RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami

(1)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami

Maciej Burnecki

opracowanie strona główna

Spis treści

I Równania pierwszego rzędu 2

o rozdzielonych zmiennych 2

jednorodne 3

liniowe 3

Bernoulliego 4

Równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego 4

II Układy równań liniowych 5

jednorodnych 5

niejednorodnych – metoda uzmienniania stałych 5

III Równania liniowe wyższych rzędów 6

IV Metoda eliminacji dla układów równań 7

V Przekształcenie Laplace’a 7

VI Stabilność punktów równowagi 8

VII Pierwsze kolokwium 9

VIII Drugie kolokwium 11

(2)

IX Egzamin 13

Część I

Równania pierwszego rzędu

o rozdzielonych zmiennych

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 5 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów na minutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 1). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś odciętych w punkcie (1, 0). W każdym punkcie tej krzy- wej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4.

Wyznacz równanie tej krzywej.

5. Przy założeniu y(t) ∈ (π, 2π), rozwiąż równanie y⁰(t) − cos t

sin(y(t))e^t= 0.

6. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + y²(t) ctg t = 0, yπ

2

= 1, (b) (1 + t)y⁰(t) − 1 − y²(t) = 0, y (0) = 0,

(c) e^ty⁰(t) = (y(t) + 1)², y(0) = 0, (d) y⁰(t) − cos t

sin(y(t)) = 0, y (0) = π 2, (e) p

1 − t²dy − 1 + y²(t) dt = 0, y 1 2

=

√3 3 , (f) 3y²(t)2^−tdy − tdt = 0, y(0) = 0,

(g) y⁰(t) − (y(t) + 1)²cos(t) = 0, y (0) = 0, (h) y⁰(t) − 3t²

cos(y(t))= 0, y (0) = 0.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) = 0, 1e^−0,05t. 2. y(t) =^(t−40)₈₀₀ ², 3. y(t) = e^2t. 4. y(t) = 4 − 4e^t−1.

5. y(t) = 2π − arc cos C −sin t+cos t 2 e^t .

(3)

6. (a) y(t) = _{1+ln sin t}¹ (b) y(t) = tg ln(t + 1),

(c) y(t) = −1 + e^t, (d) y(t) = arc cos(− sin t),

(e) y(t) = ^√_1−t^t ₂, (f) y(t) = ³

qt2^t

ln 2−_ln²2^t2+_ln¹22, (g) y(t) = _1−sin(t)^sin(t) ,

(h) y(t) = arc sin t³ .

jednorodne

1. Rozwiąż równanie

(a) t²dy + −y²(t) + y(t)t − t² dt = 0, (b) t dy −

y(t) + te^y(t)^t dt = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)t²− y²(t) − y(t)t − t²= 0, y(1) = 1.

Odpowiedzi, wskazówki

1. (a) y(t) = t lub y(t) = t − t ln |t| + C, (b) y(t) = −t ln(C − ln |t|).

2. y(t) = t tgπ 4 + ln t

.

liniowe

1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmiennianie stałej, rozwiąż równanie (a) y⁰(t) + 5y(t) = t,

(b) y⁰(t) + ty(t) = t, (c) y⁰(t) + 2y(t) = cos t.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) t dy + (y(t) − te^t) dt = 0, y(1) = 1, (b) tg t dy +

y(t) cos²t + 1

t²− 1

dt = 0, yπ 4

= lnr 4 + π 4 − π .

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 3). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy różnicy rzędnej i odciętej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przechodzi przez środek układu współrzędnych. W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy sumie rzędnej i podniesionej do kwadratu odciętej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

1. (a) y(t) = ¹₅t − ₂₅¹ + Ce^−5t,

(4)

(b) y(t) = 1 + Ce⁻¹²^t²,

(c) y(t) = ^{2 cos t}₅ +^{sin t}₅ + Ce^−2t. 2. (a) y(t) = e^t−^e_t^t +¹_t.

