Estymatory kwantylowe i estymacja kwantyli

47  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Estymatory kwantylowe i estymacja kwantyli

Tomasz Rychlik

Instytut Matematyczny PAN Chopina 12, 87 100 Toruń e-mail: trychlik@impan.gov.pl

XXXVIII Konferencja Statystyka Matematyczna Sesja poświe¸cona pamie¸ci prof. Ryszarda Zielińskiego

Wisła, 3–7.12.2012

(2)

Prof. Ryszard Zieliński (1932-2012)

(3)

Plan:

1 Nieparametryczna estymacja kwantyli

2 Odporna estymacja parametry położenia za pomoca¸ kwantyli próbkowych

(4)

Nieparametryczne

estymatory kwantyli

(5)

Założenia:

Próba(skończona!): X1, . . . , Xn - i.i.d.,

Model: F = {F : dystrybuanty cia¸głe i ściśle rosna¸ce}

(wtedy F−1 też cia¸głe i ściśle rosna¸ce), Klasa estymatorów:

T = {T = T (X1:n, . . . , Xn:n) : ∀ ϕ ściśle rosn¸aca

T (ϕ(X1:n), . . . , ϕ(Xn:n)) = ϕ(T (X1:n, . . . , Xn:n))}

= {XJ(λ):n : λ ∈ Sn},

gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λj, j = 1, . . . , n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40).

((X , . . . , X ) — statystyka dostateczna i zupełna)

(6)

Założenia:

Próba(skończona!): X1, . . . , Xn - i.i.d.,

Model: F = {F : dystrybuanty cia¸głe i ściśle rosna¸ce}

(wtedy F−1 też cia¸głe i ściśle rosna¸ce), Klasa estymatorów:

T = {T = T (X1:n, . . . , Xn:n) : ∀ ϕ ściśle rosn¸aca

T (ϕ(X1:n), . . . , ϕ(Xn:n)) = ϕ(T (X1:n, . . . , Xn:n))}

= {XJ(λ):n : λ ∈ Sn},

gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λj, j = 1, . . . , n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40).

((X1:n, . . . , Xn:n) — statystyka dostateczna i zupełna)

(7)

Założenia:

Próba(skończona!): X1, . . . , Xn - i.i.d.,

Model: F = {F : dystrybuanty cia¸głe i ściśle rosna¸ce}

(wtedy F−1 też cia¸głe i ściśle rosna¸ce), Klasa estymatorów:

T = {T = T (X1:n, . . . , Xn:n) : ∀ ϕ ściśle rosn¸aca

T (ϕ(X1:n), . . . , ϕ(Xn:n)) = ϕ(T (X1:n, . . . , Xn:n))}

= {XJ(λ):n : λ ∈ Sn},

gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λj, j = 1, . . . , n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40).

((X , . . . , X ) — statystyka dostateczna i zupełna)

(8)

Założenia:

Próba(skończona!): X1, . . . , Xn - i.i.d.,

Model: F = {F : dystrybuanty cia¸głe i ściśle rosna¸ce}

(wtedy F−1 też cia¸głe i ściśle rosna¸ce), Klasa estymatorów:

T = {T = T (X1:n, . . . , Xn:n) : ∀ ϕ ściśle rosn¸aca

T (ϕ(X1:n), . . . , ϕ(Xn:n)) = ϕ(T (X1:n, . . . , Xn:n))}

= {XJ(λ):n : λ ∈ Sn},

gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λj, j = 1, . . . , n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40).

((X1:n, . . . , Xn:n) — statystyka dostateczna i zupełna)

(9)

Założenia:

Próba(skończona!): X1, . . . , Xn - i.i.d.,

Model: F = {F : dystrybuanty cia¸głe i ściśle rosna¸ce}

(wtedy F−1 też cia¸głe i ściśle rosna¸ce), Klasa estymatorów:

T = {T = T (X1:n, . . . , Xn:n) : ∀ ϕ ściśle rosn¸aca

T (ϕ(X1:n), . . . , ϕ(Xn:n)) = ϕ(T (X1:n, . . . , Xn:n))}

= {XJ(λ):n : λ ∈ Sn},

gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λj, j = 1, . . . , n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40).

