Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 2 grudnia 2016r., grupa A Z poni˙zszych siedmiu zada´n nale˙zy wybra´c pie´,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce.
Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz, e czytelnie podpisa´, c ka˙zda kartk, e imieniem, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Czas trwania kolokwium: 120 min.
1. Alicja, jej dwie kole˙zanki oraz czterech koleg´ow siadaja losowo wok´, o l okrag lego sto lu., a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie bed, a siedzia ly obok siebie?, b) Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie siedza obok siebie. Alicja postanawia zamieni´, c sie miej-, scami z kolega po swojej lewej stronie. Obliczy´, c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po tej zamianie Alicja bedzie siedzia la obok jednej ze swoich kole˙zanek.,
c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby koleg´, ow siedzacych obok Alicji.,
2. Pan Kowalski doje˙zd˙za codziennie do swojej pracy na godz. 8:00 samochodem. Trasa przejazdu prowadzi wzd lu˙z trzech ulic. Pan Kowalski rusza spod domu o godz. 7:30 i w nor- malnych warunkach dociera do pracy po pietnastu minutach jazdy. Mo˙ze si, e jednak zdarzy´, c, ˙ze przy co najmniej jednej z ulic bedzie awaria ´swiate l: wyst, apienie awarii przy danej ulicy powoduje, wyd lu˙zenie czasu przejazdu ta ulic, a o 10 minut. Awarie przy r´, o˙znych ulicach wystepuj, a niezale˙znie,, prawdopodobie´nstwo pojedynczej awarii wynosi 1/10. Korzystajac z twierdzenia Poissona, obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w ciagu 100 kolejnych dni roboczych pan Kowalski sp´, o´zni sie, do pracy co najmniej trzy razy. Oszacowa´c b lad zwi, azany z przybli˙zeniem.,
3. Pan Kowalski postanawia ulokowa´c swoje oszczedno´sci w jednym z dw´, och funduszy F1, F2: wyb´or funduszu jest losowy (ka˙zdy ma te sam, a szans, e), za´s prawdopodobie´, nstwo, ˙ze fundusz po roku zanotuje zysk, wynosi odpowiednio 97% dla F1 i 98% dla F2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po roku pan Kowalski zwiekszy sw´, oj kapita l.
b) Za l´o˙zmy, ˙ze pan Kowalski po roku zwiekszy l sw´, oj kapita l. Zachecony tym wynikiem, po-, stanawia lokowa´c swe oszczedno´sci w tym samym funduszu przez pi, e´,c kolejnych lat. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w co najmniej dw´och spo´sr´od tych pieciu lat pan Kowalski zanotuje zysk, (liczony w stosunku do roku poprzedniego)? Zak ladamy, ˙ze wyniki funduszy sa niezale˙zne w po-, szczeg´olnych latach, a prawdopodobie´nstwa odnotowania przez nie zysku pozostaja niezmienione.,
4. Zmienna losowa X ma rozk lad jednostajny na odcinku [1, 2].
a) Wyznaczy´c wariancje zmiennej Y =, 3+X1 .
b) Wyznaczy´c dystrybuante rozk ladu zmiennej Y . Czy ta zmienna ma rozk lad ci, ag ly? Odpo-, wied´z uzasadni´c.
5. Zmienna losowa X ma rozk lad o dystrybuancie
F (t) =
0 je´sli t < 2,
1
2t − 1 je´sli 2 ≤ t < 3,
3
4 je´sli 3 ≤ t < 5, 1 je´sli t ≥ 5.
Obliczy´c kwantyl rzedu, 15 rozk ladu X oraz prawdopodobie´nstwo warunkowe P(2X > 8|X ∈ [2, 4]).
6. Rozk lad zmiennej X ma gesto´s´, c g(x) = cx1[1,3](x), a rozk lad Y zadany jest przez r´owno´sci P(Y = k) = ak, k ∈ {1, 3, 4}. Obliczy´c a, c oraz rozstrzygna´,c, kt´ora ze zmiennych ma wieksz, a, wariancje.,
7. Czas trwania pojedynczej piosenki (liczony w minutach) ma rozk lad wyk ladniczy z parame- trem 1/3. Podczas emisji w danej stacji radiowej, piosenke ucina si, e po trzech minutach je´sli trwa, d lu˙zej. Wyznaczy´c warto´s´c oczekiwana l, acznego czasu emisji 20 r´, o˙znych piosenek w tej stacji.