(b) y(t) = ctg t lnq

1+t 1−t . 3. y(t) = t + 1 + 2e^t.

4. y(t) = −t²− 2t − 2 + 2e^t.

Bernoulliego

1. Rozwiąż równanie

(a) − dy + y(t) − y²(t) dt = 0, (b) 3 dy +y³(t) − 4

y²(t) dt = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) + y(t) = −2e^−3t

y²(t), y(0) = 1.

1. (a) y(t) = 0 (funkcja stała) lub y(t) = _C+e^e^tt, (b) y(t) =√³

4 + Ce^−t. 2. y(t) =p(1 − 6t)e³ ^−3t.

Równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

1. Rozwiąż równanie (a) ty⁰⁰(t) + 2y⁰(t) = 0, (b) ty⁰⁰(t) + 4y⁰(t) = 0,

(c) y⁰⁰(t) sin t − y⁰(t) cos t = 0, (d) y⁰⁰(t)y(t) + (y⁰(t))²= y⁰(t).

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) sin t − 2y⁰(t) cos t = 0, yπ 2

= 2π, y⁰π 2

= 4.

Odpowiedzi, wskazówki 1. (a) y(t) = ^C_t + D, (b) y(t) = _t^C₃ + D,

(c) y(t) = C cos t + D,

(d) y(t) = C (funkcja stała) lub y(t) − C ln |y(t) + C| − t − D = 0 (rozwiązanie w postaci uwikłanej).

2. y(t) = 2t − sin(2t) + π.

(5)

Część II

Układy równań liniowych

jednorodnych

1. Metodą Eulera dla przypadku jednokrotnych wartości własnych, rozwiąż układ (a)

x⁰(t) = −x(t) +¹₂y(t), y⁰(t) = 4x(t),

(b)

x⁰(t) = x(t) + y(t), y⁰(t) = −2x(t) + 4y(t), (c)

x⁰(t) = 7x(t) + 2y(t), y⁰(t) = −17x(t) − 3y(t), (d)

x⁰(t) = 2x(t) + 2y(t) y⁰(t) = ³₂x(t) + 4y(t), (e)

x⁰(t) = 2x(t) + y(t) y⁰(t) = 3x(t) + 4y(t).

Odpowiedzi, wskazówki 1. (a)

x(t) = Ce^−2t+ De^t y(t) = −2Ce^−2t+ 4De^t, (b)

x(t) = Ce^2t+ De^3t, y(t) = Ce^2t+ 2De^3t, (c)

x(t) = e^2t[C cos(3t) + D sin(3t)] , y(t) = e^2t

−⁵₂C +³₂D cos(3t) + −³₂C −⁵₂D sin(3t) , (d)

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −¹₂Ce^t+³₂De^5t,

(e) Wartościami własnymi są 1, 5, odpowiadają im przykłady wektorów własnych

1

−1

, 1

3

, co daje rozwiązanie

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −Ce^t+ 3De^5t.

niejednorodnych – metoda uzmienniania stałych

1. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ (a)

x⁰(t) = −y(t) − e^−t

y⁰(t) = 6x(t) − 5y(t) − 6e^−t, (b)

x⁰(t) = x(t) − y(t) + sin t + cos t y⁰(t) = 2x(t) − y(t) + 2 sin t, (c)

x⁰(t) = −x(t) + y(t) y⁰(t) = 2x(t) + 4, (d)

x⁰(t) = x(t) + y(t) + 3 y⁰(t) = 2x(t) − 2t − 1, (e)

x⁰(t) = 2x(t) + y(t) + 1 y⁰(t) = 4x(t) + 2y(t).

