Zastosowanie zasady prac przygotowanych do wyznaczania wielkości siły krytycznej
1. Różne sformułowania zasady prac przygotowanych
Z w róćm y uw agę n a zakres stosow alności ogólnie znanych zw iązków p rze d staw ia jąc y c h wielkości p rzy ro stó w p ra c y sił zew nętrzn ych i od p o w iad ający ch im p rzy ro stó w energii p o ten c jaln e j w ew nętrzny ch sił sp rę żystości, jak o poszczególnych w yrazów w chodzących w rów nanie w y ra żające zasadę p ra c p rzyg o to w an ych .
O znaczając przez:
óL — p rac ę p rzy g o to w a n ą sił zew n ętrzn y ch , er, t — n ap rężen ia,
e, y — o d k ształcen ia,
<5 — z n a k w ariacji, czyli nieskończenie m ałego p rz y ro s tu danej wielkości, m ożem y n ap isać znane rów n an ie doty czące wielkości p ra c y n a p rę ż e ń n a o d k ształcen iach p rzy g o to w an y cn w p o sta c i
6 L =
J
dV{oxóex + OydeyJ- ozdez + Txdyx + Tyóyy + Tzdyz). (1) UA zate m :
„ P ra c a sił zew n ętrzny ch ciała będącego w rów now adze p rz y jego d o w olny m przem ieszczeniu p rzy g o to w a n y m połączonym z odkształceniem je s t ró w n a p ra c y p rzygotow anej n ap rę ż e ń w ew n ętrzn y ch n a odpow ied
nich p rzy ro sta c h odk ształceń . N azy w am y j ą p ra c ą p rzy g o to w an ą o d kształcen ia.
To doniosłe tw ierd zenie je s t w ażne ogólnie bez w zględu n a m ate ria ł ciała, je s t p rzeto w ażne d la m ateriałów sp ręży sty ch ja k i elastoplastycz- n y c h (w rów now adze) tj. p rz y w szelkich zależnościach sta n u o d k sz ta ł
cenia od s ta n u n a p ię c ia “ 1.
R ów nanie (1) zostaio w yprow adzone w założeniu odkształceń n ie zm iernie m ały ch w p o ró w n an iu do każdego z w ym iarów ro zpatry w an ego
1 C ytata w g prof. H ubera, Teoria sprężystości, P A N , str. 113.
42 J ózef Ledwoń
ciała znajdu jąceg o się w rów now adze, czyli av założeniu spełniania w a
run k ó w nierozdzielności ja k rów nież niezm iennych w czasie obciążania w aru n k ó w p o d p a rc ia, jed n ak że dla dow olnych, czyli n a w e t skończonych w arto ści składow ych przem ieszczeń.
N a p rz y k ła d w cienkim pręcie sp ręży sty m o postaci zakrzyw ionej, pom im o w ystępow ania m ałych w ydłużeń i skoszeń 1 w k aż d y m elem encie jego objętości, poszczególne p u n k ty m ogą doznaw ać przem ieszczeń w spół
m iernych z n ajw iększym w ym iarem p rę ta .
G dy m a te ria ł je s t doskonale sp ręży sty , to p rac a sił w ew nętrznych U dla odkształceń rzeczyw istych i p ra c a sił zew nętrznych L w y raża się w zoram i:
d TI— / dJ (<Tx d € x OydEy “I“ * d s z ~\- Tx d y x ~i~ D d y y “i" ^ z d y z ) ? ( ^ )
i = n Pi
L = V f P , d p i , (3)
( = 1 ó
gdzie pi je s t składow ym przem ieszczeniem p u n k tu zaczepienia siły P , w k ieru n k u jej działania.
W iadom o, że d la m ate ria łu doskonale sprężystego całkow ita p rac a sił zew n ętrzn y ch je st ró w n a liczbowo energii w ew nętrznej sił sp ręży stości, czyli
L = T J . (4)
Pow yższe tw ierdzenie je s t w ażne dla jakiegokolw iek p raw a sp ręży
stości p rz y przem ieszczeniach dow olnych.
