ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU

(1)

Vol. LIV (2013) PL ISSN 0071-674X

ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU

PIO TR STEFAN ÓW

K a te d ra S ta ty s ty k i i D e m o g ra fii K rak o w sk iej A k a d e m ii im . A n d rz e ja F ry cza M o d rz e w s k ie g o e-mail: piotr.stefanow@interia.pl

ABSTRACT

P S tefanów . Process capability analysis. Folia O e c o n o m ic a C ra co v ie n sia 2013, 54: 117-132.

C a p a b ility a n a ly sis is a s e t o f c alc u la tio n s u s e d to assess w h e t h e r a sy s te m is sta tistica lly ab le to m e e t a s e t o f sp e c ific atio n s o r re q u ire m e n ts . T h e u s e o f c a p a b ility in d ic e s is w id e s p r e a d in i n d u s try. P ro cess c ap a b ility a n aly sis is u s e d d u r in g th e in tr o d u c tio n sta g e o f th e p ro c e s s a n d d u r in g th e process.

It is p r e s e n te d classical p ro c es s c ap a b ility in d ic e s a n d o rig in a l a n a ly sis c o n d u c te d b y prof. A n d rz e j Iw asiew icz. T h e re is also p r e s e n te d p ro c e s s c a p a b ility a n aly sis o f a ttr ib u te d a ta a n d n e w p r o cess c ap a b ility in d ic e s o f a ttrib u te d ata.

STRESZCZENIE

O m ó w io n o z n a c z e n ie , z a d a n ia i cele a n a liz y z d o ln o ś c i p ro c es u . P rz e d s ta w io n o k la s y c z n e o ra z ro z b u d o w a n e p o d e jś c ie d o a n a liz y z d o ln o ś c i p ro c es u . Z a p r e z e n to w a n o s p o s ó b w y z n a c z a n ia z d o ln o ści za p o m o c ą p r o c e d u r y z a p r o p o n o w a n e j p rz e z prof. A. Iw asiew icza. P rz e d s ta w io n o a n alizę z d o l

n o śc i d la d a n y c h p r z y a lte rn a ty w n e j o c en ie w ła śc iw o śc i o ra z z a p r o p o n o w a n o w s k a ź n ik z d o ln o ś c i d la a lte rn a ty w n e j o c e n y w łaściw o ści.

KEYWORDS — SŁOWA KLUCZOWE

p ro c e s s c ap a b ility a n aly sis, p ro c e s s c ap a b ility in d ic e s, p ro c e s s c ap a b ility a n a ly sis o f a ttr ib u te d a ta , p ro c e s s c ap a b ility in d ic e s o f a ttr ib u te d a ta , C PI, Cp, Cpk, C A

a n a liz a z d o ln o ś c i p ro c e s u , a n a liz a w y d o ln o ś c i p ro c e s u , a n a liz a z d o ln o ś c i p ro c e s u d la a lte rn a ty w n e j o c e n y w ła śc iw o śc i, C PI, Cp, Cpk, C A

1. W PRO W A D ZEN IE

Analiza zdolności (wydolności) procesu (ang. process capability analysis) m a za za

danie spraw dzenie czy proces produkcyjny spełnia określone wym agania. Po

lega ona na badaniu zgodności m iędzy w ym aganiam i wynikającym i z projektu

(2)

p ro d u k tu oraz możliwościami procesu, w którym wyrób m a być, lub jest realizo

wany. Wynika stąd bezpośrednio, że zdolność1 procesu jest jed n y m z pod staw o w ych elem entów strukturalnych jakości produkow anego wyrobu. Im w yższa jest w ydolność procesu, tym wyżej będzie oceniana jego jakość.

Analiza wydolności procesu jest pro w adzona zarów no podczas etapu podej

m ow ania decyzji o podjęciu produkcji dow olnego w yrobu, jak i podczas etapu produkcji. N egatyw na ocena w czasie projektow ania skutkuje najczęściej zm ianą projektu lub zaniechaniem dalszych działań. Analiza zdolności procesu podczas produkcji zwykle przebiega w sposób ciągły i jest podstaw ow ym wskaźnikiem określającym jakość procesu. W w yniku przeprow adzonej analizy wydolności procesu m ożna uzyskać szereg korzyści2, takich jak możliwość:

— w yboru najlepszego w yrobu spośród oferow anych przez różnych dostaw ców,

— oceny stopnia spełnienia w ym agań przez b ad an y proces odnośnie granic specyfikacji,

— w prow adzenia ew entualnych korekt procesu przez np. inżynierów procesu, projektantów,

— określenia now ych w ym agań po zmianie otoczenia procesu (np. po w p ro w a

dzeniu now ych urządzeń, m aszyn),

— podjęcia działań prow adzących do zm niejszenia zmienności (wariancji) p ro cesu produkcyjnego.

Przeprow adzona analiza pozw ala uzyskać odpow iedzi na pytania:

— Czy możliwości są wystarczające, aby spełnić wym agania?

— Czy w ym agania nie są zbyt wysokie w p orów naniu z możliwościami?

