• Nie Znaleziono Wyników

Równoważenie obciążenia w problemach rozdziału zasobów dyskretnych - podejścia heurystyczne

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Równoważenie obciążenia w problemach rozdziału zasobów dyskretnych - podejścia heurystyczne"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria: AUTOMATYKA z. 150

N r ko l. 1796

M a re k M I K A

P o lite c h n ik a Poznańska

R Ó W N O W A Ż E N I E O B C I Ą Ż E N I A W P R O B L E M A C H R O Z D Z I A Ł U Z A S O B Ó W D Y S K R E T N Y C H - P O D E J Ś C IA H E U R Y S T Y C Z N E

S treszczenie. R ozw ażany je s t p ro ble m roz d z ia łu zasobów d yskretnych, w k tó ry m zasadniczym celem je s t rów no w aże nie obciążenia zasobowego.

W p ro b le m ie ty m czynności p ro je k tu są szeregowane w ta k i sposób, b y nie naruszyć ograniczeń k o le jn o ś c io w y c h i lin ii k ry ty c z n e j d la całego p ro je k tu p rzy jednoczesnej m in im a liz a c ji fu n k c ji celu o dzw iercied la jące j zm ia n y p oziom u w y k o rz y s ta n ia zasobów. Przedstaw iono trz y kla sy ta kich fu n k c ji oraz zaproponow ano pew ne podejścia heurystyczne.

R E S O U R C E L E V E L I N G I N P R O J E C T S C H E D U L IN G P R O B L E M S - H E U R IS T IC A P P R O A C H E S

S u m m a ry . Resource le v e lin g p ro b le m is considered. The m ain o bjective o f this p ro b le m is to m in im iz e the flu ctu a tio n s o f the resource usage profdes. There are tw o types o f constraints in this p ro ble m : a deadline fo r the e ntire p ro je c t as w e ll as precedence constraints betw een pairs o f p ro je c ts ’ a ctivitie s. Three classes o f o b je c tiv e fu nctio ns are distinguished. Some heuristics are proposed to solve the problem .

1. R ó w n o w a ż e n ie o b c ią ż e n ia w p ro b le m a c h ro z d z ia łu za sob ów d y s k re tn y c h

W w ie lu sp otykanych w p ra ktyce problem ach o p ty m a liz a c ji, szczególnie w p roblem ach szeregowania lub ro z d z ia łu zasobów p o m ię d zy czynnościam i p ro je ktu , zasoby w y s tę p u ją ja k o jed en z p aram etró w p roblem u. N ajczęściej zasoby stanow ią ograniczenie, je ś li chodzi o ic h dostępność, a k ry te riu m je s t bezpośrednio lu b pośrednio zw iązane z czasem, najczęściej reprezentow anym przez te rm in y zakończenia poszczególnych czynności. N ie k ie d y je d n a k ograniczeniem je s t czas reprezentow any przez lin ię k ry ty c z n ą d la całego p ro je k tu , w ów czas k ry te riu m może b yć zw iązane z p oziom e m w yko rz y s ta n ia zasobów, np. w te dy, g d y chodzi o ró w n o m ie rn e obciążenie zasobów . W ta k ic h przypadkach m ó w im y o rów no w aże niu obciążenia w p ro ble m a ch ro z d z ia łu zasobów. W k la syczn ym p ro b le m ie rozdziału zasobów celem je s t z m in im a liz o w a n ie czasu re a liz a c ji p ro je k tu p rzy ograniczeniach dotyczących dostępności zasobów o dn a w ia ln ych , natom iast w rozw ażanym p ro ble m ie celem je s t osiągnięcie ja k najbardziej rów no m ie rne go obciążenia zasobów, a o graniczeniem je s t lin ia k ry ty c z n a dla całego p ro je ktu . F un kcja celu, związana

(2)

z rów no w aże nie m obciążenia zasobowego, je s t m ia rą nieregularną. Oznacza to, że opóźnienie w y k o n a n ia pew nej czynności m oże p ro w a d zić do lepszych rozw iązań.