W celu u ła tw ie n ia dalszych ro zw ażań w ypiszem y zasadę p ra c p rz y gotow anych w najogólniejszej p o staci (jedn ak bez uw zględniania sił m asow ych):
i = n
J
d V ( < j x d e x + ( T }, de}, + o z Ó£z + T x d y x + T y d y y + T z ó y z) = ^ PiPi. ( 5 )V / = 1
W zór (5) je s t jed y n ie in n ą fo rm ą zapisania w zoru (1) jak o najogólniejszej zasady m echaniki.
D okonajm y obecnie m ożliw ych sta ty c zn ie w ariacji wielkości a, r i P.
O trzy m am y :
J d V ( a x -{- d a x) {oy -\- ó a y ) d e y -)- (<jz -\- dffzjófiz-l-
V
i= n
~f~ (p~h ńrx)óyx-\- (p -j- dTy)dyy -\- (rz-j- órz)dyz= ^ (P/ + óP,)óp,-. (6)
__________ i=i
1 W prow adzam n o w y term in s k o s z e n i e od p ow iad ający rosyjskiem u jjd w ig , n ie m ieckiem u — G l e i t u n g .
O d ejm ijm y stro n a m i ró w nan ie (5) od ró w n an ia (6) o trzy m am y : i=n
J dV(doxdex+ doydey-)- óozdez-\- drxdyx-\-Tydyy-\-Tz dyz) — ^ P ^ p j . (7) (=i
B iorąc um ow nie e, r i p ja k o nieskończenie m ałe, w yrażo ne w pow yż
szym w zorze przez de, dr i dp, m ożem y rów nanie (7) n ap isać w p ostaci:
i= n
f d V (e xócrx + eyday 4- ezdaz+ y xÓTx + y yóry -\-yz ÓTz) = ^ p idPi . (8)
v i = l
W zór pow yższy p rz e d sta w ia d ru g ą p o sta ć zasad y p ra c p rzy g o to w a
nych, w y ró żniającą się ty m , że w ariacji podlegają siły i naprężenia, a nie o dkształcenia.
M iędzy ujęciem z a sa d y p ra c przy g o to w an y ch w edług w zoru (5) a r e lac ją p o d a n ą przez w zór (8) m am y zasadniczą różnicę.
W zór (8) je s t p o p ra w n y jed y n ie d la nieskończenie m ałych w artości e i p, n a to m ia s t we w zorze (5) m ogą one' m ieć w artości dowolne.
W obu p o sta c iac h zasad a p ra c przyg o to w anych stosu je się dla m a teriałó w sp ręży sty ch ja k i e la sto p la sty c z n y c b .
D rugie sform ułow anie po siad a je d n a k znacznie w ęższy zakres z a sto sow ania n iż sform ułow anie pierw sze.
W k o n k lu zji m ożna b y w nosić, że niezależnie od p raw a łączącego o d k sz ta łce n ia i n ap rężen ia zaw sze m ożem y sko rzy stać z jednego z dwóch p rzy to c zo n y c h sfo rm ułow ań zasady p ra c p rzyg oto w any ch, zw racając je d y nie uw agę n a zakres stosow alności sform ułow ania drugiego podającego w ariację p od ług n ap rężeń . N ie n a p o tk a liśm y p rz y ty m n a żadne ogra
niczenie, z pow odu któ reg o nie m ożna b y stosow ać zasady p rac przy g o to w an y ch do zjaw isk a w yboczenia jak o u k ład u nieliniow o sprężystego, ja k to tw ierd zili n ie k tó rz y badacze niem ieccy n p . Póschl.
P ra w d o p o d o b n ie zastrzeżenie o niem ożności stosow ania zasad y p rac p rzy g o to w an y ch do zjaw isk a w yboczenia w ynikało z tego, że d la o bcią
żeń p o n a d k ry ty c z n y c h w ogólności nie m a liniow ej zależności m iędzy w ielkością sił o b ciążających a przem ieszczeniam i u s tro ju , chociażby m a
te ria ł podlegał p raw u H o o k e ’a.