((X , . . . , X ) — statystyka dostateczna i zupełna)

(10)

Problem:

Dla ustalonego 0 < q < 1, znaleźć w klasie T optymalny estymator T wartości F−1(q), F ∈ F , wzgle¸dem różnych rozsa¸dnych

kryteriów R(T , F ), T ∈ T , F ∈ F .

Uwaga: Dla F nie maja¸ sensu kryteria typu:

średni bła¸d kwadratowy: E(T − F−1(q))2, średni bła¸d absolutny: E|T − F−1(q)|, itp.

(11)

Problem:

Dla ustalonego 0 < q < 1, znaleźć w klasie T optymalny estymator T wartości F−1(q), F ∈ F , wzgle¸dem różnych rozsa¸dnych

kryteriów R(T , F ), T ∈ T , F ∈ F .

Uwaga: Dla F nie maja¸ sensu kryteria typu:

średni bła¸d kwadratowy: E(T − F−1(q))2, średni bła¸d absolutny: E|T − F−1(q)|, itp.

(12)

Rozważamy błe¸dy F (T ) − q

zamiast

T − F −1 (q)

(13)

Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji:

Mediana próbkowa dla prób parzystych: M2n = 12(Xn:2n+ Xn+1:2n) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, 363–370.

∀ n ∈ N ∀ C > 0 ∃ F ∈ F med(M2n, F ) − F−1(1/2) > C . AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, 11–14.

∀ n ∈ N ∀ ε > 0 ∃ F ∈ F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 EFM2n− 1/2 > 1/4 − ε.

(14)

Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji:

Mediana próbkowa dla prób parzystych: M2n = 12(Xn:2n+ Xn+1:2n) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, 363–370.

∀ n ∈ N ∀ C > 0 ∃ F ∈ F med(M2n, F ) − F−1(1/2) > C . AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, 11–14.

∀ n ∈ N ∀ ε > 0 ∃ F ∈ F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 EFM2n− 1/2 > 1/4 − ε.

(15)

Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji:

Mediana próbkowa dla prób parzystych: M2n = 12(Xn:2n+ Xn+1:2n) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, 363–370.

∀ n ∈ N ∀ C > 0 ∃ F ∈ F med(M2n, F ) − F−1(1/2) > C . AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, 11–14.

∀ n ∈ N ∀ ε > 0 ∃ F ∈ F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 EFM2n− 1/2 > 1/4 − ε.

(16)

podobnie źle zachowuja¸ sie¸ L-estymatory:

Kaigh-Lachenbruch:

L1(k, q) =

r +n−k

X

j =r j −1 r −1

 n−j

k−r



n k

 Xj :n, r = b(k + 1)qc, Bernstein-Polynomial:

L2(q) =

n

X

j =1

Bj −1,n−1(q)Xj :n= 1 n

n

X

j =1

fj :n(q)Xj :n,

Harrell-Davis:

L3(q) =

n

X

j =1



B(n+1)q,(n+1)(1−q)

 j n



− B(n+1)q,(n+1)(1−q)

 j − 1 n



Xj :n,

bo rozkłady F (Li) − q zależa¸ of F .

(17)

Kryterium MAD:

R1(T , F ) = EF|F (T ) − q| = E|UJ(λ):n− q|

RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, 79–84.

Uj :n∼ Fj :n(x ) =

n

X

k=j

n k



xk(1 − x )n−k, 0 < x < 1, 1 > F1:n(x ) > . . . > Fn:n(x ) > 0, 0 < x < 1.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie



1, gdy F2:n+1(q) ≤ 1/2, n, gdy F (q) ≥ 1/2,

(18)

Kryterium MAD:

R1(T , F ) = EF|F (T ) − q| = E|UJ(λ):n− q|

RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, 79–84.

Uj :n∼ Fj :n(x ) =

n

X

k=j

n k



xk(1 − x )n−k, 0 < x < 1, 1 > F1:n(x ) > . . . > Fn:n(x ) > 0, 0 < x < 1.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j =





1, gdy F2:n+1(q) ≤ 1/2, n, gdy Fn:n+1(q) ≥ 1/2,

jeśli F2:n+1(q) > 1/2 > Fn:n+1(q), to takie j , że Fj :n+1(q) > 1/2 > Fj +1:n+1(q).