(6)

2. Dwa napełnione roztworami soli stulitrowe zbiorniki, pierwszy 0,4-procentowym, a drugi 0,2-procentowym, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów na minutę. Innymi dwoma rurkami, do pierwszego zbiornika z prędkością 5 litrów na minutę wpływają czysta woda i 0,1-procentowy roztwór soli. Ponadto, z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. ^∗ Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x⁰(t) = 80y(t) +_{cosh t}¹

y⁰(t) = ₄₀¹x(t) + y(t) −₄₀¹ arc tg(sinh t),

gdzie sinh t =e^t− e^−t

2 , cosh t = e^t+ e^−t

2 oznaczają odpowiednio sinus i kosinus hiperboliczny.

Odpowiedzi, wskazówki 1. (a)

x(t) = e^−t+ Ce^−2t+ De^−3t, y(t) = 2Ce^−2t+ 3De^−3t, (b)

x(t) = t(cos t + sin t) + C cos t + D sin t, y(t) = 2t sin t + (C − D) cos t + (C + D) sin t, (c)

x(t) = −2 + Ce^t+ De^−2t y(t) = −2 + 2Ce^t− De^−2t, (d)

x(t) = t + Ce^2t+ De^−t y(t) = −2 − t + Ce^2t− 2De^−t, (e)

x(t) = ¹₂t + C + De^4t y(t) = −t −¹₂− 2C + 2De^4t.

2.

x(t) = 0, 05 + 0, 35e^−0,1t,

y(t) = 0, 05 + 0, 035te^−0,1t+ 0, 15e^−0,1t. 3.

x(t) = arc tg(sinh(t)) + Ce^2t+ De^−t y(t) =₄₀¹Ce^2t−₈₀¹De^−t.

Część III

Równania liniowe wyższych rzędów

1. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równanie (a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^−t,

(b) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 8y(t) = 16t².

2. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 3e^2t, y(0) = 3

4, y⁰(0) = 9 2, (b) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = −e^−t, y(0) = 7

2, y⁰(0) = −17 2 . 3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie

(a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^t, (b) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = e^−3t,

(c) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 4y(t) = 2e^2t,

(7)

(d) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) − 5y(t) = t − sin t, (e) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 5t − 12e^t.

4. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = 6t²+ 16t + 13, jeśli y(0) = 4, y⁰(0) = −7, (b) y⁰⁰(t) − y⁰(t) − 2y(t) = 2 cos t + 4 sin t, jeśli y(0) = 3, y⁰(0) = 3,

(c) y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = e^2t+ t, jeśli y(0) = 7

100, y⁰(0) = 1 10. 5. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 3t.

1. (a) y(t) = te^−t+ Ce^−t+ De^−2t,

(b) y(t) = 2t²− 3t +⁷₄+ Ce^−2t+ De^−4t. 2. (a) y(t) = 0, 75e^2t+ e^t− e^−2t ,

(b) y(t) = −0, 5e^−t+ 3e^−2t+ e^−3t. 3. (a) y(t) = ¹₆e^t+ Ce^−t+ De^−2t,

(b) y(t) = −¹₂te^−3t+ Ce^−t+ De^−3t, (c) y(t) = t²e^2t+ Ce^2t+ Dte^2t,

(d) y(t) = −₅^t+₂₅⁴ −₁₃¹ cos t +₂₆³ sin t + C1e^−t+ C2e^5t, (e) y(t) = t −⁶₅− e^t+ Ce^−5t+ De^−t.

4. (a) y(t) = t²+ t + 1 + e^−2t+ 2e^−3t, (b) y(t) = −¹₅cos t −⁷₅sin t + ³⁸₁₅e^2t+²₃e^−t,

(c) y(t) = ₁₀¹t +₁₀₀⁷ +¹₉e^5t−^3t+1₉ e^2t. 5. y(t) = t −⁴₃+ Ce^−3t+ De^−t.

Część IV

Metoda eliminacji dla układów równań

1. Metodą eliminacji rozwiąż układy jednorodne i niejednorodne, podane w w części drugiej.

2. Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera 0,1 % wodny roztwór soli, a drugi czystą wodę, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 20 litrów na minutę. Innymi rurkami, do pierwszego zbiornika wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a z drugiego wypływa roztwór z tą samą prędkością. W zależności od czasu określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

Odpowiedzi

1. Jak w części drugiej.

2.

x(t) = 0, 2e^−0,1t, y(t) = 0, 02te^−0,1t.