Z pow yższych ro zw ażań w idzim y, że t a k d la m ateriałó w sp ręży stych , ja k i dla e la sto p lasty czn y ch p rz y nieskończenie m ały ch przem ieszczeniach m ożem y zm ieniać m iędzy sobą nieskończenie m ałe p rz y ro s ty n ap rężeń i odpow iadające im p rz y ro s ty o d k ształceń niezależnie od kolejności w y
stępo w an ia poszczególnych w ielkości, czyli
^ d P ^ ó p f2)= ^ " dp\tó d P{,‘2\ (9)
1=1 1=1
44 J ó zef Ledwoń
M ożem y więc p rz y m ałych w ychyleniach p r ę ta z położenia rów now agi w otoczeniu danej siły p o n a d k ry ty c zn e j stosow ać zw iązki w y n ik ające z obu w yżej p o d an y ch sform ułow ań zasady p ra c p rzy go tow an ych . W p rz y p a d k u interesującego nas szczególnie p u n k tu rozdw ojenia sta n u rów no
wagi w iem y, że przejście z jednego sta n u rów now agi do sta n u drugiego nie je s t zw iązane z n ak ła d e m p racy.
W obec tego p rz y obciążeniu u stro ju siłą k ry ty c z n ą rów nanie (7) p rzy jm ie p o stać
| dV(daxóex-\- dayóey -j- daz dyezJr Srxóyx -\- dxydyy -\- órzóyz) = 0, (lb ) P o d obn ie praw e stro n y ró w n ań (5) i (8) b ęd ą rów ne zera.
2. Równania równowagi dla sil krytycznych
Z asad a p ra c przygotow anych d o ty czy układów zn ajd u jący ch się w r ó wnow adze, czyli ta k p o d p a rty c h , a b y nie w ystępow ało zjaw isko ru c h u niejed n ostajnego u k ła d u ja k o całości.
Z aliczając obciążenia ja k rów nież o ddziaływ ania w m iejscach p o d p arcia lu b u tw ierd zen ia do sił zew nętrznych, zak ład am y, że z n a jd u ją się one m iędzy sobą w rów now adze.
M ówiąc zaś o rów now adze, d la k tó rej stosuje się zasadę p ra c p rz y gotow anych, m am y n a m yśli rów now agę m iędzy siłam i zew n ętrzny m i a siłam i w ew nętrznym i, czyli n ap rężen iam i.
J e śli m am y dany zw iązek m iędzy nap rężen iam i a odkształceniam i oraz ustalone siły zew nętrzne, to k a ż d y p u n k t ro zp atryw anego ciała przy jm ie po jego od kształceniu jednoznacznie określone położenie rów now agi.
Pow yższa jednoznaczność nie je s t w p rost oczyw ista dla w arto ści p rze łom ow ych n a gran icy rozdw ojenia rów now agi, gdzie p rz y ty c h sam ych p a ra m e tra c h je s t m ożliwe przejście z jednego s ta n u rów now agi do dw óch, czyli do sta n u rów now agi stałej lu b do sta n u rów now agi chw iejnej.
W p rz y p a d k u siły obciążającej P rów nej sile k ry ty c z n ej Pk m am y więc do czynienia ze sta n e m gran iczny m m iędzy sta n e m rów now agi s ta łej i rów now agi chw iejnej. P rzejście z jednego sta n u rów now agi do d r u giego nie w ym aga żadnego p rz y ro stu o d kształcenia lub siły ob ciążającej, gdyż sta n g ran iczn y je s t dokładnie stan em „ p u n k to w y m “ łączącym w so
bie idealnie dw a p o ten c jo n ałn e przeciw ieństw a.
A b y u n ik n ąć tru d n o śc i ro z p a try w a n ia sta n u rów now agi bezpośrednio dla siły k ry ty c z n e j, m ożem y stw ierdzić, że ustró j p o siad a dw a położenia rów now agi z n a jd u jąc e się nieskończenie blisko siebie po obu stro n ach
„pun kto w ego “ przedziału K rytycznego.
