ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 126
1995 N r kol. 1281
Zdzisław JASKÓŁA, Michał PŁOCH
ZASTOSOWANIE WSKAŹNIKA BEZPIECZEŃSTWA W OBLICZENIACH WYTRZYMAŁOŚCIOWYCH KÓŁ ZĘBATYCH
S tr e sz c z e n ie . A ktualnie zalecane m etody obliczeń konstrukcyjnych uzębień są oparte n a współczynniku bezpieczeństw a. W ostatnich la tac h rozw iązano efektywnie wiele problemów z teorii niezawodności elem entów wykorzystując wskaźnik bezpieczeństw a fi jako m iarę zapa
su bezpieczeństwa. P raca ilu stru je wyniki b a d ań w łasnych w ykorzysta
n ia w skaźnika (i w obliczeniach wytrzymałościowych kół zębatych prze
kładni.
APPLICA TIO N OF SAFETY INDEX IN STRENGTH CALCULATION OF TOOTHED WHEELS
Sum m ary. Actually proposed calculation m ethods of toothed wheels a re based on safety coefficient. In last y ears h a s been effectively solved a lot of problem s from th e reliability theory, using safety index (3 as a m easure of safety m argin. In this p ap er th e resu lts of own research w orks and investigations of applying th e safety index to stre n g th cal
culation of toothed wheels was presented.
ANW ENDUNG EIN ES SICH ER H EITS-IND EXES IN
FESTIG KEITBERECHNUNGSVERFAH REN VO N ZAHNRÄDER
Z u sam m en fa ssu n g . Die aktuell als gültig empfohlene Berech
nungsm ethoden, die eine D im ensionierung der Zähne erlauben, b asieren a u f dem Sicherheitsbeiw ert. In der letzten J a h re n w urden effektiv viele Problem e aus dem Gebiet Zuverlässigkeitstheorie von B auelem enten m it Hilfe Sicherheit — Indexes ß als ein Maß einer Reserve der Sicherheit. Diese Arbeit zeigt die R esultate der eigenen U ntersu chu ng en der Anw endung des Indexes ß in Festigkeitsberech
nungen von Z ahnräder der Getriebe.
200 Z dzisław Jaskóła, M ichał Płoch
1. WPROWADZENIE 1.1. P ro b lem b a d a w c zy
Głównym problem em współczesnych zagadnień projektowo-konstrukcyj
nych je s t uzgadnianie w ym agań staw ianych przez k ry te ria maksymalizacji osiągów m ierzonych ilością mocy przypadającej n a jednostkę m asy (lub wiel
kością obciążenia przypadającego n a jednostkę ciężaru maszyny) i kryterium niezawodności. Oba te k ry te ria wiąże ze sobą współczynnik bezpieczeństwa.
Pierw szym i podstawowym w arunkiem spełnienia obu tych kryteriów jest wyelim inow anie przypadkowych współczynników bezpieczeństwa. Uwielo- k ra tn ia ją one bowiem rzeczywiste potrzeby i prow adzą do ogromnej rozrzut
ności w gospodarow aniu zasobam i surow cowo-energetycznym i. Nie gwaran
tu ją również w ym aganej przez użytkow nika niezawodności. Przyjmowany w obliczeniach wytrzymałościowych współczynnik bezpieczeństwa powinien być rzeczyw istą m iarą bezpieczeństwa, a nie m ia rą naszej niewiedzy. Nie powi
nien być stosow any dla w yrów nania b rak u wiedzy o własnościach tworzywa, jego zachow aniu się pod obciążeniem eksploatacyjnym czy b raku wiedzy o
rzeczywistym stan ie naprężeń.
Pracownicy Z akładu Podstaw K onstrukcji i Eksploatacji M aszyn Energety
cznych Pol. SI. zajm ują się tym problem em ju ż od wielu lat. Rozwijane przez zespół bad an ia zm ierzają nie tylko do pogłębienia podstaw teoretycznych tego zagadnienia, ale również do praktycznego ich w ykorzystania m.in. w bada
niach konstrukcji przekładni zębatych [4, 10].
Analiza produkcji kół zębatych w ykazała, że w pewnym okresie wykonywa
no w Polsce rocznie około 22 m iliony sztu k kół z k ilk u n a stu gatunków stali oraz innych tworzyw, stosując różną obróbkę cieplną, cieplno-chemiczną i wy
kańczającą. T aka różnorodność, przy równoczesnej niedostatecznej znajomo
ści wytrzym ałości zmęczeniowej uzębień, nie sprzyja racjonalnej gospodarce m ateriałam i. W porów naniu z innym i k rajam i zużycie tworzywa n a koła zębate w Polsce je s t większe,większe są g abaryty i w iększa je s t m asa prze
k ładni zębatych. W spółczesny rozwój konstrukcji przekładni zębatych chara
kteryzuje się n ato m iast stałym zm niejszaniem m asy oraz gabarytów. Osiąga się to przez:
- stosow anie nowych tworzyw o wysokiej w ytrzym ałości n a zginanie i nacisk powierzchniowy, przy jednoczesnym stosow aniu optymalnej obróbki ciepl
nej lub cieplno-chem icznej,
- doświadczalne badan ia własności wytrzymałościowych stosowanych two
rzyw n a koła zębate,
- bardziej szczegółową analizę tych czynników, które wpływają n a własności wytrzymałościowe oraz nośność przekładni zębatych,
- rozwój konstrukcji zarówno sam ych przekładni zębatych, ja k i różnych układów z przekładnią zębatą.