(19)

Kryterium MSE:

R2(T , F ) = EF(F (T ) − q)2= E(UJ(λ):n− q)2 RZ (1999), Commun. Statist. — Theory Meth. 38, 980–992.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j=





1, gdy q ≤ n+23/2,

[(n + 2)q + 1/2] , gdy n+23/2 < q < n+1/2n+2 ,

n, gdy q ≥ n+1/2n+2 .

([·] — zaokra¸glenie do całkowitej)

(20)

Kryterium MSE:

R2(T , F ) = EF(F (T ) − q)2= E(UJ(λ):n− q)2 RZ (1999), Commun. Statist. — Theory Meth. 38, 980–992.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j=





1, gdy q ≤ n+23/2,

[(n + 2)q + 1/2] , gdy n+23/2 < q < n+1/2n+2 ,

n, gdy q ≥ n+1/2n+2 .

([·] — zaokra¸glenie do całkowitej)

(21)

Kryterium LINEX:

Rα(T , F ) = EF[exp(α(F (T ) − q)) − α(F (T ) − q) − 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, 367–373.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j = arg min

1≤j ≤n exp(−αq)1F1(j , n + 1, α)

| {z }

%

− j α n + 1

| {z }

&



1F1(j , n, α) = Γ(n) Γ(j )Γ(n − j )

Z 1 0

eαttj −1(1 − t)n−j −1dt

(22)

Kryterium LINEX:

Rα(T , F ) = EF[exp(α(F (T ) − q)) − α(F (T ) − q) − 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, 367–373.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j = arg min

1≤j ≤n exp(−αq)1F1(j , n + 1, α)

| {z }

%

− j α n + 1

| {z }

&



1F1(j , n, α) = Γ(n) Γ(j )Γ(n − j )

Z 1 0

eαttj −1(1 − t)n−j −1dt funkcja Whittakera (confluent geometric).

W pracy jeszcze optymalne estymatory kwantyli w modelu

normalnym postaci X + const(j , n, α) σ oraz X + const(j , n, α) S .

(23)

Kryterium LINEX:

Rα(T , F ) = EF[exp(α(F (T ) − q)) − α(F (T ) − q) − 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, 367–373.

Twierdzenie T= Xj:n, gdzie

j = arg min

1≤j ≤n exp(−αq)1F1(j , n + 1, α)

| {z }

%

− j α n + 1

| {z }

&



1F1(j , n, α) = Γ(n) Γ(j )Γ(n − j )

Z 1 0

eαttj −1(1 − t)n−j −1dt

(24)

Kryterium miara bliskości Pitmana:

T: ∀ T ∈ T ∀ F ∈ F PF(|F (T)−q)| ≤ |F (T )−q|) ≥ 1/2,

RZ (2001), Statistics 35, 453–462.

Twierdzenie Jeśli j0=

 n − 1, gdy Fn−1:n(q) ≥ 1/2,

min{i ≤ n − 1 : Fi +1:n(q) < 1/2}, w p. p.

oraz j =

 j0, gdy q < q(j0, n), (wyznaczone numerycznie z równania) j0+ 1, w p. p.,

to T = Xj:n.

(25)

Kryterium miara bliskości Pitmana:

T: ∀ T ∈ T ∀ F ∈ F PF(|F (T)−q)| ≤ |F (T )−q|) ≥ 1/2,

RZ (2001), Statistics 35, 453–462.

Twierdzenie Jeśli j0=

 n − 1, gdy Fn−1:n(q) ≥ 1/2,

min{i ≤ n − 1 : Fi +1:n(q) < 1/2}, w p. p.

oraz j =

 j0, gdy q < q(j0, n), (wyznaczone numerycznie z równania)

(26)

Estymatory medianowo-nieobcia¸żone:

RZ (1988), Statistics 19, 223–227.

T ⊃ U (q) = {T ∈ T : ∀ F ∈ F med(T , F ) = q},

= (

T = XJ(λ):n :

n

X

i =1

λiFi :n(q) = 1 2

) .

U (q) 6= ∅ ⇔ F1:n(q) ≥ 1

2 ≥ Fn:n(q)

⇔ n ≥ ln 2

− ln max{q, 1 − q}.

(27)

Estymatory medianowo-nieobcia¸żone:

RZ (1988), Statistics 19, 223–227.

