• Nie Znaleziono Wyników

Zastosowanie iloczynu tensorowego macierzy do badania sterowalności układów dynamicznych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Zastosowanie iloczynu tensorowego macierzy do badania sterowalności układów dynamicznych"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria: Automatyka z. 23

IIr k o l . 353

Jerzy K lamka

Instytut Automatyki Przemysłowej i Pomiarów

ZAST OS OW A NI E ILOCZYNU T E N SO RO W EG O M ACIERZY D O B A D A NI A STE R OW AL NO Ś CI U K Ł AD ÓW D YN AM ICZNYCH

S t r e sz cz e ni e. W artykule podano definicję i podstawowe w ła sności iloczynu tensorowego m a c i e r z y . W oparciu o wpr o­

wadzone pojęcia sformułowano twierdzenia dotyczące stero­

w alności lin i ow yc h stacjon a rn yc h u k ł a d ó w dynamicznych.

1. Wstęp

W ła sn oś c i iloczynu tensorowego m a c i e r z y m o g ą być wy ko rz y s t a n e w pewnych przy pa dk a ch do badania s terowalności li ni ow yc h st ac j onarnych u k ł a d ó w dy­

namicznych. Ogólne warunki sterowalności tych u k ł ad ó w zostały podane w p r a ca c h [1] i [2], W n in ie j sz ym opracowaniu opierając się n a definicji i w ł a s n o ś c i a c h i loczynu tensorowego m a ci e r z y [3] sformułowano twierdzenia d otyczące w a r u n k ó w sterowalności pewnych t yp ów li niowych stac j on ar ny c h u- k ł a d ó w dynamicznych.

2. Iloczny tensorowy maci er zy i jego własności

D ef inicja 1 . Iloczynem tensoro wy m A ® B m a c ie r zy A ( m x n ) i m a c ie rz y B (pxq) n a z y wa my m a c ie rz o wym ia ra c h (mpxnq^ ok r eś lo ną następująco:

A ® B

a 11B a 12B * * • a 1nB a 21B a 22B • * * 8 2nB

3 ..B 3 «B «•» 3 B

ml m 2 ran

W ła sności iloczynu tensorowego macierzy:

1. Jeżeli m a c i er z e A, B, C, D m a j ą o dp owiednie wymiary, to:

(a®b k c ®d; = (a c; ® (b d;.

(2)

62 Jerzy Klamka

2. Jeżeli A i B są m acierzami nieosobliwymi, to maci er z ( A ® B ) 1 istnie­

je i jest określona relacją:

( A ® s r 1 = A- 1 ® 3 " 1.

3. Jeżeli A i 3 są ma ci er z am i kwadratowymi o w ym ia ra c h A(nxn), B(mxmj, to:

det( A ® B i = (det A f . ( det Bin .

4. Jeżeli A i B są m ac i er za mi kwadratowymi, to iloczyn do’volnej warto­

ści własnej macierzy A i dowolnej wartości własnej mac ie rz y 3 jest w ar to ś ci ą w łasną m a c i er zy ( A ® B j .

ó. Zachodzi n a s t ę p u j ą c a relacja:

r z ą d ( A ® B j = r z ą d A . rz ąd B.

3, Sterowalność l i ni owych st acjonarnych u k ł a d ó w dyn am i cz ny ch

H i e c h będzie dany liniowy s ta cjonarny u k ł a d dynamiczny 5, o równaniu stanu i rów na n iu Y/yjścia postaci:

x ( t i = Ax(tj + Bu(ti (li

S:

y(ti = Cx( t i, (2i

gdzie A(nxni, B(nxmi, C(pxni, są m a ci er z a m i o stały ch elementach, x e R n , u e i f , y e n 11.

u ( * ) e U klasa funkcji przedziałami ciągłych.

D ef inicja 2 . U k ł a d dynamiczny S jest sterowalny, jeżeli dla każdego stanu poc zą tk ow e go x Q £ Rn istnieje sterowanie u ( t ) eU, które sprowadza ten stan do zera v/ skończonym czasie. Yi pracy [i] wykaz an o ,ż e bada n ie ste- r ow al no ś ci ukła d u S m oż n a sprowadzić do badania rz ę du tzw. ma c ie rz y ste- rov.alności W utvm>rzonej z m a c i e r z y A i B w nastę pu ją c y sposób:

W = [ b j

A B

| A 2 b | j A n _ 1 b ] .

