Nr 90
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ
Automatyka z. 4 1963
PIERRE VTDAL
ANALIZA STABILNOŚCI
NIELINIOWEGO UKŁADU REGULACJI IMPULSOY/EJ
S treszczen ie. V/ pracy przedstawiono analizę prze
mysłowego układu s t a b i l i z a c j i napięcia, którego praca ma charakter impulsowy i n ielin iow y«
Uzyskane wyniki umożliwiły zaprojektowanie n ie lin io wego elementu korekcyjnego, d zię k i któremu układ mo
że pracować optymalnie.
I . Stabilność nieliniow ego układu re g u la c ji impulsowe.i z modulacja szerokości impulsu
1. IV p r o w a d z e n i e
Teoria liniowych układów impulsowych je s t już obecnie ćlość dobrze rozw in ięta (ju r y - Ragazzini, Cypltin, Kuzin) i ich analiza nie przedstawia większych trudności te o retyc z
nych. Natomiast n ie spotyka s ię zupełnie p u b lik a cji ujmują
cych an alizę układów impulsowych z uwzględnieniem n ie lin io wości w sposób kompletny.
Celem n in ie js z e j pracy je s t zn a lezien ie warunków s t a b il
ności asymptotycznej układu zawierającego prostowniki s te rowane. Pod warunkami s ta b iln o ś c i asymptotycznej rozumie s ię warunki ja k ie muszą być spełnione aby przy ograniczonej w ielk ości wejściowej wielkość wyjściowa była również ogra
niczona i dążyła do zera. Przeanalizujemy stabilność g lo balną obwodu r e g u la c ji zawierającego prostowniki sterowane i f i l t r oporowo-pojemnościowy (rys.1 ). Tego rodzaju obwód r e g u la c ji je s t bardzo często stosowany w praktyce przemy
słow ej, an aliza jego sta b iln ości globaln ej j e s t bardzo trudna z tego powodu, że praca takiego układu ma charakter impulsowy i n ielin iow y. .
Rys.1. Schemat s ta b iliz a to r a napięcia z prostownikiem ste*
rowanym
Yl rozpatrywanym obwodzie prostownik je s t sterowany na
pięciem sinusoidalnym a r e g u la c ji dokonuje, s ię bez stra t en e rg ii ( r y s . 2 ).
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji... 5
Problem ja k i rozwiążemy w t e j pracy to stabilność obwodu r e g u la c ji zawierającego impulsator steru jący pracą prostow
nika oraz f i l t r RC o s t a łe j czasowej T = RC.
1.2. Modulacja szerokości impulsu
Załóżmy, że system impulsujący wysyła sygnały o szeroko
ś c i proporcjonalnej do sygnału wejściowego (r y s .? )
Rys.3. Zasada działan ia impulsatora
Tg - okres impulsowania T^ - czas trwania impulsu.
1.2.2. Kierowanie pracą prostownika sterowanego je s t n ie możliwe (r y s . 4 ) j e ż e l i błąd e je s t tak duży, że kąt zapło
nu w (n + 1 ) okresie będzie równy <po lub % - <^Q.
Taki przypadek zachodzi wówczas gdy czas trwania impulsu Ti wywołanego ujemnym błędem sp ełn i następujący warunek
Rys.5. Zależność szerokości impulsów od w ielk ości błędu lub odpowiednio
Ti ( + ) - l " œ( + ) Te
1.2.3. Zależność czasu trwania impulsu od w ielkości b łę
du przedstawia rysunek 5.
?
Rys.4. Zakres sterowania pracą prostownika
Analiza stabilnośol nieliniowego układu regulaoji... 7
Połóżmy
T, =oe. . Te — (Jf i « « Te Ł( + ) ( + )
przy czym
cc,
( + ) ---5 Ft£Jk
1.3. Równania układuoraz cc / nc ( - r
f - f o -Pa 2ä
1.3.1. Schemat zastępczy. Prostownik sterowany i system impulsujący mogą być rozpatrywane jako impulsator ( r y s . 6 ) wysyłający sygnały napięcia stałego o szerokości równej cza-
sowi przewodzenia tyratronów. Amplitudy (v ) tych sygnałów zmieniają s ię w czasie trw ania impulsów le c z w n in ie js z e j pracypizyjmujemy dla uproszczenia, że ich wysokość je s t sta
ła i ma wartość równą A.
