SOME STUDIES IN DYNAMICAL SYSTEM THEORY:
I VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS OF CONVOLUTION TYPE
IIHOPF BIFURCATION AND SYMMETRY
l i l i l í
lili
lili lililí II l i l luí
111: ¡i III [IIl i l luí
IliliflHlliMM lililfl
o
o-o
-p- CD-o
i
BIBLIOTHEEK TU Delft P 1762 4335 847964I VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS OF CONVOLUTION TYPE
H HOPF BIFURCATION AND SYMMETRY
I VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS OF CONVOLUTION TYPE
H HOPF BIFURCATION AND SYMMETRY
PROEFSCHRIFT
TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE
TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE
HOGESCHOOL DELFT OP GEZAG VAN DE RECTOR
MAGNIFICUS PROF.DR. B.P.TH. VELTMAN IN
HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN TEN OVERSTAAN VAN
HET COLLEGE VAN DEKANEN OP 26 JANUARI 1984
TE 14.00 UUR
DOOR
STEPHANUS ANTONIUS VAN GILS
GEBOREN TE AMSTERDAM
Dr.O.Diekmann, w e t e n s c h a p p e l i j k medewerker aan h e t Centrum v o o r Wiskunde
en I n f o r m a t i c a , h e e f t i n hoge mate b i j g e d r a g e n aan de b e g e l e i d i n g b i j de
t o t s t a n d k o m i n g v a n h e t p r o e f s c h r i f t en i s a l s z o d a n i g aangewezen door
I n l e i d i n g 3. 4. 2. 1. Dynamische systemen L i n e a i r e V o l t e r r a i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n van c o n v o l u t i e
t y p e en dynamische sys temen
Hopf b i f u r c a t i e b i j V o l t e r r a i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n van c o n v o l u t i e type Hopf b i f u r c a t i e en symmetrie 22 17 2 9 V i e r a r t i k e l e n [A] L i n e a r V o l t e r r a c o n v o l u t i o n e q u a t i o n s : s e m i g r o u p s , 31 s m a l l S o l u t i o n s and c o n v e r g e n c e o f p r o j e c t i o n o p e r a t o r s , Math. Centrum R a p p o r t TW 248 (1983). [ B ] (met 0. Diekmann) I n v a r i a n t m a n i f o l d s f o r V o l t e r r a i n t e g r a l 71 e q u a t i o n s o f c o n v o l u t i o n t y p e , Math. Centrum R a p p o r t TW 219 ( 1 9 8 1 ) , g e a c c e p t e e r d door J . D i f f . E q u a . [C] 0n a f o r m u l a f o r t h e d i r e c t i o n o f Hopf b i f u r c a t i o n , 129
Math. Centrum R a p p o r t , TW 225 ( 1 9 8 2 ) , t e r p u b l i c a t i e
aan-geboden .
[D] Hopf b i f u r c a t i o n and symmetry: t r a v e l l i n g and s t a n d i n g waves 151
on the c i r c l e , Math. Centrum R a p p o r t TW 249 ( 1 9 8 3 ) , t e r p u b l i c a t i e
aangeboden.
S a m e n v a t t i n g 195
C u r r i c u l u m V i t a e 197
INLEIDING
1. Dynamische systemen
2. L i n e a i r e V o l t e r r a i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n van c o n v o l u t i e type en
dyna-m i s c h e systedyna-men
3. Hopf b i f u r c a t i e b i j V o l t e r r a i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n v a n c o n v o l u t i e t y p e
1. DYNAMISCHE SYSTEMEN
Een b e l a n g r i j k d e e l v a n d i t p r o e f s c h r i f t g a a t o v e r V o l t e r r a i n t e g r a a l
-v e r g e l i j k i n g e n -v a n c o n -v o l u t i e t y p e . Dat d e e l i s t o t s t a n d gekomen i n nauwe
samenwerking met Odo Diekmann. A l s i k h e t i n de v o l g e n d e a l i n e a heb o v e r
"ons d o e l " , dan d u i d t d i t n i e t op een p l u r a l i s m o d e s t i a e maar op hem en de
s c h r i j v e r d e z e s .
We hebben ons t e n d o e l g e s t e l d om een k w a l i t a t i e v e t h e o r i e v o o r a u t o
-nome V o l t e r r a v e r g e l i j k i n g e n v a n c o n v o l u t i e type t e o n t w i k k e l e n d i e a l s
twee d r u p p e l s w a t e r l i j k t op d i e v o o r gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n .
De r e d e n om h i e r aan t e werken was de wens om een s t a n d a a r d dynamische b e
-s c h r i j v i n g v a n de b i f u r c a t i e -s v a n de v e r g e l i j k i n g
t e geven ( z i e p a r a g r a a f 3) en om met b e h u l p v a n een i n v a r i a n t e variëteit de
op-l o s s i n g v a n de v e r g e op-l i j k i n g b d i e g e d e f i n i e e r d en b e g r e n s d z i j n v o o r t < 0 t e k a r a k t e r i s e r e n ( z i e [ B ] h o o f d s t u k 7 ) . De e e r s t e p a r a g r a a f b e n u t i k om een a a n t a l b e g r i p p e n u i t de dynamische s y s t e e m t h e o r i e d i e v a n b e l a n g z i j n v o o r de l o c a l e k w a l i t a t i e v e t h e o r i e t e i n t r o d u c e r e n . D i e b e g r i p p e n z i j n : ( i ) dynamisch s y s t e e m ( i i ) v a r i a t i e - v a n - c o n s t a n t e n f o r m u l e ( i i i ) exponentiële dychotomie ( i v ) z a d e l p u n t s e i g e n s c h a p (v) centrumvariëteit.
De i n t r o d u c t i e e r v a n g e s c h i e d t aan de hand v a n gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e
l i j k i n g e n , maar w e l op zo'n m a n i e r d a t h e t v e r b a n d met V o l t e r r a v e r g e l i j k i n
-gen s t r a k s d u i d e l i j k z a l z i j n .
Beschouw h e t s t e l s e l gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n i n ]Rn x ( t ) =
(1.1)
g
- f (x) .We r i c h t e n ons op h e t l o c a l e g e d r a g v a n o p l o s s i n g e n r o n d een e v e n w i c h t . Voor
d a t e v e n w i c h t nemen we x = 0, dus f ( 0 ) = 0. V e r d e r nemen we aan d a t f C
g l a d i s , k > 1, en om v a n g l o b a l e e x i s t e n t i e v e r z e k e r d t e z i j n , z a l f g l o
-b a a l L i p s c h i t z c o n t i n u z i j n . Om v e r g e l i j k i n g (1.1) t e kunnen o p l o s s e n moeten
we x v o o r s c h r i j v e n op een z e k e r t i j d s t i p . A a n g e z i e n de v e r g e l i j k i n g a u t o
-noom i s maakt h e t n i e t u i t w e l k t i j d s t i p we k i e z e n , zeg t = 0.
(1.2) x ( 0 ) = xQ.
H i e r i s de b e g i n w a a r d e X Q , d i e een u n i e k e o p l o s s i n g x ( t , X g ) b e p a a l t op E een e l e m e n t v a n !Rn . Rn h e e t de toestandsruimte. Door t e definiëren
S ( t ) xQ = x ( t ; x0)
k r i j g e n we een sterk continue halfgroep van continue operatoren op I Rn, dwz.
( i ) S ( 0 ) = l d
( i i ) S ( t j ) S ( t2) = S ( t j + t2) t j , t2 > 0 ( i i i ) V xn e Hn : l i m I I S ( t ) x - x II = 0 .
0 t+0 0 0
Men s p r e e k t ook w e l o v e r een semi-dynamisch s y s t e e m op Hn [ 3 2 , 4 0 ] . Semi d u i d t op de r e s t r i c t i e i n ( i i ) t o t H+ . Deze r e s t r i c t i e i s h i e r n i e t n o d i g , maar v o o r u i t k i j k e n d op de V o l t e r r a v e r g e l i j k i n g e n maak i k hem h i e r t o c h .
Noem de a f g e l e i d e v a n f i n n u l A. Met de l i n a i r e v e r g e l i j k i n g : (1 .3) z ( t ) = Az (1.4) z ( 0 ) = zQ c o r r e s p o n d e e r t de lineaire h a l f g r o e p v a n o p e r a t o r e n op ~B.n , g e d e f i n i e e r d door de r e l a t i e T ( t ) zQ = z ( t ; zQ) = eA tzQ.
h e e l E.n omdat:
w _.n . „ T ( t ) z-z ii
Vz £ I : l i m II zll = 0. t+0
Het s p e c t r u m , O, v a n A b e s t a a t a l l e e n u i t eigenwaarden. De eigenwaarden
z i j n o p l o s s i n g e n v a n de karakteristieke v e r g e l i j k i n g
(1 .5) de t ( A - A I ) = 0.
Een m a n i e r om aan deze v e r g e l i j k i n g t e komen i s door i n (1.3) e^t zQ ais p r o b e e r o p l o s s i n g i n t e v u l l e n . D i t i s een o p l o s s i n g a l s A v o l d o e t aan (1.5) en A Z Q = A Z Q . Z i j v o o r A i n h e t s p e c t r u m v a n A M de b i j b e h o r e n d e gegenera-l i z e e r d e n u gegenera-l r u i m t e : (1.6) Mx = W( A - A I )k ( A ), k ( A ) R i e s z i n d e x . Noem P^ de p r o j e c t i e v a n Rn op l a n g s N^ = R ( A - A I ) '5' ^ ^ . Kn = MX* NX.
We hebben n u een d e c o m p o s i t i e v a n de t o e s t a n d s r u i m t e gemaakt door één eigenwaarde t e b e n u t t e n . N a t u u r l i j k kunnen we d i t p r o c e s h e r h a l e n . Z i j A = A ( 8 ) = U e a | Re A > 0} en d e f i n i e e r
M = U M ; U = fi N .
