• Nie Znaleziono Wyników

Wybrane zagadnienia stabilności układów liniowych o zmiennych w czasie parametrach

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Wybrane zagadnienia stabilności układów liniowych o zmiennych w czasie parametrach"

Copied!
92
0
0

Pełen tekst

(1)

AUTOMATYKA

Z. 128

GLIWICE 2000

(2)

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

ZESZYTY NAUKOWE Nr 1464

Andrzej POLAŃSKI

WYBRANE ZAGADNIENIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

O ZMIENNYCH W CZASIE PARAMETRACH

GLIWICE 2000

(3)

O PIN IO D A W C Y

Prof. d r hab. inż. P io tr G rabow ski Prof. dr hab. inż. Jacek K udrew icz

K O LE G IU M R E D A K C Y JN E

R E D A K T O R N A C Z E L N Y - Prof. d r hab. Z ygm unt K leszczew ski R E D A K T O R D ZIA ŁU - D r inż. A nna Skrzyw an-K osek S E K R E T A R Z R ED A K C JI - M gr E lżbieta Leśko

R E D A K C JA M gr K azim iera S zafir

R E D A K C JA T E C H N IC Z N A A licja N ow acka

W ydano za zg o d ą R ektora P olitechniki Śląskiej

PL ISSN 0434-0760

W ydaw nictw o P olitechniki Śląskiej ul. A kadem icka 5, 44-100 G liw ice

tel./fax 237-13-81, w w w .w ydaw nictw o.polsl.gliw ice.pl, w ydaw nictw o@ polsl.gliw ice.pl

N akład 110+83 egz. A rk. w yd. 15. A rk. dru k . 11,25. P a p ie r o ffse t, kl III 7 0 x 1 0 0 80 g Oddano i podpisano do druku 22.05.2000 r. Druk ukończono w maju 2000 r.

Zam. 20/2000

F otokopie, druk i opraw ę w ykonano w U K iP sc, J d t ) Gę b k a , G liw ice, ul. P szczyńska 44, tel./fax 231-87-09

S p is tr e ś c i

W s t ę p 11

1. U k ł a d y lin io w e o z m i e n n y c h w c z a s ie p a r a m e t r a c h 15

1.1. M odel z m ia n p a ra m e tró w w c z a s ie ... 15

1.2. D efinicje s ta b iln o ś c i... 16

1.3. S form ułow anie rozw ażanych p r o b le m ó w ... 18

1.4. In k lu zje r ó ż n i c z k o w e ... 18

1.5. M odelow anie u kładów o zm ien n y ch w czasie p a r a m e t r a c h ... 19

1.5.1. O bw ód R L C ... 19

1.5.2. W a h a d ł o ... 21

1.5.3. O dw rócone w ah a d ło ... 23

1.5.4. K o m p a rtm e n ta ln y m odel w zro stu kom órek now otw orow ych . . . 24

1.5.5. U k ła d y regulacji a u t o m a t y c z n e j ... 25

2 . Z a s t o s o w a n i a t e o r i i F l o ą u e t a 31 2.1. T w ierd ze n ie F l o ą u e t a ... 31

2 .1. 1. O k r e ś le n ia ... 33

2.1.2. W aru n ek a s y m p to ty c zn e j stab iln o ści ... 33

2.1.3. P rz y p a d e k r z e c z y w i s t y ... 34

2.1.4. P r z y k ł a d ... 35

2.2. N u m ery c zn e o b liczanie m u ltip lik a to r ó w ... 36

2 .2 .1. W a h ad ło o ru ch o m y m p u n k cie z a w i e s z e n i a ... 37

2.2.2. O dw rócone w ah a d ło o ru ch o m y m p u n k cie p o d p a rc ia ... 39

2.2.3. U k ład regulacji z za le żn ą o d czasu nieliniow ością se k to ro w ą . . . 41

2.3. R ezo n an s p a r a m e tr y c z n y ... 43

2.3.1. C zęstotliw ości k ry ty c z n e rez o n an su p a r a m e t r y c z n e g o ... 45

2.3.2. P r z y k ł a d ... 48

2.4. Uwagi i k o m e n ta r z e ... 51

3 . K w a d r a t o w e f u n k c je L a p u n o w a 53 3.1. U k ła d liniow y o sta ły c h w s p ó łc z y n n ik a c h ... 54

(4)

4 Spis treści

3.2. A b s o lu tn a sta b iln o ść i n i e s t a b i l n o ś ć ... 57

3.3. W a ru n k i n ie is tn ie n ia w spólnych funkcji L a p u n o w a ... 60

3.4. L iniow e nierów ności m a c ie r z o w e ... 61

3.5. P rz y k ła d y o b lic z e n io w e ... 63

3.5.1. W a h a d ło o ru c h o m y m p u n k cie z a w i e s z e n i a ... 63

3.5.2. O d w ró co n e w ah a d ło o ru c h o m y m p u n k cie p o d p a rc ia ... 64

3.5.3. K askadow y u k ła d regulacji ze z m ien n y m i w zm o c n ie n ia m i . . . . 66

3.6. K ry te r ia c z ę s to tliw o ś c io w e ... 69

3.6.1. N ierów ność m a c ie rz o w a ... 69

3.6.2. L e m a t K a lm a n a - Ja k u b o w ic z a - P o p o v a ... 70

3.6.3. C zęstotliw ościow e k r y te ria a b so lu tn e j s t a b i l n o ś c i... 72

3.6.4. C zęstotliw ościow e k r y te r ia ab so lu tn e j n i e s t a b i l n o ś c i ... 78

3.6.5. K ry te riu m P o p o v a ... 80

3.7. P rz y k ła d y o b lic z e n io w e ... 86

3.7.1. U k ła d z p o d w ó jn y m całkow aniem i k o re k to re m P D ... 87

3.7.2. K askadow y u k ła d regulacji ze zm ien n y m i w z m o c n ie n iam i . . . . 89

3.8. U w agi i k o m e n t a r z e ... 92

4 . W i e l o ś c i e n n e i p r z e d z i a ł a m i lin io w e f u n k c j e L a p u n o w a 9 3 4.1. O sła b ie n ie z a ło ż e n ia o gładkości funkcji V ( x ) w tw ie rd z e n ia c h L ap u n o w a 94 4.1.1. O b lic za n ie p o ch o d n y c h D i n i e g o ... 96

4.2. Z astosow anie w yp u k łej funkcji L ap u n o w a do p ro b le m u a b s o lu tn e j s ta ­ bilności ... 96

4.3. N o rm a ja k o fu n k cja L ap u n o w a d la u k ła d u lin io w e g o ... 100

4.3.1. N o rm a m a c ie r z y ... 101

4.3.2. N o rm a lo g a ry tm ic z n a m a c i e r z y ... 102

4.3.3. W a ru n k i w y s ta r c z a ją c e ... 104

4.3.4. W a ru n k i k o n i e c z n e ...105

4.3.5. P rz e strz e n ie o w łasności S ... 107

4.3.6. K o n s tru k c ja funkcji L ap u n o w a z a d a n y c h p rze z n o rm ę d la u k ła d u lin io w e g o ...109

4.4. A n a liz a a b so lu tn e j s t a b i l n o ś c i ... 118

4.4.1. K o n stru k ty w n y dow ód tw ie rd z e n ia M ołczanow a P ia tn ic k ie g o . . 119

4.4.2. S k a lo w a n ie ...123

4.4.3. W a ru n e k w y sta rc z a ją c y a b so lu tn e j s t a b i l n o ś c i ... 123

4.4.4. P rz y k ła d o b l i c z e n i o w y ... 124

4.5. W ielo ścia n definiow any przez lis tę w i e r z c h o łk ó w ... 126

4.6. Z a g a d n ie n ia o b lic z e n io w e ... 128

4.6.1. K ro k 1 ... 130

Spis treści_______________________________________________________ _J> 4.6 .1 . K ro k 1 ... 130

4.6 .2. K ro k 2 ... 131

4.6 .3. K rok 3 ... 132

4.7. P rz y k ła d y o b lic z e n io w e ... 134

4.7.1. K askadow y u k ła d regulacji ze zm ien n y m i w zm o c n ie n iam i . . . . 134

4.7.2. U k ład z p o d w ó jn y m całkow aniem i k o re k to re m P D ... 134

4.8. P rz e d z ia ła m i liniowe funkcje L a p u n o w a ... 136

4.8 .1. D efinicja p rze d z ia ła m i liniowej fu nkcji L ap u n o w a ...137

4.8 .2. P o c h o d n a w zdłuż t r a j e k t o r i i ... 139

4.8 .3. P o c h o d n a we w n ę trz u sto żk a C m ... 140

4.8 .4. P o c h o d n a d la p rom ieni X k ... 140

4.8.5. N ieciągłość ... 141

4.8 .6. W ek to ry p ochodnych funkcji V ( x ) ...141

4.8 .7. A b so lu tn a sta b iln o ść i a b s o lu tn a n i e s t a b i l n o ś ć ... 142

4.8 .8. P r z y k ł a d ... 145

4.9. S tra te g ie d e s t a b i l i z u j ą c e ...147

4.10. O b lic za n ie funkcji V ( x ) ... 149

4.10.1 . T w ie rd z e n ia o istn ie n iu stra te g ii d e s ta b i liz u j ą c e j... 150

4.1 0.2 . S k a lo w a n ie ... 152

4.1 0.3 . P rz y k ła d obliczeniow y - kaskadow y u k ła d reg u lacji ...154

4.11. U w agi i k o m e n ta r z e ...156

5. P o d s u m o w a n i e 161 5.1. M e to d y b az u ją ce n a teo rii F l o ą u e t a ... 161

5.2. Z astosow anie kw ad rato w y ch funkcji L a p u n o w a ... 163

5.3. W ielościenne i p rze d zia łam i liniowe fu nkcje L a p u n o w a ...164

L i t e r a t u r a 1 6 7

S t r e s z c z e n i e 1 7 7

(5)

