SIMR Analiza 2, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa, granica ciągu w przestrzeni wektorowej 1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi (a) y = x

SIMR Analiza 2, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa, granica ciągu w przestrzeni wektorowej

1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi (a) y = x² , y = x + 2 , y = 2 − x

(b) x = y² , x + 2y² = 3 (c) y = ln x , y = 0 , x = e (d) y = arc tg x , y = ^π₄x

(e) x² + y² = 2 , y = x² (f) xy = 2 , y = x , 4y = x² (g) y = 1

1 + x² , y = x² 2 2. Oblicz całki:

(a)

Z∞

a

1 x²dx

(b)

Z1

0

ln xdx

(c)

+∞

Z

−∞

1 1 + x²dx (d)

2π Z 0

1

2 + cos xdx (e)

Z1

−1

√ dx

1 − x² (f)

∞ Z 2

dx x² + x − 2 (g)

Z∞

0

1 x² + x + 1

!2

dx

(h)

∞ Z 0

x ln x (1 + x²)²dx (i)

∞ Z 0

arc tg x (1 + x²)^3/2dx (j)

Z∞

0

e^−axcos bxdx (a > 0)

3. Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞x_n (a) xn = ^ n²

n² + 4, √

n² + 1 − n^

(b) x_n =









 1 n

n n²+1 sin n

n 3











(c) x_n = ^(1 + _n²)ⁿ⁻³, ^q1 + ¹_n, e^−n

(d) x_n = ^{ 2n}_n²⁺¹2 , ^q4 + _n¹ , eⁿ¹ , ^{sin n}_n ^ 4. Obliczyć granicę funkcji lim

x→x0f (x) (a) x ∈ R , x0 = 0 , f (x) = (sin x

x , x ln x , x e^x) (b) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (0, 0) , f (x₁, x₂) =

√1 + x₁x₂ − 1 x1

(c) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (0, 0) , f (x₁, x₂) = x²₁x₂ x²₁ + x²₂

(d) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (1, 0) , f (x₁, x₂) = x²₁ + x1x2 − x₁ x₁ + x₂ − 1 (e) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (1, 0) , f (x₁, x₂) = x1x2 − x²₂ − x₂

x₁ + x₂ − 1 (f) x = (x1, x₂) ∈ R² , x0 = (1, 0) , f (x1, x₂) = x₁ − x₂ − 1

x₁ + x₂ − 1

(g) x = (x1, x₂, x₃) ∈ R³ , x0 = (0, 0, 0) , f (x1, x₂, x₃) = x²₁x₂ + x₁x₂x₃ x₁ + x²₂ + x²₃