AeA À AeA A
( H i e r en ook l a t e r w o r d t met "U" h e t o p s p a n s e l v a n de v e r e n i g i n g b e d o e l d . ) Dan i s
en v e r g e l i j k i n g (1.3) h e e f t een exponentiële d i c h o t o m i e , d.w.z., a l s P = \-ye^ P-^i Q = I_R>en °P de l i j n Re(A) = 8 geen e i g e n w a a r d e n v a n A l i g g e n dan b e s t a a n e r p o s i t i e v e c o n s t a n t e n K en y z° d a t :
(1.7)
( i ) T ( t ) P = P T ( t )
( i i ) l T ( t ) P z l < K e(e+Y)t t < O ( i i i ) « T(t)Qzll < K e(e_Y)t t > 0.
In h e t s p e c i a l e g e v a l d a t g = 0 noemen we M de i n s t a b i e l e variëteit d i e we z u l l e n a a n d u i d e n met U en W de s t a b i e l e variëteit: S. Deze variëteiten z i j n h i e r vanwege de l i n e a r i t e i t van de v e r g e l i j k i n g l i n e a i r e d e e l r u i m t e n van Rn . De k a r a k t e r i s e r i n g van U d i e z i c h l o c a a l l a a t g e n e r a l i s e r e n t o t n i e t l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n i s :
{ Z Q e E I 3 K , Y p o s i t i e f en o n a f h a n k e l i j k van z^ zó d a t v o o r a l l e t < 0 II z ( t ; zQ) II < K eY t II zQl l }.
Het b o v e n p a t r o o n van de o p l o s s i n g e n van v e r g e l i j k i n g (1.3) i s s c h e m a t i s c h weergegeven i n h e t o n d e r s t a a n d e p l a a t j e .
Het banengedrag r o n d de o o r s p r o n g van v e r g e l i j k i n g (1.1) w i j k t s l e c h t s " i n hogere o r d e " h i e r v a n a f . Het v e r b a n d t u s s e n o p l o s s i n g e n van de l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g en o p l o s s i n g e n van de n i e t - l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g w o r d t gegeven door de zogenoemde variatie^van-oonstanten f o r m u l e :
a l s r ( x ) = f ( x ) - A x , dan i s t (1.8) S ( t ) xQ = T ( t ) xQ + T ( t - r ) r ( S ( T ) x0) d x . A l s x ( t ) c o n t i n u i s en v o l d o e t aan t (1.9) x ( t ) = T ( t ) x ( 0 ) + T ( t - T ) r ( x ( T ) ) d T ,
D i t b e g r i p s p e e l t h i e r geen essentiële r o l omdat i e d e r e o p l o s s i n g v a n (1.9) c o n t i n u d i f f e r e n t i e e r b a a r i s en dus ook een sterke oplossing i s v a n ( 1 . 1 )
-( 1 . 2 ) .
De i n s t a b i e l e variëteit i s ( n i e t l i n e a i r ! ) n i e t meer een l i n e a i r e d e e l -k
r u i m t e maar een variëteit; h e t i s h e t b e e l d v a n de C - a f b e e l d i n g h v a n B g ( U ) , d.w.z. de b o l i n U met s t r a a l 6, i n Hn d i e v o l d o e t aan
( i ) h(Ö) = 0, Dh(0) = I d !u, (Dh i s de Fréchet a f g e l e i d e v a n h) ,
( i i ) e r b e s t a a t een p o s i t i e v e c o n s t a n t e L zó d a t voor voldoende k l e i n
ge-k o z e n 6, h een d i f f e o m o r p h i s m e i s v a n B ^( U ) op de v e r z a m e l i n g { xQ e ] RN I IIPXQII < 6 en | x ( t j x _ ) | < L<5 v o o r t < 0 } , ( i i i ) Im(h) i s l o c a a l i n v a r i a n t , d.w.z.: a l s x„ e Im(h) n B . ( I in) en U o x ( t ; X p ) e B g ( H ) v o o r t e I => {0} dan i m p l i c e e r t d i t d a t x ( t ; x p ) = h ( P ( x ( t ; x Q ) ) v o o r deze waarden v a n t . H e t b e w i j s van de e x i s t e n t i e v a n de a f b e e l d i n g h , d i e door b o v e n s t a a n -de e i g e n s c h a p p e n u n i e k b e p a a l d w o r d t , v o l g t a l s t o e p a s s i n g v a n -de I m p l i c i e t e P u n c t i e S t e l l i n g ( i n h e t v e r v o l g I.F.S.) en i s b i j v e l e a u t e u r s t e v i n d e n , [6,7,8,9,18,21 ,23,25 ,30] . Het b e w i j s d a t i k nu s c h e t s g a a t t e r u g op P e r r r o n [ 3 0 ] .
H e t i s n i e t m o e i l i j k om i n t e z i e n hoe j e aan v e r g e l i j k i n g (1.12) komt d i e h e t u i t g a n g s p u n t i s v o o r t o e p a s s i n g v a n de I . F . S . S t e l eens d a t x^ s t a r t p u n t i s v a n een o p l o s s i n g d i e v o l d o e n d e k l e i n b l i j f t v o o r t < 0. U i t de h a l f g r o e p e i g e n s c h a p en (1.8) v o l g t d a t v o o r t s s < 0: s (1.10) x ( s ) = T ( s - t ) x ( t ) + T ( s - T ) r ( x ( r ) ) d T . t
Neem i n deze u i t d r u k k i n g s g e l i j k aan n u l , pas de p r o j e c t i e Q t o e en l a a t t n a a r -°° gaan: 0 (1.11) Q x0 T ( - r ) Q r ( x ( T ) ) d T . I n v u l l e n i n (1.10) l e v e r t : t (1.12) x ( t ) = T ( t ) P xQ + T ( t — r ) P r ( x ( - r ) ) d T + T ( t - T ) Q r ( x ( r ) ) d T .
D e f i n i e e r K: B C ( K _ ) •*• B C ( K _ ) door t t (Kh) ( t ) = j T ( t - T ) P h ( T ) d T + 0 T ( t - x ) Q h (T ) d x . Dan g e l d t d a t Kh de u n i e k e o p l o s s i n g i n B C ( R _ ) i s v a n de inhomogene v e r -g e l i j k i n -g x = Ax + h d i e zowel b e -g r e n s d i s op ]R_ a l s ook v o l d o e t aan P x ( 0 ) = 0. D e f i n i e e r v e r v o l g e n s H v a n BC(»_) x Ü i n B C ( H _ ) door H(x,<l>)(t) = x ( t ) - T(t)<j> - K ( r ( x ) ) ( t ) , dan i s H(0,0) = 0, D H(0,0) = l d en b i j g e v o l g g a r a n d e e r t de I F S h e t b e s t a a n T k * en de l o c a l e u n i c i t e i t v a n de C - a f b e e l d i n g x (<j>), g e d e f i n i e e r d v o o r <J> k l e i n genoeg, zó d a t H ( x (<(>),<(>) = 0. De a f b e e l d i n g h o n t s t a a t u i t x door de t o e v o e g i n g h(<j>) = x (<|>) (0) . Op g r o n d v a n h e t v o o r a f g a a n d e z a l d u i d e l i j k z i j n d a t v o o r de s t a b i e l e variëteit een s o o r t g e l i j k e f o r m u l e r i n g b e s t a a t . D i e variëteit i s opgebouwd u i t o p l o s s i n g e n van (1.1) d i e v o o r t s 0 k l e i n genoeg z i j n én d i e dus v o l -doen a a n : t t T ( t - x ) P r ( x ( x ) ) d x . (1.13) x ( t ) = T ( t ) QX ( ) + j T ( t - x ) Q r ( x ( x ) ) d x + 0 H e t w o r d t i e t s i n g e w i k k e l d e r a l s de v e r g e l i j k i n g niet hyperbolisch i s : j n e i g e n w a a r c o m p o s i t i e v a n IR11
e r z i j n e i g e n w a a r d e n v a n A op de i m a g i n a i r e a s . Opnieuw maken we een de „n
Kn = SeCeU,
U = U M, ; C = U M ; S = U M . Aea Aea Aea ReX>0 ReA=0 ReA<0
P+, P^ en P_ z i j n de b i j b e h o r e n d e s p e c t r a l e p r o j e c t i e s . C i s de v e r z a m e l i n g s t a r t p u n t e n van o p l o s s i n g e n v a n v e r g e l i j k i n g (1.3) d i e e x p o n e n t i e e l b e -g r e n s d z i j n v o o r a l l e t i j d met w i l l e k e u r i -g k l e i n e p o s i t i e v e e x p o n e n t :
(1.14) C = { zQ e Rn I Vy > 0, 3K > 0 zó d a t II z ( t ; zQ) II < K eY'f c'
Y p o s i t i e f zó d a t b i n n e n de s t r i p |Re(X)| < y a l l e e n eigenwaarden v a n A
l i g g e n met reëel d e e l n u l . A l s een o p l o s s i n g v a n (1.1) v o o r a l l e t i j d e x -p o n e n t i e e l b e g r e n s d i s met ex-ponent y dan v o l d o e t zo'n o -p l o s s i n g aan de v e r g e l i j k i n g t t ( 1 . 15) x ( t ) = T ( t ) P x ( 0 ) + T ( t - x ) P r ( x ( x ) ) d x + O J O 0 t T ( t - T ) P r ( x ( t ) ) d T . T ( t - x ) P r ( x ( x ) ) d r + Met b e h u l p v a n de I F S w i l j e o p l o s s i n g e n x ( t ) v a n deze v e r g e l i j k i n g v i n d e n i n de r u i m t e B CY = {y e C ( » , K ) | sup { y ( t ) e t e K
- Y l t l
} < < » } .Een p r o b l e e m h i e r b i j i s d a t de s u b s t i t u t i e o p e r a t o r d i e j e k r i j g t door aan h e t e l e m e n t y e BC^ de a f b e e l d i n g t •*• r ( y ( t ) ) t o e te voegen i n h e t algemeen geen o p e r a t o r i s v a n BC i n z i c h z e l f . Dat p r o b l e e m w o r d t ondervangen door r " a f t e kappen" b u i t e n een b o l r o n d de o o r s p r o n g . D i t k a n geen kwaad om-d a t we t o c h a l l e e n u i t z i j n met om-deze methoom-de op locale r e s u l t a t e n . L a a t 5 e c " C R+ ; K+) v o l d o e n a a n : ( i ) £(t) = 1 a l s 0 < t < 1 ; ( i i ) £l(t) = 0 a l s t > 2 e n ( i i i ) 0 i £(t) < 1 a l s 1 S t < 2. I n (1.15) v e r v a n g e n we r door r„, g e d e f i n i e e r d d o o r r6( x ) = r ( x ) . C ( - ^ - ) , De centrumvariëteit-stelling l a a t z i c h n u a l s v o l g t f o r m u l e r e n : k
E r b e s t a a n p o s i t i e v e c o n s t a n t e n L,Y,<5,E en een C - a f b e e l d i n g van C
^ n ,. ^ , n a a r E. d i e v o l d o e n a a n : ( i ) h ( 0 ) = 0, Dh(0) = I d |c , ( i i ) h i s een d i f f e o m o r p h i s m e v a n de b o l i n C m e t _ s t r a a l e op de verzame-l i n g ( xQ e H I PoxQl l < E en | x ( t ; xQ) | < Le Y l t | t e K } w a a r i n x ( t , x _ ) de o p l o s s i n g i s van (1.1) na v e r v a n g i n g v a n f ( x ) door X Ax + r . (x) . o
( i i i ) Im(h) i s l o c a a l i n v a r i a n t met b e t r e k k i n g t o t v e r g e l i j k i n g ( 1 . 1 ) .