( 3 )

Zgodnie z [i] mamy: "Warunkiem k on ie cz n ym i wy s ta rc za j ąc ym sterowalno- ści u k ł ad u S, jest aby m a c i e r z V/ m i a ł a r z ą d równy n". Ponieważ stero­

walność u k ł a d u S jest zależna od m a c i er zy A i B, więc m o ż n a wprowadzić nast ęp u ją cą definicję [ j j :

(3)

Definicja 3 . Uporządkowani} parę macierzy (A, 3), o w y miarach A(nxnj B(nxmJ, na zywamy parą sterowalną, jeżeli maci er z W dana w zorem (3) jest rzędu n.

Opierając się na włas no śc ia c h iloczynu tensorowego mac ie r zy oraz poda­

nych defin i cj ac h sterowalności m oż na sformułować n a st ęp uj ą ce twierdzenia!

Twierdzenie 1. Wa ru nk ie m koniec zn y m i wystarczającym, aby para m acie­

rzy (A, BJ była parą sterowalną, jest aby para (AST, BSTJ, gdzie T jest dowolną m a c i e r z ą nieosobliwą, była parą sterowalną.

Dowód. War un ek k o n i e c z n y . Załóżmy, że para (A,Bj, gdzie A(nxnj, B(nxmJ jest sterowalna oraz n i e c h T ( qXql będzie dowolną m ac i e r z ą n ie osobliwą (q jest dowolną liczb ą naturalnąl. Utwórzmy m a ci e rz sterowalności W(nxnmJ:

W =* [b iAB S A 23 |... j An_ 1 b]. (4>

Ponieważ para (A,BJ jest sterowalna, więc r z W = n.

Utwórzmy m a c i er z sterowalności W T (nqxnqmqj dla pary (AST, B®Tj

W T * [(Bi»;|(A®Tj(BST>|(A®Tj2 (B®T> j. . . j ( A ST jnq_1 ( BST jj -

- [B«r](ABJ®T2 |fA2B J ® T 3 | • • • i (Anq— 1 BlOT*“1] . ( 5 )

Ponieważ r z W » n, więc istnieje u k ła d n liniowo n i ez al eż n yc h kolumn w ^ , w 2 ,...,wn , tworzących podmacierz W m acierzy W-

W

w

j w 2 ! ' * * W n ] d e t ^ ^

Utwórzmy podmacierz W T mac i er zy W^ w sposób następujący:

[

w^®T 1 jw2® T 2 j...| wn® T 37 * r ! * r ~|

nJ

, gdzie: l < r ^ < n dla j = 1,2,... ,n.

Na p od s tawie (6) i własności iloczynu tensorowego mamy:

det \?T - (det W > q (det T> 1 2 ” jt 0,

więc r z W T = rzW ^ = nq, czyli para (AST, BSTj jest sterowalna.

Warunek wy s ta r c z a j ą c y . Załóżmy, że para (A®T, B ® T

)

jest sterowalna.

Wówczas rz W ^ = qn, i można u tworzyć podmacierz HV^, (nxnqmqj macierzy W^, ma­

jącą rzW^, = n, następującej postaci:

■ (AB ->®tf j - . . t” |... | (Anq_1S B j t!?qJ , (7 )

(4)

gdzie

t* 1 < i < q , l < k < n q , i-ty wiersz maci er z y T*1.

Ponieważ zachodzi:

r z W T = rzjij ¡AB {A 2 B j. . .{ An - ^ B j. .. j An q _ 1 B] = rz [b ¡AB{A2 B |.. . j A11-1 b] = n

wi g c para (A,B) jest sterowalna.

o. b. d. o.

Twierd ze n ie 2 . Jeżeli para (A®F, B®H), gdzie: A(nxn), B{nxm), F(sxs), G(sxr), jest sterowalna, to także pa r y (A,B) oraz ( F,G) są sterowalne.

Dowód. Ponieważ para (A®F, B®G) jest sterowalna, więc jej m a c i e r z ste- r ow al n oó ci W (n s xn m s r ) postaci:

W = [b®g |(A®FJ(B®G>{(A®f;2 (B®G)j... !(A®F)n8_1 (B®G)] »

» [b® G ( AB )® (FG){(A2 B) ®< F 2 G)j...{ (AnB_1 BteiF118-1 G)] (8)

jest r z ę d u ns.

Wprowadźmy, dla skrócenia zapisu oznaczenia:

(a^b)^, l < i < n , l < k < n s , i-ty wiersz m a c i e r z y (A^B)

(f^gjj, l < j < s , l < k < n s , j-ty w iersz m a c i e r z y (Fk G).