Część V

Przekształcenie Laplace’a

1. Niech a > 0. Wyznacz wzór na transformatę Laplace’a funkcji

(8)

(a) f (t) =

1 dla 0 ¬ t < a 0 dla a ¬ t, (b) f (t) =

t dla 0 ¬ t < a 0 dla a ¬ t,

(c) f (t) =







t dla 0 ¬ t < a

−t + 2a dla a ¬ t < 2a 0 dla 2a ¬ t.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + 7y(t) = −14t, y(0) = 2

7, (b) y⁰(t) + 5y(t) = 6 + 5t, y(0) = 2,

(c) y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) + 7y(t) = −5e^2t, y(0) = 3, y⁰(0) = 10, (d) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1

2, (e)

x⁰(t) = 4x(t) + y(t), y⁰(t) = −x(t) + 6y(t),

x(0) = 0, y(0) = 1, (f)

x⁰(t) = 3x(t) − ¹₂y(t), y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0, y(0) = −1.

Odpowiedzi, wskazówki 1. (a) F (s) = ^1−e_s^−as,

(b) F (s) = ^1−e_s2^−as−^ae^−as_s , (c) F (s) = ^1−2e^−as_s2^+e^−2as. 2. (a) y(t) = ²₇− 2t,

(b) y(t) = e^−5t+ t + 1, (c) y(t) = e^t+ e^7t+ e^2t, (d) y(t) = 1

2e^2t−1 2e^t, (e)

x(t) = te^5t, y(t) = e^5t+ te^5t , (f)

x(t) = ¹₂te^2t y(t) = −e^2t+ te^2t.

Część VI

Stabilność punktów równowagi

1. Zbadaj stabilność punktu s0równowagi układu autonomicznego (a)

x⁰(t) = −x(t)² + sin(y(t)),

y⁰(t) = −x(t) + 2 tg(y(t)), jeśli s₀= (0, 0), (b)

x⁰(t) = −2 sin(x(t)) − ln(y(t)),

y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − e^y(t)−1, jeśli s₀= (0, 1), (c)

x⁰(t) = px³(t) + 2e^y(t)− 2 cos(y(t)),

y⁰(t) = −x(t) + 2 sin(y(t)), jeśli s0= (0, 0), (d)

x⁰(t) = −2e^x(t)−2+ 2 − y(t),

y⁰(t) = x(t) − 2 + y²(t), jeśli s0= (2, 0).

(9)

Odpowiedzi, wskazówki 1. (a) niestabilny,

(b) asymptotycznie stabilny, (c) niestabilny,

(d) asymptotycznie stabilny.

Część VII

Pierwsze kolokwium

Zestaw A

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − 5y²(t) tg t = 0, y (0) = −1.

2. Rozwiąż równanie y⁰(t) − 3y(t) = e^4t.

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x⁰(t) = x(t) + y(t), y⁰(t) = 2x(t) − 2t − 3.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) =−1+5 ln cos t¹ . 2. y(t) = e^4t+ Ce^3t. 3.

x(t) = Ce^2t+ De^−t+ t + 1 y(t) = Ce^2t− 2De^−t− t.

Zestaw B

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty⁰(t) − 1 − y²(t) = 0, y (1) = 1.

2. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 7y(t) = e^−6t.

x⁰(t) = −y(t) − e^−t,

y⁰(t) = 6x(t) − 5y(t) − 6e^−t. Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = tg ^π₄ + ln t . 2. y(t) = e^−6t+ Ce^−7t. 3.

x(t) = Ce^−2t+ De^−3t+ e^−t y(t) = 2Ce^−2t+ 3De^−3t.