C o n te n ts

I n t r o d u c t i o n 11

1. L i n e a r s y s t e m s w i t h t i m e - v a r y i n g p a r a m e t e r s 15

1.1. M odel of p a ra m e te rs t i m e - c h a n g e ... 15

1.2. S ta b ility d e f i n i t i o n s ... 16

1.3. F o rm u latio n s of th e an a ly z ed p r o b l e m s ... 18

1.4. D ifferential in c lu s io n s ... 18

1.5. M odeling of sy stem s w ith tim e-v ary in g p a r a m e t e r s ... 19

1.5.1. R L C c i r c u i t ... 19

1.5.2. P e n d u l u m ... 21

1.5.3. In v e rte d p e n d u l u m ... 23

1.5.4. C o m p a rtm e n ta l m o d el of n eo p lastic cells g r o w t h ... 24

1.5.5. A u to m a tic co n tro l s y s t e m s ... 25

2. A p p l i c a t i o n s o f F l o q u e t t h e o r y 31 2.1. F lo q u e t th e o re m ... 31

2.1.1. D e fin itio n s ... 33

2.1.2. A sy m p to tic s ta b ility c o n d i t i o n ... 33

2.1.3. R eal case ... 34

2.1.4. E x a m p l e ... 35

2.2. N u m eric al ca lc u latio n of L yapunov e x p o n e n t s ... 36

2.2.1. P e n d u lu m w ith tim e-v ary in g p o sitio n of th e sw ing p o in t . . . . 37

2.2.2. In v e rte d p e n d u lu m w ith m obile f u l c r u m ... 39

2.2.3. C o n tro l sy stem w ith tim e-v ary in g se cto r n o n l i n e a r i t y ... 41

2.3. P a ra m e tric r e s o n a n c e ... 43

2.3.1. C ritic a l frequencies of p a ra m e tric r e s o n a n c e ... 45

2.3.2. E x a m p l e ... 48

2.4. R e m a rk s a n d c o m m e n t s ... 51

3 . Q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n s 53 3.1. L inear tim e -in v a ria n t s y s t e m ... 54

(6)

3.2. Absolute stability and absolute i n s t a b i l i t y ... 57

3.3. Conditions th a t exclude existence of simultaneous Lyapunov function . 60 3.4. Linear m a trix inequalities ... 61

3.5. Num erical exam p les... 63

3.5.1. Pendulum w ith tim e-varying position of the swing point . . . . 63

3.5.2. Inverted pendulum w ith mobile fulcrum ... 64

3.5.3. Cascaded control system w ith tim e-varying gains ... 66

3.6. Frequency c r ite r ia ... 69

3.6.1. M a trix in e q u a lity ... 69

3.6.2. K alm an a - Yakubovich - Popov l e m m a ... 70

3.6.3. Frequency criteria of absolute s t a b i l i t y ... 72

3.6.4. Frequency criterion of absolute instability ... 78

3.6.5. Popov c r i t e r i o n ... 80

3.7. Num erical exam ples... 86

3.7.1. Double integrator w ith a phase lead e le m e n t ... 87

3.7.2. Cascaded control system w ith tim e-varying gains ... 89

3.8. Remarks and c o m m e n ts ... 92

4. P o ly h e d r a l a n d p ie c e w is e lin e a r L y a p u n o v fu n c tio n s 93 4.1. Dropping the assumtion of smoothness of the function V( x) in Lyapunov th e o re m s ... 94

4.1.1. Calculating D ini d e r iv a tiv e s ... 98

4.2. Application of convex Lyapunov function to the absolute stab ility problem 96 4.3. Norm as a Lyapunov function for linear system ... 100

4.3.1. M a trix n o r m ...101

4.3.2. Logarithm ic m a trix norm ... 102

4.3.3. Sufficient conditions ...104

4.3.4. Necessary c o n d itio n s ...105

4.3.5. Spaces with S p ro p e r ty ... 107

4.3.6. Construction of Lyapunov function defined by norm for linear s y s te m ... 109

4.4. Absolute stability a n a ly s is ... 118

4.4.1. Constructive proof of Molchanov - P yatnitskii t h e o r e m ... 119

4.4.2. S c a lin g ... 123

4.4.3. Sufficient condition for absolute s t a b i l i t y ... 123

4.4.4. Num erical e x a m p le ...124

4.5. Polyhedron defined by a list of v e r t ic e s ...126

4.6. Com putational a s p e c ts ... 128

4.6.1. Step 1 ...130

g___________________________________________________________________________Contents 4.6.2. S tep 2 ... 131

4.6.3. S tep 3 ... 132

4.7. N u m eric al e x a m p le s ...134

4.7.1. C ascaded co n tro l sy stem w ith tim e -v a ry in g gains ... 134

4.7.2. D ouble in te g ra to r w ith a p h ase le ad e l e m e n t ...134

4.8. P iecew ise lin e a r L yapunov f u n c ti o n s ... 136

4.8.1. D efinition of a piecew ise lin e a r L yapunov f u n c t i o n ... 137

4.8.2. D eriv ativ e along t r a j e c t o r y ... 139

4.8.3. D eriv a tiv e inside th e cone C m ...140

4.8.4. D eriv ativ e for rays X k ... 140

4.8.5. D i s c o n t i n u i t y ...141

4.8.6. V ectors of deriv ativ es of th e fu n ctio n V ( x ) ... 141

4.8.7. A b so lu te s ta b ility a n d ab so lu te i n s t a b i l i t y ... 142

4.8.8. E x a m p l e ... 145

4.9. D estab ilizin g s t r a t e g i e s ... 147

4.10. C a lc u la tin g th e fu n ctio n V ( x ) ...149

4.10.1. T h eo rem s on th e ex iste n ce of d estab ilizin g stra te g ie s ... 150

4.10.2. S c a l in g ...152

4.10.3. N u m eric al e x a m p le - cascad ed co n tro l s y s t e m ... 154

4.11. R e m a rk s an d c o m m e n t s ... 156

5 . C o n c l u s i o n 161 5.1. M e th o d s b asing on F lo q u e t th e o ry ... 161

5.2. A p p lic a tio n of q u a d ra tic L yapunov f u n c i t o n s ... 163

5.3. P o ly h e d ra l an d piecew ise lin e ar L yapunov f u n c t i o n s ...164

R e f e r e n c e s 1 6 7

Contents_______________________________________________________________ __9

S u m m a r y 17 7

(7)

W s tę p

P rz e d m io te m niniejszej p rac y są z a g ad n ien ia zw iązane ze sta b iln o śc ią u kładów opi­

syw anych p rzez liniow e ró w n a n ia różniczkow e o zm ien n y ch w czasie w spółczynnikach.

M odele b a d a n y c h u k ład ó w w y k o rzy stu jące zapis w p o sta c i ró w n a ń s ta n u m o ż n a p rze d ­ staw ić n a stęp u jąco :

x = A ( t ) x . (0.1)

W p rze d staw io n y m w zorze x 6 BJ1 je s t n-w y m iaro w y m w ek to re m s ta n u , A( t ) € R nxn - z m ie n n ą w czasie m a c ie rz ą sta n u .

G dy m a cie rz s ta n u je s t s ta ła i z n a n a ( A ( t ) — A — c o n st), to (0.1) re d u k u je się do u k ła d u ró w n ań różniczkow ych liniow ych o sta ły c h w spółczynnikach, d la którego istn ieje k o m p le tn a te o ria stab iln o ści (np. [46], [45], [25], [23]).

Jeśli p rzebiegi czasowe opisujące zm ian y p a ra m e tró w są zn a n e (z n a n a je s t fu nkcja A( t ) ) , to m o żn a, czasem an a lity cz n ie, a zaw sze n u m e ry c zn ie , w yznaczyć rozw iązanie d la dow olnego w aru n k u początkow ego x( t o) i w te n sposób z b a d a ć w łasności u k ła d u (0.1). D la zm ian p a ra m e tró w opisyw anych przez funkcje okresow e is tn ie ją p o n a d to tw ie rd z en ia w iążące sta b iln o ść z w artościam i w łasn y m i pew n y ch , m ożliw ych do n u m e­

rycznego w yzn aczen ia, m acierzy (m acierzy m o n o d ro m ii). T w ie rd z e n ia ta k ie uzyskuje się n a b azie teo rii F lo ą u e ta (np. [25], [23], [129]).

Z n ajo m o ść d o k ła d n y ch przebiegów czasow ych funkcji o p isu jąc y ch zm ia n y p a ra m e ­ trów często je d n a k nie m oże być p rz y ję ta za w iary g o d n e zało żen ie p rzy opracow yw a­

niu m o d e lu u k ła d u dynam icznego. W celu z b a d a n ia w łasności u k ła d u lub popraw ności k o n stru k cji konieczne okazuje się p rzeanalizow anie zachow ania się u k ła d u nie d la jednej funkcji, lecz d la całej klasy (rodziny) funkcji o p isu jący ch d o p u sz cz aln e zm ia n y p a ra m e ­ trów . P rz y ty m , k la sa ty c h funkcji m oże być definiow ana w ró żn y sposób, co prow adzi do różnego ty p u problem ów . P ro b le m y ta k ie m o g ą być ju ż zn a cz n ie tru d n ie jsz e do ro zw ią zan ia zarów no analityczego, ja k i n um erycznego. W ie d z a o w łasnościach tego ty p u u k ład ó w je s t bard ziej ograniczona, a szereg za g ad n ień p o z o s ta je n a d a l o tw ar­

ty ch . B a d an ie ta k ic h u kładów je s t je d n y m z w ażnych kierunków w spółczesnej teorii system ów . P ośw ięcona je s t im o b sz ern a lite r a tu r a , m ięd zy in n y m i w y m ien io n e poniżej m onografie lu b ich fragm enty.

W [129], [25], [23], [67], [52], [1] m o ż n a znaleźć w yniki d o ty c zą ce sta b iln o śc i u k ła d u (0.1), b a z u ją c e n a zastosow aniach teorii F lo ą u e ta . U k ład y o zm ien n y c h p a ra m e tra c h

(8)

12 W stęp

m o ż n a m od elo w ać w p o sta c i inklu zji różniczkow ych, k tó ry m p o św ięcone są p ra c e [3], [4], [122]. Z asto so w an ia te o rii sta b iln o śc i L ap u n o w a do b a d a n ia u k ła d ó w ze zm iennym i p a r a m e tr a m i o p isa n e są w [25], [23], [39], [83], [107]. W [61] (zob. ta k ż e a rty k u ły [38], [99], [121]) p rz e d sta w ia się w y k o rz y sta n ie do a n a liz y w łasności u k ła d u (0.1) m e to d o p ty m a liz a c ji d y n am icz n ej.

