Seria: Automatyka z. 23
IIr k o l . 353
Jerzy K lamka
Instytut Automatyki Przemysłowej i Pomiarów
ZAST OS OW A NI E ILOCZYNU T E N SO RO W EG O M ACIERZY D O B A D A NI A STE R OW AL NO Ś CI U K Ł AD ÓW D YN AM ICZNYCH
S t r e sz cz e ni e. W artykule podano definicję i podstawowe w ła sności iloczynu tensorowego m a c i e r z y . W oparciu o wpr o
wadzone pojęcia sformułowano twierdzenia dotyczące stero
w alności lin i ow yc h stacjon a rn yc h u k ł a d ó w dynamicznych.
1. Wstęp
W ła sn oś c i iloczynu tensorowego m a c i e r z y m o g ą być wy ko rz y s t a n e w pewnych przy pa dk a ch do badania s terowalności li ni ow yc h st ac j onarnych u k ł a d ó w dy
namicznych. Ogólne warunki sterowalności tych u k ł ad ó w zostały podane w p r a ca c h [1] i [2], W n in ie j sz ym opracowaniu opierając się n a definicji i w ł a s n o ś c i a c h i loczynu tensorowego m a ci e r z y [3] sformułowano twierdzenia d otyczące w a r u n k ó w sterowalności pewnych t yp ów li niowych stac j on ar ny c h u- k ł a d ó w dynamicznych.
2. Iloczny tensorowy maci er zy i jego własności
D ef inicja 1 . Iloczynem tensoro wy m A ® B m a c ie r zy A ( m x n ) i m a c ie rz y B (pxq) n a z y wa my m a c ie rz o wym ia ra c h (mpxnq^ ok r eś lo ną następująco:
A ® B
a 11B a 12B * * • a 1nB a 21B a 22B • * * 8 2nB
3 ..B 3 «B «•» 3 B
ml m 2 ran
W ła sności iloczynu tensorowego macierzy:
1. Jeżeli m a c i er z e A, B, C, D m a j ą o dp owiednie wymiary, to:
(a®b k c ®d; = (a c; ® (b d;.
62 Jerzy Klamka
2. Jeżeli A i B są m acierzami nieosobliwymi, to maci er z ( A ® B ) 1 istnie
je i jest określona relacją:
( A ® s r 1 = A- 1 ® 3 " 1.
3. Jeżeli A i 3 są ma ci er z am i kwadratowymi o w ym ia ra c h A(nxn), B(mxmj, to:
det( A ® B i = (det A f . ( det Bin .
4. Jeżeli A i B są m ac i er za mi kwadratowymi, to iloczyn do’volnej warto
ści własnej macierzy A i dowolnej wartości własnej mac ie rz y 3 jest w ar to ś ci ą w łasną m a c i er zy ( A ® B j .
ó. Zachodzi n a s t ę p u j ą c a relacja:
r z ą d ( A ® B j = r z ą d A . rz ąd B.
3, Sterowalność l i ni owych st acjonarnych u k ł a d ó w dyn am i cz ny ch
H i e c h będzie dany liniowy s ta cjonarny u k ł a d dynamiczny 5, o równaniu stanu i rów na n iu Y/yjścia postaci:
x ( t i = Ax(tj + Bu(ti (li
S:
y(ti = Cx( t i, (2i
gdzie A(nxni, B(nxmi, C(pxni, są m a ci er z a m i o stały ch elementach, x e R n , u e i f , y e n 11.
u ( * ) e U klasa funkcji przedziałami ciągłych.
D ef inicja 2 . U k ł a d dynamiczny S jest sterowalny, jeżeli dla każdego stanu poc zą tk ow e go x Q £ Rn istnieje sterowanie u ( t ) eU, które sprowadza ten stan do zera v/ skończonym czasie. Yi pracy [i] wykaz an o ,ż e bada n ie ste- r ow al no ś ci ukła d u S m oż n a sprowadzić do badania rz ę du tzw. ma c ie rz y ste- rov.alności W utvm>rzonej z m a c i e r z y A i B w nastę pu ją c y sposób:
W = [ b j
A B| A 2 b | j A n _ 1 b ] .