W tedy oznaczając składow e przem ieszczeń dla pierwszego sta n u rów no
w agi, k tó ry tra c i sw oją stateczn o ść przez u 0, v 0, w 0, zaś składow e d ra -
giego s ta n u rów now agi przez u, v, w, to przejście ze sta n u pierwszego do s ta n u drugiego o trz y m a m y d o d ając do składow ych przem ieszczeń w stan ie pierw szym wielkości do p ełniające aul , avlf a w x. B ędzie więc
u = u 0-\- aw1?
v = v 0+ a r l , (11)
w = w 0-\- a u \,
gdzie a — w spółczynnik nieskończenie m ały niezależny od x, y, z ,
«1, vt , w1 — w ielkości skończone składow ych przem ieszczenia zależne od położenia ( x , y , z).
W p ra c y prof. HoBoacMOBa, Ocnoeu nejiuneunou meopuu ynpyzocmu, w rozdziale V p o d a n a zo stała w y czerpu jąca d y sk u sja zw iązków , jakie w y ra ż a ją s ta n rów now agi d la a nieskończenie m alejącego.
W a żn y m w nioskiem , ja k i m ożna by w ysnuć z te j dy sk u sji d la n in ie j
szej ro zp ra w y , je st stw ierdzenie m ożności zastosow ania zasad y p rac p rz y goto w an y ch wr g ran icy n a w e t d la p u n k tó w rozdw ojenia, gdyż i dla nich p a n u je równowrag a, ja k o z a w a rta m iędzy dw om a nieskończenie bliskim i sta n a m i rów now agi pom iędzy siłam i zew nętrznym i i siłam i w ew n ętrz
ny m i, a o tę w łaśnie rów now agę chodzi n a m w zasadzie p ra c p rzy g o to w an ych .
Z b liżając się od obciążenia p o n ad k ry ty czn eg o do obciążenia k ry ty c z nego ja k rów nież od obciążenia p o d kry tycznego do kry ty czn eg o ciągle m a m y do czynienia z u stro je m z n a jd u ją c y m się w rów now adze.
Zw ężenie ty c h przedziałów nie pro w adzi do jakiegoś sta n u , dla k tó rego u stró j m ia łb y nie dochow yw ać w a ru n k u rów now agi sił w ew nętrznych i sił zew nętrzny ch.
Siła k ry ty c z n a je s t więc ty lk o szczególną w arto ścią sił, jak ie spełniają w a ru n k i rów now agi. J e j osobliwość polega w yłącznie n a rozgraniczeniu ró żn y c h stan ó w rów now agi dla określonego u stro ju .
3. Liniowa zależność między obciążeniami a odkształceniami
B o zp atrzm y p rac ę s ta ty c z n ą p rę ta p rostego obciążonego siłą k r y ty c z n ą P k oraz p racę p rę ta obciążonego siłą P nieco w iększą od P k, b y n a stę p n ie uw ażać P k ja k o granicę, do k tó re j d ąży P od w artości w ię
k sz y c h k u m niejszym .
O becnie chodzi n a m o stw ierdzenie, w edług jakiego p raw a n a stę p u je p rz y ro s t przem ieszczeń w sto su n k u do p rz y ro stu obciążeń dla przedziahi obciążeń b a rd z o m ało ró żn y ch od w arto ści k ry ty c z n y ch .
U dzielm y sk róceniu X nieskończenie m ałego p rz y ro stu p rzy niezm ien
n e j sile P (rys. 1).
40 J ó zef Ledwoń
N a stęp u je w te d y doładow anie energii poten cjaln ej odkształcen ia o wielkości SU.
Siła P w y k o n ała p racę
ÓL=PÓX.