1.3 .2. Rozpatrzmy przypadek T. = k | £n j . J e ż e li zjaw is
ko nasycenia względnego nie zach&Szi to;
Zakładamy warunek początkowy Z na w yjściu f i l t r u w momen
c ie nT e i szukamy w artości z n + 1 w momencie (n + 1 ) T' e Przebieg napięcia na wyjściu f i l t r u między momentem n T i (n + 1 ) T przedstawia rysunek 7. Równanie różnicowe prze
biegu:
Zn+1 - V (-Zn)] o -
rp _fp
T. -ę i
~ ) e ~ T T ' e
Dla uproszczenia zapisu połóżmy D = e
Te
T I 0 < D < 1 Zakładamy, że sygnał sterujący s b 0, co nie zmienia w n i
czym warunku s ta b iln o ś c i. Równanie różnicowe układu ( r y s . 6) wyraża s ię następującym wzorem;
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji..♦ 9
1.3.3. J e ż e li błąd będzie tak duży, że długość impulsów nie będzie mogła s ię zmienić to je s t gdy za jd zie
cc( + ) k
-r~Te lub cc
- k
v/óvvczas równanie różnicowe układu w yrazi s ię
1 . -A. i )
n
0
(
2)
2. Y/arunki s ta b iln o ś c i globalnej
2.1. Y/ystarczający warunek s ta b iln o ś c i asymptotycznej nieliniowych układów impulsowych1 / zastosowany do równania (1 ) różnicowego pierwszego rzędu można zapisać w j^ostaci nierowności:
D A /
1 - i~i ( e
■“ !£
- 1) (3 )
tt:Y/arunkiem wystarczającym s ta b iln o ś c i asymptotycznej rów
nania różnicowego rzędu m z nieliniowym i współczynnika
mi f
i mn
x + f „ x „ + . . . + f x = 0
n+m 1 n+m-1 m n
, . x oraz n, punkt f - funkcje x *
v 1 * m ° n+m-1
równowagi określony przez x , „=x _= ... « x = 0 sprowa- . nm-i n+m-2 n
dzone do początku układu) je s t , że począwszy od pewnego dowolnie dużego n je s t możliwe dla wszystkich n > H zn alezien ie dowolnej lic z b y e dodatniej t a k ie j, że n ie -
rownosc e 1 - E | f^| będzie spełniona.
Y/arunek wystarczający sta b iln o śc i globaln ej będzie m iał pos
tać dwu równoczesnych nierówności:
e
1+D AD
(4 )
gdzie S 2 określone je s t następującym równaniem
k
e a| - |e o
Jako pierwsze p rzy b liżen ie otrzymujemy:
e . 2 1 ( 1 W . , )
~ “ k ' k AD } ( 5 )
2.2. Załóżmy, że błąd £ je s t ta k i, że T
£/ N> o c - ~ lub
( + ) + k ■(-)| ~ w( - ) k
V/ takim przypadku warunek s ta b iln o śc i asymptotycznej zasto
sowany do równania ( 2 ) v/yrazi s ię nierównością
D
a
-J L /e ( ± ) - _ d
1^1
(6)
która je s t spełniona j e ż e l i
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji»00 11
2o3o Obszar sta b iln o śc i globalnej ,
Na podstawie równań (5 ) i ( 7 ) możemy o k re ś lić obszar s ta b iln o ś c i asymptotycznej ryśoŚ»-W'źtoO'cnienie k określo~
ne wzorem ( 5 ) pozwala ob liczyć maksymalny skok 6 2 dopusz
czalny ze względu na-stabilność» to je s t maksymalną dopU”
szczalną zmianę napięcia wyjściowegoo izałóżymyjj że stan ustalony je s t zdefiniowany to znaczy1, że kąt zapłonu . oraz wartości £ i e 1 są danec
O . . O A . . ■.
Obszar stabilności nieasymptoti/ęznej
Rys»80 Obszar sta b iln o śc i asymptotycznej
Obszar n iesta b iln y je s t zawarty między dwoma strefam i sta b iln o ś c i asymptotycznej® Wszystkie punkty znajdujące s ię w tym obszarze dają rozwiązanie skończone (b łą d ) niezerowe lub oscylacyjne, a zatem n ie mają s ta b iln o ś c i asymptotycz
n ej.