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 2 grudnia 2016r., grupa B Z poni˙zszych siedmiu zada´n nale˙zy wybra´c pie´,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce.
Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz, e czytelnie podpisa´, c ka˙zda kartk, e imieniem, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Czas trwania kolokwium: 120 min.
1. Alicja, jej trzy kole˙zanki oraz pieciu koleg´, ow siadaja losowo wok´, o l okrag lego sto lu., a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie bed, a siedzia ly obok siebie?, b) Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie siedza obok siebie. Alicja postanawia zamieni´, c sie miej-, scami z kolega po swojej lewej stronie. Obliczy´, c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po tej zamianie Alicja bedzie siedzia la obok jednej ze swoich kole˙zanek.,
c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby koleg´, ow siedzacych obok Alicji.,
2. Pan Kowalski doje˙zd˙za codziennie do swojej pracy na godz. 9:00 samochodem. Trasa przejazdu prowadzi wzd lu˙z trzech ulic. Pan Kowalski rusza spod domu o godz. 8:30 i w nor- malnych warunkach dociera do pracy po pietnastu minutach jazdy. Mo˙ze si, e jednak zdarzy´, c, ˙ze przy co najmniej jednej z ulic bedzie awaria ´swiate l: wyst, apienie awarii przy danej ulicy powoduje, wyd lu˙zenie czasu przejazdu ta ulic, a o 10 minut. Awarie przy r´, o˙znych ulicach wystepuj, a niezale˙znie,, prawdopodobie´nstwo pojedynczej awarii wynosi 1/20. Korzystajac z twierdzenia Poissona, obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w ciagu 200 kolejnych dni roboczych pan Kowalski sp´, o´zni sie, do pracy co najmniej cztery razy. Oszacowa´c b lad zwi, azany z przybli˙zeniem.,
3. Pan Kowalski postanawia ulokowa´c swoje oszczedno´sci w jednym z dw´, och funduszy F1, F2: wyb´or funduszu jest losowy (ka˙zdy ma te sam, a szans, e), za´s prawdopodobie´, nstwo, ˙ze fundusz po roku zanotuje zysk, wynosi odpowiednio 97% dla F1 i 99% dla F2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po roku pan Kowalski zwiekszy sw´, oj kapita l.
b) Za l´o˙zmy, ˙ze pan Kowalski po roku zwiekszy l sw´, oj kapita l. Zachecony tym wynikiem, po-, stanawia lokowa´c swe oszczedno´sci w tym samym funduszu przez pi, e´,c kolejnych lat. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w co najmniej dw´och spo´sr´od tych pieciu lat pan Kowalski zanotuje zysk, (liczony w stosunku do roku poprzedniego)? Zak ladamy, ˙ze wyniki funduszy sa niezale˙zne w po-, szczeg´olnych latach, a prawdopodobie´nstwa odnotowania przez nie zysku pozostaja niezmienione.,
4. Zmienna losowa X ma rozk lad jednostajny na odcinku [2, 3].
a) Wyznaczy´c wariancje zmiennej Y =, 1+X1 .
b) Wyznaczy´c dystrybuante rozk ladu zmiennej Y . Czy ta zmienna ma rozk lad ci, ag ly? Odpo-, wied´z uzasadni´c.
5. Zmienna losowa X ma rozk lad o dystrybuancie
F (t) =
0 je´sli t < 3,
1
3t − 1 je´sli 3 ≤ t < 4,
2
3 je´sli 4 ≤ t < 6, 1 je´sli t ≥ 6.
Obliczy´c kwantyl rzedu, 14 rozk ladu X oraz prawdopodobie´nstwo warunkowe P(2X > 16|X ∈ [3, 5]).
6. Rozk lad zmiennej X ma gesto´s´, c g(x) = cx1[0,4](x), a rozk lad Y zadany jest przez r´owno´sci P(Y = k) = ak, k ∈ {1, 2, 3}. Obliczy´c a, c oraz rozstrzygna´,c, kt´ora ze zmiennych ma wieksz, a, wariancje.,
7. Czas trwania pojedynczej piosenki (liczony w minutach) ma rozk lad wyk ladniczy z parame- trem 1/4. Podczas emisji w danej stacji radiowej, piosenke ucina si, e po trzech minutach je´sli trwa, d lu˙zej. Wyznaczy´c warto´s´c oczekiwana l, acznego czasu emisji 30 r´, o˙znych piosenek w tej stacji.