W ydolność nie zawsze jed n a k dotyczy procesów przem ysłow ych3, ale także procesów św iadczenia usług. N a przykład nauczyciel akademicki podczas p ro jektow ania zajęć (definiow ania program u studiów, pisaniu sylabusa) oraz p o d czas realizacji zajęć m usi próbow ać znaleźć odpow iedź na pow yższe pytania.

Czy możliwości stud en tów są wystarczające, aby spełnić wym agania? Czy w y

m agania prow adzącego nie są zbyt niskie lub zbyt wysokie w p o ró w n an iu z możliwościami intelektualnym i studentów ?

Celem pracy jest zaprezentow anie oryginalnego dorobku Profesora A ndrzeja Iwasiewicza z zakresu analizy w ydolności procesu oraz przedstaw ienie propozy

cji w skaźnika zdolności procesu dla alternatyw nej oceny właściwości.

W pracy om ów iono zadania i cele analizy w ydolności procesu. Przedsta

w iono klasyczne oraz ro zbudow ane podejście do tej analizy. W kolejnej części

1 Prof. A ndrzej Iw asiew icz p ro m o w a ł pojęcie „w ydolność" (Statistica (1997); Iw asiew icz (1996, 2005)). Pojęcia te m ogą być trak to w an e jako synonim y, p rz y czym „w ydolność" nieco lepiej w y raża istotę rzeczy, zob. Iw asiew icz (2005).

2 Zob. M o n tg o m ery (2005).

3 W literatu rze p rz ed m io tu d y sk u tu je się p rak ty czn ie w yłącznie o procesach p ro d u k cji w yrobów .

(3)

zaprezentow ano sposób w yznaczania w spółczynnika zdolności za pom ocą p ro cedury zaproponow anej przez Profesora A ndrzeja Iwasiewicza (2005). Pracę koń

czy opis analizy wydolności dla danych przy alternatyw nej ocenie właściwości oraz propozycja w skaźnika zdolności dla alternatyw nej oceny właściwości.

2. KLASYCZNE PODEJŚCIE D O ANALIZY Z D O L N O Ś C I

Podstaw ą oceny zgodności m iędzy w ym aganiam i projektu i możliwościami p ro cesu jest oczekiw any poziom jakości w ykonania4. Jeśli m ożna oczekiwać w y

sokiej jakości w ykonania, a więc jeśli proces m a zdolność do odtw arzania p ro jektu praktycznie w każdym akcie produkcji, to proces taki jest oceniany jako zdolny. Proces jest w ydolny jeśli może sprostać postaw ionem u p rzed nim za

daniu, w sensie przyjętego kryterium zgodności. Jest on natom iast niewydolny, jeśli tem u zadaniu nie m oże sprostać. Celem analizy wydolności procesu jest roz

strzygnięcie, czy w k onkretnym przy p adk u spełniona jest nierów ność (1):

Q (A; X, Z, E) > Qo (1)

w której Q (A;X, Z, E) oznacza poziom jakości w ykonania oceniany ze w zględu na zm ienną diagnostyczną X, jakiego m ożna oczekiwać realizując projekt p ro duktu A w procesie technologicznym Z przy określonych w arunkach ekonomicz

nych E. Q0 jest najniższym m ożliw ym do zaakceptow ania poziom em jakości w y

konania.

Jeśli m iędzy projektem i procesem zachodzi zgodność, w sensie nieró w n o ści (1), to istnieje też możliwość zapew nienia w ym aganego poziom u jakości w y

konania za pom ocą standardow ych procedur operacyjnego sterow ania jakością.

Jeśli nie m a owej zgodności (proces nie jest w ydolny), to nie m a możliwości za

pew nienia w ym aganego poziom u jakości w ykonania bez odpow iednich działań w sferze prewencji. Konieczne są wów czas zm iany w projekcie p ro d u k tu , m ody

fikacje procesu technologicznego albo działania zmierzające w obu tych k ierun

kach jednocześnie. Jeśli działania te nie pro w ad zą do celu, to w ów czas pozostają poszukiw ania innego, mniej wym agającego odbiorcy p ro d u k tu , albo rezygnacja z w ytw arzania w yrobu lub świadczenia usługi.

W praktycznych zastosow aniach, dla danych przy liczbowej ocenie właści

wości, do oceny nierówności (1) wykorzystuje się „klasyczny" w skaźnik zdolno

ści procesu (Cp). Pozwala on ocenić w jakim stopniu proces jest zdolny spełniać w ym agania w yznaczone specyfikacjami. Podstaw ow y w skaźnik zdolności p ro cesu jest określony w zorem (2).

4 Zob. Iw asiew icz (2005).

(4)

C p - ^ , (2)

6^•a gdzie:

TD — dolna granica przedziału tolerancji, TG — górna granica przedziału tolerancji,

ct — odchylenie standardow e, charakteryzujące precyzję procesu ze w zględu na obserw ow aną zm ienną diagnostyczną.