U t w ó r z m y p odmacierz W A ( n x n m s r ) m a c ie r zy W:

W A = |jB®(g )j | ( AB)®( f g)^ | ( A^B)®( f 2g j j j * * * { ( An s — 1 Bjafi118’ 1 g j J . (9)

Ponieważ r z W - ns, więc r z W ^ a n.

M acierz W A m o ż n a przed s ta wi ć w pos ta ci i loczynu d w óc h macierzy:

W a » W^Wg, W 1 (nxnms), W 2 (nmsxnmsr ), (10)

gdzie

W . [b |a b|a2b|...| An 8 “ 1 fi] (11) 64______________________________________________________________ Jerzy Klamka

(5)

ł

3 ( g ) . m r a z y 0

\ 0

( f « ) j ( f g ) ,

0 0

0

Ponieważ r z W A = n < m i n ( r z W ^ , rzW,,), więc:

n - r z W 1 > rz [b j AB |a2B| ... |An 8 ” 1 b] = rz [b |aB |a2B |... | An_1 b] . (12)

Ha mocy rów no ś ci (12) para (A,B) jest sterowalna.

W celu udo wo dn ie n ia sterowalności pary (F,G), tworzymy p odmacierz Wp ( sx n s m r j ma c ie rz y W postaci:

W p = [(bJi® G ! ( a b J 1« ( P G; j( a2b J .® (P 2 G j L . J (an 0 ~ 1b j i®(Fn 8 “ 1 G)] .

Ponieważ r z W = ns* więc r z W p = s.

żna przedstawić w po

Wp = W3W4» W^(sxnsrJ, W 4 (nsrxnmsr),

Maci er z W p m o ż n a przedstawić w postaci iloczynu dwóch macierzy:

gdzie

w 3 = [g |f g|f2 G|... ¡F*18-1 g]

( 1 4 )

( 1 5 )

b .

11 r 12 r i

b I . . . Ib, I I

i l a r j r---- r;— --- 1

— l ( a b ) , . I | . . . ¡ ( a b ) , I |ab)ltIrl***J^a.b

I--- ¡...

i i r

0

i i

i i

i i

I macie rz jednostkowa o w ymiarze (rxr).

Ponieważ r z W p = s < m i n ( r z W 3 , rzW^), więc:

6 - rzW3 - r z [

g

|

p

G¡F2 G

i

. . . P80" ^ ] = r z [o |

f

G jp2 G j . . . j F8-1

g

] . ( 1 6 )

Na m o c y ró wn oś ci (1 6) para (P,G) jest sterowalna*

c* b.d.o*

(6)

66 Jerzy Klamka

4. Wnioski

Ze względu n a i'akl, że sterowalność ukła dó w d.ynaiiiiczn,ych jest pojęciem dualnym wz g lę d e m pojęcia obserwowaln oś ci , ws zy st k ie podane twierdzenia m o ­ gą być zastosowane do badania obserwowalności. W t ym celu należy jedynie w miej sc e mac ie rz y we jś ć u k ładu B, podstawić t ransponowaną macie rz wyjść u kładu CT .

Należy podkreślić, że twierdzenie odwrotne do t wi erdzenia 2 nie jest prawdziwe, to znaczy, że sterowalnodć par (A,B) oraz (P,Ci,nie zawsze po­

ciąga za sobą sterowalność pary (A®F, B ® G ).

Dokładnie powyższe stwierdzenie u l us truje p rzykład 3 zamieszczony po­

niżej.

T wi erdzenie 2 m o ż n a łatwo uogólnić poprzez indukcję m at e ma t y c z n ą na p rz ypadek N par macierzy.

5. Przykłady

1) Przykład ilustrujący twierdzenie 1;

Niech:

- u ■ • [ : ; ] • ■ [ :

Wówczas m a c i er z sterowalności W m a postać:

r i -| fi 2 4 8]

W = [B ¡AB] »

[i 2 6 1 2 J

rzw = 2.

Pora (A,B) jest sterowalna, wobec tego na podstawie twierdzenia 1, para (A®T, B®T) jest też sterowalna, co m o ż n a również łatwo sprawdzić przepro­

wadzając od powiednie obliczenia:

2 1 6 2 1 4 2 ]

A ®T a 4

8 3

4 12

4 9

2 B® T =» 4

p 3 1

8 4

6

16

12 8 6 4 3 8 26_

W T « [ b® t|(AOT)(BOT)!(A®T)2 (BOT)

j

( AOT)'1 ( BOT

)J

r z W ^ = 4.