W edług zasady p ra c p rzy g oto w an ych zachodzi rów ność
6 U - P d X = 0 . (12)
P»R O znaczając przez w skaźn ik e w ariację p o dhig o d k ształceń, m ożem y n ap isać
dE( U - P X ) = 0. (13)
W ogólności p rz y obciążeniu p rę ta m o m en tam i sk u pionym i, siłam i po d łużn ym i i siłam i poprzecznym i p ra c a sił w ew nętrznych może b yć p o d a n a za p o m ocą zw iązku
U = y f (M dm + Qdq+ N dn)dz, (14) gdzie M , Q i N o znaczają odpow iednio m o m en t zginający, siłę p o p rze
czną i siłę pod łużną,
zaś óm, dq, Sn — odpow iednie p rz y ro s ty przem ieszczeń dla pow yższych w ielkości sta ty c zn y c h .
P ra c a sił zew nętrznych w ynosi:
L = ( P d X + S d v ) . (15)
B iorąc zam iast nieskończenie m ałych p rzy rostó w d w p ro st nieskończenie m ałe w arto ści w ym ienionych pow yżej wielkości sta ty c zn y c h , czyli u w a żając m, q, h i v za nieskończenie m ałe m ożem y napisać
J T j {M m + Q q + N n ) d z = ^ { P X + Sv). (16) D la nieskończenie m ałych przem ieszczeń m ożem y więc mówić o linio wej zależności m iędzy obciążeniam i a siłam i w ew nętrznym i n a w e t dla m ateriałó w nieliniow o spręży sty ch.
O słuszności powyższego tw ierdzenia m ożna się przeko nać bezpośre
dnio b a d a ją c zw iązek, ja k i zachodzi m iędzy w ielkością odkształcen ia X a sto su nk iem siły p o n a d k ry ty c zn e j P do siły k ry ty c z n ej P k dla p rę ta dw uprzegubow ego o sta ły m p rzek ro ju .
O znaczając przez
m = p 1, (17)
Pk
m ożem y n ap isać jeden ze zn an y ch w zorów n a X w p o staci X
l (18)
P rz y jm u ją c m = 1 + e p rzek ształcam y wzór (18) p o m ijają c k w a d ra ty e względem jedności ja k o m ałe.
O trzy m a m y w ted y
X = 2 s l . (19)
Z naczy to , że d la nieskończenie m ałych p rzy rostó w siły ( P — P k) o trz y m ujem y od pow iadające im liniow e p rz y ro sty odkształceń.
Słuszność w zoru (19) w idoczna je s t rów nież z poniższego zestaw ienia.
m X
l
1,010 0,0.198986
1,009 0,0179167
1,008 0,0160019
1,007 0,0119500
1,006 0,0119623
1,005 0,0100398
1,004 0,0079833
1,003 0,0059906
1,002 0,0039941
1,001 0,0019961
P rz y liniow ym zm niejszeniu się siły P dążącej do P k w artość X m aleje z d u ż y m przybliżeniem rów nież liniow o do zera.
)
4. Obliczanie wielkości sił krytycznych dla prętów
Z astosujem y zasadę p ra c przy g o to w an y ch do w yznaczenia wielkości siły k ry ty c z n ej d la n a jp ro stsz y c h schem atów p o d p a rc ia i obciążenia p rę ta prostego.
U a ry s. 2 m am y przedstaw iony u k ła d zasadniczy obciążony siłą P oraz u k ła d przygotow any obciążony siłą Q = 1 w położeniu wysokości p rę ta .
U w ażając początkow o w pływ sił po przecznych jak o pom ijaln y, m o
żemy s ta n rów now agi układ ó w po odk ształceniu w yw ołanym siłą p rz y gotow aną Q uzależnić w yłącznie od wielkości m om entów zginających.
Załóżm y n astęp n ie, że o d k ształco n a je s t p o d a n a za pom ocą rów nania odpow iadającego sensowi fizycznem u zjaw iska w yboczenia np. w postaci:
48 J ózef Ledwcrń
gdzie e je s t w ysokością półfali sinusoidy o bardzo m ałej wysokości, m ie
rzonej w środku p rę ta (rys. 3).