De a f b e e l d i n g h d i e door deze voorwaarden u n i e k w o r d t v a s t g e l e g d h a n g t w e l
d e g e l i j k a f van de keuze van de a f k a p - f u n c t i e ; de centrumvariëteit i s niet
uniek, ( z i e ook [ 2 3 ] ) .
2 . LINEAIRE VOLTERRA INTEGRAALVERGELIJKINGEN VAN CONVOLUTIE TYPE EN DYNAMISCHE SYSTEMEN A r t i k e l [ A ] van d i t p r o e f s c h r i f t g a a t o v e r de l i n e a i r e V o l t e r r a i n t e -g r a a l v e r -g e l i j k i n -g t x ( t ) C ( t - x ) x ( x ) d x , t > 0 . H i e r i n i s x ( t ) e K en C, i s een n x n - m a t r i x w a a r d i g e f u n c t i e met e l e m e n t e n
i n L ' ( 1 R+) . Het i s e s s e n t i e e l v o o r wat v o l g t d a t we aannemen d a t de d r a g e r van C compact i s : supp 5 c [ 0 , b ] , 0 < b < °°. We h e r s c h r i j v e n de v e r g e l i j k i n g
b
( 2 . 1 ) x ( t ) = c ( x ) x ( t - x ) d x , t > 0 .
0
Op h e t moment d a t i k begon met m i j n p r o m o t i e - o n d e r z o e k waren j u i s t de
ideeën g e r i j p t hoe met v e r g e l i j k i n g ( 2 . 1 ) een dynamisch systeem g e a s s o c i e e r d kan worden. De b e s c h r i j v i n g van d i t r i j p i n g s p r o c e s i s t e l e z e n i n h e t p r o e f
-s c h r i f t van Odo Diekmann [ 1 2 ] . Een k o r t e r e p r i s e v o l g t nu.
Net a l s b i j de gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g v u l l e n we a l s o p l o s s i n g
van ( 2 . 1 ) de p r o b e e r f u n c t i e t•<* e^t xg i -n- D i t i s een o p l o s s i n g van ( 2 . 1 ) v o o r t £ IR a l s X voldoet aan de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g
( 2 . 2 ) d e t ( I - / k e_ ; > l Tc ( x ) d x ) = det A ( X ) = 0
en A ( A ) X Q = 0 . De k a r a k t e r i s t i e k e f u n c t i e A ( A ) i s i . h . a . n i e t a l s i n ( 1 . 5 )
een polynoom maar w e l een g e h e l e a n a l y t i s c h e f u n c t i e . We gaan n u op zoek
n a a r een s t e r k c o n t i n u e h a l f g r o e p van o p e r a t o r e n waarvan h e t p u n t s p e c t r u m
van de g e n e r a t o r s a m e n v a l t met de w o r t e l s van de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j
-k i n g e n l i e f s t zó dat de g e n e r a t o r a l l e e n maar p u n t s p e c t r u m h e e f t .
I n H a l e [ 1 9 , h o o f d s t u k 7 ] w o r d t een h a l f g r o e p aanpak gegeven v o o r de l i n e a i r e autonome f u n c t i o n a a l d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g :
(2.3)
x(t)
dc(e)x(t-9)de, n e N B V ( [ 0 , b ] ; R ). 0H e t l i j k t geen s l e c h t e p o g i n g om de c o n s t r u c t i e d i e d a a r zo s u c c e s v o l i s
geweest n a t e b o o t s e n . D a a r t o e s c h r i j v e n we x v o o r op een b e g i n s t u k door
de continue f u n c t i e <(>:
(2.4)
x(t) = <f.(t)
b
< t < 0.Met een c o n t r a c t i e argument t o o n j e op e e n v o u d i g e w i j z e aan ( z i e b . v .
M i l l e r [ 2 7 ] ) d a t e r een f u n c t i e b e s t a a t , c o n t i n u e op [-b,°°)\{0} d i e aan
(2.4) v o l d o e t op [-b,0] en aan (2.1) v o l d o e t op (0,°°). A l s
<t> (0) ^ ƒ!? C(T) <|> ( - t ) d r dan i s de o p l o s s i n g d i s c o n t i n u i n 0, daar dan b x(0) = 4>(0) ï x(0+) = JQ C(T)<K-T)dT. D i e n t e n g e v o l g e d e f i n i e e r t (2.5) T(s)<Kt) = x(t+s;ij>) = xg(t;<|>) s e H + , - b < t < 0, geen s t e r k c o n t i n u e h a l f g r o e p . •> t Deze "sprongdiscontinuïteit" v e r o o r z a a k t b i j f u n c t i o n a a l d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n geen m o e i l i j k h e d e n omdat h i j d a a r i n de a f g e l e i d e v a n x t e -r e c h t komt. E r z i j n t e n m i n s t e d r i e m a n i e r e n om d i t p r o b l e e m t e o m z e i l e n .
A. Beschouw n i e t a l l e elementen i n C [ - b , 0 ] maar beperk j e t o t de g e s l o t e n
d e e l r u i m t e b M = (<f> £ [-b,0] I ƒ t(T)<f>(-T)dT = <f>(0)}. 0 De discontinuïteit i n t = 0 v e r d w i j n t en (2.5) d e f i n i e e r t een s t e r k c o n t i n u e h a l f groep waarvan de i n f i n i t e s i m a l e g e n e r a t o r a l l e e n p u n t s p e c t r u m h e e f t d a t s a m e n v a l t met de w o r t e l s v a n de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g . B i j f u n c
g e v o l g d door H a l e & M a r t i n e z - A m o r e s [ 2 0 ] , H e t n a d e e l v a n deze aanpak i s d a t de variëteit M a f h a n g t van de k e r n 5. D i t w o r d t een m o e i l i j k h e i d b i j s t o r i n g s p r o b l e m e n .
B. Beschouw n i e t <J) e C[-b,0] maar <j> e L ^ [ - b , 0 ] , 1 < p < °°. Opnieuw b e w i j s j e met een c o n t r a c t i e a r g u m e n t d a t e r een u n i e k e l e m e n t x(t;<|>) i n
LpOC[-b,<») i s zo d a t x = $ op [-b,0] een x v o l d o e t aan ( 2. 1 ) op (0,»). Daar t r a n s l a t i e i n deze r u i m t e n c o n t i n u i s , i s de h a l f g r o e p T ( s ) s t e r k c o n t i n u e en b l i j k t v e r d e r a l l e gewenste e i g e n s c h a p p e n t e b e z i t t e n . B i j f u n c t i o n a a l d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n w o r d t v a a k met s u c c e s gewerkt i n de r u i m t e x LP. De e e r s t e component s c h r i j f t de waarde v a n x op t = 0 v o o r , t e r w i j l de tweede component x v o o r s c h r i j f t op h e t i n t e r v a l (-b,0) . Z i e b.v. B e r n i e r & K a n i t i u s [ 4 ] S j o e r d V e r d u y n - L u n e l [ 3 9 ] en de r e f e r e n t i e s a l d a a r . B i j de n i e t l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g b b b (2.6) x ( t ) = 5 ( t ) x ( t - T ) d T + C ( x ) r ( x ( t - T ) ) d T C ( x ) g ( x ( t - r ) ) d T , 0 0 0 o n t s t a a t d i r e c t a l een p r o b l e e m b i j de e x i s t e n t i e v a n een o p l o s s i n g . Immers, de a f b e e l d i n g ij> -»- K<|> g e d e f i n i e e r d d o o r (K<j>) ( t ) = g( i p ( t ) )
i s i n h e t algemeen geen a f b e e l d i n g v a n L p [ - b , 0 ] i n z i c h z e l f . D i t maakt d a t j e g e n e i g d b e n t om met c o n t i n u e b e g i n f u n c t i e s t e w i l l e n s t a r t e n . We kunnen d i t p r o b l e e m de baas d o o r r t e m o d i f i c e r e n op d e z e l f d e m a n i e r a l s we d a t gedaan hebben b i j de c o n s t r u c t i e v a n de centrumvariëteit. Dan i s
de a f b e e l d i n g K d i e aan h e t e l e m e n t $ t o e v o e g t t •+ (Kc(>) ( t ) = = è(t) +f. (d> ( t ) ) w e l een a f b e e l d i n g v a n L [-b,0] i n z i c h z e l f en 6 p (2.7) I K * IL < (l+v(S))ll<j>llL ^ 0], v ( 6 ) + 0 a l s 5 * 0. P P De v e r g e l i j k i n g : X ( t ) = jhQ C ( T ) 96x ( t - T ) d T = ^0 C ( T ) ( x ( t - T ) + 9a( t - T ) ) d T , t > 0, (2.8) | x ( t ) = >(t) - b < t < 0, h e e f t een u n i e k e o p l o s s i n g i n L ^o c[ - b ,c o) . A l s we w i l l e n c o n c l u d e r e n d a t een o p l o s s i n g v a n (2.8) ook v o l d o e t aan (2.6) op h e t i n t e r v a l [ - b , T ] , T > 0, dan moeten we weten d a t x op d a t i n t e r v a l i n de L^-norm b e g r e n s d i s door 6. D i t i s b i j v o o r b e e l d h e t g e v a l a l s C e L ^ [ 0 , b ] ,