Warunek sta b iln o śc i lokalnej k < T -Tp- je s t spełniony14-D dlatego mogą powstać o scylacje i p rzejść w cykl graniczny.
Łatwo można pokazać, że drgania o amplitudzie Je2| są n iesta b iln e . Przypuśćmy np., że tak ie drgania o amplitu
dzie |S21 is t n ie ją (punkty A i A' z r y s . 8). J e ż e li z ja k ie g o kolwiek powodu bezwzględna wartość błędu osiągnie wartość mniejszą od |s2 | układ stanie s ię sta b iln y a błąd zmniej
szy s ię do zera.
To samo za jd zie gdy amplituda drgań stanie s ię większa od | e^|• Wówczas punkt reprezentujący błąd znajdzie s ię w s t r e fie n ie s ta b iln e j i błąd podąży do innego cyklu gra
nicznego wyznaczonego przez punkty B i B1. Drgania s t a b il
ne są natomiast określone przez punkty B i B ', ponieważ układ wytrącony z tego punktu wraca do niego z powrotem.
Również niesymetryczne drgania o amplitudach kolejno e~ i £ są stab iln e,
2.4. Y/arunek s ta b iln o śc i bez cyklu granicznego
Y/orunek dostateczny to ta ln e j s ta b iln o ś c i asymptotycznej (d la dowolnych, warunków początkowych) pokazany na rysunku 8 pozwala o b liczyć maksymalną wartość wzmocnienia k.
lliechaj cc przedstawia wartość maksymalną określoną przez ccM lub oc/ v. Y/artość maksymalnego wzmocnienia k wyznaczamy z równań i
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji,, <,„ 13
Pierwsze p rzy b liżen ie
1+D
AD ccTT **
1 + "2T 1 + 2T
II. Stabilność układu regulacji impulsowej z modulacją szerokości impulsów i n ielin io w ością dynamiczna 1 ) Równanie układu
p r o w a d z e n i e
Aby układ pracował z wystarczającą dokładnością, wzmac~
niacz G ( r y s , 2) musi mieć dość duże wzmocnienie statyczne dla którego układ ma być sta b iln y 0 Układ musi reagować szyb
ko na zaburzenia i jego wzmocnienie dynamiczne winno być duże <,
'wymagania p recyzji^ s ta b iln o śc i i szybkości pracy układu zmuszają nas do zastosowania nieliniow ego aktywnego obwodu korekcyjnego o następujących własnościach;
- o charakterystyce typu twardego 1 ),
- o wzmocnieniu które je s t znaną funkcją częstotliw ości,.
' V/ lite r a tu r z e francuskiej is t n ie ją nazwy często spotyka»
nych typów n ielin io w ości d la których brak odpowiedników w naszym języku technicznym0Elementem z charakterystyką twardą " l e cara ctéristiq u e de type dur" nazywa s ię n ie
liniow ość jak na ry s .Io
Elementem z charakterystyka miękką nazywa s ię n i e l i niowość jak na r y s o I I 0
Charakterystyki całonu korekcyjnego przedstawiono są na rysunkach 9a i 9b.
Rys. 9b. Charakterystyki elementu nieliniow ego dla różnych c z ę s to tliw o ś c i
Rys.9a. Charakterystyki wzmocnienia w fu n k cji napięcia
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji.». 15
V/ stanie ustalonym wzmocnienie obwodu adaptacyjnego je s t największe, V.'zmocnienio to nic za leży od c zę s to tliw o ś c i (t z n 0 je s t maksymalne) gdy |e| > a i je ) > b to je s t j e ż e l i błąd je s t duży.
Dla małych błędów wzmocnienie je s t funkcją szybkó maleją
cą z częstotliw ością.Z ak res małych wzmoonień (r y s .9 a ) nazy
wać będziemy "studnią wzmocnienia"*
Dokładność r e g u la c ji w artości średn iej napięcia w yjścio
wego w stanie ustalonym je s t wysoka a wzmocnienie układu otwartego dla dużych zaburzeń je s t znaczne. Nieliniow ość t e go typu pozwala skrócić czas r e a k c ji wzmacniacza na zaburze
n ie,
1.2. R e a liza c ja n ielin io w ości
Schemat blokowy elementu nieliniow ego przedstawia rysu
nek 10. Studnię wzmocnienia uzyskuje s ię przez sumowanie sygnałów o prawie równych amplitudach i przeciwnych fazach.