R ozw ój m e to d o lo g ii b a d a ń u k ła d u (0.1) in spirow any je s t p rze z szereg ró żn o ro d ­ nych zastosow ań. D o n a jsta rsz y c h n a le ż ą te o ria d rg a ń [67] oraz te o ria u k ład ó w H am il- tonow skich w m e ch a n ice [129]. G łów nym p o d ejściem sto so w an y m w ty c h d ziedzinach je s t w y k o rz y sta n ie te o rii F lo ą u e ta i ró żn o ro d n y ch w yników a n a lity c z n y c h n a jej bazie w y p ro w ad zan y ch . Szeroki o b szar b a d a ń n a d w pływ em z m ia n p a ra m e tró w n a w łasn o ś­

ci sy ste m u (0.1) sta n o w ią u k ła d y ste ro w a n ia au to m a ty c z n e g o , o m a w ian e n p . w [109], [49], [98] [61], [119], [58], [35], [51]. S to su je się tu ró żn o ro d n e m e to d y , m ię d zy innym i te o rię sta b iln o śc i L apunow a, m e to d y częstotliw ościow e, a ta k ż e w yniki ogólnej teo rii sy stem ó w oraz a n a liz y fu n k cjo n aln ej. Te o s ta tn ie p o z w a la ją b a d a ć sta b iln o ść u k ła ­ dów niesk o ń czen ie w ym iarow ych, np. system ów z o p ó źn ien ia m i lu b linii d łu g ic h [51], [35]. W te o rii ste ro w a n ia au to m a ty c z n e g o w ażne m iejsce z a jm u je ta k ż e b a d a n ie s ta ­ bilności u k ła d ó w p o sta ci (0 .1) o b ard z o w olno zm ien n y ch p a ra m e tr a c h lu b te ż rodzin n ie zm ien n y c h w czasie układów liniow ych, k tó ry c h p a r a m e try p rz e b ie g a ją p ew n ie n za­

kres. T akie p ro b lem y m o ż n a uw ażać za g ra n ic z n ą p o sta ć pow yżej o p isyw anych. W yniki z tej d zied zin y m o ż n a znaleźć w [6], [20].

W niniejszej p rac y om ów iony je s t pew ien w y b ó r z a g a d n ie ń p o ru sz a n y c h w lite ra ­ tu rz e . W iększość w yników do ty czy k o n k retn e g o m o d e lu z m ia n p a ra m e tró w w czasie dok ład n iej opisanego w n a s tę p n y m rozdziale. W m o d e lu ty m p a r a m e tr y z a d a n e są m ie rzaln y m i fu n k cja m i czasu o w arto ściach w pew nych z a d a n y c h zb io ra ch w ielościen­

nych. D la u k ład ó w z przed staw io n ej klasy b a d a się p o d staw o w e z a g a d n ie n ie stab iln o ści u k ła d u (0.1). W aspekcie m ożliw ości z m ian p a ra m e tró w w czasie z a g a d n ie n ie s ta b il­

ności ro z b ija się n a n a s tę p u ją c e p ro b lem y częściowe. D la ja k ie j k la sy fu n k cji lu b d la ja k ieg o z a k resu d opuszczalnych z m ia n p a ra m e tró w u k ła d (0 . 1) zaw sze p o z o s ta je s ta ­ biln y (n ie sta b iln y ) ? D la ja k ic h z m ia n (przebiegów czasow ych) p a ra m e tró w u k ła d u (0 . 1) n a s tę p u je u t r a t a sta b iln o śc i ?

R ozw aża się d w a sposoby p o d ejścia do p rze d staw io n y c h pro b lem ó w . P ierw szy z nich o b e jm u je w yniki w yw odzące się z te o rii F lo ą u e ta . P o d staw o w y m za ło ż en ie m w ty m p o d ejściu je s t okresow ość zm ian p a ra m e tró w w czasie. Z p ra k ty c z n e g o p u n k tu w idze­

n ia zało żen ie o okresow ości nie je s t je d n a k o g ran ic ze n iem d la u zy sk iw an y c h re z u lta tó w , d la teg o że sy g n a ły okresow e sta n o w ią b ard z o szeroką klasę p o b u d z e ń . D ru g ie podejście tw o rzą m e to d y w y k o rz y stu ją ce tw ie rd z e n ia teo rii sta b iln o śc i L apunow a. P od staw o w a id e a p o le g a n a d o b ra n iu ta k iej funkcji (funkcji L ap u n o w a), k tó rej p o c h o d n a w zdłuż t r a ­ je k to rii sy ste m u ( 0 .1) je s t, niezależnie od z m ian w artości p a ra m e tró w z a d an y c h przez A ( t ) , fu n k c ją określonego zn a k u . N ajw ięcej re z u lta tó w p u b lik o w a n y ch w lite r a tu rz e do­

W stęp 13

ty czy funkcji L apunow a zadaw anych przez form y k w ad rato w e lu b fo rm y kw ad rato w e z d o d atk o w y m i sk ła d n ik a m i całkow ym i. S tosuje się ta k ż e fu n k cje L ap u n o w a zadaw ane n ie p a ra m e try c z n ie , p rzez n o rm y lu b funkcje in d ukow ane zb io ra m i w ielościennym i, a ta k ż e przez fu n k cje definiow ane p rze d zia łam i.

P rz e d sta w ia się ta k ż e pew ne w yniki d o ty czące innych m odeli z m ia n p ara m etró w u k ła d u (0.1) niż podstaw ow y m odel założony w pracy. W ich sk ła d w ch o d zą tw ierd ze­

n ia teo rii rez o n an su p ara m e try c z n e g o oraz m e to d a P opova. W y n ik i te o rii rezonansu p a ra m e try c z n e g o p o zw a lają skom entow ać i u za sa d n ić p ew n e w łasności zaobserw ow a­

nych zależności w y k ład n ik a L apunow a u k ła d u od p a ra m e tró w p o b u d z e n ia . Z kolei a r­

g u m e n te m z a p rze d staw ie n ie m tw ie rd z en ia P opova je s t sposób jego w y p ro w ad zen ia (z zastosow aniem funkcji L apunow a) analogiczny do m e to d za p reze n to w an y c h w pracy, a ta k ż e m ożliw ość zo brazow nia w pływ u intensyw ności p o b u d z e n ia p a ra m e try c z n e g o n a w arunki sta b iln o śc i u k ła d u (0 .1).

W pracy, o p isu jąc m e to d y b a d a n ia u k ła d u (0.1), s ta ra n o się przean alizo w ać specy­

fikę oraz zak res stosow alności różnych podejść. P rz ed sta w io n o sy tu a c je , gdy zastosow a­

nie różnych m e to d d a je rów now ażne rez u ltaty . D la p rzy k ła d o w y ch z a d a ń w ykonyw ano obliczenia n u m e ry c zn e i sy m u lacje ilu s tru ją c e opisyw ane m eto d y . A nalizę przykładów obliczeniow ych realizow ano z w y k o rzy stan iem o p ro g ra m o w an ia do obliczeń naukow ych i inży n iersk ich , przed e w szystkim ze środow iska M a tla b - S im ulink. W ykorzystyw ano ta k ż e sp ecja listy cz n e o program ow anie p rzeznaczone do ro zw iązy w an ia duży ch p ro b le­

m ów p ro g ra m o w an ia liniowego. S ta ra n o się te sa m e p rz y k ła d y konty n u o w ać p rzez kilka rozdziałów , co u ła tw ia w yrobienie sobie pogląd u n a za le ty i w ady o pisyw anych podejść, a ta k ż e p ozw ala p orów nać różne m etody. A n aliza obliczeniow a zw ykle p o zw a la głębiej zro zu m ieć rozw ażany p ro b lem , a n ie jed n o k ro tn ie d o strze c now e fa k ty i praw idłow ości.

D a je dośw iadczenia dotyczące sto p n ia tru d n o ści problem ów i złożoności obliczeniow ej algorytm ów . U m ożliw ia porów nyw anie różnych m e to d . P o k azu je te ż p o p e łn ia n e błędy.

C zęść z przed staw io n y ch m e to d analizy stab iln o ści u k ła d u (0.1) po ch o d zi z orygi­

nalnych publikacji a u to ra pracy. N ależą do nich p rze d e w szy stk im r e z u lta ty p rz e d sta ­ w ione w rozdziale cz w arty m , dotyczące zastosow ania funkcji w ielościennych oraz p rze­

d ziałam i liniow ych. Z eb ran ie i u sy stem aty zo w an ie w yników k ilk u pub lik acji pozw oliło n a stw orzenie k o m p le tn e j m edotologii obliczeniow ej b a d a n ia u k ła d u (0 .1). S tw orzona m e to d o lo g ia je s t p ra k ty c z n y m rozw inięciem tw ierd zeń sform u ło w an y ch po raz pierw ­ szy przez M ołczanow a i P iatn ick ieg o [115], [116], [62]. W o ry g in aln y ch sform ułow a­

n iach tw ie rd z e n ia te prow adziły do m acierzow ych w arunków a lg eb raic zn y c h , k tó ry ch nie u d aw a ło się p ra k ty c z n ie spraw dzać. W publikacjach [70]-[74] p rz e d sta w io n e zo stały m e to d y , k tó re p o zw a lają num ery czn ie weryfikować w arunki M ołczanow a i P iatn ick ie g o (oraz ich ro zw inięcia), a ta k ż e w yznaczać n a ich p o d sta w ie o d p o w ied n ie w ielościenne lub p rze d z ia ła m i liniowe funkcje Lapunow a. W prow adzone m e to d y n u m e ry c z n e głów ­ nie w y k o rz y stu ją a lg o ry tm pro g ram o w an ia liniowego. U k ład p ra c y o raz p rz e b a d a n ie

(9)

14 W stęp

szeregu p rz y k ła d ó w obliczeniow ych p o zw a lają w w y cz erp u jąc y sposób p o ró w n ać pro ­ pono w an e m e to d y obliczeniow e z in n y m i p o d ejściam i z n a n y m i z lite ra tu ry .

