASYMPTOTY

0 f (x ) = +∞ (albo −∞) lub lim_{x →x}⁺

0 f (x ) = +∞

x y

x0

(6)

ASYMPTOTY

0 f (x ) = +∞ (albo −∞) lub lim_{x →x}⁺

0 f (x ) = +∞ (albo −∞).

x y

x0

(7)

PRZYKŁAD. Znaleźć asymptoty pionowe wykresu funkcji f (x ) = ln(1 − x

³

).

Dziedzina¸ funkcji jest przedział (−∞, 1);

lim_{x →1}⁻ln(1 − x³) = −∞, wie¸c istnieje asymptota pionowa (lewostronna) o równaniu x = 1.

x y

1

(8)

ASYMPTOTY

DEFINICJA. Jeżeli istnieja¸ liczby m oraz n takie, że

limx →+∞[f (x ) − (mx + n)] = 0, to prosta¸ y = mx + n nazywamy asymptota¸ ukośna¸ prawa¸ wykresu funkcji y = f (x ).

x y

(9)

ASYMPTOTY

DEFINICJA. Jeżeli istnieja¸ liczby m oraz n takie, że

limx →−∞[f (x ) − (mx + n)] = 0, to prosta¸ y = mx + n nazywamy asymptota¸ ukośna¸ lewa¸ wykresu funkcji y = f (x ).

x y

(10)

ASYMPTOTY

UWAGA. Jeżeli m = 0, to asymptote¸ ukośna¸ (o równaniu y = n) nazywamy asymptotą pozioma¸.

x y

(11)

Jak szukamy asymptot ukośnych?

TWIERDZENIE. Jeżeli istnieja¸ skończone granice

x →+∞lim f (x )

x (oznaczymy ja¸ przez m) oraz

x →+∞lim [f (x ) − mx ]

(oznaczymy ja¸ przez n) to wykres funkcji y = f (x ) ma asymptote¸ ukośna¸ prawa¸ o równaniu y = mx + n.

Podobnie istnieje asymptota ukośna lewa y = mx + n, gdy lim_{x →−∞} ^{f (x )}_x = m oraz lim_{x →−∞}[f (x ) − mx ] = n.

(12)

ASYMPTOTY

m =

^?

lim

_{x →∞} ^{f (x )}_x

; n =

^?

lim

_{x →∞}

[f (x ) − mx ]

PRZYKŁAD. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f (x ) =√ x + x . Dziedzina¸ funkcji jest D = [0, ∞), funkcja jest cia¸gła, wie¸c nie ma asymptot pionowych i nie ma asymptoty ukośnej lewej.

Sprawdzamy istnienie asymptoty prawej.

x →+∞lim f (x )

x = lim

x →+∞

√x + x

x = lim

x →+∞

√1

x + 1= 1, zatem m = 1.

x →+∞lim [f (x ) − mx ] = lim

x →+∞

√x + x − 1 · x= lim

x →+∞

√x = +∞,

a wie¸c nie ma także asymptoty prawej.

(13)

ILUSTRACJA:

Wykres funkcji f (x ) = √

x + x nie ma asymptot.

x y

(14)

ASYMPTOTY

PRZYKŁAD. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f (x ) = x · arctg x .

Dziedzina¸ funkcji jest R, funkcja jest cia¸gła, wie¸c nie ma asymptot pionowych.

Sprawdzamy istnienie asymptoty ukośnej prawej.

x →+∞lim f (x )

x = lim

x →+∞

x arctg x

x = lim

x →+∞arctg x = π 2 = m,

x →+∞lim [f (x ) − mx ] = lim

x →+∞ x arctg x − π 2x

= lim

x →+∞

arctg x −^π₂

1 x

(H)= lim

x →+∞

1 1+x²

−_x¹₂ = −1 = n,

wie¸c wykres funkcji ma asymptote¸ prawa¸ o równaniu y = ^π₂x − 1.

Funkcja f jest parzysta, zatem jej wykres ma też asymptote¸ ukośna¸ lewa¸ o równaniu y = −^π₂x − 1.

(15)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA.