Zestaw C

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty⁰(t) − cos²(y(t)) = 0, y (1) =π 4. 2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) +1

2y(t) = −e^−t

y(t), y(0) = −1.

x⁰(t) = x(t) + ¹₂y(t), y⁰(t) = 4x(t) − 2t − 3.

(10)

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) = arc tg (1 + ln t) . 2. y(t) = −p(1 − 2t)e^−t. 3.

x(t) = Ce^2t+ De^−t+¹₂t + ¹₂ y(t) = 2Ce^2t− 4De^−t− t.

Zestaw D

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)√

t − e^y(t) = 0, y (1) = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)t − y(t) −p

t²− y²(t) = 0, y(1) =

√ 2 2 .

3. Metodą Eulera , a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x⁰(t) = −2y(t) − e^−t, y⁰(t) = 3x(t) − 5y(t) − 3e^−t. Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = − ln 3 − 2√ t . 2. y(t) = t sinπ

4 + ln t .

3.

x(t) = Ce^−2t+ De^−3t+ e^−t y(t) = Ce^−2t+³₂De^−3t.

Zestaw E

1. Napełniony, siedemsetlitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 70 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y⁰+ 5y = 7t.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰+ 9y⁰+ 8y = 16t + 18.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) = 0, 7e^−0,1t. 2. y(t) =⁷₅t − ₂₅⁷ + Ce^−5t. 3. y(t) = 2t + Ce^−t+ De^−8t.

Zestaw F

1. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów na minutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y⁰+ y = 5t.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰− 7y⁰+ 10y = 9e^−t.

(11)

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) =₂₀₀¹ (20 − t)². 2. y(t) = 5t − 5 + Ce^−t. 3. y(t) =¹₂e^−t+ Ce^5t+ De^2t.

Zestaw G

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − sin t 3

· y⁴(t) = 0, y (0) = 1.

2. Do napełnionego stulitrowego zbiornika, zawierającego 0, 02% roztwór soli, wlewana jest czysta woda z prędkością 200 l/min oraz mieszanina wypływa z tą samą prędkością. Po jakim czasie stężenie soli osiągnie 0, 01%?

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych rozwiąż układ

y⁰₁(t) = y1(t) − 3y2(t) + 3 y⁰₂(t) = y1(t) + 5y2(t) − 5.

1. y(t) = 1

3

q

9 cos ₃^t − 8 .

2. Ilość soli w zbiorniku y(t) = 0, 02e^−2t, czas T = ^{ln 2}₂ . 3.

y₁(t) = 3Ce^2t+ De^4t y₂(t) = −Ce^2t− De^4t+ 1

Część VIII

Drugie kolokwium

Zestaw A

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) + 10y(t) = 4e^−t. 2. Metodą eliminacji rozwiąż układ

x⁰(t) = −x(t) + y(t), y⁰(t) = 2x(t).

3. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) =1

2. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s. Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = e^−t+ Ce^−2t+ De^−5t. 2.

x(t) = Ce^t+ De^−2t y(t) = 2Ce^t− Ce^−2t. 3. y(t) = −¹₂e^t+¹₂e^2t.

(12)

Zestaw B

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) − 9y(t) = −18t − 16.

2. Metodą eliminacji rozwiąż układ

x⁰(t) = 2x(t) + y(t) y⁰(t) = 3x(t) + 4y(t).

3. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = 3x(t) − ¹₂y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −1.

Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

1. y(t) = 2t + Ce^9t+ De^−t. 2.

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −Ce^t+ 3De^5t. 3.

x(t) = ¹₂te^2t y(t) = te^2t− e^2t.

Zestaw C

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 8y(t) = 8t + 9.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2

5e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1 10. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego

x⁰(t) = 4x(t)³ + sin(y(t)), y⁰(t) = − ln(1 + x(t)) + 2 tg(y(t)).

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) = t + Ce^−t+ De^−8t. 2. y(t) = −₁₀¹e^t+₁₀¹e^2t. 3. Niestabilny.

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = 18e^−t.

x⁰(t) = 3x(t) − 2y(t) y⁰(t) = ¹₂x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −¹₄.