Z astosow anie w skaźnika bezpieczeństw a w obliczeniach. 201
B ad an ia wytrzym ałości i trw ałości kół zębatych, do których ograniczone zostaną rozw ażania,są prowadzone w dwojaki sposób: m etodą klasyczną i sy
stemową. Pierw sza zakłada, że przedm iot badań stanow i zbiór niezależnych czynników, co pozwala n a stosowanie zasady „badaj poszczególne czynniki niezależnie od siebie”. Druga, że czynniki są wzajem nie pow iązane i zm iana jednego z nich może wowołać zm ianę zachowania się innych.
B ad an ia w łasne są oparte n a metodzie, która spełnia w ym agania badań systemowych. Oznacza to, że zarówno stanowisko badawcze, koła próbki, sposób przeprow adzenia badań, ja k i założenia przyjm ow ane w obliczeniach wytrzymałościowych tw orzą pew ną spójną całość. U w zględniają zarówno po
stęp badań, jak i dokonał się w badaniach modelowych trw ałości m aszyn i urządzeń, ja k i obowiązujące zalecenia normatywne, odnoszące się do prze
kładni zębatych.
1.2. B a d a n ia n ie z a w o d n o śc io w e
W spólną cechą wielu określeń niezawodności je s t to, że opierają one defini
cję n a w yznaczaniu pewnego prawdopodobieństwa. T ak pojęta niezawodność nie zadow ala jed n ak wielu, ponieważ dostrzega się, że dla badań potrzebne są dodatkowe pojęcia i sposoby postępow ania.
W szerszym rozum ieniu w pojęciu niezawodności należy rozróżniać:
- skuteczność działania identyfikow aną dobranymi k ry teriam i działania, - okoliczność działania,
- trw ałość u kładu m aterialnego,
- pewność skutecznego działania przy założonej trw ałości i w zidentyfikowa
nych okolicznościach [1],
U kład działa skutecznie, jeśli jego działanie odpowiada oczekiwanej regule zachow ania się, a więc jeśli działanie je s t zgodne z przyjętym i przez proje
k ta n ta i k o n stru k to ra cechami działania (param etram i pracy). Skuteczność m ożna równocześnie pojmować jako określony stopień przystosow ania środka technicznego do w ykonania zadań wynikających z celu eksploatacji lub takie użytkow anie urządzeń, które je s t zgodne z ich przeznaczeniem . Ogólną nato m iast m ia rą skuteczności eksploatacyjnej mogą być wszelkie m iary odnoszące się do wyników, korzyści i nakładów (strat).
W badan iach pom iniem y wpływ okoliczności działania. Ograniczymy roz
w ażania do bad ań trw ałości i pewności działania w w aru n k ach laboratoryj
nych bez uw zględniania wpływów eksploatacyjnych.
W szerszym zrozum ieniu trw ałością nazywamy długość okresu działania liczoną od chwili w ytworzenia elem entu (prostego lub złożonego) do chwili u tra ty przez elem ent jego zdolności do działania, tzn. do chwili, w której
„um iera” on w sensie technicznym . Tak pojęta trw ałość je st pew ną właściwo
ścią wszystkich obmyślanych i w ytw arzanych przez człowieka układów m ate
rialnych.
202 Z dzisław Jaskóła, M ichał Płoch
Trwałość nie zawsze je s t pojm ow ana jednoznacznie, ponieważ środek tech
niczny, gdy się zepsuje, je s t n ap raw ian y bardzo często dopóty, dopóki jest to możliwe. Próg, po osiągnięciu którego środek techniczny uw aża się za ostate
cznie uszkodzony, stanow i odrębny problem badawczy.
B adania trw ałości środka technicznego mogą być prowadzone w dwojaki sposób: „od w ew nątrz” oraz „z zew nątrz”. W pierwszym przypadku rozpozna
jem y, ja k i je s t jego system i ja k a je s t konstru k cja środka technicznego. Bada
m y jego istotę działania, sposób jego reagow ania n a oddziaływanie różnych rodzajów wejść, identyfikujem y czynniki, k tó re wywołują uszkodzenie ele
m entów. B ada się, w ja k i sposób pow stają określone zjaw iska po to, aby móc prognozować ich rozwój. W tych badaniach środek techniczny je s t traktowany jako tzw. „biała” czy „przeźroczysta” skrzynka.
W drugim przypadku środek techniczny je s t trak tow any jako „czarna skrzy n k a”. Badam y, kiedy i w jakich okolicznościach pow stały uszkodzenia lub zaszły pewne zjaw iska. Czynimy to w tym celu, aby móc wiedzieć, kiedy one w ystąpią. Zbieram y inform acje o tym, co zaszło w przeszłości (tworzymy b an k informacji), n a podstaw ie których wyprowadza się następnie pewne reguły oparte n a statystyce.
Trwałość elem entu osiągana w w aru n k ach eksploatacyjnych zależy od bar
dzo w ielu czynników. Związane z nim i zależności są ta k uwikłane, że w przew idyw aniu trw ałości m ożna się pomylić wielokrotnie, nie podejrzewając możliwości ta k ogromnych odchyleń.