( 3 )Zgodnie z [i] mamy: "Warunkiem k on ie cz n ym i wy s ta rc za j ąc ym sterowalno- ści u k ł ad u S, jest aby m a c i e r z V/ m i a ł a r z ą d równy n". Ponieważ stero
walność u k ł a d u S jest zależna od m a c i er zy A i B, więc m o ż n a wprowadzić nast ęp u ją cą definicję [ j j :
Definicja 3 . Uporządkowani} parę macierzy (A, 3), o w y miarach A(nxnj B(nxmJ, na zywamy parą sterowalną, jeżeli maci er z W dana w zorem (3) jest rzędu n.
Opierając się na włas no śc ia c h iloczynu tensorowego mac ie r zy oraz poda
nych defin i cj ac h sterowalności m oż na sformułować n a st ęp uj ą ce twierdzenia!
Twierdzenie 1. Wa ru nk ie m koniec zn y m i wystarczającym, aby para m acie
rzy (A, BJ była parą sterowalną, jest aby para (AST, BSTJ, gdzie T jest dowolną m a c i e r z ą nieosobliwą, była parą sterowalną.
Dowód. War un ek k o n i e c z n y . Załóżmy, że para (A,Bj, gdzie A(nxnj, B(nxmJ jest sterowalna oraz n i e c h T ( qXql będzie dowolną m ac i e r z ą n ie osobliwą (q jest dowolną liczb ą naturalnąl. Utwórzmy m a ci e rz sterowalności W(nxnmJ:
W =* [b iAB S A 23 |... j An_ 1 b]. (4>
Ponieważ para (A,BJ jest sterowalna, więc r z W = n.
Utwórzmy m a c i er z sterowalności W T (nqxnqmqj dla pary (AST, B®Tj
W T * [(Bi»;|(A®Tj(BST>|(A®Tj2 (B®T> j. . . j ( A ST jnq_1 ( BST jj -
- [B«r](ABJ®T2 |fA2B J ® T 3 | • • • i (Anq— 1 BlOT*“1] . ( 5 )
Ponieważ r z W » n, więc istnieje u k ła d n liniowo n i ez al eż n yc h kolumn w ^ , w 2 ,...,wn , tworzących podmacierz W m acierzy W-
W
wj w 2 ! ' * * W n ] d e t ^ ^
Utwórzmy podmacierz W T mac i er zy W^ w sposób następujący:
[
w^®T 1 jw2® T 2 j...| wn® T 37 * r ! * r ~|nJ
, gdzie: l < r ^ < n dla j = 1,2,... ,n.Na p od s tawie (6) i własności iloczynu tensorowego mamy:
det \?T - (det W > q (det T> 1 2 ” jt 0,
więc r z W T = rzW ^ = nq, czyli para (AST, BSTj jest sterowalna.
Warunek wy s ta r c z a j ą c y . Załóżmy, że para (A®T, B ® T
)
jest sterowalna.Wówczas rz W ^ = qn, i można u tworzyć podmacierz HV^, (nxnqmqj macierzy W^, ma
jącą rzW^, = n, następującej postaci:
■ (AB ->®tf j - . . t” |... | (Anq_1S B j t!?qJ , (7 )
gdzie
t* 1 < i < q , l < k < n q , i-ty wiersz maci er z y T*1.
Ponieważ zachodzi:
r z W T = rzjij ¡AB {A 2 B j. . .{ An - ^ B j. .. j An q _ 1 B] = rz [b ¡AB{A2 B |.. . j A11-1 b] = n
wi g c para (A,B) jest sterowalna.
o. b. d. o.
Twierd ze n ie 2 . Jeżeli para (A®F, B®H), gdzie: A(nxn), B{nxm), F(sxs), G(sxr), jest sterowalna, to także pa r y (A,B) oraz ( F,G) są sterowalne.