G je s t wzmacniaczem sygnałów sta łych o stałym wzmocnieniu statycznym. G je s t wzmacniaczem sygnałów zmiennych, któ
rego wzmocnienie maksymalne je s t b lis k ie 1(0,95 do 0,99) i który nasyca s ię dla błędów £ > a i |e| > b.
Rys.10. Schemat blokowy układu re a lizu ją cego funkcję n i e l i niową
Wzmocnienie dynamiczno całego układu je s t b lis k ie zeru dla sygnałów nie przekraczających szerokości (a + b ) studni wzmocnienia.
n ielin iow ość je s t funkcją wzmocnienia, le c z konfiguracja wzmacniaczy pozwala narysować układ ( r y s . 11) równoważny dla układu z r y s .10 z następującymi elementami.
p - obwód RC o fu n k cji p rz e jś c ia H = R?C1 'j—"rr
gdzie T =(R1 + R£ ) C, +P
- element n ielin io w y przedstawiający nasycenie,
- wzmacniacz sygnałów stałych, o wzmocnieniu g2 prawie równym wzmocnieniu g^ drugiego wzmacniacza.
f
Biorąc pod uwagę pierwsze p rzy b liże n ie , możemy napisać:
A = R 2 C,£
i wówczas;
y gdzie;
$ - funkcja n ielin iow a.
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji,,.» 17
1.3o Równanie różnicowe nieliniow ego układu impulsowego„
Schemat blokowy układu przedstawia rysunek 120 Z punktu wi~
dzenia s ta b iln o ś c i ła tw ie j je s t analizować układ przedstawić»
ny na rysd 3 o Jak w punkcie 1C2 mamy s k' |en U le c z wzmocnienie k '( c ) ma charakterystykę n ieliniow ą dynamiczną przedstawioną na r y s o 1 4 °
Ryoc12o Układ blokowy układu r e g u la c ji z korektorem n ie li=
niowym
R ys.13« Schemat zastępczy obwodu r e g u la c ji
R ys.14. Charakterystyka wzmocnienia K w fu n k cji błędu
t Głębokość studni wzmocnień k określa stosunek wzmocnień
t tMkorektora nieliniow ego dla c z ę s to tliw o ś c i zerowej i n ie - skonczonej.£ '
Układy przedstawione na rysunkach 6 i 13 są identyczne;
jedyna różnica tkwi w wyrażeniu na wzmocnienie kf . Równania różnicowe układu są więc następujące:
£ - - E D n+1 n i j e ś l i
— £ 1 » ± (e T 11
• y
1)
T.
(9)
8 > o c , s - A
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji,,,,,, 19
1 <>4o Obszar sta b iln o śc i as.ympt o tycznej
Obszar sta b iln o śc i asymptotycznej je s t określony jak pc=
przednio przez nierównością
i e ^ £2 ¥ e 2 " lo g + S2 " llP ^
L e > f i o cc T. (1 1 )
'o “ 1+D- -OT ( • ( ± ) 1 - 1)J2Ł
In te rp reta cja geometryczna tych warunków je s t in teresu - jąca, zwłaszcza j e ż e l i porównać wyznaczony przez n ie obszar s ta b iln o śc i z obszarem sta b iln o śc i układu bez studni wzmocnię n ia ( r y s
015
)oe
- f -— Z1» .
Rys,15« In terp reta cja geometryczna warunków sta b iln o śc i asym
ptotycznej
k£
log 0
Przy pewnej w artości ku wzmocnienia statycznego nieład sta je s ię n iesta b iln y dla błędu £ takiego, że £~ < £ -= £ j dodanie elementu nieliniow ego pozw oliło p rzek szta łcić ten obszar na s ^ e e •
Otrzymujemy więc (ry s .1 6 ) ogólną postać obszaru s t a b il
ności z korektorem i bez nieliniow ego korektora dynamiczne»
go. Granice są narysowane dla c z ę s to tliw o ś c i zerowej (bez studni wzmocnienia) i dla c z ę s to tliw o ś c i nieskończenie w ie l
k ie j.