Prognozowanie trw ałości elem entów m aszyn je s t oparte zarówno na mode
lowych badaniach analitycznych, ja k i doświadczalnych. Dzięki tym badaniom dochodzimy do informacji, k tó ra um ożliwa nam budowanie prognoz. Jednym ze źródeł informacji należących do szeroko pojmowanego otoczenia są normy techniczne. S ą to dokum enty techniczno-praw ne określające własności i wła
ściwości znorm alizowanego przedm iotu lub określające zasady obliczania, pom iaru wielkości (wartości) czy dokonywania oceny jakości o zakresie stoso
w ania danej metody.
W najnow szych opracow aniach norm atyw nych określenie „zakres stosowa
n ia m etody” zastąpiono pojęciem „poziomu” lub „stopnia” i jako kryteria bez
pieczeństw a przyjm uje się:
- współczynnik bezpieczeństwa, - w skaźnik bezpieczeństw a (stopień 2), - prawdopodobieństwo aw arii (stopień 3), - w skaźnik klasy bezpieczeństw a (stopień 4).
M iędzynarodowe zalecenia norm atyw ne z zak resu przekładni zębatej prze
w idują możliwość stosow ania różnych m etod obliczania wytrzymałości uzę
bień i w yznaczania współczynników. M etody te są oznaczone wg malejącej dokładności kolejnym i literam i alfabetu od A do D. W ym agania natomiast
Zastosow anie w skaźnika bezpieczeństw a w obliczeniach. 203
odnoszące się do jakości m ateriału, obróbki cieplnej i cieplno-chemicznej sklasyfikowano wg trzech stopni jakości oznaczając je jako: ML, MQ, ME [7],
2. KRYTERIA BEZPIECZEŃSTWA 2.1. W sp ó łcz y n n ik b e z p ie c z e ń s tw a 5
W m etodzie obliczeń wytrzymałościowych, której zasady zostały opracowa
ne przez L.M. N aviera, przyjm uje się dla m ateriałów sprężysto-plastycznych, że elem ent będzie działał bezpiecznie, jeśli spełniony zostanie w arunek:
dfY-D„ R ^ .. Re . , n e0 2 Op < kp = -T- lub
^ 8 o
V gdzie:
o e - naprężenie obliczeniowe wynikające z n o m inalnych obciążeń ele
m entu, w ystępujących w w arunkach eksploatacyjnych, k e - naprężenie dopuszczalne,
Re - norm ow a granica plastyczności m ateriału za g w a ra n to w a n a p rze
pisam i kontroli,
Re0,2 - um ow na granica plastyczności, 8 - wpółczynnik bezpieczeństwa.
M etodę oparto n a następujących założeniach:
- w szystkie wielkości, które uwzględnione zostały w obliczeniach w ytrzy
małościowych, są zdeterm inow ane,
- każdy elem ent konstrukcyjny je s t ciałem sprężystym , w którym napręże
n ia zależą liniowo od obciążeń,
- w obliczeniach m ożna przyjąć także takie obciążenia zew nętrzne i ich kojarzenie, które nigdy nie pojawią się przez cały czas eksploatacji m aszy
ny (wyznacza się o max),
- m ożliwą niedokładność określenia sił i n aprężeń kom pensuje się współ
czynnikiem bezpieczeństwa 8 (przy odpowiednim jego wyborze m ożna za
pewnić naw et niezniszczalność elementu),
- w szystkie obciążenia zew nętrzne rozpatruje się jako działające w sposób ciągły, a wywołane przez nie naprężenia sum uje się zgodnie z obowiązują
cymi zasadam i sk ładania naprężeń,
- w a ru n e k wytrzym ałości rozpatruje się porównując n ap rężen ia wywołane wytężeniem z n aprężeniam i granicznymi,
- obliczenia trwałościowe, które należy przeprowadzić w przypadku oddzia
ływ ania wielokrotnie pow tarzających się obciążeń zmiennych, sprow adza się za pomocą odpowiednich współczynników również do porów nania n a prężeń, ta k aby zapewnić niezniszczalność elem entu.
204 Z dzisław Jaskóła, Michał Płoch
W te n sposób ogrom ną różnorodność m aszyn i ich elem entów sprowadza się do jednego modelu, do opisania którego w ystarczają rów nania teorii spręży
stości i znajomość niektórych wielkości, charakteryzujących własności mecha
niczne stosowanych tworzyw (współczynniki sprężystości, granica proporcjo
nalności i plastyczności, doraźna wytrzym ałość, w ytrzym ałość zmęczeniowa).
W m etodzie podstawowe znaczenie m a współczynnik bezpieczeństwa 5.
J e s t to liczba, k tó ra określa w artość ilorazu średniej wytrzymałości do śred
niego wytężenia. Przy wskaźnikowym oznaczeniu stosunku otrzymamy:
gdzie:
5 — liczba bezpieczeństwa,
Ru - uogólniona m ia ra wytrzym ałości, o u — uogólnione w ytężenie elem entu.
Pierw szym , k tóry stosował współczynniki bezpieczeństw a w procesie kon
struow ania, był prawdopodobnie C.A. Coulomb. Przyjm owane w przeszłości liczby bezpieczeństw a w ahały się w granicach od kilku do ok. 20.