U k ład p ra c y je s t n a stę p u ją c y . W rozdziale p ierw szy m z e b ra n e są z a g a d n ie n ia w pro­

w ad z a ją c e do dalszej p ro b le m a ty k i. O p isan y je s t m o d el z m ia n p a ra m e tró w w ykorzy­

sty w a n y w p ra c y oraz sfo rm u ło w an a je s t lis ta p roblem ów ro zw ażan y ch w pracy. P o d an e są ta k ż e p rz y k ła d y m o d e lo w an ia u kładów fizycznych, k tó re z a w ie ra ją z m ie n n e w cza­

sie p a ra m e try . W a żn a część p rze d staw io n y c h p rzy k ła d ó w d o ty c zy z m ia n p a ra m e tró w w u k ła d a c h ste ro w a n ia. W rozdziale d ru g im o m a w ia się za sto so w a n ie te o rii F lo ą u e ta do b a d a n ia sta b iln o śc i u kładów o okresow o zm ien n y ch p a r a m e tr a c h . W ro zd ziałach trz e c im i cz w a rty m an a liz u je się sta b iln o ść u k ła d u (0.1) z za sto so w a n iem fu nkcji La- punow a. R o z d ział trze ci pośw ięcony je s t k w ad rato w y m (p a ra m e try c z n y m ) funkcjom L apunow a. P rz e d sta w io n o t u ta k ż e zw iązan e z ty m p o d e jśc ie m w a ru n k i częstotliw oś­

ciowe sta b iln o śc i. W ro zd ziale cz w arty m om aw ia się n ie p a ra m e try c z n ie definiow ane fu n k cje L ap u n o w a, zad aw an e w p o sta c i funkcji w y p u k ły ch , n o rm , fu n k cji in dukow a­

nych przez hiperw ielościany, a ta k ż e fu nkcji p rz e d z ia ła m i liniow ych.

W p rac y sto su je się sta n d a rd o w y sy ste m oznaczeń.

A u to r d zięk u je osobom , k tó re przez d y sk u sje i k ry ty k ę p rz y c z y n iły się do roz­

w in ięcia i u sy ste m a ty z o w a n ia re z u lta tó w sk ła d a ją c y c h się n a n in ie jsz ą p rac ę: prof. R.

G essingow i, prof. A. S w ierniakow i, prof. K. W ojciechow skiem u, d r. h a b . Z. D u d zie oraz w szy stk im praco w n ik o m Z ak ład u Teorii S tero w n ia I n s ty tu tu A u to m a ty k i P o lite ch n ik i Ś ląskiej.

A u to r w y ra ż a rów nież w dzięczność o piniodaw com n iniejszej p ra c y prof. J . K udre- wiczowi oraz d r. hab . P. G rabow skiem u z a o p raco w an ie w nik liw y ch rec en zji, wiele w ażnych uw ag m e ry to ry c zn y c h , zw rócenie uw agi n a n ie z n a n e w cześniej au to ro w i p o ­ zycje lite ra tu ro w e , a ta k ż e w skazanie szeregu błędów oraz niejasn o ści w pierw szej wersji m aszynopisu.

A u to r sk ła d a te ż p odziękow ania P a n i R e d a k to r serii A u to m a ty k a Z eszytów N auko­

w ych P o lite ch n ik i Śląskiej d r inż. A. S krzyw an-K osek za w iele cen n y ch uw ag re d a k ­ cyjnych.

K ońcow e e ta p y p rac y b y ły finansow ane przez K o m ite t B a d a ń N aukow ych, czę­

ściowo z g r a n tu K B N 8 T 11A 012 19, a częściow o z p ra c B W .

R o z d z ia ł 1

U k ła d y lin io w e o z m ie n n y c h w c za sie p a r a m etra c h

R o z d ział te n pośw ięcony je s t ze b ran iu p o ję ć i p roblem ów , k tó re sta n o w ią w spólną bazę d la dalszej części pracy. D efiniuje się tu stosow any dalej m o d e l z m ia n p ara m etró w w czasie oraz fo rm u łu je się analizow ane w dalszych ro zd z iała ch p ra c y problem y. P rz e d ­ sta w ia się ta k ż e p rz y k ła d y m odeli układ ó w , w k tó ry c h w y stę p u ją zm ie n n e w czasie p a ra m e try . P rz y k ła d y te ilu s tru ją ró żn e m echanizm y p ro w ad zące do z m ia n p a ra m e ­ trów w u k ła d ac h liniow ych oraz p o zw a lają zin te rp re to w a ć zn a cz en ie form ułow anych problem ów .

1.1. M o d e l z m ia n p a r a m e tr ó w w c z a s ie

E le m e n ty m acie rz y A ( t ) we w zorze (0.1) zależą od czasu. Z a k ła d a się, że zm iany ty c h elem entów w czasie opisane są fu n k cja m i m ie rzaln y m i ta k im i, że ich w artości n ależ ą do pew nego znanego zbioru, tz n . d la każdej chwili czasu t zachodzi:

A(t)

A.

(1.1)

P rz y jm u je się (por. np. [14, s tr. 61]), że zbiór

A

C

1Rnxn,

d efin iu jąc y m ożliw e zakresy zm ian p a ra m e tró w , je s t n a s tę p u ją c y m , w y p u k ły m h ip erw ielo ścian em :

A={A:A = £;AiQi},

(1.2)

1 = 1 N

a , > 0 , £ a , = l . (1.3)

1=1

Inaczej m ów iąc, is tn ie ją m ie rzaln e funkcje a i(< ) > 0, . . . , c*jv(i) > 0, J2iL\ <*»'(*) = 1 ta k ie , że

A (i) = £ > < * ,( < ) . (1.4)

1 = 1

(10)

16 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie param etrach

M acierze Ai , i — 1 , 2 , . . . N n a z y w a ją się mac i er zami narożnymi, n a to m ia s t u k ła d y liniow e

i — A{X, (1-5)

i = 1 , 2 , . . . N n az y w am y układami narożnymi. H iperw ielościan A C R nxn je s t pow łoką w y p u k łą ([37, s tr. 14]) m acie rz y naro żn y ch Ai, i = 1 , 2 , . . . 7V.

N a ogół w rozw ażanych p ro b le m a c h ty lk o część z elem en tó w m a c ie rz y A ( t ) m oże z m ien iać się w czasie, re s z ta n a to m ia s t p o z o s ta je sta ła . Je śli lic z b a z m ie n ia ją c y c h się w czasie elem e n tó w m a cie rz y A ( t ) w ynosi K ( K < n 2), to n a tu ra ln e je s t zaw ężenie p rze­

s trz e n i, k tó re j p o d zb io re m je s t A , d o p rz e strz e n i R K , tz n ., jeśli p rze z a{t ) oznaczym y w ek to r z m ie n ia ją c h się p a ra m e tró w u k ła d u (0 . 1), w y b ra n y ch z elem e n tó w m acierzy A ( t ) , a{t ) = [a j(< ),. . . a K (t)]T , to m am y:

N

a( t ) 6 A = {a : a = ^ a . a j , ( 1.6 )

i=1

N

a (t) = S a «a ' ( 0 . (1-7)

*=1

p rzy czym p rze d staw ie n ie (1.6) lu b (1.7) w ynika z (1.2) lu b (1.4); w ierzchołki a, są w ek to ra m i zbu d o w an y m i z o d pow iednich elem entów m a c ie rz y n aro ż n y c h Ai, a w spół­

czynniki a , i fu n k cje a , ( t ) są jed n ak o w e o dpow iednio w ( 1.2) i ( 1.6) o raz w ( 1.4 ) i (1.7).

P rz y z a d a n y m p rzebiegu A ( t ) sp e łn ia ją c y m (1.1) zaw sze m o ż n a znaleźć funkcje oti(t), w y stę p u ją c e w p rze d staw ie n iu (1.4) i (1.7). Jeśli h ip e rw ie lo śc ian (1.6) je s t sim ­ pleksem , tz n . N = K , to łatw o n a p o d sta w ie (1.6) w yliczyć:

a ( t ) = ^ .. . a N]- 1a ( t) , ( 1.8 )

gdzie a ( t ) = [a! ( < ) . .. a jv (i)]T, a [ a i . . . a j v ] je s t m a c ie rz ą z b u d o w a n ą z ko lu m n a i . . . a N .

O gólnie n a to m ia s t, fu n k cje te n ie są w yznaczone je d n o z n a c z n ie . A by efektyw nie w yliczyć fu n k c je a« (t) d la za d an eg o p rzeb ieg u a ( t ), m o ż n a d o k o n ać (n iejed n o zn a cz­

n ie w yzn aczo n ej) d ekom pozycji sym p licjaln ej h ip e rw ie lo śc ian u ( 1.6 ) [31] (p o d z ia łu n a sim p lek sy ), a n a s tę p n ie d la każdego sim p lek su stosow ać w zór ( 1.8 ).

1 .2 . D e fin ic je s ta b iln o ś c i

U k ła d y o zm ien n y c h w czasie p a ra m e tra c h w y k az u ją b a rd z iej złożone ty p y zacho­

w ań o d u k ła d ó w , k tó ry c h p a r a m e tr y są sta łe . A by je sc h a ra k te ry z o w a ć w prow adza

1.2. Definicje stabilności 17

się o d p ow iednie definicje stab iln o ści, n ie stabilności i d e s ta b iliz a c ji, k tó re p o d ajem y poniżej.