Dowód. Ponieważ para (A®F, B®G) jest sterowalna, więc jej m a c i e r z ste- r ow al n oó ci W (n s xn m s r ) postaci:
W = [b®g |(A®FJ(B®G>{(A®f;2 (B®G)j... !(A®F)n8_1 (B®G)] »
» [b® G ( AB )® (FG){(A2 B) ®< F 2 G)j...{ (AnB_1 BteiF118-1 G)] (8)
jest r z ę d u ns.
Wprowadźmy, dla skrócenia zapisu oznaczenia:
(a^b)^, l < i < n , l < k < n s , i-ty wiersz m a c i e r z y (A^B)
(f^gjj, l < j < s , l < k < n s , j-ty w iersz m a c i e r z y (Fk G).
U t w ó r z m y p odmacierz W A ( n x n m s r ) m a c ie r zy W:
W A = |jB®(g )j | ( AB)®( f g)^ | ( A^B)®( f 2g j j j * * * { ( An s — 1 Bjafi118’ 1 g j J . (9)
Ponieważ r z W - ns, więc r z W ^ a n.
M acierz W A m o ż n a przed s ta wi ć w pos ta ci i loczynu d w óc h macierzy:
W a » W^Wg, W 1 (nxnms), W 2 (nmsxnmsr ), (10)
gdzie
W . [b |a b|a2b|...| An 8 “ 1 fi] (11) 64______________________________________________________________ Jerzy Klamka
ł
3 ( g ) . m r a z y 0
\ 0
( f « ) j ( f g ) ,
0 0
0
Ponieważ r z W A = n < m i n ( r z W ^ , rzW,,), więc:
n - r z W 1 > rz [b j AB |a2B| ... |An 8 ” 1 b] = rz [b |aB |a2B |... | An_1 b] . (12)
Ha mocy rów no ś ci (12) para (A,B) jest sterowalna.
W celu udo wo dn ie n ia sterowalności pary (F,G), tworzymy p odmacierz Wp ( sx n s m r j ma c ie rz y W postaci:
W p = [(bJi® G ! ( a b J 1« ( P G; j( a2b J .® (P 2 G j L . J (an 0 ~ 1b j i®(Fn 8 “ 1 G)] .
Ponieważ r z W = ns* więc r z W p = s.
żna przedstawić w po
Wp = W3W4» W^(sxnsrJ, W 4 (nsrxnmsr),
Maci er z W p m o ż n a przedstawić w postaci iloczynu dwóch macierzy:
gdzie
w 3 = [g |f g|f2 G|... ¡F*18-1 g]
( 1 4 )
( 1 5 )
b .
11 r 12 r i
b I . . . Ib, I Ii l a r j r---- r;— --- 1
— l ( a b ) , . I | . . . ¡ ( a b ) , I |ab)ltIrl***J^a.b
I--- ¡...
i i r
0
i i
i i
i i
I macie rz jednostkowa o w ymiarze (rxr).
Ponieważ r z W p = s < m i n ( r z W 3 , rzW^), więc:
6 - rzW3 - r z [
g|
pG¡F2 G
i. . . P80" ^ ] = r z [o |
fG jp2 G j . . . j F8-1
g] . ( 1 6 )
Na m o c y ró wn oś ci (1 6) para (P,G) jest sterowalna*
c* b.d.o*
66 Jerzy Klamka
4. Wnioski
Ze względu n a i'akl, że sterowalność ukła dó w d.ynaiiiiczn,ych jest pojęciem dualnym wz g lę d e m pojęcia obserwowaln oś ci , ws zy st k ie podane twierdzenia m o gą być zastosowane do badania obserwowalności. W t ym celu należy jedynie w miej sc e mac ie rz y we jś ć u k ładu B, podstawić t ransponowaną macie rz wyjść u kładu CT .
Należy podkreślić, że twierdzenie odwrotne do t wi erdzenia 2 nie jest prawdziwe, to znaczy, że sterowalnodć par (A,B) oraz (P,Ci,nie zawsze po
ciąga za sobą sterowalność pary (A®F, B ® G ).
Dokładnie powyższe stwierdzenie u l us truje p rzykład 3 zamieszczony po
niżej.
T wi erdzenie 2 m o ż n a łatwo uogólnić poprzez indukcję m at e ma t y c z n ą na p rz ypadek N par macierzy.