W literaturze przedm iotu5 m ożna znaleźć inne oznaczenia:

— zam iast Cp (ang. capability process) m ożna spotkać oznaczenia PCI (ang. pro

cess capability index) lub PCI6s (subskrypt 6s w skazuje na przedział naturalnej zmienności procesu o długości wynoszącej sześć sigma),

— dolna granica tolerancji TG (tolerancja dolna) jest zastępow ana określeniami L (ang. lower), LSL (ang. lower specification limit), LTL (ang. lower tolerance limit), xd (dolna wartość przedziału tolerancji),

— zam iast skrótu TD (tolerancja dolna) w ystępują U (ang. upper), USL (ang.

upper specification limit), UTL (ang. upper tolerance limit), xg (górna wartość przedziału tolerancji),

— odchylenie standardow e s (sigma) jest zastępow ane symbolami S lub s, które wskazuje, że wartość ta jest szacow ana z próbki.

W norm ach6 w zór (2) opatrzony jest następującym i wskazów kam i interpretacyj

nymi:

— proces niew ydolny: Cp < 1,

— średnia zdolność procesu, „akceptowalne m inim um ": 1 < Cp < 1,33,

— w ysoka7 zdolność procesu: Cp > 1,3.

Podstaw ow y w skaźnik zdolności procesu Cp jest stosunkiem „wyspecyfiko

wanej tolerancji" oraz „rozrzutu procesu", poniew aż licznik w zoru reprezentuje w ym agania projektu, natom iast m ianow nik opisuje możliwości procesu tech n o logicznego.

Długość przedziału tolerancji jest zależna od w ielu czynników, a najczę

ściej od w ym agań k o ntrah en tó w (np. długość u rządzenia p o w in n a wynosić 150 m m ± 0,2 mm) oraz od w ym agań m arketingow ych (ciężar p ro d u k tu pow i

nien wynosić 500 g, nie więcej jed n a k niż 505 g i nie mniej niż 499 g).

Możliwości procesu technologicznego są opisyw ane za pom ocą przedziału tak zwanej naturalnej zm ienności procesu (ang. NPI — natural process interval)

5 Zob. ISO 8258, ISO 3534, Iw asiew icz (2005), M o n tg o m ery (2005), T hom son i in. (2005), Sałaciński (2009).

6 Zob. ISO 8258, ISO 21747.

7 W p racy O ak lan d a (2008) w y ró żn io n y ch jest więcej w artości „granicznych" tj. Cp = 1,5, Cp = 1,6 oraz Cp = 2.

(5)

opartego na właściwościach rozkładu norm alnego. Długość przedziału natural

nej zmienności procesu jest tak skonstruow ana, że obejmuje 99,73% wszystkich m ożliw ych realizacji obserw ow anej zm iennej diagnostycznej dla w ycentrow a- nego procesu.

Wartość Cp odpow iada na pytanie, ile razy przedział tolerancji jest dłuższy od przedziału naturalnej zmienności procesu.

Ocena zdolności procesu za pom ocą podstaw ow ego w zoru (2) nie jest pozba

w iona niedogodności, takich jak na przykład w ym ienione w poniższych p u n k tach:

1. Brak odniesienia do położenia przedziału naturalnej zm ienności procesu i przedziału tolerancji. Przedział tolerancji w p o ró w n an iu do naturalnej zmienności procesu może być dużo dłuższy, ale wartości uzyskane podczas realizacji procesu m ogą leżeć poza granicam i specyfikacji (np. TG = 1060, TD = 1000, ct = 5, x = 900, gdzie x oznacza średni poziom analizow anego procesu. W w yniku obliczeń uzyskano w ysoką wartość w skaźnika zdolności Cp = 2, natom iast rzeczywiste realizacje procesu leżą poza przedziałem tole

rancji).

2. Założenie, że przeciętny poziom analizow anego procesu jest um iejscowiony w środku przedziału tolerancji x = m0, gdzie m0 = (TG + TD)/2.

3. Założenie, że przeciętny poziom analizow anego procesu odpow iada wartości docelowej TV (ang. target value) x = TV.

4. Założenie norm alności rozkładu zm iennej decyzyjnej.

Punkt 1. Brak odniesienia przedziału naturalnej zm ienności procesu i p rze  działu tolerancji.

W yeliminowanie absurdalnej sytuacji (Cp = 2 i wszystkie obserwacje leżą poza granicami specyfikacji) w ym aga każdorazow o spraw dzenia, czy średni p o ziom procesu (x) znajduje się w ew nątrz przedziału tolerancji, czyli czy zachodzi zależność:

TG < - < TD. (3)

Dalsze działania m ają sens tylko wtedy, gdy zachodzi nierów ność (3).

W przypadku, gdy:

x g [TD; TG], (4)

analizę zdolności procesu należy zakończyć stw ierdzeniem , że proces jest niew y

dolny.

Punkt 2. Założenie, że przeciętny poziom analizow anego procesu jest um iej

scowiony w środku przedziału tolerancji.