D e fin ic ja 1. (A b s o lu tn a stab iln o ść [116], [109]). U k ład (0.1), (1.1) n az y w a się absolutnie stabilny, jeśli, p rzy u sta lo n y m to, d la każdej fu nkcji A ( t ) z klasy (1.1) zerowy p u n k t rów now agi ró w n a n ia (0 .1) je s t globalnie a sy m p to ty c z n ie sta b iln y i, dodatkow o, sta b iln o ść t a je s t je d n o s ta jn a ze w zględu n a m ożliw e A ( t ) z klasy (1.1). Inaczej m ów iąc, d la dowolnej funkcji A ( t ) sp e łn ia jąc ej (1.1) zachodzi:

Ve>o3{>o || x0 ||< 6 =H| x ( t ; t0, x o) ||< £, d la t > t0 (1.9) oraz

V£>oVIO3x>0V(>ło+T || x(t,tQ,xo'j ||< 6, (1.10) gdzie x{t\ to, xo) ozn acza w artość w chwili t tak ieg o rozw iązan ia, k tó re d la t0 p rzy jm u je w artość Xq. Je d n o sta jn o ść ze w zględu n a m ożliw e A ( t ) z klasy (1.1) o znacza, że liczby 6 i T w pow yższych w arunkach nie zależą od A( t ) .

W a ru n k iem koniecznym absolutnej stabilności je s t, aby w szystkie m a cie rz e narożne Ai, i = 1, 2..., N b yły m a cie rz am i asy m p to ty c z n ie sta b iln y m i.

D e fin ic ja 2. (A b so lu tn a n iestab iln o ść [117]). U k ład (0.1), (1.1) nazy w a się abso­

lutnie niestabilny, jeśli, przy u sta lo n y m to, d la każdej funkcji A ( t ) z klasy (1.1) zerowy p u n k t rów now agi ró w n a n ia (0 . 1) je s t n ie sta b iln y je d n o s ta jn ie ze w zględu n a m ożliwe A( t ) z klasy (1.1). Inaczej m ów iąc, d la dowolnej funkcji A( t ) sp e łn ia ją c e j (1.1) zacho­

dzi:

3£>oVi>o3 ||x(to)||<j 37->o || x ( t0 + T \ t o , x o ) ||> e. ( 1-11) Je d n o sta jn o ść ze w zględu n a m ożliw e A( t ) z klasy (1.1) o zn acza, że liczby e i T w pow yższych w aru n k ach nie zależą od A( t) .

W a ru n k iem koniecznym ab so lu tn ej nie sta b iln o śc i je s t, ab y w szy stk ie u k ła d y n a ­ rożne x — AiX b y ły n ie sta b iln e.

A b so lu tn a sta b iln o ść i a b s o lu tn a n iestab iln o ść nie w y c z e rp u ją klasyfikacji m ożli­

w ych zachow ań u k ła d u (0.1). W p ro w ad za się z a te m kolejne definicje.

D e fin ic ja 3 ( a ) . M acierzow a fu n k cja Ad{t) n az y w a się strategią destabilizującą dla u k ła d u (0 .1), jeśli A<ł(t) należy do klasy (1.1) oraz zerow y p u n k t rów now agi u k ła d u (0.1) z A ( t ) = Ad(t) je s t je d n o sta jn ie niestabilny.

D e fin ic ja 3 ( b ) . M acierzow a fu n k cja A , ( t ) n az y w a się strategią stabilizującą dla u k ła d u (0.1), jeśli A s( t ) należy do klasy (1.1) oraz zerow y p u n k t rów now agi u k ła d u (0.1) z A( t ) = A , ( t ) je s t je d n o sta jn ie asy m p to ty c zn ie stabilny.

Istn ie n ie stra te g ii destabilizującej w yklucza a b s o lu tn ą sta b iln o ść . P o d o b n ie, istn ie ­ nie stra te g ii sta b ilizu ją ce j w yklucza a b s o lu tn ą niestab iln o ść. W a ru n k ie m w y sta rc z a ją ­ cym istn ie n ia stra te g ii destab ilizu jącej d la (0 . 1), ( 1.1) je s t n ie sta b iln o ść któregokolw iek z u kładów naro żn y ch (1.5). P odobnie, w arunkiem w y sta rc z a ją c y m is tn ie n ia stra te g ii sta b ilizu ją ce j je s t a sy m p to ty c z n a stab iln o ść któregokolw iek z u k ła d ó w n aro ż n y ch (1.5).

(11)

18 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie parametrach

1 .3 . S fo r m u ło w a n ie r o z w a ż a n y c h p r o b le m ó w

W y k o rz y s tu ją c w prow adzone o k reślen ia sfo rm u łu je m y p ro b lem y , k tó ry c h rozw ią­

zy w a n iu p o św ięcone są d alsze ro zd z iały p racy:

1. W y k a za ć a b s o lu tn ą sta b iln o ść lu b znaleźć s tra te g ię d e s ta b iliz u ją c ą d la u k ła d u li­

niow ego o zm ien n y c h w czasie p a ra m e tra c h (0 .1), ( 1.1).

2. W y k a za ć a b s o lu tn ą n ie sta b iln o ść lub znaleźć s tra te g ię s ta b iliz u ją c ą d la u k ła d u li­

niow ego o zm ien n y c h w czasie p a ra m e tra c h (0 .1), (1. 1).

P rz e d sta w ia n e dalej m e to d y i re z u lta ty b ę d ą analizow ane p o d k ą te m p rzy d a tn o ści oraz efektyw ności ich za sto so w a n ia w rozw iązyw aniu pow yższych p roblem ów .

1.4 . I n k lu z je r ó ż n ic z k o w e

P rz y p rz y ję ty c h za ło żen iach d o ty c zą cy c h z m ia n p a ra m e tró w w czasie u k ła d (0.1), ( 1.1) je s t rów now ażny z m o d e lem za d aw a n y m p rzez liniow ą in k lu z ję ró żniczkow ą [3], [4], [111], [122]. M odel w p o sta c i liniow ej in k lu z ji różniczkow ej je s t n a s tę p u ją c y :

x { t ) <E A ( x ) , (1.12)

gdzie zb ió r A ( x ) zdefiniow any je s t jako:

N N

A ( x ) = { ^ a . A . z : a,- > 0 , = 1}. (1 1 3 )

i=l 1=1

P rz ez ro zw ią zan ie in k lu z ji różniczkow ej ro zu m ie się a b s o lu tn ie c ią g łą fu n k cję x ( t ) tak ą, k tó r a s p e łn ia ( 1.12) d la praw ie w szystkich t > 0 .

T eo ria in k lu z ji różniczkow ych d o sta rc z a w ielu tw ie rd z e ń d o ty c z ą c y c h istn ie n ia i w łasności ich rozw iązań. D la rozw ażanych w tej p ra c y pro b lem ó w is to tn e i in te re su ją c e są n a s tę p u ją c e w yniki.

T w ie rd z e n ie o p a ra m e try z a c ji [4, tw ie rd z en ie 2.1.1, str. 26] z a p e w n ia rów now ażność z b io ru ro zw ią zań u k ła d u opisanego p rzez (0 .1), ( 1. 1) z ro zw ią zan iam i u k ła d u , w k tó ry m p a r a m e tr y m o g ą d o d atk o w o zależeć od sta n u x ( t ), o pisanego ró w n a n ie m :

x( t ) = A ( t , x ) x ( t ) , (1.14)

p rz y czy m w artości funkcji o k reśla ją cy c h zm ian y p a ra m e tró w A ( x , t ) n a le ż ą do tego sam ego z b io ru A , do k tó reg o n a le ż ą p a r a m e tr y u k ła d u (0.1). D zięki te m u m o ż n a u p ro ś­

cić an alizę u k ła d u (1.14) z a n ie d b u ją c zależność p a ra m e tró w od s ta n u x ( t ) u k ła d u .

2.5. M odelowanie układów o zm iennych w czasie param etrach 19

T w ierd ze n ie o relak sacji [4, tw ierdzenie 1.3.5, s tr. 14] p o zw a la sprow adzić inkluzję różniczkow ą

x ( t ) e f ( x , t ) , (1-15)

gdzie T : R n x [0 ,o o ) 9 (x , t ) —► T { x , t ) € 2H” do postaci:

x{t ) € ćó [ F( x , t ) ] , (1-16)

gdzie ć o [ F ( x , t ) \ ozn a cz a dom knięcie pow łoki w yp u k łej z b io ru T { x , t). In k lu z ja (1 1 6 ) re p re z e n tu je in k lu z ję ( 1 1 5 ) w ty m sensie, że zbiór w szy stk ich jej tr a je k to r ii (rozw ią­

zań) je s t g ęsty w zbiorze rozw iązań inkluzji (1.15). Z tw ie rd z e n ia o rela k sac ji w ynika, że p rz y ję ty w ielościenny opis zbioru m ożliw ych w artości p a ra m e tró w p o zw ala re p re ­ zentow ać szerszą klasę zakresów zm ian p a ra m e tró w , o b e jm u ją c ą ta k ie zbiory, k tó ry ch pow łoki w y p u k łe są h ip erw ielościanam i.

1.5. M o d e lo w a n ie u k ła d ó w o z m ie n n y c h w c z a sie p a r a m e tr a c h

U kłady, k tó re m o ż n a opisać sto su jąc m o d el (0.1), m a ją d u że zn aczen ie w w ielu za­

stosow aniach. W p u n k cie ty m p o d a m y p rz y k ła d y ta k ic h u k ła d ó w . P rz y k ła d y te b ę d ą ilu s tra c ją m ożliw ości sprow adzenia m odeli u kładów fizycznych do p o sta c i, k tó rą an a li­

zuje się w tej p ra c y oraz pozw olą z in terp reto w a ć sform ułow ane problem y. B ę d ą ta k że w y korzystyw ane w obliczeniach w dalszych rozdziałach.

1.5.1. O bw ód RLC

Z a p ra c ą [52, s tr. 118] rozw ażm y obw ód e lek try cz n y R L C , p rze sta w io n y n a rys.