— + — = 1, en we b o v e n d i e n weten d a t op [-b,T] x v o l d o e t aan P 1 1 1 x 1 1 L p[ - b , T ] * ( 1 + V ( « ) ) I C T ^ 7 ' C. Voor t > 0 en met b (2.10) f ( t ) = C ( T ) * ( t - T ) d T , t v o l d o e t de o p l o s s i n g v a n ( 2 . 1 ) , (2.4) aan de r e n e w a l v e r g e l i j k i n g ( R E ) : t (2.11) RE x ( t ) = c * x ( t ) + f ( t ) = c ( T ) x ( t - x ) d x + f ( t ) . 0 A l s 8 een v a n de r u i m t e s : L ^ °C( ] R+) , 1 < p < °°, C ( H+) , A C ( K+) i s dan h e e f t (2.11) een u n i e k e o p l o s s i n g i n d e z e l f d e r u i m t e . D i t v o l g t u i t een c o n t r a c t i e a r g u m e n t , g e c o m b i n e e r d met de s t e l l i n g o v e r h e t c o n v o l u -t i e p r o d u c -t i n [ 2 6 ] . Z o a l s we de h a l f g r o e p T ( s ) k r e g e n door h e -t begins-tuk t e v o l g e n l a n g s de o p l o s s i n g , zo k a n men ook de a a n d r i j f f u n c t i e v o l g e n l a n g s de g e t r a n s l e e r d e v e r g e l i j k i n g . De t o p o l o g i s c h e aanpak v a n M i l l e r & S e l l [ 2 8 ] maakt g e b r u i k v a n de aandrijf functies om een dynamisch s y s t e e m t e definiëren. H e r s c h r i j f de i d e n t i t e i t x ( t + s ) = c * x ( t + s ) + f ( t + s ) a l s x ( t ) = C*x ( t ) + f ( t + s ) + C * x ( s ) S S t
I n d i e n we de o p l o s s i n g v a n (2.10) a a n d u i d e n met x ( t ; f ) dan k r i j g e n we een h a l f g r o e p door de d e f i n i t i e
(2.12) S ( s ) f ( t ) = xs( t ; f ) - C * xg( . ; f ) ( t )
We moeten nog b e p a l e n w e l k e t o e s t a n d s r u i m t e we z u l l e n k i e z e n . E r z i j n weer v e r s c h i l l e n d e m o g e l i j k h e d e n . Van w e z e n l i j k b e l a n g i s de o b s e r v a t i e d a t
(ot) u i t (2.10) v o l g t d a t f n u l i s v o o r t > b , (É>) a l s f n u l i s v o o r t > b dan g e l d t h e t z e l f d e v o o r S ( s ) f . We kunnen k i e z e n u i t de r u i m t e s ( f E L ( K ) I f ( t ) = 0 t > b } , P + { f e C C R+) I f ( t ) = 0 t > b } . 1 < p < 00 ( = Lp( m+ )) S ( s ) i s i n a l deze g e v a l l e n een s t e r k c o n t i n u e h a l f g r o e p . F u n c t i o n a a l A n a l y t i s c h e Verbanden De twee h a l f g r o e p e n z i j n e i k a a r s d u a l e i n de v o l g e n d e z i n : L a t e n S+( s ) en T+( s ) de h a l f g r o e p e n z i j n d i e v e r k r e g e n worden d o o r ? t e v e r -T
vangen door z i j n g e t r a n s p o n e e r d e z, . Dan g e l d t v o o r een g e s c h i k t e keuze v a n de t o e s t a n d s r u i m t e n ( d a t maak i k h i e r n i e t p r e c i e s )
Zo'n s o o r t r e l a t i e i s v o o r h e t e e r s t opgemerkt door Burns & Herdmann [ 5 ] v o o r een i n t e g r o - d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g met o n e i n d i g e v e r t r a g i n g . De g e l d i g h e i d e r v a n i s een algemeen p r i n c i p e v o o r v e r t r a a g d e v e r g e l i j k i n g e n
( z i e Diekmann [ 1 3 , 1 4 ] , Salamon [ 3 1 ] , V e r d u y n - L u n e l [ 3 9 ] ) .
Ten tweede, de b r u g t u s s e n b e i d e h a l f g r o e p e n w o r d t g e s l a g e n d o o r twee zogenoemde structurele operatoren, v o o r h e t e e r s t (op i e t s andere w i j z e ) i n g e v o e r d door B e r n i e r & M a n i t i u s [ 4 , 2 4 ] . De s t r u c t u r e l e o p e r a t o r d i e aan een b e g i n f u n c t i e een a a n d r i j f f u n c t i e t o e v o e g t h e e t F: S+( s ) = T * ( s ) (2.13) T+( s ) = S * ( s ) . b (2.14) (F<(>)(t) = C(T)c(.(t-T)dT, t > 0. t
G v o e g t aan een a a n d r i j f f u n c t i e een b e g i n f u n c t i e t o e :
(2.15) ( G f ) ( t ) = x ( t + b ; f ) -b < t < 0.
(2.16)
FG = S (b)
GF = T(b)
S(s)F = FT(s)
GS(s) = T(s)G
Omdat G een isomorphisme i s z i j n T ( s ) en S ( s ) e q u i v a l e n t i n de z i n d a t
dat
(2.17) S ( s ) = G ' T ( S ) G .
Op weg n a a r d r i e open problemen
L a t e n we de g e n e r a t o r e n v a n T ( s ) en S ( s ) r e s p e c t i e v e l i j k A en B noemen
( z i e de d e f i n i t i e boven ( 1 . 5 ) ) . De g e n e r a t o r e n hebben puur p u n t s p e c t r u m
s a m e n v a l l e n d met de n u l p u n t e n v a n de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g . We w i l l e n
een d e c o m p o s i t i e v a n de t o e s t a n d s r u i m t e maken z o a l s i s u i t g e v o e r d onder
( 1 . 6 ) . D a a r t o e moeten we w e t e n hoe d i e n u l p u n t e n l i g g e n i n h e t complexe v a k .
R e c h t s v a n de l i j n t = {z | R e ( z ) = 6,8 e K } l i g g e n e i n d i g v e e l n u l p u n t e n
met e i n d i g e m u l t i p l i c i t e i t . We h e r h a l e n h e t programma u i t g e v o e r d onder k ( X )
( 1 . 6 ) . Wat v e r s c h i l t i s d a t de R(A-AI) oneindig dimensionaal i s . Ten tweede, waar i n p a r a g r a a f 1 g o l d d a t UM, = Rn , i s de o v e r e e n k o m s t i g e r e l a
-A
t i e n i e t waar, en z e l f s h e t nemen v a n de a f s l u i t i n g h o e f t n i e t t e h e l p e n .
D i t h o u d t v e r b a n d met h e t b e s t a a n van snelle dalers.
DEFINITIE. Een o p l o s s i n g v a n ( 2 . 1 ) , (2.4) h e e t e e n s n e l l e d a l e r a l s de a f
-/
0 0Q e x ( t ) d t een g e h e l e f u n c t i e van I n a a r (E d e f i n i e e r t . —X t . n A l s de g e g e n e r a l i s e e r d e n u l r u i m t e W ( A - X I ) ^ ^ ^ i n L [-b,0] i s , dan A p g e l d t : E r z i j n geen s n e l l e d a l e r s *=» U = L [-b,0]. •x X P XeaEen s n e l l e d a l e r g a a t s n e l l e r n a a r n u l dan i e d e r e exponentiële f u n c t i e en
de b i j b e h o r e n d e b e g i n f u n c t i e $ is een element van fi^ea Elj/. E r i s een s t e l -l i n g van Henry [ 2 2 ] d i e -l a a t z i e n d a t s n e -l -l e d a -l e r s n u -l z i j n n a e i n d i g e
t i j d . E r b e s t a a t b o v e n d i e n een bovengrens v o o r d i e t i j d .
w a a r i n T h e t type i s van d e t A ( A ) , d.w.z.: ƒ l o g l d e t A ( A ) 1 1 T = sup < max — — —> . r^» l|A|=r r J Een g e v o l g i s d a t de n u l r u i m t e v a n T ( t ) n i e t b l i j f t g r o e i e n a l s t toeneemt. D i t l e i d t t o t de d e f i n i t i e s : ( 2. 1 8 ) a = i n f { t e I + | V E > 0: N ( T ( t + e ) ) = M ( T ( t ) ) } (2.19) 6 = i n f { t e E + I Ve > 0: W(T*(t+e)) = N ( T * ( t ) ) } . Open v r a a g 1 a = <5? I n a r t i k e l [ A ] van d i t p r o e f s c h r i f t w o r d t i s s p e c i a l e g e v a l l e n , waarvan i k h i e r o n d e r e r één noem, deze v r a a g p o s i t i e f b e a n t w o o r d . S j o e r d V e r d u y n -L u n e l [ 3 9 ] h e e f t de o v e r e e n k o m s t i g e b e w e r i n g e n bewezen v o o r f u n c t i o n a a l d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n en h e t z i e t e r n a a r u i t d a t door z i j n toedoen deze open v r a a g s p o e d i g t o t h e t v e r l e d e n z a l b e h o r e n met a l s r e s u l t a a t a = 5.