U w zględniając ty lk o w pływ m om entów zginających m usim y uzależ
nić w ielkość P od innej wielkości łączącej to P z m om entem zginającym , a więc najprościej z k ą te m o b ro tu danego p rzek ro ju <p.
W ychodząc z zasady, że sum a p rac przy gotow anych sił zew nętrznych i w ew nętrznych je s t rów na zeru, m ożem y podać zupełnie ścisiy zw iązek
czyli przechodząc z w ariacji do różniczek względem ty c h sam ych zm ien
ny ch o trzy m am y :
R y s. 2 R ys. 3
(21;
(
22)
B iorąc
<2 = 1, y = g czyli oraz
d2y _ M dz2 E J otrzy m am y :
o
Z bliżając się od P do P k m ożem y w granicy przy jąć
czyli
, r p ‘ « " T , „ 2 J W ---
O P, E J
m
k I z sin "JZ. dz -- 1.n z
T
O bliczam y w arto ść całki oznaczonej
II2[ . n z j l2 I 2g m — a z = ~ .
I P o p o d staw ien iu o trz y m am y
S k ąd ostateczn ie
P y _**
E J ‘ TT2
l2 (24)
W te n sposób doszliśm y do znanego w zoru p o m ijając zupełnie zasto sow anie klasycznej m eto d y ró w n a ń różniczkow ych, ja k a jest pow szechnie stosow ana p rz y w yzn aczan iu sił k ry ty c z n y c h . Z upełna zgodność w yników u z y sk an y ch w n aszy m przy k ład zie z w zoram i ścisłym i św iadczy o dobrze założonym ró w nan iu odkształconej.
p r ę ta (rys. 4) zak ład am y
gdzie
y = S cos —j~ ,n z
O bliczając ja k poprzednio o trzy m am y n 2E J i n 2E J P k =
L 2
W p o d o b n y sposób w y znaczam y wielkość siły k ry ty c z n ej dla p rę ta je d n y m k ońcem utw ierdzo n ego , d ru g im zaś zupełnie swobodnego (rys. 5).
gdzie
y — e cos
l = 2 L . n z
l ’
B u d o w n ic tw o 1.
50 J ózef Ledwoń
W tedy
n 2E J n 2 E J 4 L 2 '
i2 (27)
P rzeprow adźm y jeszcze obliczenie wielkości siły k ry ty c z n ej dla p rę ta dw uprzegubow ego z uw zględnieniem sił poprzecznych. W te d y będzie
7 1 Z
M = P k y —P k ■ e s i n - y
T = P k - y' = P k j s cos .
R ys. 5 R ys. 6
Z ró w n ania p ra c p rzy g o to w an y ch o trz y m am y (rys. 6)
U 2 ¡12
2 f
J
E J ■ - ■ d z + 2 2 d z + ^ Jf
— • 2 G E • dz — s’ czyliZ/2 I I2
P k i’ . n z , . lcPkn f n z
z sm dz-4- „ ■= - cos «« = 1 .
J l GFl J l •
0 0
E J
(28)
(29)
O bliczam y w arto ść całki oznaczonej
//2 Z/2
7 Z Z
cos -j- d z = — s m —l . T i Z l .
TT L 7Z
Po p odstaw ieniu u zy sk am y
P o p ro sty c h przekształceniach o trz y m am y ostatecznie _ n 2E J 1
i 2 len2 E J ’ + l2 GF
(30)
czyli w arto ść nieco m niejszą od w arto ści eulerow skiej.
W pow yższym wzorze k je s t w spółczynnikiem u w zględniającym k s z ta łt p rzek ro ju poprzecznego p rę ta , zaś G — m odułem sprężystości postaciow ej.
5. Obliczanie wielkości sił krytycznych dla kratownic
Z asto su jem y pow yżej op isan y sposób w yznaczania sity k ry ty c z n ej dla ustrojów , ja k ie są sp o ty k a n e w k o n stru k c ja c h trzonów prow adniczych stalow y ch wież w yciągow ych.
