Sull'equazione del premio di risparmio nel caso di una legge generale di capitalizzazione

(1)

S. K O Ł O D Z IE J C Z Y K

S u l l e ą u a z i o n e del pr emi o di risparmio nel caso di una le gge g e n e r a l e di c a p i f a l i z z a z i o n e

E stratto dal Giomale dell'Istiiuto llaliano degii Attuari Anno IX , n. 4, O ttobre I938-XVI

R O M A

ISTITUTO ITAL1ANO DEGLI A lT U A R I

2 2, VIA MARCO MINGHETTI ■

I938-xvi

(2)

G IOR NALE

D E L L ’ ISTITUTO ITALIA NO DEGLI A T T U A R I

ROM A - V IA M ARCO M IN G H ETTI, 22

S O M M A R I O D E L N . 4, (Ot t o b r e 1 9 3 8 - x v i)

P. MEDOLAGHI: Indirizzi diricerca nelle assicurazioni danni . . . Pag. 297 S. K o l o d z i e j c z y k : SulVeguazione del premio di risparmio tld caso di

una legge generale di c ’apitalizzazione ... » 308 C. E . B o n f e r r o n i : Sulcalcolo di un accumula' ... » • 318 B . B a r i l f . : Una particolare soluzione dell'equazione del calore . . : » 338

Nccrologi . . " ... » 353

B ib lio g r a fía » .355

Giornali di Istituti attuariali e s t e r i » 357

La Ventisettesima Riunione délia Società Italiana per il Progrcsso delle

Scienze ... i » 362

La Ventottesima Riunione délia Società Italiana per il Progresso delle

Scienze . . . .... ... ...' . ... .... . » • 363 Istituto Italiano degli Attüari: A v viso ai Soci . . . » 364

(3)

S. K O Ł O D Z IE J C Z Y K

S u l l ’ e q u a z i o n e del p r e mi o di risparmio nel caso di una le g g e g e n e r a l e di c a p i í a l i z z a z i o n e

Estratto dal Giornale d ell'Islituto Italiano degli A ttuari Anno IX , n. 4, Ottobre 1938-X Vl

R O M A

IST IT U T O ITA LIAN O D EG LI A T T U A R I

22, VIA MARCO MINGHETTI I938-XVI

(4)

BSWÜIKA W .r l

¿s, StÉMA >;

•o íl QH ib

R o m a , 1 9 3 9 - X V I I . - T ip o g r a fía del S e ñ a lo del d o lí. G . B a rd i.

(5)

S U L L ’E Q U A Z IO N E D E L P R E M IO D I R IS P A R M IO N E L C A SO D I U N A L E G G E G E N E R A L E D I C A P I T A L I Z Z A Z I O N E

S . Ko ł o d z i e j c z y k.

Su n t o. — Si definisce il premio di risparmio (o il tasso istantaneo di risparmio) per una forma di assicurazione, contemplata nella teoría dei capitali accumulati del Cantelli, piü generale di quelle considérate in precedenti lavori ed inoltre nel caso di una legge generale di capitalizzazione.

Si determina poi la condizione necessaria e sufficiente perché il premio di risparmio sia indipendente dall’epoca di riferimento finanziario.

1. In un recente articolo *) e stato trattato il problema della determ inazione delle equazioni che definiscono il premio di risparmio nel caso particolare di u n ’assicurazione vita-in tera. I risultati ottenuti sono stati poi estesi ^ al caso piü generale di u n ’assicurazione cor- rispondente, nel cam po continuo, alia cosiddetta assicurazione « inté

grale » di B ortkiew icz 3^>.

In questo lavoro ci proponiam o di com pletare e di estendere tali considerazioni alie forme piü generad di assicurazione, quali sono quelle contém plate nella teoria dei capitali accum ulati del Cantelli e considerando, invece dell’interesse composto, una legge generale di capitalizzazione, scindibile o non scindibile.

2. Consideriam o un gruppo di individui, assicurati all’etá co- m une a, la cui legge di appartenenza al gruppo sia espressa dalla funzione l ( t), dove t indica il tempo trascorso dall’istante della stipu-

0 M. Jacob, Salle equazioni del prem io d i risparmio, « Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari», Anno V III, n. 2, aprile 1937-XV.