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

(13)

x⁰(t) = −2 arc tg(x(t)) − ln(y(t)), y⁰(t) = 2 arc sin(x(t)) + y(t) − e^y(t)−1. Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = e^−t+ Ce^2t+ De^5t. 2.

x(t) = 2te^2t y(t) = te^2t− e^2t. 3. Asymptotycznie stabilny.

Część IX

Egzamin

Zestaw A

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 7). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Metodą Eulera rozwiąż układ

x⁰(t) =₂₅²y(t) y⁰(t) = 25x(t) − y(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 80y(t) − 8t − 12 y⁰(t) =₄₀¹x(t) + y(t).

4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 10y⁰(t) − 11y(t) = −22 sin t − 2 cos t.

5. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 6y(t) = −15 sin t − 5 cos t, y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

Uwaga: transformata Laplace’a [L (sin(αt))] (s) = α s²+ α², [L (cos(αt))] (s) = s

s²+ α² dla α ∈ R.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(t) = 7e^3t.

2.

x(t) = Ce^−2t+ De^t y(t) = −25Ce^−2t+²⁵₂De^t. 3.

x(t) = −4t − 2 + Ce^2t+ De^−t y(t) =₁₀¹t +₁₀¹ +₄₀¹Ce^2t−¹₈De^−t. 4. y(t) = sin t + cos t + Ce^−11t+ De^t. 5. y(t) = 2 sin t + cos t.

Zestaw B

1. Napełniony, pięćsetlitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 100 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością.

Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

(14)

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = −x(t) + 4y(t) y⁰(t) =¹₂x(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) − 10y(t) = 3e^t.

2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1 8. Uwaga:L tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1 s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

x⁰(t) = cos(x(t)) + tg(y(t)) y⁰(t) = −e^x(t) + (y(t) + 1)². Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = e^−0,2t. 2.

x(t) = 2Ce^t− 4De^−2t y(t) = Ce^t+ De^−2t. 3. y(t) = −¹₂e^t+ Ce^2t+ De^−5t. 4. y(t) = −¹₈e^t+¹₈e^2t.

5. Niestabilny.

Zestaw C

1. Napełniony, dwustupięćdziesięciolitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z ta samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 2x(t) +¹₂y(t) y⁰(t) = 6x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) − 8y(t) = −14e^−t.

x⁰(t) = 3x(t) − ¹₄y(t) y⁰(t) = 4x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −4.

Uwaga:L tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1 s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

x⁰(t) = − arc tg(2x(t)) − ¹₂y²(t)), y⁰(t) = arc sin(2x(t)) + ey(t) − e^y(t). Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = 0, 5e^−0,04t. 2.

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −2Ce^t+ 6De^5t. 3. y(t) = e^−t+ Ce^t+ De^−8t. 4.

x(t) = te^2t

y(t) = 4te^2t− 4e^2t. 5. Asymptotycznie stabilny.

(15)

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 5y(t) = 56t.

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = −x(t) + ⁵₂y(t) y⁰(t) =⁴₅x(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = x(t) + ₂₀¹y(t) y⁰(t) = 40x(t) − 4t − 6.

4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 8y(t) = 48t + 54.

5e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 2 5. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

1. y(t) =⁵⁶₅t − ⁵⁶₂₅+ Ce^−5t. 2.

x(t) = Ce^−2t+ De^t y(t) = −⁵₂Ce^−2t+⁵₄De^t. 3.

x(t) = ₁₀¹t +₁₀¹ + Ce^2t+ De^−t y(t) = −2t + 20Ce^2t− 40De^−t. 4. y(t) = 6t + Ce^−t+ De^−8t.

5. y(t) = −²₅e^t+²₅e^2t.