STELLING. Equivalent z i j n de volgende beweringen ( i ) a = 0 ( i i ) 6 = 0 ( i i i )
N(F) =
0(iv) M(F
+) =
0 (v) L [-b,0] = LL vt p Aea A ( v i ) L U . ) = U M?. p + Aea A Een d i r e c t g e v o l g van H e n r y ' s s t e l l i n g i s d a t (2.20) U = R ( T ( t ) ) v o o r t > 6. T X Aea Open v r a a g 2. L [-b,0] = N ( T ( t ) ) ® R ( T ( t ) ) t > max{a,6}? P B i j b e i d e v r a g e n s t u i t j e op h e t p r o b l e e m d a t j e op z i j n m i n s t i e t s moet weten o v e r de n u l r u i m t e v a n F en F+. D i t i s l a s t i g omdat h e t g a a tH e t l a a t s t e p r o b l e e m d a t i k w i l noemen houdt v e r b a n d met de c o n v e r g e n -t i e v a n de s p e c -t r a l e p r o j e c -t i e s . I n z i j n a l g e m e e n h e i d k a n de i d e n -t i -t e i -t v A
K P = l d n i e t g e l d e n . A l s x ( t;i(>) een s n e l l e d a l e r i s dan i s
B e l l m a n & Cooke [ 3 ] hebben v o o r een s c a l a i r e d i f f e r e n t i e d e l a y v e r g e -l i j k i n g bewezen, onder een c o n d i t i e d i e s n e -l -l e d a -l e r s u i t s -l u i t , d a t v o o r t > b, u n i f o r m op compacte i n t e r v a l l e n i n t g e l d t :
Xea
Opnieuw s p e e l t A ( X ) een b e l a n g r i j k e r o l . I n v e r s i e van de L a p l a c e
ge-t r a n s f o r m e e r d e v e r g e l i j k i n g ( 1 . 1 ) l e i d t t o t C + i c o w a a r i n de l i j n {z | R e ( z ) = c} r e c h t s l i g t v a n h e t s p e c t r u m v a n A en p(X,$) de L a p l a c e g e t r a n s f o r m e e r d e v a n F<f> i s . De l i g g i n g v a n de n u l p u n t e n v a n d e t A ( X ) l a a t z i c h v e r t a l e n i n s c h a t t i n g e n voor | A ( X ) | . Banks en M a n i t i u s [ 2 ] hebben d i t r e s u l t a a t u i t g e b r e i d v o o r s t e l s e l s d i f f e r e n t i e d e l a y v e r g e -l i j k i n g e n . H e t i s t e v e r w a c h t e n d a t wanneer cj> "mooier" i s , en d a t b e t e k e n t i n d i t v e r b a n d d a t <ji l i g t i n h e t domein van de g e n e r a t o r , een s t e r k e r r e s u l t a a t z a l g e l d e n . D i t i s i n d e r d a a d waar. De c o n d i t i e t > b w o r d t v e r v a n g e n door t > 0. A r t i k e l [ A ] b e s l u i t met een s t e l l i n g d i e z e g t d a t d i t r e s u l t a a t ook g e l d i g i s v o o r een k l a s s e V o l t e r r a v e r g e l i j k i n g e n d i e bovengenoemde d i f f e -r e n t i e - d e l a y v e -r g e l i j k i n g e n omvat. Z e l f s mag, doo-r de v e -r z a m e l i n g w a a -r u i t <t> mag komen nog i e t s t e b e p e r k e n , t > 0 v e r v a n g e n worden door t > 0. De k l a s s e V o l t e r r a v e r g e l i j k i n g e n waar h e t om g a a t g e n e r e r e n een h a l f g r o e p d i e d i f f e r e n t i e e r b a a r i s na e i n d i g e t i j d ( z i e Pazy [ 2 9 ] ) .
Open v r a a g 3. G e l d t v o o r t > max{a,6}, u n i f o r m op compacte v e r z a m e l i n g e n l i m II l P ( K t ) * ) - T(t)<f>|| = 0. r-*» |X|<r Xt p(X,<)>) A(X) dX, c-i°° i n t , en v o o r $ e V (A) , zó d a t <|>' e L~, p > p, d a t P l i m II l Px(ï{t)#-Ï(t)f>IJ = 0 ? r-*» |X|<r Xea
3. HOPF BIFURCATIE B I J VOLTERRA INTEGRAALVERGELIJKINGEN VAN CONVOLUTIE TYPE
Wat ons v o o r ogen h e e f t g e s t a a n b i j de h a l f g r o e p k i j k op V o l t e r r a i n -t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n i s een s -t a n d a a r d dynamische b e s c h r i j v i n g -t e geven v a n de Hopf b i f u r c a t i e v a n p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n . Z i e v o o r Hopf b i f u r c a t i e b i j gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n [ 1 , 8 , 1 0 , 2 5 ] .
Een. w i s k u n d i g model v o o r de v e r s p r e i d i n g v a n een b e s m e t t e l i j k e z i e k t e i n een g e s l o t e n p o p u l a t i e , d i e t i j d e l i j k e i m m u n i t e i t t o t g e v o l g h e e f t , l e i d t t o t de v e r g e l i j k i n g : 1 1 (3.1) y ( t ) =Y ( l -0 -0 w a a r i n Çj ( f ) y ( t - T ) d T ) f C2( x ) y ( t - T ) d T , 0 < T < T > 1 en ?„(T) een n i e t n e g a t i e v e L - f u n c t i e i s met d r a g e r i n [ 0 , 1 ] en zó d a t 1
J Q t,^(x)di = 1 ; Y i s een maat v o o r de p o p u l a t i e g r o o t t e . De v e r g e l i j k i n g
h e e f t twee c o n s t a n t e o p l o s s i n g e n : 0, » Y Er z i j n nu twee k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n i n h e t s p e l . L i n e a r i z a t i e r o n d y j en l e i d t r e s p e c t i e v e l i j k t o t de v e r g e l i j k i n g e n : (3.2) - A T Ç2( T ) d T = Y C2( A ) = 1 .
(3.3) C2( X ) + ( 1 -Y )L j — = 1.
A l s O < y < \ dan l i g g e n a l l e w o r t e l s van (3.2) i n h e t l i n k e r h a l f v l a k . A l s
Y 1 p a s s e e r t (d.w.z. a l s de p o p u l a t i e g r o o t t e een zekere k r i t i s c h e waarde
p a s s e e r t ) dan g a a t een reële w o r t e l van h e t l i n k e r n a a r h e t r e c h t e r h a l f v l a k . Wanneer y toeneemt van 1 t o t o n e i n d i g dan p a s s e r e n e v e n v e e l p a r e n complex
g e c o n j u g e e r d e w o r t e l s van (3.3) de i m a g i n a i r e as a l s e r n e IN z i j n waar-v o o r 1 b = c ( T ) s i n ( 2 i m T ) d T > 0. n J 2 0 Ze gaan v a n l i n k s n a a r r e c h t s met p o s i t i e v e s n e l h e i d , de b o v e n s t e i n h e t i n t e r v a l ((2n-1)ir,2nir) . Ze z i j n b o v e n d i e n e n k e l v o u d i g . H e t b e w i j s v o o r deze g e d e t a i l l e e r d e i n f o r m a t i e o v e r de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g i s t e v i n d e n i n Diekmann & M o n t i j n [ 1 5 ] .
H e t i s d u i d e l i j k w a t e r aan de hand i s . A l 0 < y < 1 dan i s V j
exponen-t i e e l s exponen-t a b i e l . Daexponen-t w i l zeggen d a exponen-t e r een &lexponen-t;S p o s i exponen-t i e f b e s exponen-t a a exponen-t zó d a exponen-t
V<j> e C [ - 1 , 0 ] , II 4>ll < 6 , een K en v p o s i t i e f ( o n a f h a n k e l i j k van 6 ) b e s t a a n
z o d a t Ux(t;<j>)l s KeVt, v o o r a l l e t p o s i t i e f . A l s Y ' p a s s e e r t t r e e d t b i f u r -c a t i e op. De endemis-che t o e s t a n d y2 w o r d t p o s i t i e f en neemt de s t a b i l i t e i t van de t o e s t a n d w a a r i n de z i e k t e a f w e z i g i s o v e r . Op h e t moment d a t h e t e e r s t e p a a r complexe w o r t e l s v a n (3.3) de i m a g i n a i r e as p a s s e e r t moeten e r r o n d y2 p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n o n t s t a a n . p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n Om d i t t e r e c h t v a a r d i g e n g i e t e n we (3.1) i n een dynamisch j a s j e . We w i l l e n v e r g e l i j k i n g (3.1) i n de vorm 1 (3.4) x ( t ) = c( Y , T ) g ( Y , x ( t - T ) ) d T
b r e n g e n , met g ( y , x ) = x + r ( y , x ) . A a n g e z i e n we geïnteresseerd z i j n i n h e t ged r a g r o n ged v o e r e n we e e r s t gede t r a n s f o r m a t i e z = y u i t en h e r s c h r i j -ven (3.1) a l s 1 1 z ( t ) = (1-y) I Cj ( x ) z ( t - T ) d T + I C2( O z ( t - T ) d T + - Y I C, ( x ) z ( t - T ) d T . C2( t ) z ( t - r ) d T . D e f i n i e e r x , ( t ) = (1-y) ? (T) z ( t - x ) d T , x2( t ) C2(T ) z ( t - T ) d T . 0 Met b e h u l p v a n de i d e n t i t e i t z ( t ) = x(( t ) + x2( t ) - y ( l - Y ) x] ( t ) x2( t ) v o l g t e e n v o u d i g d a t ( 3 . 1 ) e q u i v a l e n t i s met h e t twee s t e l s e l ( 3 . 4 ) a l s we v o o r £ en g k i e z e n Ü - Y K , ( l - Y ) C p ( 3 . 5 ) C ( Y , T ) g ( Y » x ) I Y ( I - Y ) X1X2 \ X l V * Z o a l s we v e r w a c h t e n i s de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g d i e b e h o o r t b i j de o p l o s s i n g x = 0 i n ( 3 . 4 ) b i j deze keuze v a n £ en g p r e c i e s v e r g e l i j k i n g ( 3 . 3 ) .