Mówimy, że wykres funkcji y = f (x ) jest wypukły w przedziale (a, b), gdy odcinek powstały przez połączenie dowolnych dwóch punktów tego wykresu leży nad wykresem (dokładniej: nad lub na).

x y

a b

(16)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA.

x y

a b

(17)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA.

x y

a b

(18)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA.

x y

a b

(19)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA.

x y

a b

(20)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

DEFINICJA. Mówimy, że wykres funkcji y = f (x ) jest wklęsły w (a, b), gdy odcinek powstały przez połączenie dowolnych dwóch punktów tego wykresu leży pod wykresem (dokładnej: pod lub na).

x y

a b

(21)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

x y

a b

(22)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

x y

a b

(23)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

x y

a b

(24)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

x y

a b

(25)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

x y

a b

(26)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

Jeżeli funkcjaf (x )jest wypukła, to

x y

y = f (x )

(27)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

Jeżeli funkcjaf (x )jest wypukła, to funkcja −f (x)jest wklęsła.

x y

y = f (x )

y = −f (x )

(28)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b).

Wykres funkcji y = f (x ) jest wypukły w (a, b), gdy jest położony nad styczna¸ do wykresu poprowadzona¸ w dowolnym punkcie (c, f (c)), c ∈ (a, b).

x y

a b

(29)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(30)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(31)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(32)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

Wykres funkcji y = f (x ) jest wkle¸sły w (a, b), gdy jest położony pod styczna¸ do wykresu poprowadzona¸ w dowolnym punkcie (c, f (c)), c ∈ (a, b).

x y

a b

(33)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(34)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(35)

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ

WNIOSEK.

x y

a b

(36)

PUNKT PRZEGIĘCIA

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym sa¸siedztwie punktu x₀. Mówimy, że punkt (x₀, f (x₀)) jest

punktem przegie¸cia wykresu funkcji y = f (x ), jeżeli wykres ten jest wypukły z jednej, a wkle¸sły z drugiej strony tego punktu.

x y

(37)

PUNKT PRZEGIĘCIA

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym sa¸siedztwie punktu x₀. Mówimy, że punkt (x₀, f (x₀)) jest

punktem przegie¸cia wykresu funkcji y = f (x ), jeżeli wykres ten jest wypukły z jednej, a wkle¸sły z drugiej strony tego punktu.

x y

(38)

Jak badamy wypukłość?

TWIERDZENIE.

Załóżmy, że f⁰⁰ jest funkcja¸ cia¸gła¸ w (a, b).

Jeżeli f⁰⁰(x ) > 0 dla x ∈ (a, b), to wykres funkcji f jest wypukły w tym przedziale.

Jeżeli natomiast f⁰⁰(x ) < 0 dla x ∈ (a, b), to wykres funkcji f jest wkle¸sły.

(39)

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = x +

_{x −1}¹

.

f (x ) = x +_{x −1}¹ , D_f = R \ {1}

Asymptotą pionową (lewostronną i prawostronną) jest prosta x = 1, gdyż

lim

x →1⁻f (x ) = lim

x →1⁻

x + 1 x − 1

= −∞

lim

x →1⁺f (x ) = lim

x →1⁺

x + 1 x − 1

= +∞

Asymptotą ukośną (prawą i lewą) jest prosta y = x , gdyż

x →±∞lim f (x )

x = lim

x →±∞

x + _{x −1}¹

x = lim

x →±∞

h1 + 1 (x − 1)x

i=1= m

x →±∞lim h

f (x ) − mxⁱ= lim

x →±∞

h

x + 1

x − 1 −1· xⁱ= 0 = n

(40)

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = x +

_{x −1}¹

.

f (x ) = x +_{x −1}¹ D_f = R \ {1}

f⁰(x ) = 1 + −1 (x − 1)² D_f⁰ = R \ {1} = Df

Oczywiście punkt x =1 nie jest “podejrzany” o ekstremum, gdyż nie należy do dziedziny funkcji f .

Miejsca zerowe pochodnej to x₁ = 0, x₂ = 2.

Znaki f⁰:

1 2 x

0

+ − − +

Funkcja rośnie w przedziale (−∞, 0), maleje w (0, 1), maleje w (1, 2), rośnie w (2, +∞).

(41)

PRZYKŁAD

f (x ) = x +_{x −1}¹ , D_f = R \ {1}, f⁰(x ) = 1 − _{(x −1)}¹ 2

f⁰⁰(x ) = 2 (x − 1)³ D_f⁰⁰= R \ {1} = D_f

Znaki f⁰⁰:

1 x

− +

Wykres jest wypukły w przedziale (1, +∞), a wklęsły w przedziale (−∞, 1).