Zestaw E

1. Rozwiąż równanie y⁰(t) + y(t) = 35t.

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 2x(t) +₁₄¹y(t) y⁰(t) = 42x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = −₁₄¹y(t) −¹₇e^−t y⁰(t) = 84x(t) − 5y(t) − 12 e^−t. 4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = 36 e^−t.

x⁰(t) = 3x(t) − ₄₂¹y(t) y⁰(t) = 42x(t) + y(t),

x(0) = 2 y(0) = 84.

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

1. y(t) = 35t − 35 + Ce^−t. 2.

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −14Ce^t+ 42De^5t.

(16)

3.

x(t) = ¹₇e^−t+ Ce^−2t+ De^−3t y(t) = 28Ce^−2t+ 42De^−3t. 4. y(t) = 2e^−t+ Ce^2t+ De^5t. 5.

x(t) = e^t+ e^3t y(t) = 84 e^t.

Zestaw F

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,4 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 9 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 14y(t) = 14t²+ 18t + 16.

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = x(t) − 2y(t) − 1 y⁰(t) = −2x(t) + y(t) + 5.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 3, y(0) = 2, y⁰(0) = −3. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilość punktu równowagi (1, 0) układu autonomicznego

x⁰(t) = ln(x(t)) + 2 sin(y(t)) y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − 2.

1. y(0) = 0, 4 · 0, 01 · 100 = 0, 4 y(t + ∆t) ≈ y(t) − 9∆ty(t)

100, y⁰(t) = −0, 09y(t) y(t) = 0, 4e^−0,09t.

2. yj = Ce^−2t+ De^−7t,

np. y = yj+ ϕ, ϕ = (At²+ Bt + C)t^α, w(0) 6= 0, α = 0, ϕ = t²+ 1, y = Ce^−2t+ De^−7t+ t²+ 1.

3. w(λ) = λ²− 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1), y_j= C

e^3t

−e^3t

+ D

e^−t e^−t

, y = C(t)

e^3t

−e^3t

+ D(t)

e^−t e^−t

, y =

e^3t e^−t

−e^3t e^−t

C⁰ D⁰

=

−1 5

, C⁰= −3e^−3t, D⁰= 2e^t,

x(t) = C1e^3t+ D1e^−t+ 3 y(t) = −C1e^3t+ D1e^−t+ 1.

4. s²F − 2s + 3 + 4sF − 8 + 3F =3 s, F = 2s²+ 5s + 3

s(s²+ 4s + 3), F = A

s + B

s + 1+ C s + 3 =1

s + 1 s + 3, y = 1 + e^−3t.

(17)

5. Jf =

₁

x 2 cos(y)

2 1

, Jf(1, 0) =

1 2 2 1

,

w(λ) = λ²− 2λ − 3 = (λ + 1)(λ − 3), Re(3) = 3 > 0, punkt niestabilny.

Zestaw G

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 8). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 3. Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = cos(t) − 3 sin(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − 6.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 5, y(0) = 2, y⁰(0) = −2. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) − 4 y⁰(t) = 2e^x(t)−1+ tg(y(t)) − 2.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y(0) = 8,

y⁰(t) = 3y(t) − 3, y(t) = 1 + Ce^3t, y(t) = 1 + 7e^3t. 2. yj = Ce^−t+ De^−2t,

np. y = yj+ ϕ, ϕ = (A cos(t) + B sin(t))t^α, w(i) 6= 0, α = 0, ϕ = cos(t), y = Ce^−2t+ De^−7t+ cos(t).

3. np. y_j= C

e^2t 2e^2t

+ D

e^3t e^3t

,

x(t) = C1e^2t+ D1e^3t+ 1 y(t) = 2C₁e^2t+ D1e^3t+ 4.

4. s²F − 2s + 1 + 6sF + 6 + 5F =5 s, F = 1

s +

3 4

s + 1+

1 4

s + 5, y = 1 +3

4e^−t+1 4e^−5t. 5. Jf(1, 0) =

4 −1

2 1

,

w(λ) = λ²− 5λ + 6 = (λ − 2)(λ − 3), np. Re(2) = 2 > 0, punkt niestabilny.