2) C. Ep s t e i n; S til premio d i risparmio nelle assicurazioni vita, « Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari», Anno IX , n. 1, gennaio 1938-XVI.

3) L. VO N B O R T K IE W IC Z , Risikoprämie und sparpräm ic bei Lebensversiche

rungen a u f eine Person. A. Ehrenzweig’s « Assekuranz-Jahrbuch », X X IV Jahrgang.

4) F . P. Ca n t e l l i, Genesi e costruzione delle tavole d i m utualità, n Bollettino di Notizie sul Crédito e sulla Previdenza», Roma, 1914, n. 3; S ü lle leggi d i mutua

lità e sulle equazioni delle riserve matemaiiehe, « Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari», Anno IX , n. 2, aprile 1938-XVI.

(6)

4 5. Kołodziejczyk.

lazione del contratto, e soggetti a due cause di elim inazione (a) e (¡3).

Supponiam o che ciascun appartenente al gruppo versi effettivam ente, nell’intervallo di tempo (t , t + dt), il premio u (t) dt e che l ’istituto assicuratore si obblighi a pagare a ciascun elim inato al tempo t per la causa- (a) una determ inata frazione A(t ) della riserva e a ciascun elim inato al tempo t per la causa (y) una somma U(t), la quale puo essere anche negativa: in tal caso indicherá un versam ento, anziché un prelevam ento, dell’assicurato a ll’istituto assicuratore;

inoltre l ’istituto assicuratore versi una rendita continua, di tasso s (t), agli appartenenti al gruppo.

Se indichiam o con L ( t ,•&) la legge di capitalizzazione, il m ontante finanziario, ad un ’epoca 9- posteriore a t, delle somme 7t(¿) dt sará espresso da ti(t) L ( t , § ) dt, mentre i m ontanti finanziari dei valori U (t) e s (t) saranno espressi dalle funzioni U ( t ,&) , s ( t, 9) i cui valori dipendono, come è ben noto *1, dal modo con cui vengono prelevate dai versamenti precedenti le somme U (t), j (¿) da pagare all’epoca t.

Evidentem ente, fissato un modo di prelevam ento, vengono ad esser determ inad i valori di U ( t , § ) , j ( V ,9); dovrá pero aversi, come è o w io , U ( t ) = U ( t , t ) , s (t) — s (¿t ,t). Inoltre il valore della riserva m atem ática verra espresso da una funzione di due variabili R ( t , § ) .

Indichiam o infine con a(¿) e y(/) i tassi istantanei di elim inazione corrispondenti alie cause (a) e (y); si ha, nell’ipotesi che (y) sia diversa da (a), la nota relazione

* ( 0 + y(0 = —

T u tte le funzioni considérate si suppongono, per sem plicità, con

tinue.

Definiamo ora il tasso di risparmio, riservandoci di fare in se- guito le osservazioni relative al suo significato finanziario nei vari casi che si possono presentare.

II tasso istantaneo del premio di risparmio è una funzione P (t) tale che l ’accum ulo finanziario dei premi P ( t ) d t nel periodo di tempo (o , x) porti alia riserva m atem ática all’epoca x, per un qual- siasi riferim ento finanziario tralasciando, sia per brevitá, sia perché sviluppate da L . Lordi, in un lavoro di prossima pubblicazione,

s) C fr. F . P . CANTELLI, Sulle leggi di mutualità e sulle equazioni delle riserve maiematiche, loe. cit. 4).

(7)

Still'equazionc del premio di risparmio, ecc. 5

[IJ

le consideraziöni relative al caso in cui si consideri l’eguaglianza del- l ’accumulo finanziario e della riservá m atem ática solo per & = x . II premio di risparmio, nel caso che noi consideriamo, dovra quindi soddisfare l ’equazione

R (x , 9-) = j P (i) L ( t , S-) dt , o ^ x <C&-

In particolare in questa definizione rientrano quelle date da Jacob e da Epstein, benché questi A utori cerchino di definiré il tasso di risparmio senza far uso del concetto di riserva m atem ática.

D alla [i], derivando i due m embri rispetto a x, si ricava la rela- zione equivalente

dR ( i, fr)

[2j P (t) =

Ora ci proponiamo di porre in form a esplicita tale equazione e di risolverla.