1.1, w k tó ry m p o je m n o ść , indukcyjność i o porność m o g ą z m ien iać się w czasie. P rz y sta ły c h p a ra m e tra c h , niezerow ej oporności i b ra k u źró d eł, p r ą d i n ap ięc ie w układ zie po p ew n y m czasie w ygasną od dow olnych w arunków p o cz ątk o w y c h do zera. Je d n a k zm ia n a w czasie p a ra m e tró w obw odu m oże w y m ag ać w y d a tk o w a n ia energ ii, k tó ra m usi p rzenosić się do obw odu. M ożna z a te m rozw ażać n a s tę p u ją c y p ro b lem : czy przez zm ian y w czasie wielkości L(t ) , C ( t ) i R ( t ) m o ż n a spow odow ać n ie sta b iln o ść zerowego p u n k tu równow agi u k ła d u z rys. 1.1 Inaczej m ów iąc: czy p rze z z m ia n y L{ t ) , C ( t ) i R( t ) m o ż n a spow odow ać n a ra sta n ie p rą d u i( t) i n a p ię c ia u(t) w obw odzie. Jeśli przy założonych dopuszczalnych zakresach zm ian p a ra m e tró w nie je s t to m ożliw e, to u k ła d z rys. 1.1 je s t ab so lu tn ie stabilny. Jeśli istn ie ją fu n k cje czasu L( t ) , C ( t ) i R ( t ) , k tó re p o w o d u ją n a ra s ta n ie p rą d u i(t) i n ap ięcia u(t) , to z a d a ją one s tra te g ię d estab ilizu jąc ą.

(12)

20 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie parametrach

R(t)

u(t)

i(t)

R ys. 1.1. Obwód R L C o zmi eniających się w czasie parametrach Fig. 1.1. R L C circuit with time-varying paramet ers

R ó w n a n ia o p isu jąc e obw ód z ry s. 1.1 m a ją p o sta ć:

j t [L{t)i {t)\ = —R ( t ) i ( t ) — u ( t ) , (1.17)

j t [C{t)u{t) ] = i( t) . (1.18)

S tą d , p rz y za ło ż en iu , że fu n k cje L, C , i o raz u n a le ż ą do C ^O , oo), d o sta je m y :

+ (1.19)

u W ^ C ( t ) + C { t ) ^ u ( t ) = i {t ). ( 1.20)

W ró w n a n ia ch (1.17)-(1.20), obok zależnych od czasu p a ra m e tró w , L ( t ) i C ( t ) , w y stę p u ją rów nież po ch o d n e funkcji L( t ) i C { t ) . Celow e je s t p o sz u k iw an ie takiego opisu, w k tó ry m m o ż n a u su n ą ć sk ła d n ik i z a w ierając e p o c h o d n e fu n k cji L ( t ) i C( t ) . P rz y za ło ż en iu , że w artości L(t ) i C ( t ) są o graniczone od d o łu i góry

Lmin < m — ^ m o r ( 1 . 2 1 )

C min < C ( t ) < C max (1.22)

oraz, że w artości L min, L max, C min i C max są d o d a tn ie (z fizycznego p u n k tu w idzenia je s t to n a tu ra ln e zało żen ie), m o ż n a zap isać ró w n a n ia m o d e lu u k ła d u z ry s. 1.1 w postaci:

1.5. Modelowanie układów o zm iennych w czasie parametrach 21

m = L( t ) i { t ) , (1.25)

q(t) = C ( t ) u ( t ) , (1.26)

gdzie ja k o now ych w spółrzędnych sta n u używ a się ła d u n k u n a k o n d e n s a to rz e q ( t ) oraz stru m ie n ia m ag n ety czn eg o <j>(t) w cewce (są to kanoniczne w sp ó łrzę d n e H am ilto n a ).

N a p o d sta w ie za ło ż en ia (1.21), (1.22) sta b iln o ść u k ła d u (1.19), (1.20) je s t rów now ażna ze sta b iln o śc ią u k ła d u (1.23), (1.24). W o trz y m a n y c h ró w n a n ia ch (1.23), (1.24) nie w y stę p u ją p o ch o d n e funkcji L ( t ) i C( t ) .

1.5.2. W ahadło

N a rys. 1.2a przed staw io n o w ahadło o zm ien iającej się w czasie długości, a n a rys.

1.2b - w ah a d ło o zm ie n ia ją c y m się, p o d w pływ em d ziała ją cej n a niego w osi pionowej siły m g + F ( t ) , p o ło żen iu p u n k tu zaw ieszenia. P o d o b n ie ja k w p o p rz e d n im p rzy k ła d zie m ożem y za p y ta ć: czy z m ien iają c długość w a h a d ła lu b jego p u n k t zaw ieszenia m ożliw e je st zd estab ilizo w an ie p u n k tu równowagi 0 = 0. Inaczej m ów iąc: czy m ożliw e je st ro zh u śta n ie w a h a d ła przez zm ian ę L(t ) lu b F( t ) .

(a)

Rys. 1.2. a) Wahadło o zmi ennej długości, b) wahadło o r u c h omy m punkcie zawiesze­

nia

Fig. 1.2. a) Pendul um with time-varying length, b) pendulum with ti me- varyi ng posi­

tion of the swing point

Z ałóżm y, że c a ła m a sa m w ah a d ła je s t sk u p io n a n a jego koń cu , o zn a cz m y długość w a h a d ła przez L i kąt odch y len ia od pionu przez 6, w sp ó łc zy n n ik ta r c ia lepkiego przez /3, przyspieszenie g raw ita cy jn e przez g. R ów nania ru ch u w a h a d ła p r z y jm ą n a s tę p u ją c ą postać.

(13)

22 Rozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie parametrach

D la p r z y p a d k u a) zależnej od czasu długości w ah a d ła:

4 \ m L \ t )6\ + P6 + m g L ( t ) sinfl = 0. (1.27) dt

O b lic z a ją c p o c h o d n ą p o czasie w y ra że n ia w y stę p u jąc eg o w n aw iasie k w ad rato w y m d o sta lib y śm y , p o d o b n ie ja k w p o p rz e d n im p o d p u n k cie, ró w n a n ie różniczkow e, którego w sp ó łczy n n ik i zależą zarów no o d L( t ) , ja k i od po ch o d n ej L ( t ). A by u su n ą ć tę tr u d ­ ność, m o ż em y m o d e l u k ła d u z rys. 1.2 zap isać w p o sta c i u k ła d u ró w n a ń kanonicznych H a m ilto n a , w k tó ry m d ru g ą w sp ó łrzę d n ą sta n u je s t m o m e n t p ę d u p( t ) , tz n :

**> = (L28)

i>{t) = - f l mjŁ2(f ) P(*) ~ ( L 29 )

P o d o b n ie ja k w p o p rz e d n im p rz y k ła d z ie , p rz y za ło ż en iu , że z m ia n y długości wa­

h a d ła są o g ran ic zo n e o d d o łu i góry, sta b iln o ść m o d e lu (1.28), (1.29) je s t rów now ażna ze sta b iln o śc ią ró w n a n ia (1.27).

D la p rz y p a d k u b ), g d y n a p u n k t zaw ieszenia d z ia ła s iła F ( t ), d o s ta je m y rów nanie:

m L 29 + / 3 9 + [mg + F ( t ) \ L s i n 9 = 0 (1.30)

o zm ie n n y m w czasie p a ra m e trz e [mg -f F ( t ) \ L .

R o z w aż ają c niew ielkie o to czen ie p u n k tu 9 — 0, p = 0 m o ż em y o b a ró w n a n ia zli­

n earyzow ać o trz y m u ją c rów nanie liniow e lu b u k ła d ró w n a ń liniow ych o zm ien iają cy c h się w czasie p a ra m e tra c h . D la p rz y p a d k u a) d o s ta je się:

*<*> =

m.W ) m

(L31)

p ( f ) = ~ /3m ^ f ' P(t ) - m q L { t ) 0 , (1.32)

a d la p rz y p a d k u b)

m L 29 + /39 + [mg + F ( t ) \ L 0 = 0. (1.33) W ró w n a n ia ch (1.31) i (1.32) w y stę p u ją nieliniow e zależności p o m ię d z y z m ie n ia ją ­ cym i się w czasie p a ra m e tra m i. Taki sposób zm ian p a ra m e tró w nie m oże być opisany przez m o d e l (1.1), (1.2). M ożem y o znaczyć

“ W = - j Ą t ) ' = m g L ^ ' ( L 3 4 )

p o d sta w ić a( t ) i b{t) w (1.31) i (1.32) i tra k to w a ć te dw ie zm ie n n e ja k zm ien ia ją c e się niezależn ie. W te d y w artości a( t) i b(t) n ależ ą do pew nego p ro s to k ą ta , czyli m o ­ del zależności p a ra m e tró w od czasu je s t zgodny z (1.1), (1.2). J e d n a k , jeśli b ęd ziem y

1.5. M odelowanie układów o zm iennych w czasie param etrach 23

n astęp n ie analizow ać a b s o lu tn ą stab iln o ść, to o trz y m a n e w aru n k i b ę d ą nad m iaro w e, dlatego że zachow ania u k ła d u (1.31) i (1.32), w k tó ry m w y stę p u ją n iezależn ie zm ie­

n ia ją c e się p a ra m e tr y a ( t ) i b(t), są b ardziej ró żn o ro d n e o d m ożliw ych zachow ań, gdy a(t) i b(t) są zw iązane przez (1.34).

Jeśli u sp raw iedliw ione je s t założenie, że zm ian y długości w a h a d ła są niew ielkie

L{t ) = Lo + A L ( t ) , (1.35)

to m o ż n a up ro ścić p ro b lem b a d a n ia u k ła d u (1.31) i (1.32) p rzez zasto so w an ie p rz y b li­

żenia

^ d Ą t ) ~ ^ Ę ~ m ą A L ^ ' (L36)

P o d sta w ia ją c p rz y b liż o n ą zależność (1.36) do u k ła d u ró w n ań (1.31), (1.32) o trz y ­ m a m y m o d el przybliżony, zgodny z opisem ( 1. 1), ( 1.2), w k tó ry m w y stę p u je jed en zależny o d czasu p a r a m e tr A L{t).