N a ry su n k u (7) z lewej stro ny m am y p o dany jed en z często sp o ty k a n ych ty p ó w k o n stru k c ji. N a p o dstaw ie b a d a ń m odelow ych p rzep row a
dzonych przez a u to ra w ynika, że w' czasie ściskania u s tro ju siłą osiową p rz y n ie z b y t du ży ch siłach p r ę ty poziom e praw ie zupem ie nie p rac u ją.
Możemy więc ja k o je d n ą z a lte rn a ty w w yznaczyć silę k ry ty c z n ą d la k ra to w n ic y pozbaw ionej rozp o rek poziom ych.
52 J ó ze f Ledwoń
Tok obliczania siły k ry ty czn ej będzie zupełnie po do bn y ja k dla p rę ta dw uprzegubow ego z uw zględnieniem siły poprzecznej. N ależy ty lk o uw zglę
d n ić odpow iednio p rac ę p rzy go to w aną dla pasów i krzyżulców .
Poniew aż w aru n k i p ra c y sta ty c zn e j w obrębie jednego przedziału nie zm ien iają się, zam iast całkow ania d okonam y sum ow ania.
W arto ści n a M i T b ędziem y mieli ja k poprzednio d la p rę ta dwu- przegubow ego z ty m , że z ro śn ie tu ta j nie w sposób ciągły, lecz skokam i
od węzła do węzła.
tt . n z n . m l M = P k y = P ke sm - j- = P ke sin - j - ,
r n T T / r > 71 n z n nil
T = P k y' = P k ^ e c o s-£ - = P * ^ e c o s-jr-. (31) Siły w p rę ta c h dla i tego przed ziału obliczym y z p ro sty c h związków sta ty c z n y c h
Ś , = ¥ i K i=Ą tĄ . (32)
Oj ¿ i Oj
E ów n anie p ra c w irtu a ln y ch p rzy jm ie w te d y n a stę p u ją c ą postać:
. nil l l l n nil
n n 1 l = n / ł . . r> O A C ! _______
t i P *e i m L a l \' P* l *cos L d 1 d d
2 Z a E F + Z
i = l P 1 = 1
, n L a 1 d d
Z -j a EF„ Z - i 2 a ' 2 a ' 2 E F d S’ { ’
P o uproszczeniu i w yznaczeniu w arto ści sum
i= n i= n
. nil V 1 nil ll sm : 7 cos
Zm—J lj Zmm■— L
1=1 1=1
o trz y m a m y rów nanie:
u a „ o r Z7H51 _ 7 >
P k l 2 L 2 , P k n d3 2L a2 EF„ nH 1 4a2 L E F P nl
/ n2d3F„\
P k\LH + 7^ ^ } = n*a*EFp.
P o d staw iając będzie
O statecznie
a2Fp= 2 J, 2d3F p\ 2 _ u2£ J
_ 1 / 34 ^
* L 2 n2d3 F p
ŁL2l F d
P rzep ro w ad źm y obliczenie pow yższej k rato w n ic y p rz y uw zględnieniu w spółpracy rozporek.
E ó w n an ie p ra c w irtu a ln y c h p rzy jm ie w te d y p o sta ć
^ . nil 1
'z" P ke sin - L 2 o l1 t t , \ 11 „ n i nil „a
Z \T1 L 2 l 1 n nil a
2 j a ^ T Wp+ 2 j 2 kL ECOST ' E F r +
¡=1 i=i
i c o s :
i = 1
P o uproszczeniach i dokon an iu sum ow ań będzie
Pk l 2L 2 Pk n a 2L Pk n d3 2L In? ~ 2 ' l i E F r ' I n 202 L '2E F d ' U ’
2 / P kLH P ko P kd3 \ = l \n2a2EFp ‘2EFt i a 2EFdj ’ P J m + ^ + * * * ' ) *
O statecznie:
czyli
/ l n 2a3F p n2d3F p\ 2 n2E J
‘\2 + 4L 2F r + 8L 2F r j l ~ L2
2 E J 1
* L 2 n2a3F„ n2d3F /
2LHFr + 4L 2lFd
n 2E J 1
P k = ~ Y i --- 2J„ , „ L 2 _ . n 2F p ¡a2 5TT- (3 6 ) 1 2 L 2l
/a 2 d3 \ '
\ f ; + 2 ^ ;
W p o d o b n y sposób oblicza się wielkość siły k ry ty c z n ej dla p o z o sta ły ch dw óch schem atów ścian bocznych trz o n u , tj. o skratow aniu K lu b o p o jed y nczych p rz e k ą tn ia c h .