(18)

Zestaw H

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) · e^2t· cos(y) = −2, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 8y⁰(t) + 7y(t) = 6 cos(t) − 8 sin(t).

3. Dwa napełnione stulitrowe zbiorniki, pierwszy 1-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, połą- czono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 4 litrów na minutę.

Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 4 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 4 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach.Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = x(t) − 2y(t) y⁰(t) = −2x(t) + y(t),

x(0) = 1 y(0) = 0.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilność punktu równowagi ¹₂, 1 układu autonomicznego

x⁰(t) = x²(t) + e^y²^(t)−1−⁵₄ y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − 2.

Odpowiedzi, wskazówki 1. y⁰(t) cos(y(t)) = −2e^−2t,

sin(y⁽t)) = e^−2t+ C, C = −1,

y(t) = arc sin e^−2t− 1.

2. yj(t) = Ce^−7t+ De^−t, ϕ(t) = cos(t),

y(t) = Ce^−7t+ De^−t+ cos(t).

3.

x(0) = 1 y(0) = 0,

( x(t + ∆t) ≈ x(t) − 4∆t^x(t)₁₀₀

y(t + ∆t) ≈ y(t) + 4∆t^x(t)₁₀₀ − 4∆t^y(t)₁₀₀,

x⁰(t) = −0, 04x(t)

y⁰(t) = 0, 04x(t) − 0, 04y(t),

x(t) = e^−0,04t y(t) = 0, 04te^−0,04t.

4.

sF (s) − 1 = F (s) − 2G(s) sG(s) = −2F (s) + G(s), ( F (s) = _(s−3)(s+1)^s−1 =_s−3^0,5 +_s+1^0,5

G(s) = −_(s−3)(s+1)² = −_s−3^0,5 +_s+1^0,5,

x(t) = 0, 5e^3t+ 0, 5e^−t y(t) = −0, 5e^3t+ 0, 5e^−t. 5. A = Jf

1 2, 1

=

1 2 2 1

, λ1= 3, λ2= −1,

Re (λ1) = 3 > 0, punkt niestabilny.

(19)

Zestaw I

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) = 3y²(t) · cos(3t), y(0) = −1.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 3y⁰(t) − 4y(t) = −3 cos(t) − 5 sin(t).

3. Dwa napełnione dwustustulitrowe zbiorniki, pierwszy 2-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 50 litrów na minutę. Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 50 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z tą samą prędkością 50 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = 2.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

x⁰(t) = e^4x(t)− arc tg y(t) − 1 y⁰(t) = 2 sin(x(t)) + y(t).

Odpowiedzi, wskazówki 1. y⁰(t)y⁻²(t) = 3 cos(3t),

− 1

y⁽t) = sin(3t) + C, C = 1,

y(t) = − 1 sin(3t) + 1. 2. y_j(t) = Ce^4t+ De^−t,

ϕ(t) = sin(t),

y(t) = Ce^4t+ De^−t+ sin(t).

3.

x(0) = 4 y(0) = 0, (

x(t + ∆t) ≈ x(t) − 50∆t^x(t)₂₀₀

y(t + ∆t) ≈ y(t) + 50∆t^x(t)₂₀₀ − 50∆t^y(t)₂₀₀,

x⁰(t) = −0, 25x(t)

y⁰(t) = 0, 25x(t) − 0, 25y(t),

x(t) = 4e^−0,25t y(t) = te^−0,25t.

4.

sF (s) = 4F (s) − G(s) sG(s) − 2 = 2F (s) + G(s), ( F (s) = −_{(s−2)(s−3)}² =_s−2² −_s−3²

G(s) = −_{(s−2)(s−3)}^2s−8 =_s−2⁴ −_s−3² ,

x(t) = 2e^2t− 2e^3t y(t) = 4e^2t− 2e^3t.

5. A = Jf(0, 0) =

4 −1 2 1

, λ1= 2, λ2= 3,

np. Re (λ1) = 2 > 0, punkt niestabilny.