1.5.3. O dw rócone w ahadło

W p u n k cie ty m p o d am y p rz y k ła d ilu stru ją c y zag ad n ien ie ab so lu tn e j n iestabilności i p o szu k iw an ia stra te g ii sta b ilizu ją ce j. R ozw ażm y odw ró co n e w ah a d ło przed staw io n e n a rys. 1.3.

mg+F(t)

Rys. 1.3. Odwrócone wahadło o ruchomym punkcie podparcia Fig. 1.3. Inverted pendulum with mobile f ulcrum

P u n k t p o d p a rc ia tego w ah a d ła je s t ruchom y; o d d z ia łu je n a niego siła m g + F( t ) . P o d o b n ie ja k p o przednio, o znaczając przez m - sk u p io n ą n a je g o k ońcu m a sę w ah ad ła, L - długość, 9 - kąt od ch y len ia od pionu, f3 - w spó łczy n n ik ta r c ia lepkiego w punkcie p o d p a rc ia , g - p rzyspieszenie g raw itacyjne, d o sta je m y n a s tę p u ją c e ró w n a n ie ruchu:

m L 29 + (36 - [mg + F ( t ) ] L sin 9 = 0, (1.37)

(14)

24 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie parametrach

o z m ie n n y m w czasie p a ra m e trz e [mg + F( t ) ] L. O czyw iście, jeśli F ( t ) = 0, to p u n k t rów now agi je s t n ie sta b iln y w ykładniczo.

L in e a ry z u ją c w n iew ielkim o to c ze n iu p u n k tu 0 = 0 = 0 o trz y m u je m y :

m L 29 + /39 — [mg + F { t ) ) L9 = 0. (1.38)

P rz y jm u ją c za k res d o puszczalnych z m ian siły F ( t ) jako:

F min < F ( t ) < Fmax, (1.39)

m o żem y a b s o lu tn ą n ie sta b iln o ść in te rp re to w a ć ja k o w łasność p o le g a ją c ą n a ty m , że p rz y dow olnych z m ia n a c h F ( t ) w zakresie (1.39) p u n k t rów now agi p o z o s ta je n ie s ta ­ bilny. Je śli istn ie je fu n k cja F ( t ) s p e łn ia ją c a (1.39) ta k a , że zerow y p u n k t równowagi u k ła d u (1.38) je s t a s y m p to ty c z n ie stab iln y , to d efiniuje o n a s tra te g ię sta b iliz u ją c ą .

1.5.4. K o m p a rtm en ta ln y m o d el w zro stu kom órek now otw o­

row ych

P rz e d sta w io n e dalej ró w n a n ia w yw odzą się z za sto w a ń m o d e lo w an ia m a te m a ty c z ­ nego w biologii i m ed y cy n ie. O p isu ją one proces w zro stu (lu b z a n ik u ) ko m ó rek nowo­

tw orow ych p o d d aw a n y ch o d d ziały w a n iu czy n n ik a c y to to k sy c zn eg o [61], [88], [91].

P rz y jm u je m y , że fazy cyk lu rozw ojow ego kom órki m o ż n a p o d zielić n a d w a kom- p a rtm e n ty , co je s t sch em a ty cz n ie p rze d staw io n e n a rys. 1.4. K o m p a rtm e n t pierw szy s k ła d a się z faz w zro stu G\ i sy n te zy D N A S, k o m p a rtm e n t d ru g i o b e jm u je fazy p rzy ­ g o to w an ia do p o d z ia łu G2 i m ito z y (p o d z ia łu ) M .

2k(t)

R ys. 1.4. Dwukompart ment al ny model wzrostu komórek nowotworowych poddawanych działaniu fazoczułego cytostatyku

Fig. 1.4. Two- compart ment al model of neoplastic cells growth with phase-specific cito- toxic agent

O d d zia ły w a n ie c y to s ta ty k u n a kom órki now otw orow e je s t za le żn e o d fazy cyklu (c y to s ta ty k je s t fazo czu ły ). J e s t ono opisan e p rzez fu nkcję 2k ( t ) , k tó r a m a n a s tę p u ją c ą in te rp re ta c ję . G d y nie p o d a je się c y to s ta ty k u , k(t) = 1, to z każdej k o m ó rk i po po d ziale p o w s ta ją dw ie nowe. D zia ła n ie c y to s ta ty k u p ow oduje, że część k o m ó rek w trak c ie

1.5. M odelowanie układów o zm iennych w czasie param etrach 25

p o d z ia łu je s t z a b ija n a . Ś re d n ia liczb a now ych kom órek po p o d z ia le w ynosi te ra z 2 k(t), przy czym

0 < k ( t ) < 1. (1.40)

C zas p rze b y w a n ia kom órki w każdym z k o m p a rtm e n tó w (czas p rze c h o d z e n ia przez fazy o b ejm o w an e przez k o m p a rtm e n t) je s t zm ie n n ą losow ą o ro zk ła d z ie w yk ład n iczy m . L iczba k om órek je s t b ard z o d u ża, d la teg o sto su je się ró w n a n ia o p isu jąc e zm ian y w czasie w arto śc i średnich z liczb kom órek w k ażd y m z k o m p a rtm e n tó w N i ( t ) i N2{t).

R ów nania te m a ją n a s tę p u ją c ą p ostać:

Ń \ ( t ) = —a \ N i ( t ) + 2 k ( t ) a 2 Ni ( t ) , q ..■.

N2 (<) = a i N i ( t ) — a 2A^2(t).

P a r a m e try a\ i a 2 są o d w ro tn o ściam i śred n ich czasów p rz e b y w a n ia ko m ó rek w kom- p a rtm e n ta c h .

W lite r a tu rz e o pisany u k ła d n az y w a się u k ła d e m b iliniow ym , p oniew aż fu n k cja k(t) je st w ielkością s te ru ją c ą w ty m m odelu. Je d n a k m o d el (1.41) m a ta k ą sa m ą s tru k tu r ę ja k w ym ien io n e w cześniej i m o żn a do niego stosow ać opisyw ane dalej m etody. D la u k ła d u (1.41) często fo rm u łu je się pro b lem p o le g ają cy n a d o b ra n iu ta k ieg o stero w an ia k(t), ab y o siąg n ąć za nikanie N i ( t ) i N2(t) z z a d a n y m w y k ła d n ik ie m A. D okonując za m ia n y zm iennych

Jt/f / A 1 T \ L f ł \

(1.42)

' M1(t)

- P x t

N i ( t ) '

. M2(t) c N2(t)

m o żn a te n p ro b lem sprow adzić do z a g ad n ien ia p o sz u k iw an ia s tra te g ii sta b ilizu ją ce j.

1.5.5. U k ła d y regulacji autom atyczn ej

O b sze rn ą ro d z in ę u kładów o zm ien n y ch p a ra m e tra c h , k tó re b a d a się w lite ra tu rz e , sta n o w ią u k ła d y regulacji a u to m a ty c z n e j. N ajczęściej p a r a m e tr a m i, k tó ry c h m ożliw e zm iany się an a liz u je , są w zm ocnienia. C zasem is to tn e je s t ta k ż e z b a d a n ie w p ły w u n a d ziała n ie u k ła d u z m ia n innych wielkości: sta ły c h czasow ych, w spółczynników tłu m ie ­ n ia itp .

W ty m pu n k cie p o d a m y p rzy k ła d y układów regulacji, w k tó ry c h w y stę p u ją zm ienne w zm ocnienia. P rz e d y sk u tu je m y relacje p o m ięd zy m o d e lam i o p a r a m e tr a c h zależnych od czasu i p a ra m e tra c h zależnych nieliniow o od w artości sygnałów w u k ła d zie .

U k ł a d y z n i e lin io w o ś c ia m i s e k t o r o w y m i

N a rys. 1.5 przed staw io n y je s t u k ła d regulacji, w k tó ry m o b ie k t o tra n s m ita n c ji K ( s ) o b ję ty je s t p ro p o rc jo n aln y m sprzężeniem z w ro tn y m p rzez e le m e n t o w zm ocnie­

niu , k tó re m oże zm ien iać się w czasie. Załóżm y, że w arto śc i tego w zm o c n ie n ia k ( t )

(15)

26 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie param etrach

R ys. 1.5. Układ o z mi e n n y m w czasie wzmocnieniu w torze sprzężenia zwrotnego Fig. 1.5. S y s t e m with time-varying gain in the feedback loop

m o g ą się z m ien iać w zakresie:

a < k( t ) < /3. (1.43)

T ra n s m ita n c ję o b ie k tu regulacji K ( s ) m o ż n a p rz e d sta w ić w p o sta ci:

b0s m + brs™ -1 + ... + bm K ( s ) =

s n + a i s " -1 + ... + a n (1.44)

Z ałóżm y, że sto p ie ń licznika je s t co n a jm n ie j o 1 m n ie jsz y od s to p n ia m ianiow nika, m < n. W te d y ró w n a n ia s ta n u i w y jścia o p isu jąc e o b ie k t reg u la cji m a ją p o sta ć:

x — A x + B u , y = C x .

(1.45) (1.46)

Z uwagi n a zależność u = - k ( t ) y o trz y m u je m y n a s tę p u ją c e ró w n a n ia s ta n u opisujące u k ła d z rys. 1.5:

x = [A - k ( t ) B C ] x . (1-47)

W ró w n an iach ty c h w y stę p u ją zależne od czasu p a ra m e try . Ich p o s ta ć je s t zg o d n a z o pisem (0.1). N a p rz y k ła d ja k o m odel w p rz e strz e n i sta n u (1.45), (1.46) p rzy jm ijm y re p re z e n ta c ję k an o n iczn ą ste ro w a ln ą [45], [65]. O trz y m a m y w te d y ja k o (1.47) n a s tę p u ­ ją c y u k ła d rów nań:

x(<) =

bm(t) 6m_ j( i) b0(t)

0 1

Cl 2

x ( t ) , (1.48)

gdzie bi(t) = - k { t ) b i - a n. m+i, i = 1, 2 , . . . , m .

1.5. Modelowanie układów o zm iennych w czasie param etrach 27

A b o lu tn a sta b iln o ść m o d elu (1.48) oznacza, że u k ła d reg u la cji z rys. 1.5 je s t a sy m p ­ to ty c z n ie sta b iln y d la dow olnych zm ian w zm o cn ien ia k ( t ), m ieszczący ch się w z a k re­

sie (1.43). M a to oczyw iście zasadnicze zn aczenie p rzy p ro je k to w a n iu to r u sprzężenia zw rotnego.