T ⊃ U (q) = {T ∈ T : ∀ F ∈ F med(T , F ) = q},

= (

T = XJ(λ):n :

n

X

i =1

λiFi :n(q) = 1 2

) .

U (q) 6= ∅ ⇔ F1:n(q) ≥ 1

2 ≥ Fn:n(q)

⇔ n ≥ ln 2

− ln max{q, 1 − q}.

(28)

Kryterium MAD dla U (q):

RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, 79–84.

Twierdzenie

Jeśli F1:n(q) ≥ 12 ≥ Fn:n(q), to dla j takiego, że Fj:n(q) ≥ 12 ≥ Fj+1:n(q) oraz

λj = 1/2 − Fj+1:n(q)

Fj:n(q) − Fj+1:n(q) = 1 − λj+1, λj = 0, j 6∈ {j, j+ 1},

T= XJ(λ):n.

(29)

Estymator medianowo-nieobcia¸żony o najwie¸kszej koncentracji

RZ (1988), Statistics 19, 223–227.

Estymator medianowo-nieobcia¸żony o minimalnym średnim błe¸dzie absolutnym spełnia:

∀ T ∈ U (q) ∀ F ∈ F ∀ 0 < q< q < q+< 1 P(F−1(q) ≤ T ≤ F−1(q+)) ≥ P(F−1(q) ≤ T ≤ F−1(q+))

(30)

Kryterium MSE dla V(q):

Estymatory F -nieobcia¸żone:

T ⊃ V(q) = {T ∈ T : ∀ F ∈ F EF (T ) = q},

= (

T = XJ(λ):n : EF (XJ(λ):n) =

n

X

i =1

i λi n + 1 = q

) .

Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40.

Twierdzenie

Dla j = b(n + 1)qc oraz

λj = (n + 1)q − b(n + 1)qc = 1 − λj+1, λj = 0, j 6∈ {j, j+ 1},

T= XJ(λ):n.

(31)

Kryterium MSE dla V(q):

Estymatory F -nieobcia¸żone:

T ⊃ V(q) = {T ∈ T : ∀ F ∈ F EF (T ) = q},

= (

T = XJ(λ):n : EF (XJ(λ):n) =

n

X

i =1

i λi n + 1 = q

) .

Uhlmann (1963), Metrika 7, 23–40.

Twierdzenie

Dla j = b(n + 1)qc oraz

λj = (n + 1)q − b(n + 1)qc = 1 − λj+1, λj = 0, j 6∈ {j, j+ 1},

(32)

Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości

RZ, WZ (2005), Statistics 39, 67–71.

Wyznaczyć [XI :n, XJ:n] taki. że

P(XI :n ≤ F−1(q) ≤ XJ:n) = P(UI :n ≤ q ≤ UJ:n) ≥ γ, E(J − I ) = min

Możliwe, gdy P(U1:n≤ q ≤ Un:n) ≥ γ, tzn., gdy qn+ (1 − q)n≤ 1 − γ.

pk(q) = P(Uk:n ≤ q ≤ Uk+1:n) =n k



qk(1 − q)n−k, k = 1, . . . , n − 1 — cia¸g jednomodalny wzgl. k (kmax ≈ nq).

(33)

Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości

RZ, WZ (2005), Statistics 39, 67–71.

Wyznaczyć [XI :n, XJ:n] taki. że

P(XI :n ≤ F−1(q) ≤ XJ:n) = P(UI :n ≤ q ≤ UJ:n) ≥ γ, E(J − I ) = min

Możliwe, gdy P(U1:n≤ q ≤ Un:n) ≥ γ, tzn., gdy qn+ (1 − q)n≤ 1 − γ.

pk(q) = P(Uk:n ≤ q ≤ Uk+1:n) =n k



qk(1 − q)n−k,

(34)

Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości

RZ, WZ (2005), Statistics 39, 67–71.

Wyznaczyć [XI :n, XJ:n] taki. że

P(XI :n ≤ F−1(q) ≤ XJ:n) = P(UI :n ≤ q ≤ UJ:n) ≥ γ, E(J − I ) = min

Możliwe, gdy P(U1:n≤ q ≤ Un:n) ≥ γ, tzn., gdy qn+ (1 − q)n≤ 1 − γ.

pk(q) = P(Uk:n ≤ q ≤ Uk+1:n) =n k



qk(1 − q)n−k, k = 1, . . . , n − 1 — cia¸g jednomodalny wzgl. k (kmax ≈ nq).