(42)

x y

1 0

y = x +_{x −1}¹

(43)

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = ln(1 − x

³

).

Dziedzina¸ funkcji jest przedział (−∞, 1). Jak wiemy, istnieje asymptota pionowa (lewostronna) o równaniu x = 1.

Sprawdzimy, czy istnieje asymptota ukośna lewa (prawej nie ma, gdyż Df = (−∞, 1)):

x →−∞lim f (x )

x = lim

x →−∞

ln(1 − x³) x

(H)= lim

x →−∞

ln(1 − x³)⁰ (x )⁰

= lim

x →−∞

−3x² 1−x³

1 = lim

x →−∞

−3 x 1

x³ − 1= 0 = m Być może jest asymptota ukośna (precyzyjniej: pozioma, bo m = 0) lewa. Sprawdzimy „n”:

x →−∞lim [f (x ) − mx ] = lim

x →−∞ln(1 − x³) = +∞

Nie ma asymptot ukośnych (w tym: nie ma poziomych).

(44)

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = ln(1 − x

³

).

f⁰(x ) = −3x² 1 − x³ D_f⁰ = D_f f⁰(x ) = 0 dla x = 0

1 x 0

−

− znaki f⁰(x )

Funkcja maleje w swojej dziedzinie i nie osiąga ekstremum.

(45)

f

⁰

(x ) =

^−3x_1−x²3

f⁰⁰(x ) = −6x(1 − x³) − (−3x²)(−3x²) (1 − x³)²

= −3x⁴− 6x

(1 − x³)² = −3x(x³+ 2) (1 − x³)² Df⁰⁰= Df

f⁰⁰(x ) = 0 dla x = 0 oraz x = −³

√ 2

1 x

−√³ 0 2

+ −

− znaki f⁰⁰(x )

Wykres jest wypukły w przedziale (−√³

2, 0), wklęsły w przedziale (−∞, −√³

2) oraz wklęsły w przedziale (0, 1).

(46)

Rysujemy wykres funkcji f (x ) = ln(1 − x

³

).

x y

−√³ 1

2 0

ln 3

(47)

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = x · arctg x

Dziedziną funkcji jest D_f = R i , jak wiemy, wykres funkcji ma asymptote¸ ukośną prawa¸ o równaniu y = ^π₂x − 1 oraz asymptote¸ ukośna¸ lewa¸ o równaniu y = −^π₂x − 1.

Zauważmy, że

f (−x ) = (−x ) · arctg (−x ) = (−x )(−arctg x ) = x · arctg x = f (x ). Funkcja jest parzysta, możemy więc wykonać dalsze obliczenia i rysunek tylko dla x 0 i odpowiednio odbić wykres funkcji.

(48)

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = x · arctg x

Dziedziną funkcji jest D_f = R i , jak wiemy, wykres funkcji ma asymptote¸ ukośną prawa¸ o równaniu y = ^π₂x − 1 oraz asymptote¸ ukośna¸ lewa¸ o równaniu y = −^π₂x − 1.

Zauważmy, że

f (−x ) = (−x ) · arctg (−x ) = (−x )(−arctg x ) = x · arctg x = f (x ).

Funkcja jest parzysta, możemy więc wykonać dalsze obliczenia i rysunek tylko dla x 0 i odpowiednio odbić wykres funkcji.

(49)

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f (x ) = x · arctg x

Obliczamy pochodną:

f⁰(x ) = 1 · arctg x + x · 1 x²+ 1.

Zauważmy, że f⁰(0) = 0 oraz f⁰(x ) > 0 dla x > 0. Funkcja f jest rosnąca w przedziale (0, ∞) (precyzyjniej: w przedziale [0, ∞)). Ponadto f (0) = 0 (jest tam minimum).

Obliczamy pochodną drugiego rzędu:

f⁰⁰(x ) = [f⁰(x )]⁰ = 2

(x²+ 1)² > 0.

Wykres jest wypukły.