R ys. 1.6. Układ regulacji z nieliniowością sektorową zależną od czasu Fig. 1.6. Control syst em with time-varying sector nonlinearity

N a rys. 1.6 p rze d staw io n y je s t u k ła d zaw ierając y w to rz e sp rzę że n ia zw rotnego elem e n t nieliniow y ip(e, t), którego c h a ra k te ry sty k a m oże z m ien iać się w czasie i o k tó ry m z a k ła d a się, że sp e łn ia w arunek sektorow y sc h e m a ty c z n ie zazn aczo n y n a rys.

1.6, tz n . w ykres <p(e,t) m ieści się p o m ięd zy dw om a p ro sty m i a e i /3e. W aru n ek te n m o żn a zap isać n astęp u jąco :

a < /3, e ^ O , y>(0 , f ) = 0. (1.49) e

Nieliniow ość sek to ro w ą m o ż n a ta k ż e opisać jako:

u = k ( e , t ) e , (1.50)

gdzie

( <?(».*) ei 0 = 1 3i/(e,i

l d e

Zdefniow ane w pow yższym w zorze k(e, t ) m o ż n a in te rp re to w a ć ja k o w zm o cn ien ie, k tó re zależy od w artości e i od czasu. N a p o d sta w ie (1.49) w arto ści tego w zm o c n ie n ia za­

w ie ra ją się w p rze d zia le a < k ( e, t ) < /3.

P rz y jm ijm y , że p a ra m e try a i /3, opisujące se k to r, p o k ry w a ją się z w artościam i o k reśla ją cy m i zakres, w k tó ry m m oże się zm ien iać w zm o cn ien ie u k ła d u z rys. 1.5.

P rz y ty m za ło ż en iu m ożliw e zachow ania u kładów z rys. 1.5 i 1.6 p o k ry w a ją się ze

(16)

28 R ozdział 1. U kłady liniowe o zm iennych w czasie parametrach

R ys. 1.7. Układ regulacji z niezależną od czasu, nieliniowością sektorową F ig. 1.7. Control s y s t em with time-independent s ect or nonlinearity

sobą. O b a u k ła d y m o g ą być rów now ażnie o p isa n e przez tę s a m ą in k lu z ję różniczkow ą n a p o d sta w ie tw ie rd z e n ia o p a ra m e try z a c ji p rze d staw io n e g o w p u n k c ie 1.4 .

R ozw ażm y jeszcze u k ła d regulacji p rze d staw io n y n a rys. 1.7. Liniow y o b ie k t regu­

lacji o tra n s m ita n c ji K ( s ) je s t o b ję ty sp rzę że n iem z w ro tn y m p rze z nielin io w y re g u la to r o p isan y p rzez fu nkcję y>(e), k tó rej w ykres ta k ż e s p e łn ia w aru n ek sektorow y.

a < < P , e ± 0 (1.52)

oraz

¥>(0) = 0. (1.53)

A rg u m e n te m funkcji yj(e) je s t ty lk o sy g n a ł u c h y b u e; fu n k c ja t a je s t je d n o z n a c z n a i nie zależy o d czasu. D lateg o te ż m o d e l zm ian p a ra m e tró w zało żo n y w u k ła d z ie n a rys.

1.7 nie sp ro w ad za się do m o d e lu p rzy ję teg o w p u n k ta c h 1.2, 1.3. M im o to , o p isa n e b ę d ą dalej w aru n k i a b so lu tn e j stab iln o ści (n iestab iln o ści) u k ład ó w z ta k z m ie n ia ją c y m i się p a ra m e tra m i. Pozw oli to n a p orów nanie, d la p rzy k ła d o w y ch u k ła d ó w reg u la cji, efektów w y n ik ający ch ze zm ienności p a ra m e try c z n e j zgodnej z je d n y m (z ry su n k u 1.6 ) bąd ź d ru g im (z ry s u n k u 1.7) m o d elem .

P a ra m e try c z n e p o b u d z e n ie u k ła d u z rys. 1.7, w y n ik ając e z is tn ie n ia nieliniow ości V?(e ), Je s t m niej in te n sy w n e niż p o b u d ze n ie w y n ik ając e z w y stę p o w a n ia nielinow ości, k tó re d o d atk o w o zależą o d czasu (p(e,t), ja k n a rys. 1.6. M o żn a z a te m pokazać, że m ożliw e za ch o w an ia (m ożliw e przebiegi czasow e) u k ła d u z rys. 1.6 , ze w zm ocnieniem k ( t ) , s p e łn ia ją c y m (1.43), z a w ie ra ją w sobie w szystkie m ożliw e za ch o w a n ia u k ła d u z rys. 1.7. W u k ła d z ie z rys. 1.6 m o ż n a uzyskać ta k ie sa m e fu n k cje w u k ła d z ie z rys. 1.7

1.5. M odelowanie układów o zm iennych w czasie param etrach 29

p rzy jm u jąc k( t ) - k( e( t ) ) , gdzie k(e) d an e je s t przez:

k(e) _ ( ^ jeśli e ^ 0 54,

“ \ v>'(0 ) jeśli e = 0 ’ ( }

a e(t) je s t p rzeb ieg iem zaobserw ow anym w u k ła d z ie z rys. 1.7. S tą d a b s o lu tn a s ta b il­

ność lu b a b s o lu tn a n ie sta b iln o ść u k ła d u z rys. 1.6 p o c ią g a z a so b ą a n a lo g ic zn ą w ła­

sność u k ła d u z rys. 1.7. N a to m ia s t o d w ro tn e tw ie rd z en ie n ie je s t praw dziw e. M ożliwe zachow ania u k ła d u z rys. 1.7 są ograniczone p rzez fa k t, że k a ż d a fu n k c ja ip(e) n a rz u c a je d n o z n a c z n ą zależność sy g n ału u ( t ) o d sy g n a łu e(t).

(17)

R o z d z ia ł 2

Z a sto so w a n ia te o r ii F lo ą u e ta

W rozdziale ty m rozw ażam y sy tu a c ję , gdy m a cie rz A ( t ) w (0.1) je s t fu n k cją okresow ą. P rz e d sta w ia m y dow ód podstaw ow ego tw ie rd z e n ia F lo ą u e ta . T w ierd ze n ie to mów i, że jeśli A ( t ) je s t m a cie rz ą okresow ą o okresie T , to m a c ie rz fu n d a m e n ta ln ą , op isu jąc ą rozw iązanie x( t ) u k ła d u ( 0 .1), m o ż n a p rze d staw ić w p o sta c i iloczynu funkcji okresowej o okresie T i w ykładniczej funkcji m acierzow ej o s ta ły m w y k ład n ik u .

P rz e d sta w ia m y m e to d y b a d a n ia układów (0.1) w y k o rz y stu ją ce to tw ierdzenie. P o­

d a je m y w aru n k i stab iln o ści asy m p to ty c zn e j u k ła d u o okresow o zm ien n y ch p a ra m e ­ tra c h . P rz e d sta w ia m y n u m e ry c zn e m e to d y p rzybliżonego b a d a n ia sta b iln o śc i.

O piszem y ta k ż e podstaw ow e tw ie rd z en ia te o rii rez o n an su p a ra m e try c z n e g o . T eoria ta o b e jm u je sy tu a c ję , gdy analizow any u k ła d je s t liniow ym u k ła d e m ham ilto n o w sk im , tzn . ta k im , w k tó ry m nie w y stęp u je ro zp rasz an ie energii. A nalizow ane są efekty wy­

nik a jąc e z b ard z o niew ielkich w ahań p ara m e tró w , inaczej niż w (1.1). U tr a tę sta b il­

ności m o ż n a in te rp re to w a ć ja k o rezonans (p o k ry w an ie się k ro tn o ści częstości zm ian p a ra m e tró w z k ro tn o ściam i częstości w łasnych u k ła d u ). J a k w id ać, te o ria rezo n an su p a ra m e try c z n e g o d o ty czy p ro b lem u sform ułow anego nieco inaczej niż w p u n k ta c h 1.2 , 1.3. Je d n a k in te re su ją c e je s t odniesienie w yników n u m e ry c zn y c h obliczeń w ykładników L apunow a u kładów o zm iennych p a ra m e tra c h do w yników uzysk an y ch (p rz y założeniu b rak u ro z p ra sz a n ia energii) z zastosow aniem m e to d y rez o n an su p a ra m e try c z n e g o . Teo­

ria rez o n an su p ara m e try c z n e g o d a je a n a lity cz n e re z u lta ty , k tó re n iek ied y m o ż n a w y­

ko rzy stać ja k o przy b liżo n e w arunki u tr a ty sta b iln o śc i, n aw e t gdy z a ło ż e n ia p o trz e b n e do ich w y p ro w ad zen ia nie są spełnione.

2 .1 . T w ie r d z e n ie F lo ą u e ta

Załóżm y, że m acierz A( t ) w u k ła d zie (0.1) z m ien ia się okresow o z o k rese m T , tzn.

A ( t + T ) = A( t ) . (2.1)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Rozwój i upowszechnienie oświaty oraz wynikający z tego wzrost świadomości o możliwości podróżowania, wzrost poziomu życia w wielu krajach oraz wzrost ilości

W szystkie te zjawiska mogą zostać opisane za pom ocą stanu początkowego reprezentowanego przez pewien wektor przestrzeni o skończonej ilości wymiarów oraz przez

tions of analysis of a variety of dynamical problems arising in the theory of composed mechanical systems with random parameters subjected to stochas­. tic

вания на профиль концентраций и на состав реакционной смеси на выходе из реактора. Доказано, что продольное перемешивание влияет отрицательно

W przypadku rozpatrywania układów liniowych niestacjonarnych opisanych wzorami ( 1 ) lub ( 2 ), opisanych niejedną, lecz wieloma macierzami stanu, określenie, czy dany

On the base o f the theory o f linear, unbounded, differential operators it w as made transformation from partial differential equation describing the system to

Metoda określania skali czasu modeli matematycznych...______ 7 Aby uzyskać ogólną postać rozwiązań układu (1.12) wprowadzamy nowy wektor Y zgodnie z relacją.. P -

Mamy niezgodność jednostek, dlatego należy zamienić 105 minut na godziny. Rowerzysta pokona 31,5 km. Jakie przyspieszenie ma samochód który w ciągu 10 sekund rozpędza się