(35)

Rozwia¸zanie:

Dokładaj kolejne kawałki {Uk:n ≤ q ≤ Uk+1:n} o maksymalnym prawdopodobieństwie, uzyskuja¸c kolejno ła¸czne

prawdopodobieństwa:

P1(q) < P2(q) < . . . < Pm(q) ≤ γ < Pm+1(q) . . .. Niech Pm(q) = P(Ui :n ≤ q ≤ Uj :n), Pm+1(q) = P(Ui0:n ≤ q ≤ Uj0:n), gdzie (i0, j0) = (i , j + 1) lub (i − 1, j ). Wtedy

[XI :n, XJ:n] =

( [Xi :n, Xj :n] z p − stwem P Pm+1(q)−γ

m+1(q)−Pm(q),

Xi0:n, Xj0:n

z p − stwem P γ−Pm(q)

m+1(q)−Pm(q).

(36)

Rozwia¸zanie:

Dokładaj kolejne kawałki {Uk:n ≤ q ≤ Uk+1:n} o maksymalnym prawdopodobieństwie, uzyskuja¸c kolejno ła¸czne

prawdopodobieństwa:

P1(q) < P2(q) < . . . < Pm(q) ≤ γ < Pm+1(q) . . .. Niech Pm(q) = P(Ui :n ≤ q ≤ Uj :n), Pm+1(q) = P(Ui0:n ≤ q ≤ Uj0:n), gdzie (i0, j0) = (i , j + 1) lub (i − 1, j ). Wtedy

[XI :n, XJ:n] =

( [Xi :n, Xj :n] z p − stwem P Pm+1(q)−γ

m+1(q)−Pm(q),

Xi0:n, Xj0:n

z p − stwem P γ−Pm(q)

m+1(q)−Pm(q). W pracy jeszcze optymalne przedziały jednostronne.

(37)

Odporne estymatory

położenia

(38)

Asymptotycznie odporny estymator położenia

RZ, TR (1985), Lect. Notes in Math. 1233, str. 156–171.

Model: {F (x − µ) : µ ∈ R}, F - znana dystrybuanta jednomodalna,

Zaburzenie:

Z(µ) = {G = (1 − ε)Fµ+ εH : H − dowolna dystrybuanta}, 0 < ε < 1/2,

Estymatory:

T = {(Tn) : Tn(X1+ c, . . . , Xn+ c) = Tn(X1, . . . , Xn) + c,

n→∞lim med(Tn, Fµ) = µ}, Kryterium:

B((Tn), µ) = B((Tn), 0) = lim

n→∞ sup

G1,G2∈Z(0)

|med(Tn, G1)−med(Tn, G2)|.

(39)

Asymptotycznie odporny estymator położenia – c.d.

G ∈ Z(0) ⇒ L = (1 − ε)F ≤ G ≤ U = (1 − ε)F + ε ⇒ U−1(x ) = F−1 x − ε

1 − ε



< L−1(x ) = F−1

 x 1 − ε



, ε < x < 1−ε,

q= arg inf

ε<q<1−ε(L−1(q) − U−1(q)), Tn = XL(n):n− F−1(q) L(n)/n → q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 − ε),

√n(L(n)/n − ε) → ∞, (potrzebne, gdy q = ε),

√n(1 − ε − L(n)/n) → ∞, (potrzebne, gdy q = 1 − ε).

(40)

Asymptotycznie odporny estymator położenia – c.d.

G ∈ Z(0) ⇒ L = (1 − ε)F ≤ G ≤ U = (1 − ε)F + ε ⇒ U−1(x ) = F−1 x − ε

1 − ε



< L−1(x ) = F−1

 x 1 − ε



, ε < x < 1−ε,

q= arg inf

ε<q<1−ε(L−1(q) − U−1(q)), Tn = XL(n):n− F−1(q) L(n)/n → q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 − ε),

√n(L(n)/n − ε) → ∞, (potrzebne, gdy q = ε),

√n(1 − ε − L(n)/n) → ∞, (potrzebne, gdy q = 1 − ε).

Huber (1964): Jeśli F dodatkowo symetryczna, to q = 1/2.