A tale scopo ricordiamo l ’equazione integrale della riserva 6>

x x

l ( x ) R 0 ,& ) = J / ( l ) n ( l ) L ( l , & ) d t — j / ( l ) o ( t ) A (i) R ( i , S) dl —

o o

X X

— I /OOyOO U ( t , ^ ) d t — f l ( t ) s ( t , & ) d t , o ^ x < &

o o

la quäle, fatte le posizioni

[3] F ( t ) = o.(t) A (l) , , * ) - « (t) L —

— Y (0 — j (/,«•), si puö porre nella form a seguente

* *

[4] l ( x ) R ( x , V ) = J l ( t ) G ( t , S ) d t — f l ( t ) F ( l ) R ( t , & ) d t , o ^ x < & .

6) Cfr. loc. cit. <).

(8)

6 5. Kołodziejczyk.

É ben noto che la soluzione R ( t , &) della [4] é continua e deriva- bile. A ccenniam o pero che in pratica si hanno delle forme di assicurazione nelle quali la riserva am m ette delle discontinuitá, come per esempio n ell’assicurazione m ista a capitale raddoppiato la cui riserva ha un salto al termine di scadenza del capitale differito. Si presenta quindi necessaria una generalizzazione dello schema considerato, per comprendere pure questi casi; é quanto faremo nel numero seguente.

Particolarizzando le funzioni introdotte nelle formule [3] e [4] e precisamente supponendo A (t) = o, e considerando la capitalizzazione ad interesse composto

L ( t ,3) = per cui segue

si ottiene il caso stud iato da Epstein, corrispondente, come giá abbiam o.detto, alia assicurazione «intégrale» di Bortkiewicz.

L ’equazione [4] si puó porre allora sotto la form a x

l { x ) R ( x y$) = e * V - * J r | b U ( t ) — s ( t ) ] d t o

che fornisce esplicitam ente la nota espressione della riserva.

L ’ulteriore particolarizzazione s (t) = o porta alia riserva della assicurazione vita intera, caso studiato da Jacob.

Osserviam o ancora che n ell’equazione [4] abbiam o posto & > x:

questa condizione é s ta ta chiam ata condizione d'indijferenza dell'equi

librio finanziario 1\ mentre invece il caso ■& = x, al quale corrisponde l ’equazionc

x x

[4'] l (x) R\(x > x ) = J l (t) G (/, x) dt

— J

¹⁽¹) F ( t ) R ( i , x) dt,

o o

é stato chiam ato caso del bilancio equo 8b

M entre l’equazione [4] am m ette una única soluzione, l ’equazione [4'] ha, oltre la soluzione della [4], infinite altre soluzioni. A bbiam o mo-

7) Cfr. loc. cit. <).

8) Cfr. S. KOŁODZIEJCZYK, Sulla soluzione generale dcll'equazione dei capi- la li accumulaii, o Giornalc delTIstituto Italiano degli A ttu ą ri», Anno IX , n. 2,

aprile I938-XVI.

(9)

SulV equazione del premio di risparmio, ecc. i

strato, nel lavoro citato 7>, che tu tte queste altre soluzioni non hanno un significato pratico finanziario, perció non ci occuperemo del secondo caso e considereremo solo l ’equazione [4].

D erivando ambo i membri di tale equazione rispetto a x si ottiene

■d- [l R

( * , *)] = /

(X) [G (x,

8.) -

F

(

x) R (x

,* ) ]

e, poiché si ha

[/ (x) R (x , *)] = /' (x) X ( x , d ) + / ( x ) ' ^ - ' j l ( x ,9) =

si puó scrivere

[5^] - ¿ - A ( x , * ) = G ( x , d ) + v ( x ) X ( x , & )

dove si é posto

che rappresenta il tas so istantaneo d i mutualita.

Sostituendo nella [5] la [1] e la [2] si ottiene infine

X

[6]

P(x) ■ L(x,$■) = G(x,&)-{-cp(x)J P(t)L(¿,&)dt , o ^ x < C &

o

che rappresenta Y equazione del tasso d i risparmio da noi cercata. Essa si puó considerare come una generalizzazione delle corrispondenti equazioni ottenute da Jacob ed Epstein; notiam o inoltre che essa ha la stessa form a dell’equazione [4] della riserva m atem ática. Per ottenere la sua soluzione ricordiamo la nota soluzione dell’equazione [4]

[7]

X

P ( x , Z ) = f ^ G ( t , Z ) d t O

(10)

8 S. Kołodziejczyk.

dove

t

—JtpÇu) du X (¿) = / (o) e

rapprescnta la legge d i mutualità.