(6)

W skaźnik zdolności procesu, który zależy od w ycentrow ania badanego p ro cesu jest określany8 w zorem (5).

Cpk = min [CPi, Cpu }> (5)

gdzie:

oraz

^ x - TD

c pl = — --- (6)

3 ■ cr

C

^{pu =}

TG

_{3 • <T}^{~^}

X

^■ ⁽⁷⁾

Jeśli Cp = Cpk, to w tedy proces jest w ycentrow any (x = m0). W przeciw nym przypadku zachodzi nierów ność (8):

Cp > Cpk. (8)

W ymagania wobec w ycentrow anego wskaźnika zdolności Cpk są takie same, jak w p rzypadku w skaźnika Cp.

Punkt 3. Założenie, że przeciętny poziom analizow anego procesu odpow iada wartości docelowej.

O dpow iedni w skaźnik dla procesu, w którym przeciętne wartości nie są rów ne wartości docelowej9 (p unkt 3) m a postać10 (wzór 9):

C - , TG - TD . (9)

Pm

Jak w ynika ze w zoru (9) dla procesu, w którym w artość docelowa pokryw a się ze średnią (x = TV), m am y Cp = Cpm.

W ymagania staw iane wskaźnikow i położenia procesu Cpm są takie same, jak w przypadku wskaźnika Cp.

W skaźnik położenia procesu Cpm uw zględniającego przesunięcie średniej wobec środka przedziału tolerancji przedstaw ia w zór (10).

8 N a p rz y k ła d Iw asiew icz (2005), M o n tg o m ery (2005), T h o m so n i in. (2005), Sałaciński (2009).

9 W p racy Iw asiew icza (2005) do określenia w artości docelow ej w y korzystuje się sym bol x0, n a to m iast w p racy Sałacińskiego (2009) sym bolu W D (w artość docelow a).

10 Zob. M o n tg o m ery (2005), Sałaciński (2009).

(7)

C p m k = т І П

x - TD TG - x

(10) 3^läГ+ { X ^ T v J , Злі a 2 + (x - TV )2

W zór (10) przedstaw ia „uniw ersalny" w skaźnik zdolności procesu dla przy

padku, w którym wartości średniej procesu, środka przedziału tolerancji i w ar

tość docelowa nie są rów ne (x ^ TV ^ m0).

Punkt 4. Założenie norm alności rozkładu zm iennej decyzyjnej.

Jeśli pom iary uregulow anego procesu nie są zgodne z rozkładem no rm al

nym , w ym agana jest m odyfikacja11 odpow iednich w skaźników zdolności p ro cesu.

gdzie x099865 oraz x0,00135 to odpow iednio kw antyle rzęd u 0,99865 oraz 0,00135.

O gólna zasada oceny zdolności (wzór 2) pozostała niezm ieniona, gdyż zachow ano długość p rzedziału naturalnej zm ienności procesu w ynikającą z form alnych właściwości rozkładu norm alnego. N ie tru d n o bow iem w yka

zać, że w artość różnicy x0,99865 - x0,00135 odpow iada dokładnie wartości różnicy

gdzie

x0,5 to kw antyl rzęd u 0,5 (mediana).

Należy dodać, że przedstaw ione rozw ażania nie w yczerpują tem atu. W lite

raturze przedm io tu 12 om aw ianych jest więcej problem ów zw iązanych z analizą zdolności. D yskutow ane są tam np. inne wskaźniki różniące się sposobem sza

cowania wartości odchylenia standardow ego, rozw ażana jest rów nież zdolność krótko- i długookresow a, czy też zdolność m aszyn i urządzeń.

(11)

(|a + 3ct) - (|a - 3ct).

Definiuje się rów nież odpow iedniki w zoru (6) oraz w zoru (7).

x05 - TD

(12)

'0 ,5 л 0, 00 1 3 5

oraz

TG - x t

(13)

0 ,9 9 8 6 5 0 ,5

11 Zob. Iw asiew icz (2005), M o n tg o m ery (2005), T h o m so n i in. (2005), Sałaciński (2009).

12 Zob. Iw asiew icz (2005), M o n tg o m ery (2005), T h o m so n i in. (2005), Sałaciński (2009).

(8)

3. NIEKLASYCZNE PODEJŚCIE D O ANALIZY Z D O L N O Ś C I Profesor A. Iwasiewicz przedstaw ił13 dodatkow e czynniki, które w skazują na sła

bość klasycznej analizy zdolności procesu, tj:

1. Przyjęcie układu odniesienia (przedziału naturalnej zmienności procesu) na poziom ie 6a. O znacza to, że dla Cp = 1 najw iększą dopuszczalną wadliwość strum ienia p ro d u k tu generow anego przez uregulow any proces ustala się na poziom ie 0,0027 (0.27%). W większości przypadków w ystępujących w p rak tyce przem ysłow ej są to w ym agania w ygórow ane. Wadliwości p o p ro d u k cyjne rzęd u 1%, a tym bardziej 0,5%, uw aża się często za wystarczające. Przy obecnym poziomie technologii uzyskiw anie wadliwości niższych jest oczywi

ście możliwe, ale wiąże się z bardzo szybkim przyrostem kosztów w ytw arza

nia, co staw ia p o d znakiem zapytania opłacalność działań m ających na celu zmniejszenie wadliwości.

