POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI
Przypomnienie podstawowych definicji, twierdzeń i wzorów z wybranych działów matematyki.
Algebra
Liczbą przeciwną do liczby 𝑎 ∈ 𝐑 jest liczba −𝑎. Odwrotność liczby 𝑎 (dla 𝑎 ≠ 0) to liczba 1
𝑎 . Wartość bezwzględna liczby 𝑎 jest równa jej odległości od 0 na osi liczbowej.
|𝑎| = {𝑎 dla 𝑎 ≥ 0
−𝑎 dla 𝑎 < 0
Dla liczb 𝑎 i 𝑏 odległość na osi liczbowej między tymi liczbami jest równa |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|.
Potęgą 𝑎𝑛 o wykładniku naturalnym 𝑛 > 1 nazywamy iloczyn 𝑛 czynników równych liczbie 𝑎.
Dodatkowo przyjmuje się, że 𝑎1 = 𝑎 oraz 𝑎0 = 1 dla 𝑎 ≠ 0.
Dla 𝑎 ≠ 0 istnieje potęga o wykładniku całkowitym ujemnym 𝑎−𝑛= 1
𝑎𝑛 .
Własności potęg dla wykładników całkowitych; 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐂 (uwaga: symbol 00 jest nieokreślony) 𝑎𝑚∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎
𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 dla 𝑎 ≠ 0 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 (𝑎
𝑏)𝑛 =𝑎𝑛
𝑏𝑛 dla 𝑏 ≠ 0 (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛
Własności potęg dla wykładników rzeczywistych; 𝑎, 𝑏 ∈ (0, ∞) i 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐑
INSTYTUT MEDICUS
Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok szkolny 2020/2021
www.medicus.edu.pl tel. 501 383 955
MATEMATYKA 13
Pierwiastek n - tego stopnia 𝑛√𝑎= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎 dla 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑛 ∈ 𝐍.
Pierwiastki parzystego stopnia obliczamy tylko z liczb rzeczywistych nieujemnych.
Pierwiastki nieparzystego stopnia można obliczać z liczb rzeczywistych (o dowolnym znaku).
Wzory skróconego mnożenia
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2± 𝑏3
𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎3± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) Silnia
• definiujemy 0! = 1; wprowadzamy wzór ogólny dla 𝑛 ∈ 𝐍 i 𝑛 ≥ 1 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛
• wzór rekurencyjny { 0! = 1
(𝑛 + 1)! = 𝑛! ∙ (𝑛 + 1) dla 𝑛 ∈ 𝐍 i 𝑛 ≥ 1 Symbol Newtona
Jeżeli 𝑘, 𝑛 ∈ 𝐍 i 𝑘 ≤ 𝑛, to
(𝑛𝑘) = 𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
(𝑛𝑘) = (𝑛−𝑘𝑛 )
(𝑛𝑘) + (𝑘+1𝑛 ) = (𝑛+1𝑘+1)
Rozwinięcie dwumianu Newtona
Jeżeli 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐑 i 𝑛 ∈ 𝐍 i 𝑛 ≥ 1 , to (𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛
0) 𝑎𝑛+ (𝑛
1) 𝑎𝑛−1𝑏 + (𝑛
2) 𝑎𝑛−2𝑏2+ ⋯ + ( 𝑛
𝑛 − 1) 𝑎𝑏𝑛−1+ (𝑛 𝑛) 𝑏𝑛 Procenty
• 1 % danej wielkości to 1
100 tej wielkości;
• 1 ‰ danej wielkości to 1
1000 tej wielkości;
• 𝑝 % liczby 𝑎 to ( 𝑝
100𝑎);
• liczba 𝑎 stanowi (𝑎
𝑏100 %) liczby 𝑏;
• liczba o 𝑝 % większa od liczby 𝑎 to (𝑎 + 𝑝
100𝑎).
Funkcja liniowa, układ równań liniowych
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 dla 𝑥 ∈ 𝐑 . Równanie 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 nazywamy równaniem kierunkowym prostej.
Równanie 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , gdzie 𝐴 ≠ 0 lub 𝐵 ≠ 0, nazywamy równaniem ogólnym prostej.
Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Jeśli prosta przechodzi przez dwa różne punkty (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) i (𝑥𝐵, 𝑦𝐵), to współczynnik kierunkowy 𝑎 =𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴 . Proste 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 i 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎1 = −1
𝑎2 , (𝑎2 ≠ 0).
Proste 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 i 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎1 = 𝑎2 . Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 gdzie 𝑎1 ≠ 0 lub 𝑏1≠ 0 𝑎2 ≠ 0 lub 𝑏2 ≠ 0
• jest układem oznaczonym, gdy jego rozwiązaniem jest jedna para liczb;
• jest układem nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań;
• jest układem sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.
Układ równań liniowych
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
można rozwiązać stosując metodę wyznacznikową.
Liczymy wyznaczniki: 𝑊 - główny, 𝑊𝑥 - niewiadomej x, 𝑊𝑦 - niewiadomej y:
1 2 2 1 2 2
1
1 ab ab
b a
b
W = a = − , 1 2 2 1
2 2
1
1 cb c b
b c
b
Wx = c = − , 1 2 2 1
2 2
1
1 ac a c
c a
c
Wy = a = − .
• Jeśli W 0, to układ równań jest układem oznaczonym i ma rozwiązanie:
W x=Wx,
W y=Wy .
• Jeśli W =0 i Wx =0 i Wy =0, to układ równań jest nieoznaczony.
• Jeśli =
Funkcja kwadratowa
Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję zapisaną w postaci (w poniższych wzorach 𝑎 ≠ 0):
• ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ;
• kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2+ 𝑞 , gdzie: 𝑝 =−𝑏
2𝑎 , 𝑞 =−Δ
4𝑎 , Δ = 𝑏2− 4𝑎𝑐 ;
• iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) , gdzie: 𝑥1 = −𝑏−√Δ
2𝑎 , 𝑥2 =−𝑏+√Δ
2𝑎 dla Δ > 0, albo 𝑥1 = 𝑥2 =−𝑏
2𝑎 dla Δ = 0, są pierwiastkami równania 𝑓(𝑥) = 0.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych: 𝑥𝑤 =
−𝑏
2𝑎 , 𝑦𝑤 = −Δ
4𝑎 i ramionach skierowanych w górę, gdy 𝑎 > 0 albo w dół, gdy 𝑎 < 0.
Wzory Viète’a
Jeżeli równanie kwadratowe 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 posiada dodatni wyróżnik, Δ = 𝑏2− 4𝑎𝑐 > 0,
to pierwiastkami tego równania są liczby: 𝑥1 = −𝑏−√Δ
2𝑎 i 𝑥2 =−𝑏+√Δ
2𝑎 . Wzory Viète’a wyrażają sumę i iloczyn pierwiastków tego równania.
𝑥1+ 𝑥2 =−𝑏−√Δ
2𝑎 +−𝑏+√Δ
2𝑎 =−𝑏−√Δ+(−𝑏+√Δ)
2𝑎 =−2𝑏
2𝑎 = −𝑏
𝑎 𝑥1∙ 𝑥2 =(−𝑏−√Δ)(−𝑏+√Δ)
4𝑎2 = 𝑏2−Δ
4𝑎2 = 𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2 = 4𝑎𝑐
4𝑎2 = 𝑐
𝑎 Ekstremum funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ma pochodną (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)′= 2𝑎𝑥 + 𝑏, która zeruje się w punkcie 𝑓′(𝑥0) = 2𝑎𝑥0+ 𝑏 = 0. Rozwiązując równanie otrzymujemy 𝑥0 = − 𝑏
2𝑎 . Jest to ekstremum globalne funkcji kwadratowej (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie). Monotoniczność funkcji kwadratowej i jej ekstremum (minimum albo maksimum) badamy określając znak pochodnej w przedziałach (−∞, 𝑥0) oraz (𝑥0, ∞).
Wielomiany
Jednomianem nazywamy funkcję 𝑦(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥𝑛 określoną dla 𝑥 ∈ 𝐑.
Funkcję 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑛⋅ 𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1⋅ 𝑥𝑛−1+ … +𝑎1⋅ 𝑥1 + 𝑎0 , gdzie 𝑎𝑛 ≠ 0 i 𝑛 ∈ 𝐍 , określoną dla 𝑥 ∈ 𝐑, nazywamy wielomianem stopnia 𝑛 (stopień wielomianu oznaczamy: 𝑠𝑡(𝑊) = 𝑛).
Liczby 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 nazywamy współczynnikami wielomianu, natomiast współczynnik 𝑎0 nazywamy wyrazem wolnym.
Jeśli wielomiany 𝑈, 𝑊 i 𝑈 + 𝑊 są niezerowe oraz 𝑠𝑡(𝑈) ≤ 𝑠𝑡(𝑊) , to 𝑠𝑡(𝑈 + 𝑊) ≤ 𝑠𝑡(𝑊).
Iloczyn wielomianu stopnia 𝑚 i wielomianu stopnia 𝑛 jest wielomianem stopnia 𝑚 + 𝑛 ; 𝑠𝑡(𝑊 ⋅ 𝑈) = 𝑠𝑡(𝑊) + 𝑠𝑡(𝑈).
Każdy wielomian można przedstawić jako iloczyn czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Rozkład wielomianu 𝑊(𝑥) na czynniki można wykorzystać do wyznaczenia jego pierwiastków, czyli takich argumentów 𝑥, dla których równanie 𝑊(𝑥) = 0 jest spełnione.
Funkcje wymierne
Wykres funkcji 𝑦 =𝑎
𝑥 , gdzie 𝑎 ≠ 0, 𝑥 ≠ 0, nazywamy hiperbolą.
Przesuwając wykres funkcji 𝑦 =𝑎
𝑥 o 𝑝 jednostek wzdłuż osi OX i o 𝑞 jednostek wzdłuż osi OY (czyli o wektor [𝑝, 𝑞] ), otrzymujemy wykres funkcji 𝑦 = 𝑎
𝑥−𝑝+ 𝑞 określonej dla 𝑥 ∈ 𝐑 ∖ {p} . Punkty należące do wykresu hiperboli możemy opisać formułą {(𝑥, 𝑦): (𝑥 − 𝑝)(𝑦 − 𝑞) = 𝑎} . Funkcję wymierną zapisujemy w postaci 𝑓(𝑥) =𝑊(𝑥)
𝑉(𝑥) , gdzie 𝑊(𝑥) i 𝑉(𝑥) są wielomianami, a dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych takich, że 𝑉(𝑥) ≠ 0.
Jeżeli wyrażenie wymierne można przedstawić w postaci 𝑎𝑥+𝑏
(𝑥+𝑐)(𝑥+𝑑) , to można znaleźć takie liczby 𝐴 i 𝐵 , że zachodzi 𝑎𝑥+𝑏
(𝑥+𝑐)(𝑥+𝑑)= 𝐴
𝑥+𝑐+ 𝐵
𝑥+𝑑 .
Wzory służące do obliczania pochodnej
sumy funkcji [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) różnicy funkcji [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′= 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
iloczynu funkcji [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′= 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) ilorazu funkcji [𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)]′= 𝑓′(𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2 dla 𝑔(𝑥) ≠ 0
Pochodna funkcji liniowej: (𝑎𝑥 + 𝑏)′ = 𝑎
Pochodna funkcji kwadratowej: (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)′= 2𝑎𝑥 + 𝑏 Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym 𝑛 : (𝑥𝑛)′= 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1
Pochodna funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (wielom. st. 3): 𝑓′(𝑥) = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐
Styczna do krzywej
Niech funkcja 𝑓 będzie różniczkowalna w punkcie 𝑥0.
• Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥0 jest równy pochodnej 𝑓′(𝑥0) w tym punkcie.
• Tangens kąta 𝛼, jaki tworzy z osią odciętych styczna do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie o odciętej 𝑥0 jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie. tg 𝛼 = 𝑓′(𝑥0)
• Równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) w punkcie (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) ma postać 𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)
Ekstrema funkcji
• Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
Jeżeli funkcja 𝑓 osiąga ekstremum w punkcie 𝑥0 i ma w tym punkcie pochodną, to 𝑓′(𝑥0) = 0.
• Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji.
Jeżeli funkcja 𝑓 jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu 𝑥0 , w którym 𝑓′(𝑥0) = 0 oraz 𝑓′(𝑥) > 0 dla przedziału (𝑥0 − ℎ, 𝑥0)
to funkcja 𝑓 ma maksimum w punkcie 𝑥0 ;
𝑓′(𝑥) < 0 dla przedziału (𝑥0, 𝑥0+ ℎ) 𝑓′(𝑥) < 0 dla przedziału (𝑥0 − ℎ, 𝑥0)
to funkcja 𝑓 ma minimum w punkcie 𝑥0 .
𝑓′(𝑥) > 0 dla przedziału (𝑥0, 𝑥0+ ℎ)
ZADANIA
13.1. (2 punkty)
Dane są zbiory 𝐴 i 𝐵.
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐑: |𝑥 − 4| ≥ 7}
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥2 > 0}
Zaznacz na osi liczbowej:
a) Zbiory 𝐴 i 𝐵.
b) Zbiór 𝐶 = 𝐵\𝐴.
13.2. (3 punkty)
Dane są zbiory 𝐴, 𝐵 i 𝐶.
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐑: |5 − 𝑥| ≥ 3}
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥2− 9 ≥ 0}
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 + 1 𝑥 − 1≤ 1}
a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory A, B i C .
b) Wyznacz i zapisz za pomocą przedziału liczbowego zbiór 𝐶\(𝐴 ∩ 𝐵) .
13.3. (4 punkty)
Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
𝐴 = {𝑥: |𝑥 + 2| < 3} ,
𝐵 = {𝑥: (2𝑥 − 1)3 ≤ 8𝑥3− 13𝑥2+ 6𝑥 + 3} .
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory 𝐴, 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 oraz 𝐵\𝐴.
13.4. (2 punkty)
Zbiorem rozwiązań nierówności 𝑎𝑥 + 4 ≥ 0 z niewiadomą 𝑥 jest przedział (−∞, 2〉.
Wyznacz 𝑎.
13.5. (4 punkty)
Na rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji 𝑓(𝑥) , b) podaj wartość funkcji 𝑓(𝑥) dla argumentu 𝑥 = 1 − √10 , c) wyznacz równanie prostej BC ,
d) oblicz długość odcinka BC .
13.6. (3 punkty)
Funkcja 𝑓(𝑥) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej 𝑥 z przedziału 〈−4, −2〉
połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o 8.
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji 𝑓(𝑥) w podanym przedziale.
13.7. (3 punkty)
Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł.
Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.
13.8. (6 punktów)
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe.
Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo?
13.9. (5 punktów)
Dane są proste o równaniach:
2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 , 2𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0 .
Zaznacz w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie kąt opisany układem nierówności:
{2𝑥 − 𝑦 − 3 ≤ 0 2𝑥 − 3𝑦 − 7 ≤ 0 .
Oblicz odległość punktu przecięcia się tych prostych od punktu 𝑆 = (3, −8).
13.10. (5 punktów)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) w przedziale 〈−2, 2 〉.
13.11. (5 punktów)
Znajdź wzór funkcji kwadratowej 𝑦 = 𝑓
(
𝑥)
, której wykresem jest parabola o wierzchołku (1, – 9) , przechodząca przez punkt o współrzędnych (2, – 8).a) Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej.
b) Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
13.12. (5 punktów)
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 6𝑥 − 5.
13.13. (5 punktów)
Wykres funkcji 𝑓(𝑥) określonej wzorem 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi OY o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji 𝑔(𝑥).
a) Rozwiąż nierówność 𝑓(𝑥) + 5 < 3𝑥.
b) Podaj zbiór wartości funkcji 𝑔(𝑥).
c) Funkcja 𝑔(𝑥) określona jest wzorem 𝑔(𝑥) = −2𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Oblicz 𝑏 i 𝑐.
13.14. (5 punktów)
Funkcja 𝑓 określona jest poniższym wzorem.
𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 3 dla 𝑥 < 2 1 dla 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 a) Uzupełnij tabelę:
𝑥 −3 3
𝑓(𝑥) 0
b) Narysuj wykres funkcji 𝑓.
c) Podaj wszystkie liczby całkowite 𝑥 , spełniające nierówność 𝑓(𝑥) ≥ −6.
13.15. (5 punktów)
Funkcja 𝑓(𝑥) jest określona wzorem:
𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 2 dla 𝑥 ∈ 〈−1, 1)
−(𝑥 − 1)2 dla 𝑥 ∈ 〈1, 3〉
a) Sprawdź, czy liczba 𝑎 = (0,25)−0,5 należy do dziedziny funkcji 𝑓(𝑥).
b) Oblicz 𝑓(2) oraz 𝑓(3).
c) Sporządź wykres funkcji 𝑓(𝑥).
d) Podaj rozwiązanie równania 𝑓(𝑥) = 0.
e) Zapisz zbiór wartości funkcji 𝑓(𝑥).
13.16. (4 punkty)
Wielomian 𝑃(𝑥) = 𝑥3− 21𝑥 + 20 rozłóż na czynniki liniowe, to znaczy zapisz go w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
13.17. (4 punkty)
Miejscem zerowym wielomianu 𝑊(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑎𝑥2− 6𝑥 jest liczba (−1).
a) Oblicz współczynnik 𝑎.
b) Wyznacz pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu.
13.18. (4 punkty)
Rozłóż wielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥4− 7𝑥2+ 12 na czynniki.
13.19. (4 punkty)
Dane są wielomiany:
𝑊(𝑥) = 2𝑥2— 3𝑥 + 4, 𝐻(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,
𝐹(𝑥) = −2𝑥3+ 13𝑥2− 19𝑥 + 20.
Oblicz 𝑎 i 𝑏, dla których wielomiany 𝑊(𝑥) ∙ 𝐻(𝑥) i 𝐹(𝑥) są równe.
13.20. (4 punkty)
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥).
𝑓(𝑥) = {
−3𝑥 − 1 dla 𝑥 ∈ 〈−3, 1〉
−4
𝑥 dla 𝑥 ∈ (1, 8〉
a) Narysuj wykres funkcji 𝑓(𝑥).
b) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja 𝑓(𝑥) jest rosnąca.
c) Oblicz, jaką wartość przyjmuje funkcja 𝑓(𝑥) dla argumentu 11
3 .
13.21. (1 punkt)
Proste o równaniach 𝑦 = (𝑚 + 2)𝑥 + 3 oraz 𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 − 3 są równoległe.
Wyznacz wartość parametru 𝑚.
13.22. (2 punkty za każde zadanie) Rozwiąż nierówności.
a) 2𝑥2 − 7𝑥 + 5 ≥ 0 b) 2𝑥2 − 4𝑥 ≥ 𝑥 − 2
c) 2𝑥2 − 4𝑥 > (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) d) 8𝑥2 − 72𝑥 ≤ 0
13.23. (2 punkty)
Rozwiąż równanie 𝑥(𝑥+1)
𝑥−1 = 5𝑥 − 4 , dla 𝑥 ≠ 1.
13.24. (2 punkty)
Udowodnij, że każda liczba całkowita 𝑘, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3𝑘2 przez 7 jest równa 5.
13.25. (2 punkty)
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
kolejne lata 1 2 3 4 5 6
przyrost (w cm) 10 10 7 8 8 7
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat.
Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia.
Podaj ten błąd w procentach.
Poziom rozszerzony
13.26.R (5 punktów)
Dany jest trójmian kwadratowy 𝑓(𝑥) = (𝑚 + 1)𝑥2+ 2(𝑚 − 2)𝑥 − 𝑚 + 4 .
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których trójmian 𝑓 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 𝑥1, 𝑥2, spełniające warunek 𝑥12− 𝑥22 = 𝑥14− 𝑥24 .
13.27.R (3 punkty)
Równanie 𝑎(𝑥 + 1) + 𝑥 = 𝑏(𝑥 − 1) + 5 , gdzie 𝑥 jest niewiadomą, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Znajdź liczby 𝑎 i 𝑏.
13.28.R (3 punkty)
Wykres funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 przesunięto o wektor 𝑣⃗, otrzymując wykres funkcji 𝑔(𝑥).
Miejscami zerowymi funkcji 𝑔(𝑥) są liczby −3 i 1. Znajdź współrzędne wektora 𝑣⃗.
13.29.R (5 punktów)
Rozwiąż nierówność 2𝑥2−1
𝑥5−2𝑥3−𝑥2+2< 0 . 13.30.R (5 punktów)
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−2
𝑥2−1 . Określ dziedzinę funkcji i naszkicuj wykres tej funkcji.
Wyznacz zbiór tych wszystkich argumentów 𝑥, dla których ta funkcja przyjmuje wartości większe lub równe 3
2 .
13.31.R (3 punkty)
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝑘 liczba 𝑘6− 2𝑘4+ 𝑘2jest podzielna przez 36.
13.32.R (6 punktów)
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty 𝑃 postaci 𝑃 = (1
2𝑚 +5
2, 𝑚), gdzie 𝑚 ∈ 〈−1, 7〉. Oblicz najmniejszą i największą wartość |𝑃𝑄|2 , gdzie 𝑄 = (55
2 , 0).
13.34.R (3 punkty)
Liczby 1 i −2 są pierwiastkami wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 6 . Oblicz √𝑎𝑏 i zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego znalezionej liczby.
13.35.R (3 punkty)
Dana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) =4𝑥3+11
5−𝑥2 dla wszystkich liczb rzeczywistych takich, że 𝑥 ≠ −√5 i 𝑥 ≠ √5. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie 𝑥 = 2.
13.36.R (3 punkty)
Dla jakiej wartości parametru 𝑘 granicą funkcji 𝑓(𝑥) =𝑥2+(𝑘−2)𝑥−2𝑘
(𝑥−2)(𝑥+3) w punkcie 𝑥 = 2 jest liczba 1 ?
13.37.R (5 punktów)
Funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑 są liczbami rzeczywistymi, ma ekstrema w punktach 𝑥 = −2 i 𝑥 = 3. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃 = (0, 2), w którym współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie jest równy −36. Znajdź 𝑓(−2) + 𝑓(3) .
13.38.R (7 punktów)
Parabola o równaniu 𝑦 = 2 −1
2𝑥2 przecina oś 0𝑥 układu współrzędnych w punktach 𝐴 = (−2, 0) i 𝐵 = (2, 0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne 𝐴𝐵𝐶𝐷, których dłuższą podstawą jest odcinek 𝐴𝐵, a końce 𝐶 i 𝐷 krótszej podstawy leżą na paraboli (rysunek).
Wyznacz pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka 𝐶.
Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐶 tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
MATEMATYKA 13 Odpowiedzi do zadań
Powtórzenie wiadomości
zadanie rozwiązanie
13.1
CKE maj 2006, 1 Na osi liczbowej należy zaznaczyć zbiory:
a) 𝐴 = (−∞, −3〉 ∪ 〈11, ∞) , 𝐵 = 𝐑\0 b) 𝐶 = (−3, 0) ∪ (0, 11)
13.2
CKE listopad 2006, 10 Na osi liczbowej należy zaznaczyć zbiory:
𝐴 = (−∞, 2〉 ∪ 〈8, ∞) 𝐵 = (−∞, −3〉 ∪ 〈3, ∞) 𝐶 = (−∞, 1)
𝐶\(𝐴 ∩ 𝐵) = (−3, 1) 13.3
CKE maj 2005, 6 𝐴 = (−5, 1), 𝐵 = 〈−2, 2〉 , 𝐴 ∩ 𝐵 = 〈−2, 1) , 𝐵\𝐴 = 〈1, 2〉
13.4
CKE 2014, 24, s. 10 𝑎 = −2 13.5
CKE maj 2008, 1 a) przedział 〈−4, 3 〉 b) 𝑓(1 − √10) = −4 c) 𝑦 =7
4𝑥 −1
2 d) |𝐵𝐶| = √65 13.6
CKE listopad 2006, 11 𝑓(𝑥) =1
2𝑥2− 8 ;
Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale wynosi 𝑓(−2) = −6.
13.7
CKE listopad 2006, 1 Cena wycieczki dla jednego uczestnika przed podwyżką wynosiła 1500 zł.
13.8
CKE maj 2005, 9 Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku 40000 𝑧ł i 44100 𝑧ł.
13.9
CKE listopad 2006, 5 Punkt przecięcia 𝑃 = (12 , −2), długość odcinka |𝑃𝑆| = 6,5.
13.10
CKE maj 2008, 9 Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest 𝑥𝑤 = −25
8. Największą wartością w tym przedziale jest 𝑓(−2) = 12.
13.11
CKE maj 2007, 1 Wzór funkcji ma postać 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2– 9 .
Miejscami zerowymi funkcji są liczby:𝑥1 = −2 , 𝑥2 = 4
.
13.12 a) Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych: (3, 4).
13.13
CKE maj 2009, 3 a) 𝑥 ∈ (−∞, −5
2) ∪ (1, ∞) ;
b) zbiór wartości funkcji 𝑔(𝑥) to (−∞, 8〉;
c) 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 12𝑥 − 10 . 13.14
CKE maj 2009, 1 𝑥 −3 3 1,5
𝑓(𝑥) −9 1 0
Nierówność 𝑓(𝑥) ≥ −6 jest spełniona dla 𝑥 ≥ −3
2 . 13.15
CKE grudzień 2005, 3 a) Liczba 𝑎 = 2 należy do dziedziny funkcji ; b) 𝑓(2) = −1, 𝑓(3) = −4;
d) 𝑓(1) = 0; e) Zbiorem wartości funkcji 𝑓(𝑥) jest 〈−4, 0〉 ∪ 〈1, 3) . 13.16
CKE grudzień 2005, 1 𝑃(𝑥) = 𝑥3− 21𝑥 + 20 = (𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 − 20) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 + 5) 13.17
MPAM, 3, s. 4 a) 𝑎 = −4, b) pozostałe miejsca zerowe to 0 i 3.
13.18
MPAM, 7, s. 26 𝑊(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + √3)(𝑥 − √3) 13.19
MPAM, 7, s. 96 𝑎 = −1, 𝑏 = 5 13.20
MPAM, 4, s. 93 b) funkcja 𝑓(𝑥) jest rosnąca w przedziale 〈1, 8〉 , c) 𝑓 (11
3) = −3 13.21
CKE 2018, 19, s. 26 𝑚 = 3 13.22
CKE 2013, 30, s. 14 CKE 2015s, 27, s. 13 CKE 2015n, 26, s. 12 CKE 2017, 26, s. 16
a) 𝑥 ∈ (−∞, 1〉 ∪ 〈5
2, ∞) ; b) 𝑥 ∈ (−∞, 1
2〉 ∪ 〈2, ∞) ; c) 𝑥 ∈ (−∞, 2〉 ∪ 〈3, ∞) d) 𝑥 ∈ 〈0, 9〉
13.23
CKE od 2015, 25, s. 10 𝑥 =1
2 lub 𝑥 = 2 13.24
CKE 2014, 28, s. 12 𝑘 = 7𝑚 + 2 , gdzie 𝑚 jest liczbą całkowitą;
wtedy 3𝑘2 = 3(7𝑚 + 2)2 = 7(3 ∙ 7𝑚2+ 3 ∙ 4𝑚 + 1) + 5 13.25
CKE 2016, 26, s. 12 Średni roczny przyrost sosny 𝑥̅ = 81
3 cm. Błąd względny przybliżenia to 4 %.
13.26.R
CKE 2015pr n, 13, s. 14 Istnieje jedna wartość parametru 𝑚 =12+√109
5 . 13.27.R
R2K1, 133, s. 42 (𝑎, 𝑏) = (2, 3) 13.28.R
R2K1, 196, s. 53 Wektor 𝑣⃗ = [−1, −12].
13.29.R
RMBE, P2, s. 79 𝑥 ∈ (−∞, −√2) ∪ (−√22 ,√2
2) ∪ (1, √2) 13.30.R
RMBE, 3.14, s. 87 Dziedziną funkcji jest zbiór (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).
Funkcja 𝑓(𝑥) ≥3
2 dla 𝑥 ∈ (−1, 1).
13.31.R
CKE 2011pr, 1, s. 2 Wskazówka:
𝑘6− 2𝑘4 + 𝑘2 = 𝑘2(𝑘4− 2𝑘2+ 1) = 𝑘2(𝑘2− 1)2 = [(𝑘 − 1)𝑘(𝑘 + 1)]2
13.32.R
CKE 2012pr maj, 6, s.10 Najmniejsza i największa wartość |𝑃𝑄|2 to odpowiednio 511,25 i 651,25.
13.33.R
CKE 2014 inf., 3, s. 33 Nierówność przekształcamy do postaci 𝑥2− 4𝑥 + 4 +16
𝑥 + 4𝑥 − 16 ≥ 0 , a następnie do postaci (𝑥 − 2)2(1 +4
𝑥) ≥ 0. Ponieważ 𝑥 > 0, to lewa strona jest nieujemna jako iloczyn czynników nieujemnego i dodatniego.
13.34.R
Vad. Matura 2015, Wyd.
OPERON, 11, s. 41
√𝑎𝑏 = √2 ∙ 5 = √10 ≈ 3,162277 … ; Zakodowane cyfry to: 1, 6, 2.
13.35.R
Vad. Matura 2015, Wyd.
OPERON, 11.1, s. 279
𝑓′(2) = 220 13.36.R
Vad. Matura 2015, Wyd.
OPERON, 11.20, s. 280
𝑘 = 3 13.37.R
Vad. Matura 2015, Wyd.
OPERON, 11.24, s. 280
𝑓(−2) + 𝑓(3) = −33 13.38.R
CKE 2016, 16, s. 20 Pole 𝑃 tego trapezu określone jest wzorem 𝑃(𝑥) = 4 + 2𝑥 − 𝑥2−1
2𝑥3 . Pochodna funkcji 𝑃(𝑥) jest równa 𝑃′(𝑥) = 2 − 2𝑥 −3
2𝑥2 dla 𝑥 ∈ (0, 2).
W punkcie 𝑥 =2
3 funkcja 𝑃(𝑥) osiąga maksimum. Wtedy 𝐶 = (2
3,16
9).
Zajęcia 14 – powtórzenie wiadomości część II.
• Planimetria. (materiał 5. zajęć);
• Funkcje trygonometryczne. (materiał 8. zajęć);
• Funkcje wykładnicze i logarytmy. (materiał 9. zajęć);
• Ciągi. (materiał 10. zajęć);
• Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. (materiał 11. zajęć);
• Stereometria. (materiał 12. zajęć).