; ]

det T = 2 * 0.

Para (A®T, BOT) jest więc sterowalna.

(7)

2) Przy kł ad ilust ru ją c y twierdzenie 2:

Niechs

W ó w c z a s •

A®P

1 0 0 0' '1

0 0

20 0 3

0

0 B ® G = 2

4

0 0 0 b_ 8

1 1 1 1 1

2 4 8 16

4 1 2 36 108 *

a 48 288 1728

Para (A®P, B«Gj jest więc p ar ą sterowalną.

Na pod st a wi e t w ierdzenia 2 sterowalne są także p a r y (AtB j oraz (F,Gj, co m o ż n a sprawdzić obliczając rz ęd y ich m a c i e r z y sterowalnoćcii

[1 - a

rzW,

[5 U

rzW-r,

2 .

Pary (A,b) oraz ( F fG) są parami sterowalnymi.

3) K o n t r p r z y k ł a d na twierdzenie odwrotne do twie rd ze ni a 2s Niech!

a » - [ i ] a - r a

t: a

r * » A - 2 Pary (A,B) oraz (F,G) są sterowalne.

Zgodnie z def i ni cj ą il oczynu tensorowego mamyi

A ® F

f2 0 0 0' 0 4 0 0 0 0 4 0 ( 0 0 0 8_

n 2 4 8"

1 4 16 64

' h U

48 1664 512_64

B ® G

r z W p - 2.

r z W

Para (A®P, B®G> jest więc p a r ą niesterowalną, zatem t w ierdzenie odwrotne do tw ierdzenia 2 ni e jest prawdziwe.

(8)

68 Jer ay Klamka

LXTISA TU RA

1. R.-E. K alman - " Mathematical description of linear dynamical systems".

J .3 IA H Control ser. A, vol. 1, n r 2, str. 152-192. 1963.

2. It. B. Kalman, P.T. Falb, M.A. Arbib - "Topics in ma th e m a t i c a l system teory". McGraw-Hill. N e w York. 1969.

3. H.H. Rosenbrock, C. Storey - "Mathematics of dynamical system".Nelson.

London. 1970.

UHtM HiEHM E T EH 30 P 0r 0 JIP0M3BEHEH11R MATFHH S O HCH BTaHMH yiIPA3J1HEMOCTM RMHAMMUECIWX CHCTEM

P e a n u e

B ciaTie npe^cTaBJieno noHÄTae a ^yHflaueHToJifcHue cnoftCTaa TeH30poro r:;;»- asaexeiizii uaTpHit. H a ocHOBe BBexenHinc noHKTMÜ jianTC» Teopeu« o e ynpaBJia- eiiOCTH JIBHeilHUX CTaliHOHapHtDC iUHaUBVeCKHX CMCTeU.

A PP LI C A T I O N T H E T EN SO R PRODUCT OP M A T R I CE S TO IN V ES TI GA T IO N CONTR OL LA BI L IT Y D Y N A MI CA L SYSTEMS

S u m m a r y

In this pa p er the definitions and basic p roperties of the tensor p r o ­ duct o f m a t r i c e s are presented. The theorems concerning controllability li­

n e a r time-invariant dynamical s y s t e m s , us in g i ntroduced basic concepts are given.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W kopertach wśród kartek tworzących treść zadania są przypadkowo dołożone treści, które albo nie zawierają żadnych istotnych informacji potrzebnych do rozwiązania, albo

czyli ro zp atrywany układ dynamiczny typu 2-D Jest lokalnie sterowalny, a co za tym idzie również lokalnie hor&gt;zontal- nle i we rt ykalnie sterowalny... Układ

syłanej. Jak wykazały przeprowadzone badania, skrócenie czasu przerwy automatyki SPZ nie zawsze prowadzi do poprawy warunków równowagi, można mówić o pewnym

[r]

Optymalizacja własności dynamicznych ... Układy elektromechaniczne ... Dynamika przekładni zębatych ... Dynamiczne tłumienie d rgań ... M odel drgań skrętnych ... M odel

[r]

rowalny, to także dla każdej macierzy leżącej na prostej przechodzącej przez zero i punkt reprezentujący macierz B w przestrzeni Rnm,układ (1) nie jest regularnie

W teorii konstrukcji obszary te m ożem y wykorzystać do oszacow ania częstości drgań w łasnych i analizy stabilności wielowymiarowych układów dynam icznych o