2. O czekiw ana wadliwość strum ienia p ro d u k tu nie jest tu zm ienną decyzyjną.

Ma to ten skutek, że w taki sam sposób form ułow ane są w ym agania w p rzy

padku produkcji różnych w yrobów (np. gw oździ i smartfonów).

3. N adm ierny m argines bezpieczeństw a przy form ułow aniu ocen (wadliwość na poziom ie m inim um 0,0027), całkowite pom ijanie kosztów zw iązanych z utrzym aniem tak niskiej wadliwości).

W pracy Iwasiewicza (2005) została przedstaw iona oryginalna koncepcja ana

lizy zdolności. Przyjmijmy, że liczbowym obrazem pojedynczej badanej cechy p roduktu, jest ciągła zm ienna losowa X , którą potraktuje się jako zm ienną dia

gnostyczną. Skoncentrujm y się na przypadku, gdy zm ienna ta m a rozkład nor

malny. Założenie to sprecyzujem y następująco:

X ~ N(m e M; s), (14)

gdzie odchylenie stan d ardo w e a jest m iarą losowej zm ienności procesu ze w zględu na obserw ow aną zm ienną diagnostyczną X , natom iast M jest zbiorem wartości m, które m ogą być zrealizowane w rezultacie technicznej regulacji p ro cesu, albo urządzenia technologicznego.

Zgodnie z techniczną n a tu rą rozw ażanego problem u, w dalszych rozw aża

niach będziem y zakładać, że precyzja procesu jest ustalona (zwłaszcza w krót

kich przedziałach czasu) i nie m oże ona być bieżąco korygow ana. N a średni poziom procesu m ożna natom iast w p ew nych granicach oddziaływać, poprzez odpow iednie m anipulow anie technicznym i urządzeniam i regulacyjnym i. Jeśli proces oceniany jest ze w zględu na ciągłą zm ienną diagnostyczną, to w ym agania w stosunku do tego procesu określane są poprzez:

13 Zob. Iw asiew icz (2005).

(9)

1. przedział tolerancji (TG; TD),

2. wartość docelową, albo nom inalną, TV e (TD; TG) oraz 3. najw iększą dopuszczalną wadliwość pro d u k tu p0(X).

W takiej sytuacji w postępow aniu zm ierzającym do oceny wydolności p ro cesu należy w yróżnić cztery kolejne etapy.

Etap 1. Należy spraw dzić czy przyjęta w projekcie nom inalna (albo docelowa) wartość TV należy do przedziału M. Jeśli TV g M, to postępow anie jest zakoń

czone. Oznacza to bowiem, że ze w zględu na techniczne ograniczenia nie m ożna uruchom ić procesu produkcji wyrobu. Jeśli natom iast TV e M, to m ożna przystą

pić do kolejnego etapu postępow ania.

Etap 2. N ależy spraw dzić popraw ność procesu14 przy istniejących u w a ru n k o  w aniach technicznych i organizacyjnych. Jeśli x = TV, to należy przejść do kolej

nego etapu postępow ania. Jeśli natom iast x ^ TV, to należy ocenić ekonomiczne skutki ew entualnego zaakceptow ania średniego poziom u procesu x ^ TV. Jeśli ten zm odyfikow any średni poziom procesu m oże być zaakceptowany, to należy przejść do następnego etapu postępow ania. Jeśli natom iast taka akceptacja jest niem ożliwa, to postępow anie jest zakończone negatyw ną oceną wydolności p ro cesu.

Etap 3. N ależy spraw dzić czy zm ienność procesu jest wystarczająco mała.

W tym celu należy zw eryfikować praw dziw ość nierów ności p(X) < p0(X), gdzie p0(X ) jest najw iększą dopuszczalną wadliwością p ro d u k tu generow anego przez badany proces, ze w zględu na zm ienną X, przy istniejących uw arunkow aniach procesu. Jeśli nierów ność ta jest spełniona, to ocena zdolności procesu jest pozy

tyw na, jeśli natom iast nie jest spełniona, to końcowa ocena jest negatyw na.

Etap 4. Jeśli końcowa ocena jest pozytyw na, to w kolejnym, ostatnim kroku postępow ania należy ocenić zapas wydolności, jakim dysponuje badany proces.

P rzykład 1 (Iwasiewicz (2005))

W ymagania techniczno-m arketingow ego projektu p ro d u k tu są następujące:

Dolna granica tolerancji TD = xd = 10 G órna granica tolerancji TG = xg = 20.

Wartość docelowa TV = x0 = 15.

Największa dopuszczalna wadliwość p ro d u k tu p0(X) = 0,03 (3%).

O bserw ow ana zm ienna diagnostyczna X podlega rozkładow i norm alnem u o n a  stępujących param etrach x e M = [12; 16] oraz s = 2.