P ro je kt składa się ze z b io ru czynności, któ re należy w y k o n a ć za pom ocą zasobów k ilk u typ ó w . Zasoby te są o dnaw ialne i dostępne w ograniczonej lic z b ie jednostek. Ponadto p om ię d zy czyn no ścia m i p ro je k tu , któ re są niepodzielne, zachodzi relacja częściow ego porządku. C elem je s t znalezienie takiego zasobow o i k o le jn o ś c io w o dopuszczalnego uszeregow ania czynności p ro je k tu , któ re o p ty m a liz u je p rzyję te k ry te riu m . C zynności są niepodzielne, a zasoby są odnaw ialne i dostępne w tej samej lic z b ie je d n o ste k w ca łym h o ryzo n cie pla no w an ia o gran iczon ym od g ó ry lin ią krytyczną .

R ów now ażenie obciążenia zasobowego m a szczególne znaczenie dla w ła ścicie la zasobów, poniew aż p ozw ala na roz w ią z y w a n ie k o n flik tó w zasobow ych oraz w ygła dza nie p ro filu w y k o rz y s ta n ia zasobów przez opóźnienie te rm in u w y k o n a n ia n ie k tó ry c h czynności. W efekcie m in im a liz u je się trudne do obsłużenia w ahania poziom u w y k o rzysta n ia zasobów i redukuje ic h przeciążanie. W śród p od staw o w ych ko rz y ś c i p łyn ą cych z rów no w aże nia obciążenia m ożna w y m ie n ić niższe koszty, w yższe m orale p ra c o w n ik ó w (gd y zasobem je s t siła robocza), obniżenie n akładów zw iąza nych z zarządzaniem g w a łto w n y m i zm ia na m i p o z io m u w y k o rz y s ta n ia zasobów.

R ozw ażany p ro b le m je s t N P -tru d n y . Z atem uzasadnione je s t stosow anie a lg o ry tm ó w h eurystycznych do ro z w ią z y w a n ia in sta n cji tego p roblem u.

2. S fo rm u ło w a n ie p ro b le m u

P ro je kt składa się z n n ie p o d zie ln ych czynności. D o d a tk o w o rozw aża się d w ie czynności pozorne: p o czą tkow ą 0 i ko ń c o w ą n + 1. C echą charakterystyczną czynności p ozo rn ych są zerow e czasy w y k o n a n ia i zerow e żądania zasobowe. Ponadto czynność początkow a n ie ma p op rze dn ików , a czynność ko ńco w a n ie ma następników . Zatem liczno ść z b io ru V zaw ierającego w szystkie czynności p ro je k tu w y n o s i | Vj = n + 2. S truktura p ro je k tu je s t reprezentowana przez sieć czynności G = (V, E), gdzie z b ió r w ie rz c h o łk ó w V reprezentuje czynności p ro je k tu , a z b ió r łu k ó w E odpow iada re la c ji częściow ego porządku w zbiorze czyn no ści p ro je ktu . Z akła da się, że G to g ra f skierow a ny, a c y k lic z n y , bez łu k ó w przechodnich i u po rzą dko w an y to p o lo g iczn ie . Pojedyncze ograniczenia ko le jn o ś c io w e , w y n ik a ją c e z re la c ji częściow ego porządku, określone są przez i —*■ j , co oznacza, że czynność i je s t bezpośrednim p o p rze d n ikie m czynności j , a j je s t bezpośrednim nastę pn ikie m i.

Zatem , j nie m oże się rozpocząć przed zakończeniem w y k o n y w a n ia i. P ji ^ o z n a c z a ją o d p o w ie d n io z b ió r bezpośrednich p o p rz e d n ik ó w i z b ió r bezpośrednich n astępników czynności j . Z b ió r R je s t zb io re m za w ie ra jącym K ty p ó w zasobów o dn aw ialn ych.

Z akłada się, że czas przeznaczony na realizację p ro je k tu je s t o g ra n iczo n y z g ó ry przez lin ię k ry ty c z n ą dla całego p ro je k tu oznaczaną przez 7) ta ką że T > C’nax, gdzie C'nax oznacza m in im a ln ą długość uszeregowania.