W eźm y k rato w n icę ty p u K (rys. 8). E ó w n an ie p ra c w irtualnych b ę dzie p raw ie id en ty c zn e z rów naniem (35) z t ą ty lk o różnicą, że o s ta tn i człon ró w n a n ia (35) p rzyb ierze d la k ra ty ty p u K p o stać:
54 J ózef Ledwoń
czyli w arto ść 4-krotnie w iększą niż d la k r a ty z krzyżulcam i w zdłuż p rze k ą tn i (przy jednakow o oznaczonych długościach krzyżuIców ).
R ys. R ys. 9
W obec tego siła k ry ty c z n a dla k r a ty ty p u K w ynosi
n*EJ 1
£ 2 ' n 2F p UF
2 L2l \ F r F d D la k r a ty w edhig ry su n k u 9 b y ło b y
„ n * E J 1
(37)
L* , iFFp /a* , # \ ’ + 2LH \ F r ' F d
(38)
poniew aż zam iast w artości d\2E F d we wzorze (35) w staw ilibyśm y w ty m p rz y p a d k u d !E F d.
6. S iły krytyczne dla ustroju bezprzekątniowego
Pow yżej zastosow any sposób obliczania sił k ry ty c z n y ch dla ustrojów k rato w y c h m oże być zastosow any rów nież do określania wielkości ty c h sił d la u s tro ju bezprzekątniow ego, ja k i czasam i m ożna sp o tk ać w k o n s tru k c ja c h trz o n u prow adniczego wież w yciągow ych (rys. 10).
R óżnica w ujęciu zagadnienia polega jed y n ie n a konieczności d o d a t
kowego uw zględnienia energii p o ten cjaln ej pow stałej n a sk u te k zginania poszczególnych prętów .
B iorąc u stró j o dużej ilości pól m ożem y założyć, że w ielkość m om en
tów zgin ających dla obu p rętó w p a sa schodzących się w jed n y m węźle je s t jed n ak o w a i zależna jed y n ie od położenia tego węzła w stosun k u do całości u stro ju . P o za ty m m om ent zg inający rozpórkę je s t rów ny
w m iejscu jej u tw ierd zen ia sum ie bezw zględnych w artości m om entów m ak sy m aln y ch w p rę ta c h p asa.
P ra c a w irtu a ln a całego u s tro ju sk ład a się z p rac y w irtu aln ej pasów p rzy ich ściskaniu oraz pracy w irtu a ln ej pasów i rozporek p rz y ich zgi
n a n iu , czyli:
_ . nil 1 y f *8 B m r 2 d l
a E F n
t V I T i l3 1 - * 2j ^ — - +
/=i i=i 2E J P 3- 8 4
y t T i l az l
+ W ^ a ' 3^ 8 '2a ~ £’
1 = 1
(39)
P k L 2 l . n nil
- 4 - ^ - + w > P k C O S T
a2 n 2l E F P L ¿—J k L ‘ 48EJ„ + L
V
P k cos1 = 1
2 L aP
nil aP
2 P kL 2 n 2 L l3 n _______ _______
n 2a2E F p L nl ± 8EJP L k nl 2 i E J r
L 24cErJr
= 1.
=1,
W p ro w ad zając J = \ a 2F p i po uproszczeniach otrzym am y , ostateczn ie
n 2E J 1
P k =
L 2 tPP J n 2al J 1 + -2iL2 J p + m ? j r
(40)
O pracow ano w k w ietn iu 1954 r.