Czy proces ten jest wystarczająco w ydolny?

14 P opraw ność jest ro zu m ian a jaka zgodność średniej p ro cesu z w artością docelow ą.

(10)

Etap 1. Należy spraw dzić czy TV e M? W rozw ażanym przy p ad k u w aru n ek ten jest spełniony, albowiem 15 e [12; 16].

Etap 2. N ależy ustalić przeciętną w artość procesu n a takim poziom ie, by TV = x = 1 5 . Zapew nia to uzyskanie najm niejszej możliwej w d anych w a ru n  kach wadliwości produktu.

Etap 3. Należy spraw dzić czy jest spełniona nierów ność p0(X) < 0,03 (3%). Wy

korzystując elem entarne własności rozkładu norm alnego, mamy:

Ponieważ p(X) = 1,24% < p0(X) = 3%, zatem zachodzi zgodność m iędzy w y

m aganiam i projektu i możliwościami procesu technologicznego. W uregulow a

nym procesie technologicznym należy oczekiwać wadliwości na poziomie 1,24%, podczas gdy największa dopuszczalna wadliwość wynosi 3%.

Etap 4. Dalsza analiza polega na ocenie zapasu wydolności wynikającego z różnicy:

Im większa jest wartość Dp, a więc im większy jest zapas wydolności ocenia

nego procesu, tym dłużej proces ten może pozostaw ać w stanie rozregulow ania, bez obawy o przekroczenie wartości p0(X ) w całym zasobie p ro d u k tu w ytw orzo

nym w określonym przedziale czasu.

Zgodnie ze w zorem (15) zapas wydolności ocenianego procesu przedstaw ia się następująco:

4. AN ALIZA Z D O L N O Ś C I PR O CESU PRZY ALTERNATYWNEJ O C EN IE W ŁAŚCIW OŚCI

Analiza zdolności procesu p rzy alternatyw nej ocenie właściwości nie jest uw zględniana w literaturze przedm iotu. Profesor Andrzej Iwasiewicz w pracy (2006) przeprow adził następujące rozum ow anie.

W p rzypadk u alternatyw nej oceny właściwości p ro d u k tu liczbowym obra

zem badanej cechy, albo (częściej) agregatu cech, jest zero-jedynkow a zm ienna diagnostyczna X, o wartościach w yznaczanych w edług w zoru (16):

p (X )= Pr(X

0 ( - 2,5) +1 - 0(2,5) = 0,0062 +1 - 0,9938 = 0,0124 (1,24%).

Dp = p0(X) - p(X). (15)

Dp = 0,03 - 0,00124 = 0,0176 (1,76%).

(11)

X - {0 - gdy jednostka produktu spełnia wymiagania, (1 6)

11 - gdy jednostka produktu nie spełnia wymagań.

M iarą poziom u jakości jest w takiej sytuacji wadliwość p(X), interpretow ana jako praw dopodobieństw o pojaw ienia się wadliwej (niezgodnej) jednostki p ro duktu

p ( X ) = Pr( X = 1),

albo jako frakcja w adliw ych lub niezgodnych jednostek p ro d u k tu N ( X = 1)

P ( X ) =- N

Z definiow ana w ten sposób wadliwość jest param etrem rozkładu obserw o

wanej zm iennej diagnostycznej X. Im m niejsza jest wartość p(X), tym rzadziej pojaw iają się wartości x = 1 i tym lepiej świadczy to o wydolności badanego p ro  cesu.

Z przedstaw ionych rozw ażań w ynika bezpośrednio, że w p rzypadku alterna

tywnej oceny właściwości p ro d u k tu badanie wydolności procesu sprow adza się w istocie do w eryfikacji hipotezy zerowej postaci

H o : p { X ) < p 0(X ), (17)

wobec hipotezy alternatyw nej

H i : p { X )> p o(X ). (18) Jeśli próbka jest dostatecznie liczna, to do w eryfikacji hipotezy (17) m ożna wykorzystać następujący test15:

„ - W X ) - Po(X ) (19)

l w ( X ) - [ i - w ( X )J . (19)

We wzorze tym w(X) jest wadliwością z próbki, czyli frakcją jed n o stek p ro  d u k tu nie w ykazujących w ym aganej zgodności z w zorcem ze w zględu na zm ienną X w badanej próbce o liczebności n .

n

15 Zob. Aczel (2000), Iw asiew icz (2004).

(12)

P rzykład 2

Największą dopuszczalną wadliw ość p ro d u k tu ze w zględu na zm ienną X usta

lono na poziom ie p0(X) = 0,01 (1%). Czy obserw ow any proces technologiczny m ożna zakwalifikować jako wydolny, jeśli w próbce losowej o liczności n = 1000 znaleziono z = 12 jednostek wadliwych? Załóżmy, że wnioskowanie należy prze

prow adzić na poziom ie istotności a = 0,05. Po podstaw ieniu wartości do w zoru (19) mamy:

° '012 - ° ' ° ‘ - 0,5808 0,012 x 0,988

1000

Wartość krytyczna u^0,05 = 1,645. Ponieważ u0 = 0,5808 < u^0,05 = 1,645, przeto nie m a podstaw do odrzucenia hipotezy, że p(X) < 0,01. Badany proces technolo

giczny należy więc zakwalifikować jako wydolny.