W drugiej połowie ubiegłego stulecia przy k onstruow aniu elementów wyko
nanych z m etalu zaczęto powszechnie przyjmować liczbę 5 = 4. W 1881 r.
C. Bach wydał podręcznik pt.: „Die M aschinenelem ente”, w którym umieścił tablice dopuszczalnych naprężeń dla niektórych gatunków stali.
Z biegiem czasu zaczęto zdawać sobie spraw ę z faktu, że term in „współczyn
n ik bezpieczeństw a” nie odpowiada istocie rzeczy. Co więcej, je s t mylący, ponieważ daje fałszywy obraz zapasu bezpieczeństw a. Do takiego wniosku doszli równocześnie R. L uper w USA i F. Nixon w Wielkiej Brytanii, którzy w ykazali niezależnie od siebie, że współczynnik bezpieczeństwa je s t jedynie m ia rą stopnia naszej niewiedzy [9].
2.2. W sk aźn ik b e z p ie c z e ń s tw a P
M etody stopnia II zostały po raz pierw szy zaproponow ane przez A.P. Rza- hicy n a w lata ch czterdziestych, szerzej n a to m ia st zastosowane dopiero w lata ch sześćdziesiątych i siedemdziesiątych dzięki pracom różnych autorów [121.
KONCEPCJA OGÓLNA - Rozw ażania ograniczone zostaną do klasycznej m etody II stopnia, gdzie przyjm uje się rozkłady dw uparam etrow e, które charakteryzow ane są za pomocą w artości średnich X, i odchylenia stand
ardowego ox. Przyjm uje się, że elem ent ulega uszkodzeniu, jeśli wywołane w nim wytężenie (naprężenie a) przekroczy w ytrzym ałość elem entu R, tzn. gdy:
o - R > 0
Z astoso w a n ie w skaźnika bezpieczeństw a w o bliczeniach. 205
Równocześnie zakłada się, że wielkości losowe o i R m ają rozkład norm alny i ponadto, że są to zm ienne niezależne.
Pojęcie m etody stopnia drugiego nie je s t je d n a k jednoznaczne. W ystępują różnice, które dotyczą przyjmowanych założeń co do postaci rozkładu zm ien
nych losowych, ja k i uproszczeń przyjmowanych przy obliczaniu prawdopodo
b ieństw a uszkodzenia elementu. Do zalecanych sposobów w yznaczania m iar bezpieczeństw a elem entu zalicza się następ ujące określenia ilorazowe:
naprężenie m aksym alne - wytrzym ałość średnia odchylenia standardowe w ytrzym ałości lub
naprężenie średnie — w ytrzym ałość średnia odchylenie standardow e różnicy
ZAPAS BEZPIECZEŃSTWA Z - W edług danych literaturow ych [8], pier
wszym, który wprowadził pojęcie zap asu bezpieczeństw a, był F. Nixon. Wy
różnione powyżej dwie koncepcje ogólne różnią się jed n a k sposobem określe
n ia za p asu bezpieczeństwa.
Przyjm ijm y najpierw , że dany je s t tylko ro zrzu t wytrzym ałości, a stan w ytężenia je s t zdeterm inow any jedną w artością. Zapas bezpieczeństwa stano
wi wówczas odległość w artości wytężenia m ierzoną w stosunku do wartości średniej wytrzymałości. Prowadzi to do zależności, k tó ra pozwala wyznaczyć w artość naprężenia dopuszczalnego w sposób następujący:
o(P) = a - z S gdzie:
o(P) - naprężenie dopuszczalne jako funkcja pewności P, o - naprężenie średnie wytrzymałości,
S - odchylenie standardowe,
z - odchylenie standaryzow ane dobrane ze względu n a założone P.
W drugiej koncepcji natom iast zapasem bezpieczeństw a Z nazyw a się róż
nicę:
Z = R - o
przy czym: Z, o, R są to wielkości losowe, gdzie R je s t wytrzym ałością elem en
tu , a o - wytężeniem elem entu.
Przyjm uje się następnie, że Z jest liniową funkcją zm iennych X; wyznacza
jących w artości R i o . Udowadnia się, że jeśli X; m a rozkład norm alny, to również zm ienna losowa Z m a rozkład norm alny. Odchylenie standardow e dla zm iennej losowej Z wyznacza się w zależności:
206 Z dzisław Jaskóła, M ichał Płoch
o z = Vo!+~g!
gdzie: CTr i o a oznaczają odchylenia standardowe wytrzymałości R i wytężenia o.
M iarą zapasu bezpieczeństw a Z je s t wówczas w skaźnik bezpieczeństwa p zdefiniowany jako stosunek:
gdzie:
Z - średn ia w artość zapasu bezpieczeństw a,
az - odchylenie standardow e zap asu bezpieczeństwa.
W artość średn ią Z obliczamy n a podstaw ie zależności:
W artość (3 je s t więc „odległością” w artości średniej Z od p u n k tu zerowego z = 0 (rys. 1). T ak pojęty w skaźnik je s t m ia rą praw dopodobieństw a, że Z < 0, które możemy obliczyć ze wzoru:
Z = R - a
f(z) A
O b sza r
uszkod zenia b ezp ieczn y
0 Z
Z
Rys. 1. Interpretacja wskaźnika bezpieczeństwa (i Fig. 1. Interpretation of safety index (3
Z astosow anie w skaźnika bezpieczeństw a w o bliczeniach. 207
p = <t> (-P) gdzie p je s t unorm ow aną funkcją Laplace’a [12].