Rys,16. Porównanie obszarów sta b iln o śc i asymptotycznej ukła
du z korektorem i bez korektora
1.5. Optymalizacja nieliniow ego obwodu korektora
Naszym celem je s t znalezien ie obwodu korektora takiego aby układ b ył sta b iln y w stanie statycznym (ustalonym lub ąuasi-statycznym a wzmocnienie układu było maksymalne. Y/y-
Analiza stabilności nieliniowego układu regulacji... 21
maga s ię również sta b iln o śc i dynamicznej układu, t j 0 układ ma być sta b iln y przy dowolnych zaburzeniach.
Rys.17« Optymalny obszar sta b iln ości
Rys„18. In te rp reta cja geometryczna optymalnego obszaru sta b iln o śc i
77 stanie -ustalo
nym maksymalna wartość wzmocnie
nia wynosi s
Dla t e j w artości wzmocnienia sta tycznego można znaleźć n ie lin io wość pozwalające
stabilizow ać układ (rys»17)o
Szukamy na przykład n ie lin io wości typu stud
nia wzmocnienia (ry s »1 8 ). Ta n ie
liniow ość pozwala uzyskać n ajk ró t-
■ szy czas narasta«*
nia napięcia»
Przy dużym sto sunku wzmocnień
■£— możemy apro-kM ksymować charak~
terystykę n i e l i niową k £ do charakt erys ty k i wychodzącej z punk=
tu a. Otrzymuj my dla nieskoń
czenie w ie lk ie j c z ę s to tliw o ś c i l i n i ę pokazaną na rys »18»
Układ będzie sta b iln y w stanie dynamicznym dla wszystkich zaburzeń j e ż e l i szerokość a studni wzmocnienia je s t równa lub większa od w artości wynikającej z warunku s ta b iln o śc i układu nieliniow ego dla błędu e Q.
cc. T
( + ) e e = JffiL (e T _ 1 )
Ł o 1+D ^ 1
Rys. 18 pokazuje minimalną wartość S Q która może być określona przez a to je s t
v f \ i + i e
lic z b a zawsze dodatnia i rosnąca wraz z ^ Tg Pierwsze p rzy b liże n ie :
2 2
M . e
a° = ’ +D 2t2
V/ rzeczyw istości wartość k wzmocnienia dla £ < a nie je s t zerem i K któro je s t mgłębokością studni wzmocnienia daje:
2 2 cc T
AD + e K f . , \
o 1+D ori2 * K-1 K
a - ~ , J_. ,
2T
Głębokość K studni wzmocnienia przedstawia tłumienie obwodu korektora w fu n kcji c zę s to tliw o ś c i.
Optymalną byłaby więc studnia, k tó rej szerokość będzie funkcją c z ę s to tliw o ś c i podanej we wzore ( 1 3 )- laką studnię wzmocnienia pokazano na rys.19.
22
Pierre Vidal
Układ będzie sta b iln y w stanie dynamicznym dla wszystkich zaburzeń j e ż e l i szerokość a studni wzmocnienia je s t równa lub v/iększa od w artości wynikającej z warunku s ta b iln o śc i układu nieliniow ego dla błędu e Q.
C C . rp
( + ) e e = JffiL (e x _ 1 )
Ł o 1+D V 1
Rys. 18 pokazuje minimalną wartość S Q która może być określona przez a to je s t
V/ \
_ 1+1 e
lic z b a zawsze dodatnia i rosnąca wraz z Pierwszo p rzy b liże n ie :
2 2
. t . a f \ T
a - J S C+-) -e, o “ 1+D 2t2
VSf rzeczyw istości wartość k wzmocnienia dla S < a nie je s t zerem i K któro je s t mgłębokością studni wzmocnienia daje:
2 2 cc T
AD + e K , \
% = 1+D 2t2 * K-1 K 1
Głębokość K studni wzmocnienia przedstawia tłumienie obwodu korektora w fu n kcji c zę s to tliw o ś c i.
Optymalną byłaby więc studnia, k tó rej szerokość będzie funkcją c z ę s to tliw o ś c i podanej wo wzore (13 )- Taką studnię wzmocnienia pokazano na rys.19.