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 2 grudnia 2016r., grupa C Z poni˙zszych siedmiu zada´n nale˙zy wybra´c pie´,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce.
Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz, e czytelnie podpisa´, c ka˙zda kartk, e imieniem, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Czas trwania kolokwium: 120 min.
1. Alicja, jej dwie kole˙zanki oraz czterech koleg´ow siadaja losowo wok´, o l okrag lego sto lu., a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie bed, a siedzia ly obok siebie?, b) Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie siedza obok siebie. Alicja postanawia zamieni´, c sie miej-, scami z kolega po swojej lewej stronie. Obliczy´, c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po tej zamianie Alicja nadal bedzie siedzia la mi, edzy dwoma kolegami.,
c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby kole˙zanek siedz, acych obok Alicji.,
2. Pan Kowalski doje˙zd˙za codziennie do swojej pracy na godz. 8:00 samochodem. Trasa prze- jazdu prowadzi wzd lu˙z trzech ulic. Pan Kowalski rusza spod domu o godz. 7:00 i w normalnych warunkach dociera do pracy po p´o l godziny jazdy. Mo˙ze sie jednak zdarzy´, c, ˙ze przy co najmniej jednej z ulic bedzie awaria ´swiate l: wyst, apienie awarii przy danej ulicy powoduje wyd lu˙zenie czasu, przejazdu ta ulic, a o 20 minut. Awarie przy r´, o˙znych ulicach wystepuj, a niezale˙znie, prawdopodo-, bie´nstwo pojedynczej awarii wynosi 1/10. Korzystajac z twierdzenia Poissona, obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w ciagu 200 kolejnych dni roboczych pan Kowalski sp´, o´zni sie do pracy co, najmniej trzy razy. Oszacowa´c b lad zwi, azany z przybli˙zeniem.,
3. Pan Kowalski postanawia ulokowa´c swoje oszczedno´sci w jednym z dw´, och funduszy F1, F2: wyb´or funduszu jest losowy (ka˙zdy ma te sam, a szans, e), za´s prawdopodobie´, nstwo, ˙ze fundusz po roku zanotuje zysk, wynosi odpowiednio 98% dla F1 i 99% dla F2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po roku pan Kowalski zwiekszy sw´, oj kapita l.
b) Za l´o˙zmy, ˙ze pan Kowalski po roku zwiekszy l sw´, oj kapita l. Zachecony tym wynikiem, po-, stanawia lokowa´c swe oszczedno´sci w tym samym funduszu przez sze´s´, c kolejnych lat. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w co najmniej dw´och spo´sr´od tych sze´sciu lat pan Kowalski zanotuje zysk (liczony w stosunku do roku poprzedniego)? Zak ladamy, ˙ze wyniki funduszy sa niezale˙zne w po-, szczeg´olnych latach, a prawdopodobie´nstwa odnotowania przez nie zysku pozostaja niezmienione.,
4. Zmienna losowa X ma rozk lad jednostajny na odcinku [1, 2].
a) Wyznaczy´c wariancje zmiennej Y =, 2+X1 .
b) Wyznaczy´c dystrybuante rozk ladu zmiennej Y . Czy ta zmienna ma rozk lad ci, ag ly? Odpo-, wied´z uzasadni´c.
5. Zmienna losowa X ma rozk lad o dystrybuancie
F (t) =
0 je´sli t < 2,
1
2t − 1 je´sli 2 ≤ t < 3,
2
3 je´sli 3 ≤ t < 6, 1 je´sli t ≥ 6.
Obliczy´c kwantyl rzedu, 13 rozk ladu X oraz prawdopodobie´nstwo warunkowe P(3X > 27|X ∈ [2, 5]).
6. Rozk lad zmiennej X ma gesto´s´, c g(x) = cx1[2,4](x), a rozk lad Y zadany jest przez r´owno´sci P(Y = k) = ak, k ∈ {1, 2, 4}. Obliczy´c a, c oraz rozstrzygna´,c, kt´ora ze zmiennych ma wieksz, a, wariancje.,
7. Czas trwania pojedynczej piosenki (liczony w minutach) ma rozk lad wyk ladniczy z parame- trem 1/3. Podczas emisji w danej stacji radiowej, piosenke ucina si, e po czterech minutach je´sli trwa, d lu˙zej. Wyznaczy´c warto´s´c oczekiwana l, acznego czasu emisji 20 r´, o˙znych piosenek w tej stacji.