Czas w y k o n a n ia czynności j w y n o s i pj. Każda czynność j , j e V, żąda do w y k o n a n ia /}•* je d n o ste k zasobu k, k = 1 ,2 , ..., K. W y k o n y w a n ie czynności n ic m oże b yć przerw ane. Sj oznacza te rm in rozpoczęcia w y k o n y w a n ia czynności j , 7 = 0 , 1, . . . , n + 1. Zatem 5b = 0, a sn+1= Cmax oznacza czas trw a n ia p ro je ktu . C iąg

(3)

5 = {s0,

5

j, . . . ,

5

^ -

1

} c a łk o w ito lic z b o w y c h w artości, będących te rm in a m i rozpoczęcia w y k o n y w a n ia poszczególnych czynności, oznacza uszeregowanie. U szeregow anie je s t dopuszczalne w te d y , g d y spełnione są w s zystkie ograniczenia ko le j nościow e, a lin ia k ry ty c z n a n ie została przekroczona. P rz y jm u je się, że w s zystkie czynności i zasoby są dostępne ju ż na starcie p ro je ktu . N ie ch S" = { S j\ j e V a V ’czV } oznacza uszeregow anie częściow e. W ów czas, d la określonego S ' oraz t = \ , . . . , T , z b ió r a k ty w n y , d e fin io w a n y ja k o As ( t ) = [ j G V | tp j < Sj < t ] , je s t zbiorem czynności w y k o n y w a n y c h w okresie t. Ponadto, niech r ^ ' ( t ) = ’Z j eAs ' ^ Tjk oznacza tzw . p ro file zasobowe, c z y li ilość zasobu k u żyw a ną w okresie t dla częściowego uszeregow ania S \ M a c ie rz R s o rozm iarze K x T , któ re j elem entam i są w artości r ^ ( t ) , k =

1,

..., K, t =

1,

..., T, je s t tzw . m acierzą p oziom u w yko rz y s ta n ia zasobów.

F u n k c ja ce lu f dla rozw ażanego p ro b le m u je s t m ia rą o dzw ie rcie d la ją cą zm ia n y p o z io m u w y k o rz y s ta n ia zasobów. D o kła d n a postać fu n k c ji celu zależy od typu p ro ble m u , co zostanie o m ó w io n e w następnym punkcie. N ie c h ESj oraz E F j oznaczają najw cześniejsze m o ż liw e , a LSj oraz L F j najpóźniejsze dopuszczalne te rm in y rozpoczęcia i zakończenia czynności j , w yznaczone o dp ow ie d n io za p om ocą znanych z m eto dy C P M m etod pla no w an ia w przód , p rz y założeniu Sq = 0, i pla no w an ia wstecz, g d y p rz y jm ie się s „fi = T. N ie ch ck > 0 oznacza w s p ó łc z y n n ik w a g i d la zasobu k, reprezentujący np. koszt je d n o s tk o w y tego zasobu.

M o d e l m atem atyczny rozważanego pro ble m u w ygląda następująco:

M in f ( R s) (1)

/ F •

P .O .: ^ J EFj xjt = 1 j & v (2 )

S t = £ F ;. ( f ~ P j) XJt ^ 2 t = E F ; PiXit j e V; i G Pj (3)

Sn

+1

^ T (4)

Xyt e { 0 , l } j e V ; t = 1, ...,T (5)

F u n k c ja celu (1) m in im a liz u je w ie lk o ś ć zm ian p o zio m u w y k o rz y s ta n ia zasobów.

O graniczenia (2) zapewniają, że każda czynność je s t w ykon an a d okład nie raz.

O graniczenia k o le jn o ś c io w e są reprezentowane przez (3). O graniczenie (4 ) zapewnia zakończenie p ro je k tu przed lin ią k ry tyczn ą , a ograniczenia (6) o kre śla ją binarność zm iennych d ecyzyjnych . S zczegółow e postacie fu n k c ji celu są o m ów ione w następnym punkcie.

Z akłada się, że param etry num eryczne są nieujem ne i ca łk o w ite . Jedyny w y ją te k stanow i param etr ck, k tó ry m oże p rz y ją ć d o w o ln ą d odatnią w artość rzeczyw istą.

3. F u n k c je celu

N eum ann i Z im m e rm a n n w pracach [1 ] i [2 ], dotyczących rów now ażenia obciążeń zasobow ych w p ro ble m ie ro z d z ia łu zasobów d yskretnych z m in im a ln y m i i m a k s y m a ln y m i odstępam i cza sow ym i, u system atyzow a li fu nkcje celu d la tego p roblem u, p rzyp isu ją c je do je d n e j z trzech klas.