Z drugiej strony dla punktu odpowiadającego danemu stano=
wi ustalonemu w artości cc,/ \ i są znane a wartość opty
' ' ■ j W i ł Vl*5 C* +/■*£-«T l -S.
korektora optymalnego
malna stosunku wynikająca z wyraże=
nia (1 3 ) je s t nastę=
pującas
_a b
oc/ v 2 { -l* > )
f a - P o 31
(1 4 ) 2 - )
"1 *6. Z alety układu z korektorem
Wprowadzenie elementu nieliniow ego pozw oliło otrzymać większą dokładność re g u la c ji napięcia wyjściowego w stanie ustalonym« Z drugiej strony wzmocnienie obwodu otwartego dla większych zaburzeń je s t duże9 d zięk i czemu układ reaguje bardzo szybko na zakłócenia»
Element n ielin iow y p o zw o lił uzyskać maksymalne (optymal
ne ) parametry stanu dynamicznego zgodnie z warunkami s t a b il
ności, Osiągnięto w ten sposób kompromis między sta b iln ością układu oraz dokładnością i szybkością r e g u la c ji»
1,7o Obszar sta b iln ośc i w funkc.ii kata zapłonu
Obszar s ta b iln o ś c i w fu n kcji kąta zapłonu (rys®21 ) uzys
kano przy pomocy rysunku 20 dla studni v/zmocnienia nic s p e ł«
n ia ją cej warunku (1 2 ).
Obszar sta b iln o śc i asymptotycznej w fu n k cji kąta zapłonu przedstawia maksymalne skoki napięcia wyjściowego dopuszczał“
ne ze względu na stabilność asymptotyczną dla układu ze stud=>
nią wzmocnienia i bez studni dla wzmocnienia k jj ^ T
24 Pierre Vidal
Rys-20- Optymalny obszar
Rys-21• Obszar sta b iln o śc i asymptotycznej w fu n k cji warunków początkowych
i M l
c= f ( ł w - 0
Podziękowanie
N in ie js z ą pracę wykonałem w Katedrze T e o r i i R e g u la c ji P o lit e c h n ik i Ś lą s k ie j pod kierunkiem p ro fe s o ra dr Stefana Węgrzynao
Pragnę Mu w yrazić moją głęboką wdzięczność za um ożli
w ie n ie pracy w Katedrze T e o r ii R e g u la c ji i za nieustanną pomoc i rady na k tóre zawsze znajdował d la mnie c z a s 0
Zespołowi Katedry T e o r i i R e g u la c ji, którego znakomita koleżeńska atmosfera i wspaniały n a s tró j naukowy z r o b iły na mnie ogromne w rażenie, składam również moje serdeczne podziękowaniea
LITERATURA
[ ' I S„Węgrzyn et P.V id ais Sur la s t a b i l i t é asymptotique d e s -systèmes éch an tillon n és non- l i n e a i r e s " 0 Bullo Acad0 P o lon a ise Sciences ~ s é r ie Sciences Technique nr 1 et 2 (1963)o
[ 2] R.EoKalman and J 0EoBertrams C on trol system a n a ly sis and design v ia the ’’ Second method" o f Ljapunov Jour- n al o f ba sic E n gin erin g. June 1960o
26 Pierre Vidal
А Н А Л И З У С Т О Й Ч И В О С Т И Н Е Л И Н Е Й Н О Й И М П У Л Ь С Н О Й С И С Т Е М Ы У П Р А В Л Е Н И Я
С о д е р ж а н и е
В работе представляется анализ импульсных систем учити- вающий встречающихся в таких системах нелинейности а в осо
бенности системы автоматического регулирования включа
ющие управляемые выпрямители, а также ф ильтры типа RC.
Особенно внимательно происледовано условия асимптотичес
кой устойчивости таких систем.
S T A B IL IT Y OF N O N L IN E A R S A M P L E D D A T A C O N T R O L SYSTE M S
S u m m a r y
The paper deals with analysis of an industrial voltage stabiliser which is a nonlinear sampled data control system. The results obtained make possible the design of nonlinear correction circuit, ow ing to which an optimal operation o f the whole control system can be achieved.