We nemen n u aan d a t i n YQ v o o r h e t e e r s t een e n k e l v o u d i g p a a r complex
g e c o n j u g e e r d e w o r t e l s v a n de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g ( 3 . 3 ) de i m a g i n a i r e
as p a s s e e r t i n i i d i g met p o s i t i v i e v e s n e l h e i d en d a t aan de n i e t - r e s o n a n t i e c o n d i t i e i s v o l d a a n (d.w.z. i n Y Q i s ^Ü ^ Q 1 1 1 6 ' ^- E { 0 , 2 , 3 , 4 , . . . } geen w o r t e l
van de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g ) .
p a r a g r a a f b r e n g e n ons e r t o e de h a l f g r o e p a a n p a k onder C t e v o l g e n . A l s t o e -s t a n d -s r u i m t e k i e z e n we X = {f e C ( H+; Kn) | f ( t ) = 0 , t > 1}, l f l _ = sup | f ( t ) | . X [ 0 , 1 ] We definiëren v o o r s 5 0 U ( s ) f d o o r de r e l a t i e t (3.7) xg( t ) C ( Y » T ) g ( Y » xs( t - r ) ) d T + ü ( s ) f ( t ) . 0 De zo g e c o n s t r u e e r d e s t e r k c o n t i n u e h a l f g r o e p U ( s ) i s h e t n i e t - l i n e a i r e analogon v a n de h a l f g r o e p S ( s ) i n ( 2 . 1 2 ) . E r i s een e e n v o u d i g e m a n i e r om v a n u i t de t o e s t a n d s r u i m t e X t e r u g t e k e r e n i n Rn v i a de b e g r e n s d e o p e r a t o r t» g e d e f i n i e e r d door (3.8) a ( U ( s ) f ) = ü(s)f (0) = x ( s ) . We hebben i n p a r a g r a a f 1 g e z i e n d a t de v a r i a t i e - v a n - c o n s t a n t e n f o r m u l e een b e l a n g r i j k e r o l s p e e l t . H e t v e r b a n d t u s s e n U ( s ) en S ( s ) i s s (3.9) ü(s)f = S ( s ) f + S ( s ~ r ) c ( Y , - ) r ( a ( U ( T ) f ) ) d T . A a n g e z i e n o ( U ( r ) f ) een e l e m e n t van Hn i s i s r ( o ( U ( x ) f ) ) w e l g e d e f i n i e e r d . S ( s ) w e r k t op de a f z o n d e r l i j k e kolommen v a n 5 ( y , • ) . Hoewel h e t r e s u l t a a t s l e c h t s een e l e m e n t v a n L j ( [ 0 , b ] ; Kn X n ) o p l e v e r t z o r g t de i n t e g r a t i e e r v o o r d a t u i t e i n d e l i j k e r e s u l t a a t weer i n X l i g t .
I n (3.9) i s de l i n e a r i z a t i e r o n d f = 0 u i t g e v o e r d . We moeten ook nog l i n e a r i z e r e n r o n d y = y^, h e t moment d a t de e i g e n w a a r d e n de i m a g i n a i r e as p a s s e r e n . D i t l e i d t t o t een i e t s i n g e w i k k e l d e r v a r i a t i e - v a n - c o n s t a n t e n f o r m u l e . A l s S Q ( S ) de l i n e a i r e h a l f g r o e p i s d i e b e h o o r t b i j y = y^ en we voc U ( s ) f , F ( s ) s c h r i j v e n dan w o r d t d i e f o r m u l e (3.10) F ( s ) = SQ( s ) F ( 0 ) + S0(s-T){(£(Y,-)-e(Y0,-))g(Y.a(F(T))) + c ( Y0, - ) r ( y , a ( F ( T ) ) ) } d T .
D i t i s op h e t e e r s t e g e z i c h t m o e i l i j k om i n t e z i e n , maar n a f o r m e l e d i f
f e r e n t i a t i e van (3.9) i s h e t r e s u l t a a t n i e t o n v e r w a c h t . De l a a t s t e i d e n t i
-t e i -t i s h e -t a n a l o g o n van (1.8) met behulp waarvan j e n e t a l s d a a r de e x i s -t e n -t i e v a n een cen-trumvarië-tei-t k u n -t b e w i j z e n . Zo h i e r en daar worden de
t e c h n i s c h e d e t a i l s wat l a s t i g e r , maar d a t ze t e overkomen z i j n t o o n t a r
-t i k e l [ B ] v a n d i -t p r o e f s c h r i f -t aan.
Op de centrumvariëteit v o l d o e n de coëfficiënten t . o . v . een b a s i s i n X Q ,
h e t a n a l o g o n v a n C, aan een gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g . We z i j n
dan op bekend t e r r e i n a a n g e l a n d e n a l l e r e s u l t a t e n l i g g e n zo v o o r h e t
opr a p e n . We c o n c l u d e opr e n e e opr s t d a t de aannamen o v e opr de w o opr t e l s v a n de k a opr a k -t e r i s -t i e k e v e r g e l i j k i n g i m p l i c e e r -t d a -t periodieke o p l o s s i n g e n b i f u r c e r e n 2TT m Y = Y Q met een p e r i o d e i n de b u u r t v a n — . A a n g e z i e n s u b k r i t i s c h e b i f u r c a t i e i n s t a b i e l en s u p e r k r i t i s c h e b i f u r c a t i e s t a b i e l i s , moeten we de r i c h t i n g v a n de b i f u r c a t i e b e r e k e n e n . S t a b i e l b e t e k e n t d a t op een f a s e v e r s c h u i
-v i n g n a a l l e o p l o s s i n g e n -v a n h e t beginwaarde p r o b l e e m met 0 < II <j>H < & (S k l e i n genoeg) exponentieel convergeren naar dezelfde p e r i o d i e k e o p l o s
-s i n g . D i t i s i n a r t i k e l [ B ] gebeurd v o o r d i t v o o r b e e l d . Numerieke e x p e r i -menten, w a a r b i j v o o r ^ b e k o z e n i s : C2( T ) 1 l-a a i T < 0 e l d e r s , l a t e n z i e n d a t b i j v a r i a t i e v a n a en g zowel s u b k r i t i s c h e a l s s u p e r k r i t i s c h e b i f u r c a t i e o p t r e e d t . De e n i g e ingrediënten d i e ( g e n e r i e k ) de r i c h t i n g b e p a l e n z i j n : ( i ) de T a y l o r coëfficiënten v a n de n i e t l i n e a r i t e i t i n YQ T O T E N MET derde o r d e , ( i i ) de r e s o l v e n t e v a n de g e n e r a t o r v a n i n 0 en 2IWQ, ( i i i ) de e i g e n v e c t o r e n van SQ en i n i u i ^ , ( i v ) £ S ( Y 0 ) .
Toen i k me d a t r e a l i s e e r d e begreep i k d a t één en d e z e l f d e f o r m u l e moet
werken v o o r gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n , f u n c t i o n a a l d i f f e r e n t i a a l
v e r g e l i j k i n g e n , V o l t e r r a i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n , p a r a b o l i s c h e d i f f e r e n
-t i a a l v e r g e l i j k i n g e n e -t c . Deze gedach-te s -t o n d aan de w i e g v a n a r -t i k e l [ C l .
methode, ook w e l bekend onder de naam L i a p u n o v - S c h m i d t r e d u c t i e [ 3 8 ] .
Een v o o r d e e l van deze methode i s d a t de b e r e k e n i n g e n i n z i c h t e l i j k e r z i j n .
V e r d e r z i j n e r geen g l a d h e i d s p r o b l e m e n d i e b i j de centrumvariëteit w e l be-k
s t a a n . Daar hebben we n i e t s van gemerkt omdat we met C - f u n c t i e s w e r k t e n .
E c h t e r a l s j e w e r k t met C - f u n c t i e s dan h o e f t e r geen C -centrumvariëteit
te b e s t a a n [ 3 4 ] . N a d e e l van de L i a p u n o v - S c h m i d t methode i s d a t de dynamica
v e r l o r e n g a a t . V e r d e r i s h e t n i e t a l t i j d m o g e l i j k om h e t F r e d h o l m a l t e r n a -t i e f ( z i e [ 3 8 ] ) -t e b e w i j z e n . B i j v o o r b e e l d , h e -t F r e d h o l m a l -t e r n a -t i e f v o o r p e r i o d i e k e f u n c t i e s g e l d t n i e t v o o r V o l t e r r a v e r g e l i j k i n g e n . Het i s e c h t e r w e l een w e z e n l i j k o n d e r d e e l v a n de L i a p u n o v - S c h m i d t r e d u c t i e . Een u i t w e g k a n u i t g e v o n d e n worden d o o r een F r e d h o l m a l t e r n a t i e f i n K.n t e b e w i j z e n ( z i e H a l e [ 1 9 ] ) . T e n s l o t t e w i l i k e r nog op w i j z e n d a t n i e t a l l e autonome n i e t l i n e a i r e m o d e l l e n l e i d e n t o t n i e t l i n e a i r e c o n v o l u t i e i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n . Een v o o r b e e l d i s h e t n i e t l i n e a i r e l e e f t i j d - a f h a n k e l i j k e p o p u l a t i e model van G u r t i n en MacCamy [ 1 7 ] .
4. HOPF BIFURCATIE EN SYMMETRIE
I n f e b r u a r i 1981 o r g a n i s e e r d e de a f d e l i n g TW van h e t M a t h e m a t i s c h
Centrum een s t u d i e w e r k b i f u r c a t i e t h e o r i e . T i j d e n s d i e week opperde Theo
V a l k e r i n g h e t v o l g e n d e p r o b l e e m ( z i e ook [ 3 6 , 3 7 ] ) : L a t e n N b a l l e t j e s met
g e l i j k e massa op een c i r c e l v e r b o n d e n z i j n met de n a a s t e b u r e n door
i d e n t i e k e v e r e n . E r i s dus een n a a s t e buur w i s s e l w e r k i n g met een p o t e n t i a a l
V ( r r . ) , a l s r de coördinaat i s van h e t nde d e e l t j e t . o . v . de e v e n
-n -n-1 -n J
w i c h t s p o s i t i e .
"~*llltlM*É«-^
"HUW
De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v o o r h e t n-de d e e l t j e (mod N) w o r d t gegeven
d o o r
(4.1) r ( t ) = V ' ( r - r ) - V' ( r - r ) . n n+1 n n n-1
. . . . N E r z i j n v e r s c h i l l e n d e s y n m e t r i e e n i n h e t s p e l . A l s { r } , een o p l o s
-n -n=l
s i n g i s dan g e l d t h e t z e l f d e v o o r {r^+ot+gt}, c o r r e s p o n d e r e n d met de z w a a r t e
-p u n t s b e w e g i n g v a n h e t h e l e systeem. A l s ^r n^ _ j o p l o s s i n g i s dan i s
^rn + l ^ n = l ^at d.w.z. e r i s een discrete rotatiesymmetriegroep. T e n s l o t -te i s erreflectiesi/mmetrie: met { r }N , i s ook {-r„ , }N , een o p l o s s i n g .
n n=l N - n+ 1 n = l
S t e l q = r , - r en p = dq / d t , dan v o l d o e n p en q aan
n n+ 1 n n n n n
Pn
A l l e e i g e n w a a r d e n v a n de g e l i n e a r i z e e r d e v e r g e l i j k i n g l i g g e n op de i m a g i
-n a i r e a s . N u l i s ee-n eige-nwaarde met algebraïsche m u l t i p l i c i t e i t 2 e-n
geo-m e t r i s c h e geo-m u l t i p l i c i t e i t 1. De o v e r i g e eigenwaarden z i j n s e m i - s i m p e l d.w.z.: e r z i j n e v e n v e e l l i n e a i r o n a f h a n k e l i j k e e i g e n v e c t o r e n a l s de d i m e n s i e v a n
de b i j b e h o r e n d e g e g e n e r a l i z e e r d e n u l r u i m t e g r o o t i s . A l s N oneven i s dan
z i j n de o v e r i g e e i g e n w a a r d e n d u b b e l ; a l s N even i s dan z i j n twee v a n de
o v e r i g e e i g e n w a a r d e n e n k e l v o u d i g en de r e s t e r e n d e z i j n d u b b e l .