(4)

Pierw sza z klas d o ty c z y tzw . p ro ble m u in w e s ty c ji zasobow ych, k tó ry w p raktyce stosow any je s t w te dy, g d y do w y k o n a n ia czyn no ści p ro je k tu trzeba zakupić ko sztow ne zasoby. F un kcja celu w ty m p rzyp ad ku ma postać:

K

f ( R s) = ^ ck m a x t=0 T r k ( t ) , (6)

k = 1

i m in im a liz o w a n a p ro w a d z i do znalezienia ro zw iąza nia o n ajn iższym koszcie in w e s ty c ji w zasoby.

D ru ga klasa zaw iera fu n k c je uw zględniające o dch yle nia p ro filu zasobowego od pew nego z g óry założonego p o zio m u w yko rz y s ta n ia zasobów Yk. N ajczęściej Yk . W klasie u je s t tak

r i k V i j E V j

je s t rów ne średniem u p o z io m o w i w y k o rz y s ta n ia zasobów r k =

tej m ożna w y ró ż n ić trz y podklasy. W pierw szej podklasie fu n k c ja ce

skonstruow ana, że uszeregow anie o trz y m u je p ew ną d od atn ią karę, g d y w ystę pu je przekroczenie p oziom u Yk. F unkcja celu w ty m p rzyp ad ku w y g lą d a następująco:

K T

/ ( i ? s ) = ^ c k ^ [ r k5( t ) - f k] + . (7)

k= 1 t = i

W następnych d w ó ch podklasach u w zg lęd nia ne są zarów no dodatnie, ja k i ujem ne o dch yle nia od p o zio m u Yk. F un kcje celu d la ty c h podkias są określone w z o ra m i:

K T

/ ( * * ) = £ (8)

k =1 t = l

oraz

fc=i t= i

i są w yra żon e o d p o w ie d n io przez sumę kw a d ra tó w oraz sumę w a rto ści b ezw zglę dn ych odchyleń.

T rze cia klasa fu n k c ji celu to fu n k c je rejestrujące z m ia n y p o z io m u w y k o rz y s ta n ia zasobów. Stosowanie tych fu n k c ji je s t szczególnie użyteczne w te d y , gdy p od staw o w ym zasobem je s t siła robocza. Z m ia n y p oziom u w y k o rz y s ta n ia tego zasobu m ogą pociągać za sobą pew ne dodatkow e ko szty zw iązane z zatrudnianiem i zw a ln ia n ie m p ra c o w n ik ó w . P odobny przypadek zachodzi na p rz y k ła d w te d y , g dy w yko n a w ca działa na w y p o ż y c z o n y c h zasobach i m usi je przetransportow ać do i z m iejsca re a liz a c ji p ro je k tu , z c z y m zw iązane są dodatkow e koszty. Podobnie ja k to b y ło w poprzedniej klasie fu n k c ji, ró w n ie ż tutaj is tn ie ją trz y podobne p od kla sy reprezentowane o d p o w ie d n io przez w z o ry (10), (11) i (12 ):

f ( R s ) = ck £ [ r i ( t ) - rk ( t - 1 ) ] + , (10)

k= i r = i

K T

f ( R s ) = ck £ f o ? ( t ) - rks (t - l ) ] 2 , (11)

k= 1 t = l

K T

f ( R s ) = ^ - rkf( t - 1 ) | , (12)

k = l C =1

gdzie r k ( 0 ) = r k (T ) = 0.

(5)

4. H e u ry s ty k i

Z e w z g lę d u na złożoność o b lic z e n io w ą p ro ble m u uzasadnione je s t stosow anie w ty m p rzyp a d ku podejść heurystycznych. M ożn a je w o gólności p o d z ie lić na trz y grupy.