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 2 grudnia 2016r., grupa D Z poni˙zszych siedmiu zada´n nale˙zy wybra´c pie´,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce.
Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz, e czytelnie podpisa´, c ka˙zda kartk, e imieniem, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Czas trwania kolokwium: 120 min.
1. Alicja, jej trzy kole˙zanki oraz pieciu koleg´, ow siadaja losowo wok´, o l okrag lego sto lu., a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie bed, a siedzia ly obok siebie?, b) Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie kobiety nie siedza obok siebie. Alicja postanawia zamieni´, c sie miej-, scami z kolega po swojej lewej stronie. Obliczy´, c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po tej zamianie Alicja nadal bedzie siedzia la mi, edzy dwoma kolegami.,
c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby kole˙zanek siedz, acych obok Alicji.,
2. Pan Kowalski doje˙zd˙za codziennie do swojej pracy na godz. 9:00 samochodem. Trasa prze- jazdu prowadzi wzd lu˙z trzech ulic. Pan Kowalski rusza spod domu o godz. 8:00 i w normalnych warunkach dociera do pracy po p´o l godziny jazdy. Mo˙ze sie jednak zdarzy´, c, ˙ze przy co najmniej jednej z ulic bedzie awaria ´swiate l: wyst, apienie awarii przy danej ulicy powoduje wyd lu˙zenie czasu, przejazdu ta ulic, a o 20 minut. Awarie przy r´, o˙znych ulicach wystepuj, a niezale˙znie, prawdopodo-, bie´nstwo pojedynczej awarii wynosi 1/20. Korzystajac z twierdzenia Poissona, obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w ciagu 100 kolejnych dni roboczych pan Kowalski sp´, o´zni sie do pracy co, najwyej trzy razy. Oszacowa´c b lad zwi, azany z przybli˙zeniem.,
3. Pan Kowalski postanawia ulokowa´c swoje oszczedno´sci w jednym z dw´, och funduszy F1, F2: wyb´or funduszu jest losowy (ka˙zdy ma te sam, a szans, e), za´s prawdopodobie´, nstwo, ˙ze fundusz po roku zanotuje zysk, wynosi odpowiednio 96% dla F1 i 98% dla F2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze po roku pan Kowalski zwiekszy sw´, oj kapita l.
b) Za l´o˙zmy, ˙ze pan Kowalski po roku zwiekszy l sw´, oj kapita l. Zachecony tym wynikiem, po-, stanawia lokowa´c swe oszczedno´sci w tym samym funduszu przez sze´s´, c kolejnych lat. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w co najmniej dw´och spo´sr´od tych sze´sciu lat pan Kowalski zanotuje zysk (liczony w stosunku do roku poprzedniego)? Zak ladamy, ˙ze wyniki funduszy sa niezale˙zne w po-, szczeg´olnych latach, a prawdopodobie´nstwa odnotowania przez nie zysku pozostaja niezmienione.,
4. Zmienna losowa X ma rozk lad jednostajny na odcinku [2, 3].
a) Wyznaczy´c wariancje zmiennej Y =, 2+X1 .
b) Wyznaczy´c dystrybuante rozk ladu zmiennej Y . Czy ta zmienna ma rozk lad ci, ag ly? Odpo-, wied´z uzasadni´c.
5. Zmienna losowa X ma rozk lad o dystrybuancie
F (t) =
0 je´sli t < 3,
1
3t − 1 je´sli 3 ≤ t < 5,
3
4 je´sli 5 ≤ t < 7, 1 je´sli t ≥ 7.
Obliczy´c kwantyl rzedu, 14 rozk ladu X oraz prawdopodobie´nstwo warunkowe P(2X > 16|X ∈ [3, 6]).
6. Rozk lad zmiennej X ma gesto´s´, c g(x) = cx1[0,2](x), a rozk lad Y zadany jest przez r´owno´sci P(Y = k) = ak, k ∈ {2, 3, 4}. Obliczy´c a, c oraz rozstrzygna´,c, kt´ora ze zmiennych ma wieksz, a, wariancje.,
7. Czas trwania pojedynczej piosenki (liczony w minutach) ma rozk lad wyk ladniczy z parame- trem 1/4. Podczas emisji w danej stacji radiowej, piosenke ucina si, e po czterech minutach je´sli trwa, d lu˙zej. Wyznaczy´c warto´s´c oczekiwana l, acznego czasu emisji 30 r´, o˙znych piosenek w tej stacji.