/ 2TT
A l s N > 3 dan i s i / 2 - 2 cos — = i y een dubbele eigenwaarde v a n h e t N rond p = 0, q = 0 g e l i n e a r i z e e r d e s t e l s e l ( 4 . 2 ) . Na e n i g r e k e n w e r k , w a a r b i j de d i s c r e t e r o t a t i e s y m m e t r i e een b e l a n g r i j k e r o l s p e e l t v o l g t d a t h e t q - d e e l van de p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n v a n de g e l i n e a r i z e e r d e v e r g e l i j k i n g d i e b i j deze eigenwaarde b e h o o r t t e s c h r i j v e n i s a l s (4.2) d t ^ n d t
De g e l i n e a r i z e e r d e v e r g e l i j k i n g b e v a t zowel lopende g o l v e n van h e t type
n 2TT
tyt = s i n ( y s + — n) ,
,n 2TT ii = sinps cos -rp n
Met b e h u l p van v a r i a t i o n e l e methoden i s h e t m o g e l i j k om t e b e w i j z e n
d a t e r v a n u i t de o o r s p r o n g lopende en s t a a n d e g o l f - o p l o s s i n g e n b i f u r c e r e n ,
z i e [ 3 7 ] v o o r de l o p e n d e g o l f o p l o s s i n g e n . Een van de v r a g e n d i e Theo
V a l k e r i n g d e s t i j d s s t e l d e was: i s h e t m o g e l i j k om een v o l l e d i g b i f u r c a t i e
-p l a a t j e t e k r i j g e n zonder r a n d c o n d i t i e s o-p t e l e g g e n .
E r z i j n v e r s c h i l l e n d e redenen waarom i k i n e e r s t e i n s t a n t i e n i e t d i t
p r o b l e e m t e l i j f ben gegaan maar m i j n t o e v l u c h t heb g e z o c h t t o t een a n d e r .
Wat n a a r m i j n i d e e e s s e n t i e e l i s v o o r de b e a n t w o o r d i n g v a n de b o v e n s t a a n d e
v r a a g i s ( i ) de v e r d u b b e l i n g v a n e i g e n w a a r d e n door de r e f l e c t i e s y m m e t r i e ;
( i i ) de d i s c r e t e r o t a t i e s y m m e t r i e . Wat o n n o d i g c o m p l i c e e r t i s : ( i ) de
d i m e n s i e v a n de centrumvariëteit i s even hoog a l s de d i m e n s i e v a n h e t
s t e l s e l ; ( i i ) h e t H a m i l t o n k a r a k t e r ( n i e t g e n e r i e k ! ) .
I n p l a a t s van d i t p r o b l e e m heb i k e e r s t een r e a c t i e d i f f u s i e v e r g e l i j
-k i n g met p e r i o d i e -k e r a n d v o o r w a a r d e n b e -k e -k e n .
De overeenkomst met h e t v o r i g e p r o b l e e m i s de a a n w e z i g h e i d v a n r e f l e c t i e
symmetrie d i e eigenwaarden v e r d u b b e l t . Een v e r s c h i l i s d a t de r o t a t i e s y m
-m e t r i e c o n t i n u i s : a l s u ( t , x ) v o l d o e t , dan ook v o l d o e t u ( t , x + 6 ) , 8 e [ 0 , 2TT). De v r a a g s t e l l i n g i s n u de v o l g e n d e : b e s c h r i j f de v e r z a m e l i n g p e r i o d i e k e
o p l o s s i n g e n d i e o n t s t a a t v a n u i t een c o n s t a n t e o p l o s s i n g a l s één ( d u b b e l )
p a a r e i g e n w a a r d e n v a n de rond d i e c o n s t a n t e o p l o s s i n g g e l i n e a r i z e e r d e v e r
g e l i j k i n g de i m a g i n a i r e as p a s s e e r t met p o s i t i e v e s n e l h e i d a l s een p a r a
-meter ( h i e r ]i) de k r i t i s c h e waarde UQ p a s s e e r t . Het antwoord op deze v r a a g i s gegeven i n a r t i k e l [ D ] van d i t p r o e f s c h r i f t en l u i d t a l s v o l g t : g e n e r i e k
g e b e u r t h e t v o l g e n d e : e r b i f u r c e e r t een t o r u s met s t a a n d e g o l f o p l o s s i n g e n
en twee i n v a r i a n t e c i r k e l s met l o p e n d e g o l f o p l o s s i n g e n . Met een lopende g o l f
b e d o e l i k een p e r i o d i e k e ( z o w e l i n de t i j d a l s i n de r u i m t e ! ) o p l o s s i n g d i e
i n v a r i a n t i s onder een één-parameterfamilie v a n t r a n s l a t i e s i n de x en i n
de t - r i c h t i n g w a a r t u s s e n een v a s t e v e r h o u d i n g b e s t a a t . Met s t a a n d e g o l v e n
b e d o e l i k p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n d i e i n v a r i a n t z i j n onder r e f l e c t i e (x
v e r v a n g e n door - x ) .
I k heb ook de s t a b i l i t e i t van deze p e r i o d i e k e o p l o s s i n g e n o n d e r z o c h t . u = Du + f ( y , u ) t x x ' - u ( t , 0 ) = u ( t , 2 i r ) u ( t , 0 ) = u (t,2TT) u ( t , x ) e ]R n x e R , u e R (4.3)
O f w e l de b e i d e t y p e n b i f u r c e r e n sub-dan w e l s u p e r k r i t i s c h ; i n d a t g e v a l i s
een d e r b e i d e t y p e n s t a b i e l en h e t andere i n s t a b i e l . O f w e l de l o p e n d e g o l v e n
en de s t a a n d e g o l v e n b i f u r c e r e n i n een v e r s c h i l l e n d e r i c h t i n g ; a l l e o p l o s
-s i n g e n z i j n i n -s t a b i e l .
I n maart 1982 b e z o c h t J o h n M a l l e t - P a r e t h e t M a t h e m a t i s c h Centrum.
H e t b l e e k d a t h i j met een van z i j n s t u d e n t e n (E. Takigawa) aan s o o r t g e l i j k e
problemen h e e f t gewerkt [ 3 5 ] . H i j deed me de s u g g e s t i e aan de hand om t e
k i j k e n n a a r k l e i n e v e r s t o r i n g e n van de r e f l e c t i e s y m m e t r i e . A r t i k e l [D] z a l
de b a s i s z i j n v o o r een g e z a m e n l i j k e p u b l i c a t i e .
Met deze k e n n i s gewapend heb i k me t e n s l o t t e gebogen o v e r h e t o o r
s p r o n k e l i j k e p r o b l e e m . H e t b l i j k t d a t a l s N S 3 e r a l v o l d o e n d e r o t a t i e
-symmetrie a a n w e z i g i s om de b i f u r c a t i e f u n c t i e , d i e r e s u l t e e r t u i t de
L i a p u n o v - S c h m i d t r e d u c t i e , i n l a a g s t e orde van h e t z e l f d e k a r a k t e r te doen
z i j n a l s de b i f u r c a t i e f u n c t i e d i e v o l g t b i j h e t r e a c t i e - d i f f u s i e p r o b l e e m .
C o r r e s p o n d e r e n d e r e s u l t a t e n kunnen nu e e n v o u d i g g e f o r m u l e e r d worden, b e
REFERENTIES
[ A ] VAN GILS, S.A, Linear Volterra convolution equations: semigroups,
small solutions and convergence of projection operators.
[ B ] DIEKMANN, 0. & S.A. VAN GILS, Invariant manifolds for Volterra integral
equations of convolution type, Math. C e n t r e R e p o r t TW 2 1 9 , 1981 t o appear.
[ C ] VAN GILS, S.A., On a formula for the d i r e c t i o n of Hopf bifurcation,
Math. C e n t r e R e p o r t TW 2 2 5 , 1 9 8 2 , p r e p r i n t .
[D] VAN GILS, S.A., Hopf bifurcation and symmetry: travelling and standing
waves on the circle.
[ 1 ] ANDR0N0V, A.A. and o t h e r s , Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane, T r a n s l a t e d f r o m R u s s i a n , J e r u s a l e m , 1 9 7 1 .
[ 2 ] BANKS, H.T. & A. MANITIUS, Projection series for retorted functional differential equations with applications to optimal control
prob-lems, J . D i f f . Equ. J_8 ( 1 9 7 5 ) 2 9 6 - 3 3 2 .
[ 3 ] BELLMAN, R. & K.L. COOKE, differential - Difference 'Equations, Mathemat-i c s Mathemat-i n S c Mathemat-i e n c e and E n g e n e e r Mathemat-i n g , AcademMathemat-ic P r e s s , 1 9 6 3 .
[ 4 ] BERNIER, C. & A. MANITIUS, On semigroups in Enx Lp corresponding to differential equations with delay, Can. J . Math. V o l . I l l ( 1 9 7 8 ) 8 9 7 - 9 1 4 .
[ 5 ] BURNS, J.A. & T.L. HERDMAN, Adjoint semigroup theory for a class of functional differential equations, SIAM J . Math. A n a l . 7 ( 1 9 7 6 )
7 2 9 - 7 4 5 .
[ 6 ] CARR, J . , Applications of Centre Manifold Theory, A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s 3 5 , S p r i n g e r , 1 9 8 1 .