P ierw szą grupę s ta no w ią a lg o ry tm y działające w o parciu o m etodę ścieżki k ry ty c z n e j. N a p oczątku dzia łan ia takiego a lg o ry tm u znajdow ana je s t ścieżka k ry ty c z n a oraz w yznaczane są najw cześniejsze m o ż liw e i najpóźniejsze dopuszczalne te rm in y rozpoczęcia i zakończenia w y k o n y w a n ia poszczególnych czynności. T e rm in y te są w yznaczane znaną z m eto dy C P M te ch n iką p la no w an ia w p rz ó d , p rz y założeniu że te rm in rozpoczęcia czynności początkow ej je s t ró w n y 0, oraz te c h n ik ą p lanow ania wstecz, p rz y założeniu że te rm in zakończenia czynności ko ńco w e j w y n o s i T. Ponadto w yznaczane są dolne i górne w arto ści graniczne dla m aksym alnego p oziom u w yko rz y s ta n ia zasobów oraz sprawdzenie, czy m o ż liw e je s t zrea lizo w an ie całego p ro je k tu przed lin ią krytyczną . M a k s y m a ln y p o z io m w yk o rz y s ta n ia zasobu k, k = l , 2 , . . . , K , p o w in ie n się m ieścić p o m ię d zy w arto ścią m a z p k d — m a x j=1 n{ r jk } | a m niejszą z d w óch w a rto ści m aksym alnego obciążenia zasobowego, z k tó ry c h je d n a je s t w yznaczona dla uszeregowania, w k tó ry m w szystkie czynności rozp oczyn ają się w sw oich najw cześniejszych m o ż liw y c h term inach rozpoczęcia w y k o n y w a n ia , a druga je s t w yznaczona dla uszeregowania, w k tó ry m w s z y s tk ie czynności rozp oczyn ają się w najpó źnie jszym dopuszczalnym te rm in ie rozpoczęcia w y k o n y w a n ia tych czynności. Jako p o czą tko w y p oziom odniesienia p rz y jm u je się m in im a ln ą w artość m aksym alnego p o zio m u obciążenia.

N astępnie u ru cho m io na zostaje ite ra cyjn a procedura polegająca na szeregow aniu w przód czynności, k tó ry c h w s zystkie p o p rz e d n ik i ju ż uszeregowano, tak aby nie p rze kro czyć p o z io m u odniesienia. Jeżeli istn ie je k ilk a ta k ic h czynności, to p ierw szeństw o przypada czyn no ścio m k ry ty c z n y m lu b czynnościom o w ię kszych żądaniach zasobow ych. Jeżeli otrzym ano uszeregow anie kończące się przed lin ią k ry ty c z n ą , to m ożna je p o tra kto w a ć ja k o rozw iąza nie p ro b le m u lub ew entualnie spróbow ać w y g ła d z ić p r o fil obciążenia zasobowego. W p rz e c iw n y m p rzypadku w p od ob ny sposób b u d u je m y uszeregow anie wstecz. Jeśli i ty m razem uszeregowanie nie zm ieści się przed lin ią krytyczną , to proces je s t pow ta rza ny d la poziom u odniesienia p ow iększonego o je d n ą jed no stkę zasobową.

D ru g ą grupę h e u ry s ty k s ta no w ią re g u ły p rio ry te to w e , w k tó ry c h spośród czynności, k tó ry c h w s zystkie p o p rze d n iki ju ż zostały uszeregowane, w y b ie ra m y i szeregujem y w o k re ślo n y sposób tę czynność, któ re j p rio ry te t - z d e fin io w a n y pew ną m ia rą - je s t n a jw ię kszy. Z darza się, że czasami p rio ry te ty k ilk u czynności są identyczne, w ów czas dla ro zw iąza nia ta kich k o n flik tó w je s t stosowana inna reguła p rio ry te to w a .

T rz e c ią grupę s ta no w ią a lg o ry tm y m etaheuiystyczne, ta kie ja k : a lg o rytm p rze szukiw an ia tabu, a lg o ry tm genetyczny, a lg o ry tm sym ulow anego w yżarzania, a lg o ry tm m ró w k o w y itp. W tym p rzypadku p ew ie n p ro ble m stanow i reprezentacja rozw iązania, g dyż n ajpopularniejsza w p rzypadku k ry te riu m Cmax reprezentacja w postaci lis ty czyn no ści je s t niew ystarczająca. N a le ż y tu zastosować reprezentację, w któ re j m o ż liw e je s t bezw zględne lub w zględne określenie te rm in ó w rozpoczęcia

(6)

czynności. Ponadto m echanizm generacji sąsiedztwa m usi p ro w a d z ić do rozw iązań różn ią cych się pod w zglę de m p o zio m u w y k o rz y s ta n ia zasobów od rozw iązania bieżącego.

