• Nie Znaleziono Wyników

Stabilność rozwiązań nieliniowego stochastycznego równania całkowego w przesztrzeniach Banacha

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Stabilność rozwiązań nieliniowego stochastycznego równania całkowego w przesztrzeniach Banacha"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria: Automatyka z. 28 Nr kol. 397

Jerzy Skrzypczyk

Instytut Konstrukcji i Technologii Urządzeń Automatyki i Elektroniki

STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ NIELINIOWEGO STOCHASTYCZNEGO RÓWNANIA CAŁKOWEGO W PRZESTRZENIACH BANACHA

Streszczenie. Praca zawiera rezultaty dotyczące stabilności nieliniowe- go stochastycznego równania całkowego w przestrzeniach Banacha. Szcze­

gółowo rozpatrzono przypadek stochastycznego nieliniowego równania cał­

kowego Yolterry z jądrem symetrycznym

Warunki stabilności układu dynamicznego opisanego takim równaniem po­

dano w formie kryteriów częstotliwościowych.

Rozpatrywanie stabilności układów dynamicznych opisanych równaniem cał­

kowym przy wykorzystaniu metody analizy funkcjonalnej znajduje coraz szer­

sze zastosowanie. Szczególne znaczenie posiada analiza w przestrzeniach Banacha. Stanowi ona bardzo nowoczesny i efektywny sparat badań własności sygnałów.

Szczególne miejsce wśród rozpatrywanych układów dynamicznych zajmu ą układy liniowe stacjonarne połączone z pewnymi elementami nieliniowymi, niekoniecznie stacjonarnymi. Taki układ dynamiczny może być opisany równa­

niem całkowym Yolterry z jądrem symetrycznym.

Kryteria stabilności rozwiązań równania całkowego•(1) z jądrem syme­

trycznym wyrażają się, przy pewnych ograniczeniach co do nieliniowości, przez charakterystyki częstotliwościowe liniowego operatora Yolterry z jądrem symetrycznym, patrz KUDREWICZ [5]. Istnieje sporo prac traktujących, o stabilności pojmowanej w różny sposób stochastycznego nieliniowego rów­

nania całkowego Volterry z jądrem symetrycznym, patrz np. Jakubowicz [jt] , Liewit [6], Morozan [73, Tsokos [9].

t

s(t,co) = h(t,ooJ + ¡K( t-T,co ) f(T,x(T»u)*u)dT.

'o

Wstęp

(2)

W pracy podjęto próbę ogólnego potraktowania stabilności stochastycz­

nych równań całkowych w przestrzeniach Banacha. Konsekwencją takiego po­

traktowania jest to, że kryteria częstotliwościowe 8tają się warunkami drugorzędnymi, wystarczającymi dla spełnienia pewnych założeń twierdzenia 1 w szczególnym przypadku równania całkowego z jądrem symetrycznym.

1. Założenia

Rozpatrywać będziemy stochastyczny odpowiednik równania całkowego Vol~

terry

x(t,<o) =» h(t,co) + i K(t,ir,co) f(r,x(T»u) ,u)dT. (2) Jo

W całej pracy założymy, że

(i) co€£2,Si jest zbiorem zdarzeń elementarnych przestrzeni probabi­

listycznej (£2 , G, P) indukowanej przez procesy h, K i f|

(ii) x, h są procesami stochastycznymi}

(iii) K jest jądrem stochastycznym mierzalnym na produkcie A ® ffl, gdzie A = |(t,T):0<T <t<oo| •

(iv) f jest nieliniową funkcją przypadkową mierzalną na RQ® 2 dla każdego skończonego x e R = (-oo,oo).

2. Definicje stabilności

W pracy nie zajmujemy się problemami istnienia rozwiązań równania cał­

kowego, tylko zagadnieniami stabilności tych rozwiązań, o ile istnieją.