[ 7 ] CHAFEE, N., The bifurcation of one of more closed orbits from an equili-brium point of an autonomous system, J . D i f f . Equ. 4 ( 1 9 6 8 ) 6 6 1 - 6 7 9 .
[ 8 ] CHOW, S-N. & J.K. HALE, Methods of Bifurcation Theory, S p r i n g e r , Grund-t e h e r e n 2 5 1 , 1 9 8 2 .
[ 9 ] CODDINGTON, E.A. & N. LEVINSON, Theory of Ordinary Differential Equa-tions, M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 5 5 .
[ 1 0 ] CRANDALL, M.G. & P.H. RABINOWITZ, The Hopf bifurcation theorem,
M.R.C., T e c h n i c a l Sunnnary R e p o r t no. 1604.
[ 1 1 ] DELFOUR, M.C. & A. MANITIUS, The structural operator F and its role
in the theory of retardet systems.
P a r t I , J . Math. A n a l . A p p l . 7_3 (1980) 466-490,
P a r t I I , J . Math. A n a l . A p p l . 74 (1980) 359-381.
[ 1 2 ] DIEKMANN, 0., Over Niet-Lineaire Integraalvergelijkingen en Mathematische
Epidemiologie, P r o e f s c h r i f t , 1978.
[ 1 3 ] DIEKMANN, 0., Volterra integral equations and semigroups of operators,
Math. C e n t r e R e p o r t TW 197, 1980.
[ 1 4 ] DIEKMANN, 0., A duality principle for delay equations, P r o c e e d i n g s o f
E q u a d i f f . 5, B r a t i s l a v a , A u g u s t 1980.
[ 1 5 ] DIEKMANN, 0. & R. MONTIJN, Prelude to Hopf bifurcation in an epidemic
modle: analysis of a characteristic equation associated with a nonlinear Volterra integral equation, J . Math. B i o l o g y _14_, (1982)
117-127.
[ 1 6 ] GRIPENBERG, G. , Periodic solutions of an epidemic model, J . Math.
B i o l o g y _10 (1980) 271-280.
[ 1 7 ] GURTIN, M.E. & R.C. MacCAMY, Non-linear age-dependent population
dynam-ics, A r c h . R a t . Mech. A n a l . 54 (1974) 281-300.
[ 1 8 ] HALE, J.K., Ordinary Differential Equations, W i l e y , New Y o r k , 1969.
[ 1 9 ] HALE, J.K., Theory of Functional Differential Equations, S p r i n g e r
B e r l i n , 1977.
[ 2 0 ] HALE, J.K. & P. MARTINEZ-AM0RES, Stability in neutral equations,
N o n l . A n a l . Th. Math. A p p l . J_ (2) (1977) 161-175.
[ 2 1 ] HARTMAN, P., Ordinary D i f f e r e n t i a l Equations, Birkhäuser, 1982.
[ 2 2 ] HENRY, D., Small situations of linear autonomous functional
differen-tial equations, J . D i f f . Equ. 8 (1970) 494-501.
[ 2 3 ] KELLY, A., The stable, center-stable, center, center-unstable, and
unstable manifolds, J . D i f f . Equ. 3_ (1967) 546-570.
[ 2 4 ] MANITIUS, A., Completeness and ^-completeness of eigen functions
associated with retarded functional differential equations,
[ 2 5 ] MARSDEN, J.E. & M.F. MeCRACKEN, The Hopf Bifurcation and its
Applica-tions, A p p l i e d Math. S c i e n c e s , V o l . 19, S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n
and New Y o r k (1976).
[ 2 6 ] MIKUSINSKI, J.G. & CZ. RYLL-NARDZEWSKI, Sur le produit de decomposition
J_2 1951 .
[ 2 7 ] MILLER, R.K., Nonlinear Volterra Integral Equations, B e n j a m i n , New Y o r k ,
1971.
[ 2 8 ] MILLER, R.K. & G.R. SELL, Volterra integral equations and topological
dynamics, Memoir o f the AMS 102, A m e r i c a n Math. S o c , P r o v i d e n c e ,
1970.
[ 2 9 ] PAZY, A., Semi-groups of linear operators and a p p l i c a t i o n to p a r t i a l
differential equations, L e c t u r e Note no. 10, U n i v e r s i t y o f
M a r y l a n d , 1974.
[ 3 0 ] PERRON, 0., Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen, Math.
Z e i t s c h r i f t 32 (1930) 703-728.
[ 3 1 ] SALAM0N, D., On Control and Observation of Neutral Systems, p r o e f
-s c h r i f t , Bremen, 1982.
[ 3 2 ] SAPERSTONE, S.H., Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces,
A p p l i e d Math. S c i e n c e s 37, New Y o r k , S p r i n g e r , 1981.
[ 3 3 ] STAFFANS, 0., The initial function and forcing function semigroups
generated by a functional equation, R e p o r t -HTKK - MAT- A206
( 1 9 8 3 ) , p r e p r i n t .
[ 3 4 ] STRIEN VAN, S . J . , Center manifolds are not C° , Math. 7. ¿66 (1979)
143-145.
[ 3 5 ] TAKIGAWA, E., Thesis, Brown U n i v e r s i t y , 1981.
[ 3 6 ] VALKERING, T.P., Periodic permanent waves in an anharmonic chain with
nearest - neighbour interaction, J . P h y s . A: Math. Gen., 11 (10)
(1978) 1805-1897.
[ 3 7 ] VALKERING, T.P., Periodic Travelling waves in a non-integrable
one-dimensional lattice, C e l e s t i a l M e c h a n i s e s , ^8 (1982) 119-131.
[ 3 8 ] VANDERBOUWHEDE, A., Local Bifurcation and Symmetry, P i t m a n , RNiM 75,
[ 3 9 ] VERDUYN-LUNEL, S., Functional differential equations, i n p r e p a r a t i o n .
[ 4 0 ] WALKER, J.A., Dynamical Systems & Evolution Equations, Theory and
L i n e a r V o l t e r r a c o n v o l u t i o n e q u a t i o n s : s e m i g r o u p s , s m a l l s o l u t i o n s and c o n
-v e r g e n c e o f p r o j e c t i o n o p e r a t o r s
by
S.A. van G i l s
ABSTRACT
I n t h i s p a p e r we c o n s i d e r the i n i t i a l f u n c t i o n semigroup and the f o r
-c i n g f u n -c t i o n semigroup g e n e r a t e d by l i n e a r V o l t e r r a i n t e g r a l e q u a t i o n s o f
c o n v o l u t i o n t y p e . We p r o v e t h a t the two types a r e a d j o i n t s of each o t h e r i n
the sense t h a t the a d j o i n t o f the one type i s the o t h e r type semigroup c o r
-r e s p o n d i n g to the e q u a t i o n w i t h t -r a n s p o s e d k e -r n e l . M o -r e o v e -r the semig-roups
are e q u i v a l e n t . We p r o v e t h a t the absence o f s m a l l s o l u t i o n s i s e q u i v a l e n t
to the i n j e c t i v i t y o f a s t r u c t u r a l o p e r a t o r F w h i c h maps i n i t i a l f u n c t i o n s
i n t o f o r c i n g f u n c t i o n s . We show the c o n v e r g e n c e o f the s p e c t r a l p r o j e c t i o n
o p e r a t o r s c o r r e s p o n d i n g to the ( p u r e l y ) p o i n t s p e c t r u m o f the i n f i n i t e s i m a l
g e n e r a t o r s on a dense s u b s e t o f the s t a t e s p a c e f o r a s p e c i a l c l a s s o f
e q u a t i o n s .
KEY WORDS & PHRASES: Volterra integral equation, semigroup, adjoint
semi-group, structural operator, decomposition according to the spectrum of the infinitesimal generator, conver-gence of projection operators, small solution.
1. INTRODUCTION
We d i s c u s s two types o f s e m i g r o u p s f o r t h e V o l t e r r a c o n v o l u t i o n e q u a t i o n t
x ( t ) = C ( t - x ) x ( x ) d x , t € ]R+
Here x t a k e s v a l u e s i n R , B+ = iO,™), and we assume t h a t C i s a n x n m a t r i x w i t h e l e m e n t s i n L j [ 0 , b ] , 0 < b < <°, w h i c h v a n i s h e s f o r t a b . T h e r e -f o r e we can r e w r i t e t h i s e q u a t i o n as b C ( x ) x ( t - x ) d x , t e H+ , 0 (1.1) x ( t ) = w h i c h we p r o v i d e w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n (1.2) x ( t ) = <f>(t), -b < t < 0, where $ £ Lp[ - b , 0 ] , 1 < p < °°. The f i r s t semigroup a s s o c i a t e d by ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) a c t s on i n i t i a l f u n c t i o n s and i s d e f i n e d by t r a n s l a t i o n a l o n g the s o l u t i o n . One s o l v e s ( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 )
(see s e c t i o n 2) and d e f i n e s (T(s)<)>)(t) = x ( t + s ) , s e ~R+ , -b < t < 0. R e l a t e d w i t h e q u a t i o n t (1.3) x ( t ) = c ( T ) x ( t - x ) d x + f ( t ) , 0 where f ( t ) e Lp[ 0 , b ] = { g e Lp( K+) | g ( t ) = 0 f o r t > b } , 1 < p < », i s the semigroup w h i c h i s d e f i n e d by t r a c i n g t h e forcing o f t h e t r a n s l a t e d e q u a t i o n . ( S ( s ) f ) ( t ) = x ( t + s ) - J Q C ( t ) x ( s + t - t ) d x . See Diekmann [ 1 0 ] , M i l l e r
[ 2 2 ] , M i l l e r & S e l l [ 2 3 ] . I t was shown f o r t h e f i r s t t i m e by Burns & Herdman [ 5 ] i n the c a s e o f a V o l t e r r a i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h i n f i n i t e d e l a y t h a t these two semigroups a r e r e l a t e d by d u a l i t y p r o v i d e d T t h a t one r e p l a c e s i n one o f t h e e q u a t i o n s C by i t s c o n j u g a t e d t r a n s p o s e X, . I n [ 1 1 ] Diekmann p o i n t e d o u t t h a t t h i s i s a q u i t e g e n e r a l p r o p e r t y o f d e l a y