5. PRO PO ZY CJA WSKAŹNIKA Z D O L N O Ś C I PRO CESU PRZY ALTERNATYWNEJ O C EN IE W ŁAŚCIW OŚCI

Podstaw ow ą niedogodnością rozum ow ania przedstaw ionego powyżej jest ko

nieczność znajomości teorii testów statystycznych oraz niekiedy niewielka zgod

ność w yników z intuicją, która m a fundam entalne znaczenie w praktycznych (przem ysłowych) zastosowaniach. Z aprezentow any w przykładzie 2 sposób roz

wiązania wskazuje, że proces jest zdolny pom im o tego, że otrzym ana wadliwość w(X) = 1,2% jest większa od największej dopuszczalnej wadliw ość p ro d u k tu p„(X) = 0,01 (1%).

Wydaje się, że m ożna zaproponow ać prostszy sposób określenia wartości w spółczynników zdolności procesu p rzy alternatyw nej oceny właściwości.

Jeśli przyjmiemy, że pu n k tem odniesienia jest Cp w zór (2), to w ted y w skaźnik zdolności procesu przy alternatyw nej ocenie właściwości m a postać:

0'0027

CA ■ (20)

gdzie

CA — w spółczynnik w ydolności procesu p rzy alternatyw nej ocenie właści

wości,

w(X) — rzeczywista wadliw ość procesu.

Wartość 0,0027 odpow iada wadliwości procesu przy liczbowej ocenie właści

wości, w którym przyjm uje się przedział naturalnej zmienności procesu o dłu g o ści ± 3ct.

(13)

P rzykład 3

Ocenić zdolność procesu dla procesu o wadliwości wynoszącej:

a) w(X) = 0,001 (0,1%), b) w(x) = 0,0025 (0,25%), c) w(X) = 0,005 (0,5%), d) w(X) = 0,01 (1%), e) w(X) = 0,02 (2%).

Po podstaw ieniu do w zoru (20) otrzym ano następujące wyniki:

a) ^ = 0.0027 = 2,7. p 0,001

Proces jest zdolny. W ystępuje duża nadw yżka wydolności procesu.

b) = 0 , 0 0 2 7 = 1,08.

p 0,0025

Proces jest zdolny. Duże zagrożenie utrzym ania odpow iedniej wydolności.

c) Cpi = 0 , 0 0 2 7 = 0,54.

p 0,005

Proces nie jest zdolny.

d) c a = 0,0027 = 0,27.

e) c* = 0,0027 = 0,135.

p 0,02

Przy przyjętych kryteriach okazuje się, że tylko dla p rzy p ad k u a) oraz b) m ożna stwierdzić, że proces jest wydolny.

Przyjęta w pow yższym przykładzie niska wadliw ość p(X ) = 0,0027 (0,27%) skutkuje bardzo restrykcyjnym i regułam i określającymi zdolność procesu.

U stalm y uw agę na p rzy p ad k u c) w przykładzie 3, w którym wadliw ość jest rów na 0,5%. W wielu p rzypadkach wadliw ość na poziom ie 0,5% w skazuje na bardzo dobrą jakość procesu, je d n a k jakość, w w yniku obliczenia w skaźnika zdolności procesu dla danych p rzy alternatyw nej ocenie właściwości, jest oce

niona negatyw nie, gdyż C Ap = 0,54. W celu uniknięcia sytuacji, w której otrzy

m uje się tak niskie wartości w skaźników w ydolności m ożna zm odyfikować w zór (20) w taki sposób, aby p u n k tem odniesienia, zam iast wartości rów nej 0,0027, była ustalona wartość p0(X ), czyli największa dopuszczalna wadliwość procesu.

W zór (20) m ożna zapisać w następującej postaci:

(14)

(-lA _ p 0 (X ) (91)

Cp'p “ w ( X ) ’ (21)

gdzie

C ^ — w skaźnik w ydolności procesu p rzy alternatyw nej ocenie właściwości dla ustalonego p u n k tu odniesienia na poziom ie największej dopuszczalnej wadli wości.

P rzykład 4

Strony (np. dział m arketingu oraz technolog) ustaliły, że proces jest w o d p o w iedniej kondycji w tedy, g d y frakcja elem entów n iezgodnych nie przekracza wartości 0,01 (1%). N ależy ocenić zdolność procesu dla procesu o wadliwości wynoszącej:

a) w(X) - 0,001 (0,1%), b) w(X) - 0,0025 (0,25%), c) w(X) - 0,005 (0,5%), d) w(X) - 0,01 (1%), e) w(X) - 0,02 (2%).