Definicja 1

Rozwiązanie stochastycznego równania całkowego-(2) x(t,co) nazwiemy sta­

bilnym (w sensie Lapunowa) w przestrzeni Banacha (z normą || • | ), jeżeli V 3 ||h(t,io)j| < Ó = > f l x ( t , c o ) | < g .

£ > o ó > o Definicja 2

Rozwiązanie stochastycznego równania całkowego (2) x(t,w) nazwiemy sta­

bilnym asymptotycznie, w sensie średnim, jeżeli jest stabilne w sensie definicji 1 i ponadto

lim |[x(t,co)|| » O,

t-*-co “

gdzie ¡zim «(^|x(t,co)|mF(d<o))1/ •

(3)

3 . Stabilność rozwiązań równania całkowego w przestrzeni Banacha

Dla większej czytelności pracy podamy niżej treść pewnych twierdzeń,.z których będziemy później korzystać już bez dodatkowych wyjaśnień.

Twierdzenie Yosida 01, str. 191J.

Niech (Rq,A,M) będzie przestrzenią Lebesgue'a z miarą; niech x(t,co) będzie mierzalną funkcją te Rq z wartościami w przestrzeni Banacha

) i niech ||x(t,oo)|m jest lokalnie całkowalna. Wtedy

||/x(t,w;dt||m < i||x(t,co;||

"R •'R

dt dla każdego Be A.

m

Nierówność Holdera

—1 —1 Jeżeli p i q są liczbami dodatnimi spełniającymi związek p + q =1 i jeżeli fel^(a,b), g e L q(a,b), to fgel(a,b) i

,1/P/b. 0 \i/q

7* / t \ /p ł f a \

yif(x)g(x)|dx \s u ) \ ą^ j

nierówność ta jest prawdziwa zarówno dla przedziału skończonego,jak i nie­

skończonego.

Nierówność Minkowskiego

Jeśli p > 1 i f e l p(a,b), g e L p (a,b}, to f + g e L ^ a . b } i

1/P / br n \ 1/P Pdx

nierówność jest prawdziwa dla przedziału skończonego, jak i nieskończone­

go-

Powiemy, że zmienna losowa x(<o) jest P - istotnie ograniczona, jeżeli istnieje stała a> 0 taka, że

P(|ws |x(oo)| > a| ) = 0.

Oznaczymy dalej

(4)

Przejdziemy teraz do sformułowania podstawowego twierdzenia»Oznaczmy nor­

mę rozpatrywanej przestrzeni Banacha j|. [| , normę operacji | • | •

Twierdzenie 1

Jeżeli spełnione są następujące warunki:

(i) 3 3 Iif(t,xfw ; x - x| Cgr ||x||, A>o r>o

(ii; 3 |a| <nj N>o

(iii;i m > (r+i;n,

to rozwiązanie równania całkowego { 2 ) jest stabilne (w sensie Lapunowa} w rozpatrywanej przestrzeni Banacha. A - oznacza operator określony przez całkę w równaniu (2;.

Dowód

Oznaczmy u =■ f(trx,co;. Wówczas równanie (2) możemy zapisaó w postaci

x = h + Au. (3 i

Równanie (3 ; napiszemy w postaci równoważnej

Xx = X h + XAu

lub

X x - Ax = X h + A(Xu - x ) ,

(XI - A/x = Xh + A(Xu - xj. (4 ;

Z warunku (iii; wynika, że X nie należy do widma operatora A patrz np.

[5], a równanie (3 ; lub (4 ; staje się równoważne równaniu

x = (xi - a;-1 a(Xu - x; + (xi - a;- 1 xh,

||x||<|(xi - ar 1 a I | | x u - x|| + |(xi - a ; ~ 1 I ||h| | x | .

Na podstawie założenia (i;

||x||«|(xi - ar 1 a| r ||x|| +|x| |(xi - a;_1| ||h||.