5. Przykłady
1) Przykład ilustrujący twierdzenie 1;
Niech:
- u ■ • [ : ; ] • ■ [ :
Wówczas m a c i er z sterowalności W m a postać:
r i -| fi 2 4 8]
W = [B ¡AB] »
[i 2 6 1 2 J
rzw = 2.Pora (A,B) jest sterowalna, wobec tego na podstawie twierdzenia 1, para (A®T, B®T) jest też sterowalna, co m o ż n a również łatwo sprawdzić przepro
wadzając od powiednie obliczenia:
2 1 6 2 1 4 2 ]
A ®T a 4
8 3
4 12
4 9
2 B® T =» 4
p 3 1
8 4
6
16
12 8 6 4 3 8 26_W T « [ b® t|(AOT)(BOT)!(A®T)2 (BOT)
j
( AOT)'1 ( BOT)J
r z W ^ = 4.; ]
det T = 2 * 0.Para (A®T, BOT) jest więc sterowalna.
2) Przy kł ad ilust ru ją c y twierdzenie 2:
Niechs
W ó w c z a s •
A®P
1 0 0 0' '1
0 0
20 0 3
0
0 B ® G = 2
4
0 0 0 b_ 8
1 1 1 1 1
2 4 8 16
4 1 2 36 108 *
a 48 288 1728
Para (A®P, B«Gj jest więc p ar ą sterowalną.
Na pod st a wi e t w ierdzenia 2 sterowalne są także p a r y (AtB j oraz (F,Gj, co m o ż n a sprawdzić obliczając rz ęd y ich m a c i e r z y sterowalnoćcii
[1 - a
rzW,[5 U
rzW-r,2 .
Pary (A,b) oraz ( F fG) są parami sterowalnymi.
3) K o n t r p r z y k ł a d na twierdzenie odwrotne do twie rd ze ni a 2s Niech!
a » - [ i ] a - r a
t: a
r * » A - 2 Pary (A,B) oraz (F,G) są sterowalne.Zgodnie z def i ni cj ą il oczynu tensorowego mamyi
A ® F
f2 0 0 0' 0 4 0 0 0 0 4 0 ( 0 0 0 8_
n 2 4 8"
1 4 16 64
' h U
48 1664 512_64B ® G
r z W p - 2.
r z W
Para (A®P, B®G> jest więc p a r ą niesterowalną, zatem t w ierdzenie odwrotne do tw ierdzenia 2 ni e jest prawdziwe.
68 Jer ay Klamka
LXTISA TU RA
1. R.-E. K alman - " Mathematical description of linear dynamical systems".
J .3 IA H Control ser. A, vol. 1, n r 2, str. 152-192. 1963.
2. It. B. Kalman, P.T. Falb, M.A. Arbib - "Topics in ma th e m a t i c a l system teory". McGraw-Hill. N e w York. 1969.
3. H.H. Rosenbrock, C. Storey - "Mathematics of dynamical system".Nelson.
London. 1970.
UHtM HiEHM E T EH 30 P 0r 0 JIP0M3BEHEH11R MATFHH S O HCH BTaHMH yiIPA3J1HEMOCTM RMHAMMUECIWX CHCTEM
P e a n u e
B ciaTie npe^cTaBJieno noHÄTae a ^yHflaueHToJifcHue cnoftCTaa TeH30poro r:;;»- asaexeiizii uaTpHit. H a ocHOBe BBexenHinc noHKTMÜ jianTC» Teopeu« o e ynpaBJia- eiiOCTH JIBHeilHUX CTaliHOHapHtDC iUHaUBVeCKHX CMCTeU.
A PP LI C A T I O N T H E T EN SO R PRODUCT OP M A T R I CE S TO IN V ES TI GA T IO N CONTR OL LA BI L IT Y D Y N A MI CA L SYSTEMS
S u m m a r y
In this pa p er the definitions and basic p roperties of the tensor p r o duct o f m a t r i c e s are presented. The theorems concerning controllability li
n e a r time-invariant dynamical s y s t e m s , us in g i ntroduced basic concepts are given.