Po podstaw ieniu do w zoru (21) otrzym ano następujące wyniki:

a) Ca - 0,01 _ 10 a) Cp p> p, p-°,01 0,001^_0⁰i — ^{— 1 0} •

Proces jest zdolny. W ystępuje bardzo duża nadw yżka wydolności procesu.

b) CA _ = 0,01 = 4 ) p’p~0’01 0,0025

Proces jest zdolny. W ystępuje bardzo duża nadw yżka wydolności procesu.

c) CA _ = 0,01 = 2 ) p,p~0’01 0,005

Proces jest zdolny. W ystępuje duża nadw yżka wydolności procesu.

d) C A '-p, p-0,01 0 01= 0,01 = 1

Proces jest zdolny. Duże zagrożenie utrzym ania odpow iedniej wydolności.

e) CA _ = 0 01 = 0 5 p,p-0,01 0,02 , Proces nie jest zdolny.

(15)

Przy ustalonej wartości p0(X ) = 0,01 m ożna stwierdzić, że dla przypadku:

— a), b) oraz c) proces jest w ydolny,

— d) w ydolność procesu jest zagrożona,

— e) proces nie jest wydolny.

W ykorzystanie w zorów (20) i (21) pozw ala ocenić zdolność procesu bez ko

rzystania z testów statystycznych. W zory te m ają b u d o w ę po d o b n ą do klasycz

nych w skaźników zdolności i p o d o b n ą interpretację, tzn. im większa wartość w skaźnika wydolności, tym proces m ożna wyżej ocenić odnośnie jakości.

Z aprezentow any w skaźnik zdolności procesu przy alternatyw nej ocenie wła

ściwości pozw ala na szybkie stw ierdzenie, czy proces spełnia staw iane m u w y

m agania. Jego prosta budow a, interpretacja zgodna z interpretacją „klasycznego"

w skaźnika wydolności pozw alają mieć nadzieję, że będzie on w ykorzystyw any w praktyce.

6. PO D SU M O W A N IE

W pracy zaprezentow ano dorobek Profesora A ndrzeja Iwasiewicza w zakresie b adań n ad analizą zdolności procesów. Przedstaw iono sposób rozum ow ania p ro fesora zam ieszczony w publikacjach, p rezen to w an y podczas zajęć dydaktycz

nych oraz długich rozm ów z autorem publikacji.

Z aprezentow ano rów nież propozycję m iernika zdolności procesu dla alter

natyw nej oceny właściwości. Jest on odpow iednikiem klasycznego wskaźnika zdolności procesu w ykorzystyw anego przy b adaniu zm iennych przy liczbowej ocenie właściwości.

N ależy podkreślić, że problem oceny wydolności procesów albo u rząd zeń technologicznych, nie doczekał się jeszcze ogólnego i pełnego m etodologicznie rozwiązania.

BIBLIOGRAFIA

A czel A. (2000), Statystyka w zarządzaniu, P e łn y w y k ła d , W y d a w n ic tw o N a u k o w e P W N , W arszaw a.

D o ro s z e w ic z S., S to m a P (2007), Metoda bootstrapowa w sterowaniu procesami. Zdolność procesów wyznaczona metodą bootstrapową, w : Nowe metody statystyczne wspomagające zarządzanie jakością (red. R. Z alesk i), K om isja N a u k T o w a ro z n a w c z y c h , O d d z ia ł Polskiej A k a d e m ii N a u k w P o z

n a n iu , P o zn ań .

H a m ro l A., M a n tu r a W (1998), Zarządzanie jakością, teoria i praktyka, W y d a w n ic tw o N a u k o w e PW A, W a rs z a w a -P o z n a ń .

Iw a sie w icz A. (1996), Statystyczna analiza wydolności procesu, N o rm a liz a c ja , n r 8, s. 4-10.

Iw a sie w ic z A., P a sz e k Z. (2004), S tatystyka z elementami statystycznych metod sterowania jakością, W y d a w n ic tw o A k a d e m ii E k o n o m ic z n e j w K ra k o w ie, K raków .

Iw a sie w icz A. (2005), Zarządzanie jakością w przykładach i zadaniach, Śląskie W y d a w n ic tw o N a u k o w e W yższej S zk o ły Z a rz ą d z a n ia i N a u k S p o łe c z n y c h w T ychach, Tychy.

(16)

K o ń c z ak G. (2007), M etody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji, W y d a w n ic tw o A k a d e m ii E k o  n o m ic z n e j im . K aro la A d a m ie c k ie g o w K a to w ica ch , K atow ice.

M o n tg o m e r y D.C. (2005), Introduction to Statistical Q uality Control, s e c o n d e d itio n , J. W iley & S ons, N e w York.

O a k la n d J. (2008), Statistical Process Control, S ix th E d itio n , ELSEV IER BH , A m ste rd a m .

Statistical methods — Process performance and capability statistics for measured quality characteristics, ISO 21747.

Karty kontrolne Shewharta (1996), P N -IS O 8258.

ST A T IS T IC A PL dla W indows (Tom IV): Statystyki przemysłowe (1997), S tatS o ft P olska Sp. z o.o., K raków .