(5)

Ponieważ

| ( M - A r 1 A | < | ( M - A ) - 1 | | A | < | X | ' 6 | - A - | <

ftfzi

patrz np. [jj] , więc

f T F T T r |X| + p i | T H Bhł' Ponieważ z założenia (iii) wynika

Hr < 1 ,

|X|- N

więc

lub

co końozy dowód.

iuii (1 - ¡— — i < n ^ r ^ - I \|- N I M - H

1*1 < . INI I M - (r+1 iN

4. Stabilność w sensie Łapunowa równania całkowego Yolterry z .jądrem symetrycznym

Definicja 3 Niech L

wszystkich funkcji x(t,ooi mierzalnych względem produktu £2 ® T takich, że Niech l| ( oznacza przestrzeń Banacha ((T,^i - przestrzeń z miarąj

^(||x(t,Cóii2 i {t(dti<oo,

gdzie | • l2 określona wzorem z definicji 2.

Normę w przestrzeni l|(Ti zdefiniujemy jako

(6)

Uwaga. Aby wykazać, że l| jest przestrzenią Banacha zauważmy,że jest to przestrzeń Lebesgue’a określona na produkcie2, ® T. Ponadto jest to prze­

strzeń Hilberta z iloczynem skalarnym określonym w sposób następujący:

■ / i

<x(t,co),y(t,<o)> = x( t,oo)y( t,oj)P( doo)p( dt).

Lemat 1

r 2 Jeżeli y(t)<J" x(t-T)h(T)dT i heL[0,ooJ, to dla każdej funkcji xeL£

[0,T] zachodzą relacje:

(i) /fx(t)|2dt - iy /|xT(jv;|2drvf

*x> ^oo

(ii) T y(t) 2dt < /" |k( jv)XT( Jv)|2dvj oo

(iii) jeżeli ponadto x(t)>0, to

i

x(t)y(t)dt< ReK(jv)|xT(jv)|2dV,

•¿•oo

gdzie IT(jvi « / exp(-jVt)x(t)dt, K(jv) - /exp(-jvt)h(tidt.

•{> -^o

Dowód

Wynika prosto z twierdzenia 2,4, Kudrewicz [5, str. 86j i z pewnych ele­

mentarnych nierówności.

ad. (i) Jest to Jedna z postaci równości Parsewala.

2

T. • co •

|y(t)|2d t < /|z(t)|2dt - / |K(jv)XT(jv)|2dv,

Jo J-OO

i

gdzie z(t) O l x (t-T)h(T)dtr.

ad.

I T. oo

(lii) fx(t)y(t)dt</x(t)z(t)dt ° / ReK( jv) jv)|2dv.

—co

(7)

Lemat 2

Dla każdego 0 < T < o o operator

t

(Ax)(t,w) = /K(t-T,co)x(Tr,co)dT 'o

przekształca przestrzeń l|(T) w siebie i zachodzą nierówności:

OO

(i) |A|<sup|K(;jv)| , gdzie K(JV) = /||K(t,co)|| exp(-jvt )dt j

V l

(ii) sup A < sup ReK(jv).

V Dowód

ad. (i)

|| i"K(t-,r,w)x(T,co)dr|| 2 || i K( t-T.to)!^ |x(Tfco) | 2 dT| 2

■b L2 _____ -6 °°_____________ ii

|AI = sup — ---¡7— -r--- < sup

x s L ? M t , c o ) \ \ x e l Ą 2

(5) Oznaczymy XT(jv) = fexp(-jvt) ||x(t,co)||2 dt, po wykorzystaniu nierówności

•o

(ii) lematu 1 i nierówności (5 ) otrzymamy

°° l/2 r°° 1/2

x t(j v^i2 w ) ^ p i K(jv)|(y i x ^ ) | 2dv

| A | < sup --- — < sup

x e L § l |x ( . , » ) || « « i f

2 2

sup |K( jv)| . ad. (ii)

