Podlaski Konkurs Matematyczny 2006 Zadania przygotowawcze - klasy drugie
Zadanie 1. Wyznaczy´c wszystkie liczby naturalne, kt´ore sa 11 razy wi, eksze od sumy swoich cyfr., Zadanie 2. Niech {x} oznacza cze´,s´c u lamkowa liczby x. Wykaza´, c, ˙ze je´sli {a} + {1/a} = 1, to a nie
jest liczba wymiern, a.,
Zadanie 3. Wykaza´c, ˙ze je´sli n jest liczba naturaln, a oraz 0 6 x < 1, to, 1 − x2n > 2nxn(1 − x).
Zadanie 4. Dla danej liczby naturalnej n wyznaczy´c sume:, 12
1 · 3 + 22
3 · 5+ · · · + n2
(2n − 1)(2n + 1) .
Zadanie 5. Na p laszy´znie dany jest sko´nczony zbi´or wielokat´, ow taki, ˙ze ka˙zde dwa wielokaty maj, a, punkt wsp´olny. Wykaza´c, ˙ze istnieje prosta majaca punkty wsp´, olne z ka˙zdym z wielokat´, ow.
Zadanie 6. Punkty M , P sa ´, srodkami bok´ow BC i CD wypuk lego czworokata ABCD. Wykaza´, c, ˙ze je´sli AP + AM = a, to czworokat ABCD ma pole mniejsze ni˙z a, 2/2.
Zadanie 7. Niech f : R → R bedzie funkcj, a tak, a, ˙ze,
f (x + 1) + f (x − 1) =√ 2f (x)
dla dowolnej liczby x ∈ R. Wykaza´c, ˙ze f jest funkcja okresow, a., Zadanie 8. W czworokacie ABCD o polu S obrano punkt O taki, ˙ze,
OA2+ OB2+ OC2+ OD2 = 2S.
Wykaza´c, ˙ze czworokat ABCD jest kwadratem, za´, s O jest jego ´srodkiem.
Zadanie 9. Liczby a1, a2, . . . , an (przy czym n > 2) sa dodatnie oraz a, 1+ a2 + · · · + an = 1. Jaka, minimalna warto´, s´c mo˙ze przyja´,c iloczyn
1
a1 − 1 1 a2 − 1
. . . 1 an − 1
?
Zadanie 10. Znale´z´c wszystkie liczby ca lkowite x, y, z spe lniajace r´, ownanie:
2x4+ y4= 7z4 .
Zadanie 11. W pola kwadratowej tablicy n × n wpisano symetrycznie wzgledem g l´, ownej przekatnej (tzn., przekatnej l, acz, acej lewy g´, orny r´og tablicy z jej prawym dolnym rogiem) liczby 1, 2, 3, . . . , n tak, ˙ze w ka˙zdej kolumnie i ka˙zdym wierszu tablicy znajduja si, e r´, o˙zne liczby. Wykaza´c, ˙ze liczby na g l´ownej przekatnej tablicy te˙z s, a r´, o˙zne.
Zadanie 12. Dany jest trapez ABCD (AB k CD). Na podstawie AB obieramy punkt K, za´s na pod- stawie CD punkt L. Niech C bedzie cz, e´,scia wsp´, olna tr´, ojkat´, ow ALB i CKD. Przy jakim po lo˙zeniu punkt´ow K i L figura C ma najwieksze pole?,
Zadanie 13. Wyznaczy´c wszystkie wielomiany anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0, gdzie ai ∈ {−1, 1} dla i = 0, 1, . . . , n, majace n pierwiastk´, ow rzeczywistych.
Zadanie 14. Niech p > 3 bedzie liczb, a pierwsz, a. Wiadomo, ˙ze pewna pot, ega liczby p ma 20 cyfr., Wykaza´c, ˙ze w´sr´od tych cyfr przynajmniej trzy sa jednakowe.,
Zadanie 15. W przestrzeni wybrano 2n punkt´ow tak, ˙ze ˙zadne cztery nie le˙za w jednej p laszczy´, znie.
Nastepnie po l, aczono pewne punkty tworz, ac n, 2 + 1 odcink´ow. Wykaza´c, ˙ze pewne trzy odcinki tworza tr´, ojkat.,
1