5. P o d s u m o w a n ie

W rozw aża n ym p ro b le m ie ro z d z ia łu zasobów d yskre tnych z k ry te riu m rów now ażenia obciążenia zasobowego w y ró ż n io n o trz y kategorie fu n k c ji celu.

Z aproponow ano ró w n ie ż k ilk a podejść h eurystycznych do ro z w ią z y w a n ia tego p roblem u. W y n ik i w stępnych eksperym entów w y k a z a ły , że w śró d zaproponow anych podejść nie m a takiego, któ re b y ło b y zdecydow anie najlepsze. Jakość o trzym a nych daną m etodą w y n ik ó w zależy zarów no od postaci p ro ble m u , na k tó rą w p ły w a postać fu n k c ji celu, ja k i od samej in sta n cji p ro b le m u (ciasna lub luźna lin ia krytyczna , z ró żn ico w a n ie żądań zasobow ych itp .). W przyszłości p la no w an y je s t zatem obszerny eksperym ent o b lic z e n io w y , k tó ry p o z w o li o d k ry ć z w ią z k i p o m ię d zy instan cją p ro b le m u a alg orytm em .

B IB L IO G R A F IA

1. N eum ann K ., Z im m e rm a n n J.: Resource le v e llin g fo r projects w ith schedule- dependent tim e w in d o w s . European Journal o f O p eratio n al Research, 117, 1999, p. 591-605.

2. N eum ann K ., Z im m e rm a n n J.: Procedures fo r resource le v e lin g and net present value problem s in p ro je c t scheduling w ith general tem poral and resource constraints. European Journal o f O p eratio n al Research, 127, 2000, p. 425-443.

Recenzent: Prof. d r hab. inż. E w a D u d e k-D yd u ch

A b s tr a c t

Resource le v e lin g p ro b le m is considered. The m ain o b je c tiv e o f this p ro b le m is to m in im iz e the flu ctu a tio n s o f the resource usage p ro file s . There are tw o types o f constraints in this p ro ble m : a deadline fo r the e ntire p ro je c t as w e ll as precedence constraints betw een pairs o f p ro je c ts ’ a c tiv itie s . Three classes o f o b je c tiv e fu n ctio n s are d istin gu ishe d: m in im iz a tio n o f the m a x im a l num ber o f resource u n its used, m in im iz a tio n o f the num ber o f changes o f the resource usage p ro file and m in im iz a tio n o f the d eviatio ns fro m the assumed resource usage p ro file . A m athem atical m odel fo r the p ro b le m is presented. Basic ideas o f three categories o f h euristics developed to solve th is N P -ha rd p ro b le m are described. The d istin gu ishe d categories o f heuristics are: C P M based heuristics, p rio r ity rules and m etaheuristics.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W przypadkach określonych odrębnymi przepisami zak ada się teczki zbiorcze, do których odk ada się akta spraw zarejestrowanych w kilku różnych spisach spraw

W tej w ersji algorytm u przy budow aniu ciągu dop u szczaln eg o rozm iary zadań nie zostały uw zględnione, dlatego ciąg ten zaw sze b ędzie miał identyczną

Algorytm przeszukiwania tabu został wprowadzony przez Glovera [4, 5], a przegląd najnowszych w yników można znaleźć w [6], Podobnie jak w przypadku symulowanego

Harmonogram operacji ciągnięć definiuje się jako odwzorowanie zbioru wszystkich operacji Z w zbiór czasów gotowości obsługi do wykonania tych nologiczne oraz ograniczenia

-Algpr?tm plnimaksowego rozdzlaiu

Jednakże niew iele zm ieniające się w raz ze w zrostem liczby czynności średnie i m aksym alne względne odchylenia od najlepszego znalezionego rozw iązania są

3.2. Jednakże kilka prac poświęcono algorytmom dokładnym. D oersch and Patterson [10] sform ułowali model program ow ania binarnego, w którym jedynym ograniczonym

wania systemu hi er ar ch ic zn eg o pozwala sformułować zadanie optymalnego rozdziału zasobu Jako zadanie programowania wielokryterialnego.. Wi elokryterialne podejście