Re

= sup

Re<Ax, x>

sup A = sup — — 5— *--- =

2 Lg

J i fx(t,co) / K(t-T,oj)x(T,CL>)dTjp(dco)dt

•'o •'2 • ' o ___________________________

(8)

Po wykorzystaniu nierówności Hóldera

Re j ( ||x(t,V)||2 j f ¡Kft-r.coJl^IlKdr.oj^lIgdTMt

Jo Jo

sup A < sup --- o---

* ' 4

Korzystając z nierównoMci (iii) lematu 1 otrzymamy

OO

R e ( ? f / Re K ( j v ) | x T ( j v ) |

2

d v )

sup .A< --- — -- < sup ReK(j-v).

i * i:2 v

2

Twierdzenie 2 Jeżeli

(i) 3 3 i( ff(t,x,w)>,- x|L)2 dt<r/(¡x(t,w)|2 ) dtj

X > o r>o JQ JQ

(ii) |K |> (r+1) sup ReK(jv) V

to rozwiązanie stochastycznego równania całkowego Volterry z jądrem syme­

trycznym (i) jest stabilne w sensie lapunowa w przestrzeni L2(T).

Dowód

Wynika bezpośrednio z treści twierdzenia 1 i lematu 2.

5. Stabll no ś ó a s y m p t o t y c z n a w s e nB le ś r ed ni m

Lemat Kudrewicz |_5, str. 149].

Jeżeli k € L 2 [0,oo] i u L2 [0,oo], to splot

o ° .

v(t) - lk(t-T)u(T)dT Jo

jest funkcją ograniczoną i dąży do zera przy t-»-oo.

(9)

Twierdzenie 3

Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 2 i ponadto

(i) ||K( t,03)1^6 L2 [0,oq] ;

(ii) h(t,o>) eL2 C0>°°] 5

(iii) lim ||h(t,oo)|| - O, + -►00

to rozwiązanie równania całkowego (1) jest stabilne asymptotycznie w sen­

sie średnim.

Dowód

Ze wstępnych założeń wynika, że rozwiązanie równania (1) o ile istnie­

je jest stabilne w sensie przestrzeni L2 , a łącznie z założeniem (i) zapewnia, że

\ j „ ||u( t,co)|L 6 L2 [O.ooJ . x el|

Ponieważ

||x(t,co)||2 < j " {|k( t-T,co)J^|u |gdT + |h(t,w)||2 ,

więc spełnione są wszystkie założenia cytowanego lematu i stąd

co kończy dowód.

Wnioski

Najważniejszym chyba wynikiem pracy jest to, że wyniki proc. pokrywają się ze znanymi wynikami deterministycznymi j w przypadku braku losowości rozpatrywanych zjawisk.

Stosowane metody są bardzo przejrzyste i czytelne w odróżnieniu od więk­

szości rozważań z tej tematyki.

Wykorzystanie twierdzenia 1 do badania stabilności układu niestacjonar­

nego jest oczywiście możliwe i jest stosunkowo łatwe. Rozważania te zo­

stały przytoczone tylko ze względu na ograniczony zakres pracy.

(10)

LITERATURA

1. Ahmed U.U., Teo K.s On the stability of a class of nonlinear stocha­

stic systems, Information and Control, 1972, Vol. 20, No 3, 276-293- 2. Gichman I.I., Skorochod A.W.j Tieorija słuczajnych prociessow, T. 1,

Izd. Nauka, Moskwa 1971.

3. Gichman I.I., Skorochod A.W.s Wstęp do teorii procesów przypadkowych, PWN, Warszawa 1968.

4. Jakubowicz W.A.: Czastotnyje usłowija ustojcziwosti rieszenij nieli- niejnych intiegralnych urawnienij awtomaticzeskowo uprawlienija,Wiest- nik Lieningradskowo Uniwiersitietata, 1967, No 7, 109-125.