D erivando la [7] rispetto a ar si ottiene

O

X

= <?■(*,«■) + <p(*) J dt O

e quindi, tenendo presente la [2],

che rapprescnta la soluzione dell’equazione [5], cioé l ’espressione esplicita del tasso di risparmio.

A ffinchè il tasso di risparmio [8], ottenuto in base alia definizione da noi assunta, possa effettivam ente applicarsi in pratica, biso- gnerebbe che risultasse indipendente d all’epoca di riferim ento finanziario Q ualora esso dipendesse da 9- sarebbe artificioso applicare in pratica la nota scomposizione del premio in premio di rischio e premio di risparmio. Infatti per determ inare il valore dei premi di risparmio da capitalizzare occorrerebbe fissare a p rio ri l ’epoca di riferimento finanziario e in tal caso la riserva m atem ática e l’accumulo dei premi di risparmio cosi determ inati, se pur coincidessero per l’epoca di riferim ento finanziario fissata 9-, non coinciderebbero piú in generale per un ’epoca 9-, diversa da 8-.

Potrebbe interessare la ricerca delle condizioni per cui il secondo membro della [8] risulti indipendente da 8- per qualsiasi modo di prelevam ento delle somme assicurate. A ll’uopo valgano le seguenti considerazioni.

(11)

SulVequazione del premio di risparmio, ecc. ? N otiam o anzitutto come un premio di risparmio negativo possa sempre essere interpretato, dal punto di vista finanziario, come differenza tra due premi di risparmio ambedue positivi dovuti a due di- stinti capitali accu m u latr basta considerare G (x , 9) come differenza di due funzioni G l ( x , 9) e G x ( x , 9) ambedue positive (le quali daranno quindi premi di risparmio positivi), relative a due diverse assicurazioni, análogam ente a quanto é stato fatto, relativam ente ai premi negativi, dal Cantelli nel n. 2 del secondo lavoro citato «>. Potremo quindi considerare, in base all’interpretazione accennata, qualsiasi sistem a di prelevam ento, anche che dia luogo a premi di risparmio negativi.

Ció premesso, possiamo dim ostrare c h e :

L a condizione necessaria e suficiente perche i l tasso d i risparmio sia indipendente dalVepoca d i riferimento finanziario ■& p er qualsiasi modo d i prelevamento delle somme assicurate e la scindibilita della legge d i

capitalizzazione.

L a sufficienza della condizione e im m ediata: se in fatti la legge di capitalizzazione é scindibile, il valore di U ( t , ■9-) e di s ( t , 9^{-) non} dipende dal modo di prelevam ento; si ha allora

[3'] G ( t , 9) = [tc (/ )— y (t) U ( t ) - s (t)] L ( t , V) = G (/) L ( t , 9) e quindi, sostituendo nella [8],

x

[8'] P ( x ) — G (x) + ? ( x ) J ( 0^dt.

o

Passiam o a dim ostrare la proposizione reciproca.

D ire che il tasso di risparmio sia indipendente d all’epoca di rife

rim ento finanziario 9 equivale a dire che, per qualsiasi valore di x e di 9, con x ^ 9, l ’espressione

[9] P * (x) - P x (x) = ~ G ( x , x ) +

o deve risultare nulla.

(12)

IO S. Kołodziejczyk.

Fissata u n ’epoca a ^ 9-, consideriamo per ił periodo o ^ x ^ a un particolare prelevam ento, tale che risulti

Sostituendo la [10] nella [9] e ponendo in questa x = a, risulta che deve essere eguale a zero 1’espressione

L a leggc di capitalizzazione risulta quindi scindibile per il valore a considérate; m a essendo a arbitrario, ne segue il teorema.