2.3. R o z k ła d y w y tr z y m a ło ści i trw ałości
Zniszczenie zmęczeniowe m a charakter statystyczny. Funkcję W ohlera n a leży więc traktow ać jako funkcjonalny związek zbioru krzywych, z których k ażda w skazuje n a określone prawdopodobieństwo uszkodzenia.
N ajogólniejszą statystyczną charakterystyką krzywej zmęczeniowej (fun
kcji W ohlera) je s t rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (er, N), gdzie a je s t naprężeniem , N - liczbą cykli. Ze względów praktycznych wykorzystuje się dwa sposoby przed staw ienia param etrów roz
kład u zmiennej losowej (c, N), a mianowicie podaje się:
- w arunkow ą dystrybu an tę F(o/N), która określa praw dopodobieństwo zni
szczenia przy og < o, gdzie a g je s t naprężeniem granicznym dla określonej liczby cykli N,
- w arunkow ą d ystrybuantę F(N/s), która określa prawdopodobieństwo zni
szczenia przy Ng < N, gdzie Ng jest graniczną liczbą cykli dla określonego nap rę ż e n ia o.
W obu przypadkach może zachodzić jeden z następujących rozkładów:
- rozkład norm alny (Gaussa), - rozkład logarytm iczno-norm alny, - rozkład wykładniczy,
- rozkład W eibulla.
Rozkład trw ałości zmęczeniowej łożysk tocznych, ja k i rozkład trw ałości i wytrzym ałości zębów kół przekładni z dokładnością w ystarczającą dla p rak ty ki, m ożna wyrazić za pomocą param etrów rozkładu W eibulla [3],
Rozkład W eibulla zmiennej losowej X ty p u ciągłego m a rozkład gęstości określony wzorem:
f ( x ) = | ( x - x 0)5 - 1 exp
gdzie:
5 > 0 - p a ra m etr k ształtu , 0 > 0 - p a ra m etr skali,
x0 - p a ra m e tr położenia (param etr progowy rozkładu).
W artość oczekiwana E(X) zmiennej losowej X je s t określona wzorem:
( i \ E(X) = x0 + e1/s
r
i + io gdzie: r - funkcja gam m a Eulera.
(x - x0)g
0 dla x > x„
208 Z d zisła w Jaskóła, M ichał Płoch
Odchylenie średnie zmiennej losowej X w yraża się wzorem:
n / 5 '4 + 1 - P ł + 1 M ediana zmiennej losowej X w yraża się wzorem:
Me(X) = x0 + (0 ln2)1/s
W artość m odalna zmiennej losowej X może być wyznaczona za pomocą wzoru:
M0(X) = x0 + r 4
e 1 —
T5
-
1/5
B ad an ia kół zębatych są prowadzone n a podstaw ie następujących założeń.
B ada się bądź rozkład w ytrzym ałości stopy lub boku zęba dla założonej liczby cykli zm ian obciążenia bądź rozkład trw ałości dla danej w artości wytrzymało
ści, przyjm ując, że w obu przypadkach właściwości losowe w yraża rozkład W eibulla. Związek, ja k i zachodzi pomiędzy p a ra m etram i tego rozkładu, a niezawodnością R dla funkcji W ohlera m ożna przedstaw ić w następującej postaci [3]:
o(R) =
O
m+ (o| - O
m)
ln
1/5'
1 +
1/a
gdzie:
a(R) - je s t w ytrzym ałością elem entu możliwą do osiągnięcia z prawdopo
dobieństwem R dla danej liczby cykli zm ian obciążenia, Oe - je s t w artością progową, dla której R = 1,
Om — je s t w artością oczekiwaną,
R - je s t funkcją niezawodoności, k tó ra przyjm uje wartości liczbowe w przedziale R e(0, 1),
a - je s t w ykładnikiem potęgowym funkcji W ohlera lub
Z astoso w a n ie w skaźnika bezpieczeństw a w obliczeniach. 2 0 9
gdzie:
N(R) - je s t trw ałością elem entu możliwą do osiągnięcia z prawdopodobień
stwem R n a danym poziomie n aprężenia, Nm - je s t w artością progową, dla której R = 1,
Ng — je s t w artością oczekiwaną.
N a podstaw ie tych zależności można wyznaczyć zbiór linii, z których k ażda w skazuje określone prawdopodobieństwo osiągnięcia wytrzym ałości c przy danej liczbie cykli N lub liczby cykli N zm ian n aprężeń a n a danym jego poziomie (rys. 2).