(41)

Asymptotycznie odporny estymator położenia – c.d.

G ∈ Z(0) ⇒ L = (1 − ε)F ≤ G ≤ U = (1 − ε)F + ε ⇒ U−1(x ) = F−1 x − ε

1 − ε



< L−1(x ) = F−1

 x 1 − ε



, ε < x < 1−ε,

q= arg inf

ε<q<1−ε(L−1(q) − U−1(q)), Tn = XL(n):n− F−1(q) L(n)/n → q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 − ε),

√n(L(n)/n − ε) → ∞, (potrzebne, gdy q = ε),

√n(1 − ε − L(n)/n) → ∞, (potrzebne, gdy q = 1 − ε).

(42)

Nieasymptotycznie odporny estymator położenia

RZ (1988), Statistics 19, 229–231.

Model: {F (x − µ) : µ ∈ R}, F -cia¸gła znana dystrybuanta jednomodalna taka, żege¸stość f (x) → 0 na końcach nośnika, Zaburzenie:

Z(µ) = {G = (1 − ε)Fµ+ εH : H − dowolna dystrybuanta}, 0 < ε < 1/2,

Estymatory:

T = {T : T (X1+ c, . . . , Xn+ c) = T (X1, . . . , Xn) + c, med(T , Fµ) = µ},

Kryterium:

B(T , µ) = B(T , 0) = sup

G1,G2∈Z(0)

|med(T , G1) − med(T , G2)|.

(43)

Nieasymptotycznie odporny estymator położenia — c.d.

ε < q < 1 − ε takie, że

L−1(q) − U−1(q) = inf

ε<q<1−ε(L−1(q) − U−1(q)) Wtedy

T = XJ(λ):n− F−1(q), XJ(λ):n ∈ U (q).

(44)

Przekornie odporny estymator położenia

RZ (1988), Appl. Math. (Warsaw) 29, 1–6.

Model: {F (x − µ) : µ ∈ R}, F - znana cia¸gła, ściśle rosna¸ca dystrybuanta symetryczna jednomodalna (o skończonej wartości oczekiwanej),

C > 0 - wystarczaja¸co duże, HC+(x ) = 1 − C

x1[C ,∞)(x ) (Pareto(1, C )), HC(x ) = −C

x1(−∞,C ](x ) (− Pareto(1, C )), Zaburzenie:

Z(0) = {G : L = (1 − ε)F + εHC+ ≤ G = (1 − ε)F + εH

≤ U = (1 − ε)F + εHC}, (Jeśli Z ∼ H i max{EZ+, EZ} < C , to HC+≤ H ≤ HC)

Estymatory, kryterium: jak wyżej,

(45)

Przekornie odporny estymator położenia — c.d.

q = arg inf

0<q<1(L−1(q) − U−1(q)), T = XJ(λ):n− F−1(q), XJ(λ):n ∈ U (q).

(Jeśli F takie, że EF|X | < ∞, to istnieja¸ G1, G2∈ Z(0) takie, że EGi|X | < ∞, i = 1, 2 oraz

B(T, 0) = |med(T, G1) − med(T, G2)|.

Przykład

F = Φ, ε = 0.2, C > 0.3186,

(46)

Przekornie odporny estymator położenia — c.d.

q = arg inf

0<q<1(L−1(q) − U−1(q)), T = XJ(λ):n− F−1(q), XJ(λ):n ∈ U (q).

(Jeśli F takie, że EF|X | < ∞, to istnieja¸ G1, G2∈ Z(0) takie, że EGi|X | < ∞, i = 1, 2 oraz

B(T, 0) = |med(T, G1) − med(T, G2)|.

Przykład

F = Φ, ε = 0.2, C > 0.3186, q

 = 12 dla C > 0.8245, 6= 12 w p. p.

(47)

Przekornie odporny estymator położenia — c.d.

q = arg inf

0<q<1(L−1(q) − U−1(q)), T = XJ(λ):n− F−1(q), XJ(λ):n ∈ U (q).

(Jeśli F takie, że EF|X | < ∞, to istnieja¸ G1, G2∈ Z(0) takie, że EGi|X | < ∞, i = 1, 2 oraz

B(T, 0) = |med(T, G1) − med(T, G2)|.

Przykład

F = Φ, ε = 0.2, C > 0.3186,

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :