ROZDZIAŁ 1
Przykłady i zasady
Podczas przejażdżki konnej arystokrata proponuje swoje- mu towarzyszowi pojedynek: kto wymyśli większą liczbę. To- warzysz przyjmuje wyzwanie i po kilkuminutowym namyśle ogłasza z dumą: „Trzy”. Pomysłodawca milczy pół godziny, po czym wzrusza ramionami i poddaje się.
Do sklepu w stanie Maine wchodzi turysta i kupuje wiele drogich artykułów. Sceptyczny i niezbyt rozmowny sklepikarz milcząco wstukuje do kasy kolejne kwoty z rachunku. Następ- nie bez słowa wskazuje kupującemu ostateczną sumę i patrzy, jak ten odlicza 1 528 dolarów i 47 centów. Później skrupulatnie przelicza pieniądze — raz, drugi i trzeci. Kupujący pyta w koń- cu, czy dał właściwą kwotę, na co słyszy niechętną odpowiedź:
„W zasadzie tak”.
Matematyk Godfrey H. Hardy odwiedził w szpitalu swoje- go protegowanego, młodego hinduskiego matematyka Rama- nujana. Aby zagaić rozmowę, zauważył, że numer taksówki,
którą przyjechał — 1729 — nie jest specjalnie ciekawą liczbą.
Na to Ramanujan natychmiast odpowiedział: „Nic podobnego, drogi Hardy! Absolutnie nie! To bardzo interesująca liczba. Jest to najmniejsza liczba, jaką można przedstawić na dwa różne sposoby jako sumę sześcianów dwóch innych liczb”.
Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa
Nasza umiejętność posługiwania się liczbami mieści się gdzieś między skrajnymi przypadkami arystokraty i Ramanuja- na. Niestety, większość z nas znajduje się raczej „po arystokra- tycznej stronie” sklepikarza z Maine. Zdumiewa mnie zawsze, a jednocześnie przygnębia, gdy trafiam na studentów nie ma- jących pojęcia, ilu mieszkańców liczą Stany Zjednoczone, jaka jest przybliżona odległość między wschodnim a zachodnim wybrzeżem lub jaki z grubsza procent ludności świata stano- wią Chińczycy. Czasami proszę ich o oszacowanie, jak szybko, w kilometrach na godzinę, rosną ludzkie włosy, ilu ludzi umiera codziennie na świecie albo ile papierosów rocznie jest wypa- lanych w naszym kraju. Mimo początkowych oporów, jakie te ćwiczenia wywołują u studentów (jeden z nich upierał się, że włosy wcale nie rosną w kilometrach na godzinę), polepszają one, i to znacznie, intuicję dotyczącą liczb.
Bez umiejętności właściwej oceny dużych liczb nie można traktować z należytym sceptycyzmem przerażających donie- sień o milionach amerykańskich dzieci uprowadzanych corocz- nie przez kidnaperów ani też reagować z należytą powagą na informację o głowicy przenoszącej ładunek wybuchowy o mocy megatony — równowartości miliona kilogramów trotylu.
Jeżeli natomiast brak nam wyczucia stopnia prawdopodo- bieństwa, możemy bagatelizować ryzyko wypadku samochodo- wego w czasie podróży po kraju, a podczas wypraw za granicę główne zagrożenie upatrywać w zamachach terrorystycznych.
Tymczasem na amerykańskich drogach co roku ginie około 45 tysięcy osób — tyle samo, ile wynosi liczba wszystkich ame- rykańskich ofiar wojny w Wietnamie. Z drugiej strony, tylko siedemnastu spośród 28 milionów Amerykanów, którzy wy- jeżdżali za granicę w 1985 roku, zginęło z rąk terrorystów, co daje ryzyko zostania ofiarą jak jeden do 1,6 miliona. Porów- najmy to z następującymi rocznymi wskaźnikami dotyczącymi Stanów Zjednoczonych: śmierć w wypadku rowerowym — ry- zyko jak jeden do 75 tysięcy, śmiertelne udławienie się — jeden do 68 tysięcy, utonięcie — jeden do 20 tysięcy, i wreszcie śmierć w wypadku samochodowym — jeden do zaledwie 5 300.
Postawiony w obliczu tak dużych liczb i odpowiadających im małych prawdopodobieństw, analfabeta matematyczny nie- chybnie odpowie: „No tak, ale przecież to właśnie ja mogę być jedną z ofiar” — i pokiwa z politowaniem głową, dając do zro- zumienia, że to głębokie spostrzeżenie „załatwia” wszystkie argumenty. Taka personalizacja, którą rozumiem jako skłon- ność do odnoszenia wszystkiego do siebie jest — jak się przeko- namy — cechą wielu osób cierpiących na analfabetyzm. Równie typowa jest tendencja do zrównywania ryzyka zapadnięcia na jakąś egzotyczną chorobę z prawdopodobieństwem, że zacho- rujemy na jedną z chorób serca lub układu krążenia, na które co tydzień umiera około 12 tysięcy Amerykanów.
W tym miejscu przytoczę mój ulubiony dowcip. Wielolet- nie małżeństwo — oboje po dziewięćdziesiątce — występuje o rozwód. Prawnik stara się odwieść ich od tego zamiaru: „Po co rozwodzić się po siedemdziesięciu latach małżeństwa? Dla- czego nie dotrwacie do końca? I dlaczego właśnie teraz?!” Na co starsza pani wyjaśnia piskliwym głosem: „To ze względu na dzieci. Woleliśmy poczekać, aż umrą”.
Do zrozumienia tego dowcipu potrzeba wyczucia, w jakim zakresie, zależnie od kontekstu, mogą się zmieniać różne wiel- kości oraz czas. Mylenie milionów z miliardami czy miliardów z bilionami powinno być równie śmieszne, ale nie jest, bo zbyt
często nie mamy żadnego wyczucia co do dużych liczb. Wiele wykształconych osób nie radzi sobie z nimi, a nawet nie koja- rzy, że milion to 1 000 000, miliard to 1 000 000 000, a bilion to 1 000 000 000 000.
Doktorzy Kronlund i Phillips z Uniwersytetu Waszyngtoń- skiego w swoim niedawnym raporcie zwracają uwagę, że prze- prowadzane przez lekarzy oceny ryzyka operacji, sposobów leczenia, zażywania lekarstw itp. są na ogół bardzo odległe od prawdy. Rozmawiałem kiedyś z lekarzem, który w ciągu około dwudziestu minut wyraził się o planowanym zabiegu, iż:
a) wiąże się z ryzykiem jak jeden do miliona, b) jest w 99 procentach bezpieczny,
c) zazwyczaj przebiega bez komplikacji.
Biorąc pod uwagę, iż wielu lekarzy zdaje się sądzić, że dopiero jedenastoosobowa kolejka w poczekalni zapewnia im nieprze- rwaną pracę, nie byłem zaskoczony nowym świadectwem ich matematycznej ignorancji.
Dla bardzo dużych lub bardzo małych liczb często czy- telniejsza i łatwiejsza w użyciu od zwykłego zapisu jest tak zwana postać wykładnicza, i dlatego będę ją czasami stosował.
Nie ma w niej nic niezwykłego: 10N to 1 z N zerami, zatem 104 to 10 000, a 109to miliard. Z kolei 10−N to 1 podzielone przez 10N, a więc 10−4 to 1 podzielone przez 10 000 albo 0,0001, a 10−2 to jedna setna.
Odpowiedzi na postawione wcześniej pytania wyglądają w zapisie wykładniczym następująco: ludzkie włosy przyrastają z prędkością mniej więcej 10−7kilometra na godzinę; codzien- nie na świecie umiera około 2,5· 105osób; rocznie w USA jest wypalanych w przybliżeniu 5·1011papierosów. W zwykłym za- pisie liczby te wyglądają tak: 0,0000001 kilometra na godzinę, 250 000 ludzi i 500 000 000 000 papierosów.
Decyzje i formułowanie pytań
Judy ma trzydzieści trzy lata, jest niezamężna i pewna sie- bie. Skończyła z wyróżnieniem nauki polityczne. Była głęboko zaangażowana w sprawy społeczne, w szczególności w zagad- nienia dyskryminacji i w ruch antynuklearny. Które z poniż- szych stwierdzeń jest bardziej prawdopodobne?
(a) Judy pracuje w banku.
(b) Judy pracuje w banku i jest aktywistką ruchu femini- stycznego.
Odpowiedź może być dla niektórych zaskakująca: (a) jest bardziej prawdopodobne niż (b), bo pojedyncze stwierdzenie jest zawsze bardziej prawdopodobne niż koniunkcja dwóch stwierdzeń. Jest większa szansa, że rzucając monetą dostanę orła, niż że rzucając monetą i kostką dostanę orła i szóstkę.
Jeżeli nie mamy bezpośredniego świadectwa albo teoretycz- nego uzasadnienia dla jakiejś wersji wypadków, to powinni- śmy wziąć pod uwagę, że liczba szczegółów i ich barwność są odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa: im barw- niejsze szczegóły, tym mniejsza szansa, że dana wersja jest prawdziwa.
Wracając do Judy, działający tu mechanizm psychologicz- ny może być następujący: wstępny opis powoduje pomylenie koniunkcji (b) („Pracuje w banku i jest feministką”) ze stwier- dzeniem warunkowym („O ile pracuje w banku, to zapewne jest też feministką”), a to ostatnie stwierdzenie wydaje się bardziej prawdopodobne niż (a). Ale oczywiście (b) mówi coś innego.
Psychologowie Tversky i Kahneman przypisują atrakcyj- ność odpowiedzi (b) sposobowi, w jaki oceniamy prawdopodo- bieństwo zdarzeń w sytuacjach codziennych. Otóż na ogół nie analizujemy wszystkich możliwości stwarzanych przez daną sytuację, by następnie policzyć te, które spełniają interesują- ce nas warunki; tworzymy natomiast myślowe modele sytuacji
— w naszym wypadku kogoś takiego jak Judy — i wyciągamy
wnioski na podstawie porównań z tymi modelami. W ten spo- sób wielu ludziom może się wydawać, że odpowiedź (b) jest bliższa komuś z przeszłością Judy niż odpowiedź (a).
Wiele z cytowanych w tej książce, niezgodnych z intuicją rezultatów to psychologiczne sztuczki podobne do powyższej;
mogą one spowodować chwilowy analfabetyzm nawet u osób wykształconych matematycznie. W swojej fascynującej książce Osąd w warunkach niepewności Tversky i Kahneman opisują inny rodzaj pozornie nieuzasadnionej ignorancji matematycz- nej, charakteryzujący wiele naszych ważnych decyzji. Zadawali oni badanym osobom następujące pytanie: Wyobraź sobie, że jesteś generałem okrążonym przez przeważające siły wroga, które zmiotą z powierzchni ziemi twój 600-osobowy oddział, jeśli nie zdecydujesz się na jedną z dwóch możliwych dróg od- wrotu. Twój oficer wywiadu donosi, że jeśli wybierzesz pierw- szą drogę, uratujesz 200 żołnierzy, jeśli zaś zdecydujesz się na drugą, to szansa uratowania wszystkich wynosi 13, a ryzyko, że wszyscy zginą — 23. Którą drogę wybierzesz?
Większość badanych (trzech na czterech) wybiera pierwszą drogę, ponieważ w ten sposób można na pewno uratować 200 żołnierzy, podczas gdy druga droga może z prawdopodobień- stwem 23 spowodować nawet większą liczbę ofiar.
Teraz pada drugie pytanie: Znowu jesteś generałem, któ- ry ma wybrać jedną z dwóch dróg odwrotu. Jeżeli wybierzesz pierwszą, zginie 400 z 600 twoich żołnierzy; jeśli drugą, to z prawdopodobieństwem 13 wszyscy wyjdą cało, a z prawdo- podobieństwem 23 — wszyscy zginą. Którą drogę wybierzesz tym razem?
Większość badanych (czterech z pięciu) w obliczu takiej decyzji wybiera drugą drogę, rozumując, że pierwsza prowa- dzi do 400 ofiar, podczas gdy w wypadku drugiej jest pewna szansa, równa 13, że wszyscy ocaleją.
Obydwa pytania są oczywiście identyczne, a różnice w czę- stości odpowiedzi wynikają ze sposobu sformułowania pytań:
w kategoriach istnień ludzkich do uratowania czy też istnień skazanych na śmierć.
Oto inny przykład z książki Tversky’ego i Kahnemana:
Wybierz pomiędzy pewnością otrzymania kwoty 30 000 dola- rów a 80-procentową szansą wygrania 40 000 dolarów, która jest połączona z 20-procentowym ryzykiem niewygrania nicze- go. Większość osób zdecyduje się na trzydzieści tysięcy, chociaż wartość oczekiwana wygranej przy drugim wyborze wynosi 32 000 (= 40 000· 0,8) dolarów. A co zrobić, jeśli mamy do wy- boru pewną stratę 30 000 dolarów albo 80-procentowe ryzyko straty 40 000, połączone z 20-procentową szansą, że nie stra- cimy nic? Teraz większość wybierze ryzyko stracenia 40 000 dolarów, aby mieć szansę uniknięcia jakiejkolwiek straty, cho- ciaż wartość oczekiwana straty w drugim przypadku wynosi 32 000 (= 40 000· 0,8) dolarów. Tversky i Kahneman wyciągają stąd wniosek, że staramy się unikać ryzyka, kiedy planujemy zyski, ale wybieramy ryzyko, aby uniknąć strat.
Nie musimy oczywiście uciekać się do tak wyrafinowa- nych przykładów, aby zdać sobie sprawę, iż sposób sformu- łowania pytania czy stwierdzenia ma istotny wpływ na nasze reakcje. Przeciętny podatnik, agitowany na rzecz 6-procento- wej podwyżki opłat za usługi komunalne, prawdopodobnie da się przekonać. Zapytany jednak o zdanie na temat podwyż- szenia łącznej kwoty rachunków za te usługi w całym kraju o 91 milionów dolarów, będzie zapewne przeciw. Powiedzenie, że wyniki danego ucznia plasują go w środkowej jednej trzeciej klasy, wywiera lepsze wrażenie od stwierdzenia, że mieści się on w trzydziestym trzecim centylu (jest lepszy od 33% swoich kolegów i koleżanek z klasy).