3. L a generalizzazione dello schéma finora trattato al caso giá indicato delle riserve discontinúe si ottiene supponendo che gli assicurati ricevano, oltre le somme già m enzionate, delle somme finite J/(8-) alie seadenze degli anni * = 1 , 2 , • • •

A llora l’equazione [4] della riserva si generalizza nell’equazione e quindi

[10] £ ( * , * ) = , «)] r A « A ■9^'.

a

o

dalla quale si ricava, essendo — 9*)^ ^ o, X(cc)

X

o

X

x^i<x O

la cui soluzione x

o

puo essere discontinua nei punti x = i , 2 , • • •

(13)

SulVequazione del premio di risparmio, ecc.

In tal caso il tasso di risparmio é definito solo nei punti di conti- nuitá di R (x , 9-), m ediante la relazione]

í R ( -x ' ^

m entre nei punti di discontinuita risulta infinito; in tali punti si potra invece parlare di un premio di risparmio, in base alie considerazioni del numero successivo.

4. Passiamo ora a trattare il problema nei campo totalm ente discontinuo, supponendo che le elim inazioni avven gan o alia fine di ogni anno. G li assicurati paghino a ll’epoca * - f o (i = o , 1 , * - •) il premio n¡ e ricevano a ll’epoca i + 1 — o la somma si (&) se sono ancora assicurati, la frazione A,- della riserva accum ulata se sono elim inati tra le epoche i , i -f- x per la causa (a) o la somma U¡ (&) se sono elim inati, tra le stesse epoche, per la causa (y).

Indichiam o con U la tavola di appartenenza al gruppo e con q¡ e gi le probabilitá di elim inazione per le cause (a) e (y) e con i?, (-9-) la riserva accum ulata all’epoca i — o, dopo avvenute le elim i

nazioni.

A llora l ’equazione della riserva risulta

t ma O í «a o

¡9) = G0 («■) do ve si c posto

F ¡ = q , A i ,

(i — Gi (£) = (1 Fi) L (i , 9-) — (1 q, - gi) sí (*) — gi Ui (&).

T a le equazione, come é noto e come si determ ina fácilm ente per m ezzo del calcólo delle differenze finite, am m ette per única soluzione l’espressione

* » ( * ) = " ¿ l 4 ■' G i ( & ) , « = 0 , 1 , 2 , . . . 9)

¿ = O

9) Per ottenere direttamente la [13J, senza ricorrere all’equazione alie diffe

renze finite [12], cfr. I. M E S S I N A , L e probabilita parziali nella matemática attua- riale. « Bollettino di Notizie sul Crédito e sulla Previdenza», luglio-dicembre 1915, pag. 66 e seg.; La teoría degli accum uli esposta in modo elementare, o Giornale degli Economisti e Rivista di Statistica », Febbraio 1925.

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12 ■S. Kołodziejczyk.

nella quale i valori X,-, forniti dalla relazione

_ h-__________

A' ( i —

F 0)(i— F i)...{x— FÍ)

’

costituiscono la ta vola 'd i mutualita per il caso discontinuo.

In questo caso discontinuo il premio di risparmio all’epoca n viene definito come una funzione P„, & tale che sia, per qualsiasi valore n,

Rn($) = ny¿ P i , * L ( i , V ) .

j»o

Si ricava allora che deve essere

R„ , ffl) - Rn ffl)

e quindi, sostituendo a R„ + I (&) e R „ ( & ) i valori forniti dalla [13], si ottiene l'espressione d el premio d i risparmio

Gn («•) , <?« ^ X,’ G:(P)

dove

A»

indicano rispettivam ente le probabilita d i permanenza attiva e d i eli- minaziojie attiva d el gruppo.

Si dim ostra infinc, análogam ente a quanto é stato fatto nel caso continuo, che la condizione necessaria e sufficiente perché il premio di risparmio sia indipendente d all’epoca di riferim ento finanziario •&, per qualsiasi sistem a di prelevam ento delle somme assicurate, é la scindibilitá della legge di capitalizzazione.

Per com pletare l ’argom ento, notiam o come gli altri casi, contem - planti il pagam ento delle somme assicurate al m omento della elimi- nazione, il pagam ento dei premi per frazioni di anno, ecc., vengono tra tta ti seguendo un procedim ento análogo a quello da noi indicato, che condurrebbe a formule della stessa form a di quelle determ inate.

Si potrebbero riunire tu tti questi procedim enti in uno solo, serven- dosi della nozione di intégrale di Stieltjes, m a tali considerazioni escono fuori dello scopo del presente lavoro.

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A V V E R T E N Z E

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