5. Kudrewicz J.s Częstotliwościowe metody w teorii nieliniowych układów dynamicznych, WNT, Warszawa 1970.

6. Liewit M.W. i Czastotnyje usłowija absoliutnoj stchasticzeskoj ustoj­

cziwosti sistiem awtomaticzeskowo uprawlienija so słuczajnymi wniesz- nimi wozdiejstwiami, Dokł. ANSSSR, 1970, 195, No 4, 769-772.

7. Morozan T.s The method of V.M. Popov for control systems with random parameters, J. Math. Anal. Appl., 1966, 16, 201-215.

8. Padgett W.J., Tsokos C.P. t On a stochastic integral equation of the Volterra type in telephone theory, J. Appl. Probability, 1971, 8,No 2, 269-275.

9. Tsokos C.P. : The method of V.M. Popov for differential systems with random parameters, J. Appl. Probability, 1971, 8, No 2, 298-310.

10. Tsokos C.P., Hamdan M.A.s Stochastic asymptotic exponential stability of stochastic integral equations, J. Appl. Probability, 1972, 9, No 1, 169-177.

11. Yosida K.j Funkcjonalnyj analiz, Izd. Mir. Moskwa 1967.

OB yCTOH'üîBOOTH PEUiEHilK CTOXAOTKUECKOPO HEffiiHEflHOrO HHTETPAHbHOrO YPABHEHllfl B EAHAXOBHX IIPOCTPAHGTBAX

P e 3 D si e

PaccMoTpeHH npodJieuH yCToftunBOCTH pemeHHii croxacTHVeCKoro mhterpaxLHo — r o ypaBHeHHfl. b EaiiaxoBhK npocTpaKCTBax.

HoxpodHO paccuoTpeHO CToxacT uvecKoe HeaiiHefiHoe HHTerpajibHoe ypaBHenue BoXbTeppil C CHUUeTpMUeCKHU n x p o u .

x(t,co) = h(t,03) + I k(t,T ,03) f(r,x(T,u)»u)dir.

'o

y c j I O B H a C T a Ó ł tJ I Ł H O C T M X H I l a M H V e C K o f t C M C T e U H M 3 0 6 p a x e H H 0 Ü T a K H M y p a B H e H H e M n o x a H U B B H X e U a C T O T O U H b l X K p n T e p n e B o

(11)

ON THE STABILITY OP SOLUTIONS OP STOCHASTIC NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS IN BANACH SPACES

S u m m a r y

In the paper we consider problems of stability of a class of stocha­

stic nonlinear integral equations in Banach spaces. Particularly the case of stochastic nonlinear symmetric Volterra equations are treated in great detail.

Cytaty

Powiązane dokumenty

M alec, Schema des differences finies pour un systeme d'equations non lineaires partielles elliptiques aux derivees mixtes et avec des conditions aux limites du

[r]

Zauwa»my, »e dowód stwierdzenia 1.1 mo»na rozszerzy¢ rów- nie» na przypadek, gdy x jest operatorem pomi¦dzy ró»nymi przestrzeniami Hilberta... (1.2) (w szczególno±ci

Czyli dla tych wartości k nasze oryginalne równanie będzie miało dokładnie jedno rozwiązanie.... Czyli dla tych wartości k nasze oryginalne równanie będzie miało dokładnie

Streszczenie» W pracy przedstawiono częstotliwościowe kryteria stabil- ności stochastycznej zupełnej oraz średniej stabilności z p-tą potęgą dla pewnej

runki istnienia rozwiązań równania całkowitego w pewnej przestrzeni Banacha Lp , w przypadku słabej i silnej nieliniowości operatora

Integracja regionu nie jest zakończona, niemniej uwidocznia się już pewna wspólnota zachowań w wyborach prezydenckich i europejskich.. Główne pojęcia: socjologia polityki,

➤ Soczewka może wytwarzać obraz przedmiotu tylko dlatego, że może ona odchylać promienie świetlne; ale może ona odchylać promienie świetlne tylko wtedy, gdy jej