Rys. 2. Funkcja niezawodności R Fig. 2. Reliability function R
3. BADANIE WSKAŹNIKA BEZPIECZEŃSTWA (3 UZĘBIEŃ KÓŁ
3.1. B a d a n ie fu n k cji tr w a ło śc i
W ram ach prac badawczych [7, 10] prowadzonych w Zakładzie Podstaw K onstrukcji i Eksploatacji M aszyn Energetycznych nt.: „Typizacja gatunków stali n a koła zębate walcowe, wyznaczenie w ytrzym ałości zmęczeniowej na zginanie i n a naciski powierzchniowe”, przeprow adzona została próba w ytrzy
m ałości OFiim uzębień kół wykonanych ze sta li 16HG (tabl. 1). B adania prze
210 Z dzisław Jaskóła, M ichał Płoch
prowadzone zostały n a zlecenie Zakładów M echanicznych ZAMECH w Elblą
gu. Celem tych b a d ań było wyznaczenie w ytrzym ałości a Eiim oraz sprawdzenie przydatności stali 16HG n a koła zębate. W b ad aniach w ykorzystane zostały koła - próbki, których konstrukcja, technologia w ykonania, obejmującą za
równo obróbkę m echaniczną, ja k i obróbkę cieplno—chemiczną, opracowane zostały przez zleceniodawcę i odpowiadały w arunkom klasy jakości MQ. Pró
ba przeprow adzona została n a stanow isku w łasnej konstrukcji m etodą badań, k tó ra spełn iała założenia przyjm ow ane w m etodzie B wg DIN 3990.
Tablica 1 W ła s n o ś c i m e c h a n ic z n e s t a li 16 H G
Lp. Tworzywo Stan tworzywa km MPa
Re
MPa As Z U
Nm/cm2 HB
1 16 HG
hartowanie 800°C odpuszczanie 180°C olej - powietrze
850 600 12% 45% 80 187 stan
zmiękczony
W w yniku przeprowadzonej próby wyznaczone zostały trz y rów nania linii ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej: a a • N = const | abC (rys. 2), przy zało
żeniu, że ich położenie m a odpowiadać następującym funkcjom niezawodności:
linia A —» R = RM = 1 linia B —> R = Re
linia C —^ R = 0,00001 Rów nania linii A B C podane są w tablicy 2.
T ablica 2 F u n k c je o g r a n ic z o n e j t r w a ło ś c i
Lp. Tworzywo Oznaczenie linii na rys.
Równania trwałości na podstawie badań eksperymentalnych
Współczynnik kierunkowy
a linia A a ll,333 N _ 1 0 36,0015*
1 Stal 16 HG linia B a ll,333 _ j q36,338* 11,333 linia C 0 11,333 . N = 1 0 36,675**
* Linie graniczne, które wyznaczono, prowadząc je przez krańcowe punkty rozproszenia uzyskane w próbie.
** Linię C wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów.
Do podstawowych param etró w charakteryzujących otrzym aną funkcję W óhlera należą:
— współczynnik kierunkow y a = 11,333
- w spółrzędne punktów ograniczających „od góry” funkcję trwałości:
Zastosow anie w skaźnika b ezpieczeństw a w obliczeniach. 211
[ X , [cykli]; a = ReAB c(l-r) [N /m m ]]
-w sp ó łrz ę d n e punktów ograniczających „od dołu” funkcję trwałości:
j^Ng = Njim [cykli]; o = ZabC [N /m m ]j gdzie:
Z abc - j e s t oznaczeniem wytrzym ałości zmęczeniowej, Reabc — granicą plastyczności,
Njim - je s t bazow ą liczbą cykli zm ian przyjm ow aną p rzy w y zn aczan iu wytrzymałości,
N 0 — w spółrzędną początku uk ład u odniesienia.
W próbie wytrzym ałości stopy kół próbek przyjęto n astępujące kryterialne liczby cykli:
N0 = 104 cykli
Njim = 10 106 cykli gdzie:
Njim - liczba bazowa przyjm ow ana dla uzębień powierzchniow o wg n ie
których zaleceń norm atywnych.
D la bazowej liczby Nlim = 10 ■ 106 cykli zmian n aprężeń wyznaczone zosta
ły w artości wytrzym ałości zmęczeniowej (tablica 3), dla której przyjęto ozna
czenia:
Z = C7[.'(;(K) = (CT_\1, 0(0, 9), Om0(j, Omeli, Og,OpBm> O(0,0001) zależnie od rozpatryw anego prawdopodobieństwa R.
Ja k o um ow ną w artość wytrzym ałości stopy zęba koła próbki przyjęto wy
trzym ałość możliwą do osiągnięcia z prawdopodobieństwem odpowiadającym funkcji niezawodności R = 0,9: o(0, 9) = a Fiim. W ielkość wyznaczono z podanej poprzednio zależności N(R) po wyznaczeniu param etró w rozkładu W eibulla (tablica 3).