(50)

Wykres funkcji f (x ) = x arctg x

Z parzystości:

x y

Wykres funkcji ma asymptote¸ ukośną prawa¸ o równaniu y = ^π₂x − 1

oraz asymptote¸ ukośna¸ lewa¸ o równaniu y = −^π₂x − 1.

(51)

Wykres funkcji f (x ) = x arctg x

Z parzystości:

x y

Wykres funkcji ma asymptote¸ ukośną prawa¸ o równaniu y = ^π₂x − 1 oraz asymptote¸ ukośna¸ lewa¸ o równaniu y = −^π₂x − 1.

(52)

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f (x ) =

_π²

arc sin

_x^2x2+1

.

Dziedzina funkcji: −1 ¬ _x2^2x+1 ¬ 1,

−x²− 1 ¬ 2x ¬ x²+ 1,

−x²− 2x − 1 ¬ 0 ¬ x²− 2x + 1,

−(x + 1)² ¬ 0 ¬ (x − 1)², D_f = R.

Nie ma asymptot pionowych.

(53)

Asymptoty ukośne.

Jest asymptota pozioma (prawa i lewa) o równaniu y = 0, gdyż

x →±∞lim f (x ) = lim

x →±∞

2

πarc sin 2x x²+ 1

= lim

x →±∞

2 π arc sin

2 x

1 +_x¹2

= 2

π arc sin 0 = 0.

(54)

Pochodna pierwszego rzędu; f (x ) =

_π²

arc sin

_x2^2x+1

Pochodna:

f⁰(x ) = 2

π · 1

q1 −_(x2^4x+1)² ²

·2(x²+ 1) − 2x · 2x (x²+ 1)²

= 2

π · 2x²+ 2 − 4x²

√x⁴+ 2x²+ 1 − 4x²· (x²+ 1)

= 2

π · 2 − 2x² (x²+ 1)^q(x²− 1)²

= 4

π · 1 − x² (x²+ 1)|x²− 1|. Dziedzina pochodnej: D_f⁰ = R \ {−1, 1}.

(55)

Ekstrema. Wiemy, że f

⁰

(x ) =

⁴_π

·

_(x2+1)|x^1−x²²−1|

.

Punkty „podejrzane” o ekstremum lokalne funkcji f to x1= −1 oraz x2 = 1.

Dla x ∈ (−1, 1) mamy

f⁰(x ) = ⁴_π ·_(x2+1)(−x^1−x²²+1) = _π⁴ ·_x2¹+1 > 0.

Dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) mamy f⁰(x ) = ⁴_π ·_(x₂_+1)(x^1−x²₂₋₁₎ = _π⁴ ·_x⁻¹₂₊₁ < 0.

Funkcja f rośnie w przedziale (−1, 1), maleje w (−∞, −1) oraz maleje w (1, ∞). Osia¸ga minimum dla x1= −1, a maksimum dla x₂ = 1.

(56)

dla x ∈ (−1, 1) pochodna: f

⁰

(x ) =

_π⁴

·

_x2¹+1

dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) pochodna:

f

⁰

(x ) =

_π⁴

·

_x⁻¹2+1

< 0.

W celu zbadania wypukłości funkcji obliczymy pochodną drugiego rzędu:

Dla x ∈ (−1, 1) mamy f⁰⁰(x ) = ⁴_π ·_x₂¹₊₁⁰ = _π⁴ ·_(x^−2x₂₊₁₎₂. Dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) mamy

f⁰⁰(x ) = _π⁴ ·_x⁻¹2+1

0

= _π⁴ ·_(x2^2x+1)².

Wykres funkcji jest wie¸c wypukły w przedziałach (−1, 0) oraz (1, ∞), a wkle¸sły w (−∞, −1) oraz (0, 1). Przy przejściu przez x1 = −1, x2 = 1 oraz x3= 0 pochodna f⁰⁰ zmienia znak, zatem mamy trzy punkty przegie¸cia: (−1, −1), (0, 0), (1, 1).

(57)

Wykres funkcji f (x ) =

_π²

arc sin

_x2^2x+1

.

x y

Oczywiście mogliśmy wykonać obliczenia tylko dla x 0 zauważając wcześniej, że nasza funkcja jest nieparzysta:

f (−x ) = 2

π arc sin 2(−x ) (−x )²+ 1 = 2

π arc sin− 2x x²+ 1

= −2

π arc sin 2x

x²+ 1= −f (x )