3.2. B a d a n ia n a p r ę ż e ń w s to p ie zęb a o F
N aprężenia w stopie zęba 5F, zgodnie z zaleceniem norm atyw nym DIN 3990, oblicza się dla największego w ytężenia n a podstaw ie zależności:
o F = r ~ ~~ • Ka Kv ■ KFp • KF(x ■ YFa • YSa ■ Ye ■ Yp
d ■ m n
T a b lic a 3 W s k a ź n ik b e z p ie c z e ń s t w a (5
Lp. Nazw a W ielkości
1 M ateriał stal 16 HG
2 Param etry rozkładu W eibulla Parametr kształtu a = 2,38
Param etr skali 9 = 1690,7
Param etr położenia o o = 391,87 [MPa]
3 W ytrzym ałość zm ęczeniow a OFg [MPa]
385
a(0,9) 399
^moda
409,9
^mediana
411,3
°E
412
°Fliin
428
o(0,0001) 441
4 W artość funkcji gęstości f(o) — 0,0197 0,0426 0,0422 0,0417 0,0097 0.0006
5 Funkcja niezawodności R 1 0,9 0,56 0,5 0,47 0,019 0,00001
6 Średnie odchylenie standard, a s [MPa] a s = 9
7 N aprężenie o f [MPa] 376 358 294
8 O dchylenie st. a 0 [MPa] 9 9 9
9 W skaźnik bezpieczeństw a (3 P = -2 ,8 3 P = -4 ,2 5 P = -9 ,2 9
10 Praw dopodobieństw o złam ania p = 0,002 p = 0,00001 Q- III O
11 W spółczy nnik bezpieczeństw a 5 p S 1,1 II Y2 5p = 1,4
212ZdzisławJaskóła,MichałPłoch
Z astoso w a n ie w skaźnika bezpieczeństw a w obliczeniach. 213
gdzie: Ft - nom inalne obciążenie występujące w płaszczyźnie czołowej styczne do okręgu podziałowego. Pozostałe wielkości są podane w DIN 3990.
N aprężen ia gf wyznaczone n a tej podstawie są trak to w an e jako wartość m aksy m alna i zdeterm inow ana. W rzeczywistości naprężenie w stopie zęba Gp je s t wielkością losową.
Przede wszystkim rzeczywiste obciążenie, w ystępujące n a wejściu i wyjściu przekładni zębatej, je s t obciążeniem zmiennym i n a ogół je s t wielkością loso
wą. M iarą zm iany obciążenia je s t współczynnik przeciążenia K^. Dla uściśle
nia analizy międzyzębnego obiążenia należy, zarówno dla obciążeń zdeterm i
now anych o stru k tu rz e poliharmonicznej, jak i obciążeń losowych, wyznaczyć widmo obciążenia. Aby nato m iast określić zapas bezpieczeństwa, należy wy
znaczyć funkcję gęstości rozkładu obciążenia (naprężenia). Do chwili uzyska
n ia w pełni m iarodajnych wyników w badaniach w łasnych przyjęto, że zmien
na losowa G p m a rozkład norm alny.
3.3. W y zn a czn ie w sk a ź n ik a (3
P róba wytrzym ałości stopy zęba s kół próbek w ykonanych ze stali 16HG pozwoliła n a wyznaczenie (tablica 3):
- param etrów rozkładu W eibulla,
- wytrzym ałości zmęczeniowej oFg(R) dla danej funkcji niezawodności R, - w artości średniej Gg i średniego odchylenia standardow ego Og
w ytrzym ałości stopy zęba kół próbek dla bazowej liczby Ng cykli.
Założenie, aby do analizy w skaźnika (3 brane były rozkłady norm alne moż
n a uznać za częściowo spełnione, jeśli weźmie się pod uw agę wyznaczone p a ra m e try rozkładu W eibulla. Ponieważ są to badania, k tóre m iały n a celu rozpoznanie możliwości prow adzenia obliczeń wytrzymałościowych n a podsta
wie w skaźnika [3, przyjęto w pierwszym przybliżeniu, że są to rozkłady nor
m alne.
Aby wyznaczyć w skaźnik bezpieczeństwa p, przyjęto w stępnie następujące p a ra m e try funkcji gęstości rozkładu Gaussa dla n ap rężeń stopy zęba a F:
- średnie naprężen ia w podstaw ie zęba, przyjęto, że m ogą one np. wynosić:
(bF = 376, b F = 358, b F = 294) [N/mm],
- odchylenie standardow e o a = 9 [N/mm], podobnie ja k w rozkładzie w ytrzy
m ałości (tablica 3).
W skaźnik bezpieczeństwa wyznaczono na podstaw ie zależności:
_ o F - Qę
o z
214 Z d zisła w Jaskóła, M ichał Płoch
przy czym: o z = + a | = 12,7 [N/mm] i n astęp n ie wyznaczono prawdopodo
bieństw o złam ania p. W yniki b a d ań przedstaw iono w tablicy 3 i zilustrowano n a rys. 3.
Dla porównania wskaźnik bezpieczeństwa obliczony n a podstawie zależności:
o _ ^ F m a x ~
a R
gdy przyjm iemy, że CFmax = Oe - 3oR = 385 [N/mm ] będzie rów nał się: (3 = -3, co oznacza, że praw dopodobieństwo uszkodzenia wynosi p = 0,0013, czyli jest ono m niejsze od praw dopodobieństw a liczonego dla w skaźnika [3 uwzględ
niającego zarówno losowość a E ja k i a Eg.
Liczbę bezpieczeństw a wyznaczono n a podstaw ie zależności:
8 = — Ojr
Aby wyznaczyć w skaźnik bezpieczeństw a ¡3 przyjęto, że losowe własności w ytrzym ałości podstaw y zęba kół są zgodne z wyznaczonymi w próbie kół wzorcowych. Oznacza to, że pozostałe współczynniki pom inięte zostały w roz
ważaniach. W dalszych badaniach dążyć się będzie do tego, aby je uwzględnić.
4. WNIOSKI
W w yniku przeprow adzonych b a d ań w zakresie możliwości zastosowania m etody stopnia II w obliczeniach wytrzym ałościowych uzębień można wyciąg
nąć następujące wnioski:
1. U zyskane w yniki b ad ań w skazują, że znaczący postęp w kierunku racjo
nalnego doboru zapasu bezpieczeństw a przy wyznaczaniu nośności uzębie
n ia m ożna osiągnąć stosując m etodę II stopnia. Przyczyną takiego stanu je s t możliwość uw zględnienia łącznego wpływu zm iennych losowych - w ytężenia i w ytrzym ałości n a zapas bezpieczeństw a i to w sposób pozwala
jący n a jego świadomy wybór.
2. Z dwóch różnych sposobów w yznaczania w skaźnika bezpieczeństwa, spo
sób o party n a zależności
Op - Oę
°z
charakteryzuje się w iększą dokładnością oceny prawdopodobieństwa usz
kodzenia zęba.
( R= 1 ) (R = 0,471) (R = 0,00061 )
Rys. 3. Interpretacja zapasu bezpieczeństwa Z Fig. 3. Interpretation of safety margin Z
216 Z dzisław Jaskóła, M ichał Płoch
3. Zalecana liczba bezpieczeństwa 8F dla stopy zęba wg DIN 3990 wynosi 5f > 1,4. W porów naniu do otrzym anych wyników badań oznacza to, że jeśli zachowane zostan ą w procesie wytwórczym w szystkie w ym agania stawia
ne m etodzie B, to dla tej liczby praw dopodobieństwo złam ania p = 0.
Zalecenie norm atyw ne przyjm uje, że wynosi ono 1%, co może świadczyć, iż przyjęte uproszczenia w m etodzie b ad ań nie m iały istotnego wpływu na w yniki badań.
4. W yznaczona w próbie w ytrzym ałość zmęczeniowa o Flim została zweryfiko
w an a m etodą o p a rtą n a praw dopodobieństw ie w ystąpienia uszkodzenia, k tó ra opracow ana została w ram ach wcześniej prowadzonych badań. Ba
d an ia potwierdziły, że jeśli zachowane zostan ą w ym agania staw iane klasie jakości MQ, wówczas m ożna osiągnąć sta n d a rd kół zębatych porównywal
ny z osiąganym przez liczących się producentów kół zębatych.
LITERATURA
[1] D ietrych J.: System i konstrukcja. WNT, W arszaw a 1985.
[2] D ietrich M.: Podstaw y konstrukcji m aszyn, t. 4. PWN, W arszaw a 1991.
[3] Gnilke W.: L ebensdauerberechnung der M aschinenelem ente. VEB Ver
lag Technik, Berlin 1980.
[4] Ja k ó ła Z.: Podstaw y konstrukcji m aszyn. B adania nośności przekładni zębatych ogólnego przeznaczenia. Skrypty uczelniane, n r 720, Pol. ŚL, Gliwice 1977.
[5] Ja sk ó ła Z.: Problem y jakości i niezawodności środków technicznych.
R eferaty problemowe. XVI Sympozjon Podstaw konstrukcji maszyn.
W arszaw a 1993.
[6] Ja sk ó ła Z.: Dobór cech konstrukcyjnych elem entów m aszyn n a podsta
wie zasad konstrukcji. Problem y metedologii i komputerowego wspoma
g ania technicznego. Wyd. Pol. Wrocł., W rocław 1994.
[7] Jaśkiew icz Z., W ąsiewski A.: P rzekładnie walcowe. WKiŁ, Warszawa 1992
[8] J u r a n J.M ., F ra n k M., G ryna J.R.: Jakość. Projektow anie i analiza.
WNT, W arszaw a 1974.
[9] Nixon F.: Jakość i niezawodność a zarządzanie przedsiębiorstwem.
PWE, W arszaw a 1974.
[10] Płoch M.: W ybrane zagadnienia trw ałości kół zębatych i wytrzymałości stopy zęba. III Konferencja nt.: „Trwałość elem entów i węzłów konstru
kcyjnych m aszyn górniczych. Pol. Śl., U stroń - Zawodzie, 9-10.11.1994.
[11] Płoch M.: Nośność a trw ałość uzębień kół zębatych. III Konferencja nt.:
„Trwałość elem entów i węzłów konstrukcyjnych m aszyn górniczych.
Pol. ŚL, U stroń-Zaw odzie, 9-10.11.1994.
Z astoso w a n ie w skaźnika bezpieczeństw a w obliczeniach. 217
[12] P ra ca zbiorowa: Zastosowanie probabilistyki w nowoczesnych norm ach konstrukcji i obciążeń. S tudia z zakresu inżynierii n r 25. PWN, W arsza
w a — Łódź 1987.
A b stract
T em porary applied m easures of (operational) safety are not objective. It relates to trad itio n al m easures, for example: allowable stress, to ta l factor of safety an d aven to th e m ethod of partial factors of safety.
In th is w ork first researches results of factor of safety application for stre n g th calculations of gears h as been presented . The researches has been sta rte d becouse quality and strenght te s t complied w ith th e DIN 3990 sta n d a rd . D uring th e developm ent of th is researches will be tak e n into consideration th e other factors, which ave any assum ptions in th is work.