Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Przekształcenia całkowe

Wykład 3

fragmenty

Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 1:

Jeżeli funkcja jest ciągła wzdłuż krzywej regularnej C, to całka istnieje i oblicza się ją ze wzoru:

gdzie: jest równaniem krzywej całkowania C.

( ) ( ) ^, ( ) ^,

f z = u x y + iv x y

( ) ^d ( ) ( ) ^d

C

f z z f z t z t t

β α

⎡ ⎤ ′

= ⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ^,

z = z t α ≤ ≤ β t

Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej

zachowuje wszystkie własności całki krzywoliniowej funkcji zmiennej rzeczywistej:

1.

2.

3.

gdzie C - krzywa, w której zmieniono zwrot na przeciwny

.

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 d 1 d 2 d

C C C

f z f z z f z z f z z

⎡ ± ⎤ = ±

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( )

( )

C C

k f z⋅ z = ⋅k f z z k =

∫ ∫

( )

( )

C C

f z z f z z

−

∫

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 1:

Mówimy, że funkcja jest funkcją pierwotną funkcji w obszarze D, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru

( ) ( ) F z

f z

'( ) ( ) F z = f z

Twierdzenie 2:

Jeżeli funkcja jest ciągła w obszarze jednospójnym D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną , to całka

krzywoliniowa wzdłuż dowolnej drogi regularnej C zawartej w D

o początku z₁ i końcu z₂ nie zależy od drogi całkowania i wyraża się wzorem

( )

f z ^{F z} ( )

( ) d ( )

( )

f z z = F z − F z

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Wzór całkowy Cauchy’ego

Twierdzenie 3 (całkowe Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze

jednospójnym domkniętym D, to całka krzywoliniowa funkcji wzdłuż każdej krzywej regularnej zamkniętej C

przebiegającej w D równa jest zeru, czyli:

^{f z} ( ) ( )

f z

( ) ^{d 0}

C

f z z =

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 4 (wzór całkowy Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur C, to w każdym punkcie wewnętrznym z obszaru D wyraża się ona wzorem:

( )

f z

( ) 1 ( )

2

d ,

f f z z D

i z

ξ = ξ∈

π ∫ − ξ

Wniosek:

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

( ) ^{d 2} ( ) ^,

C

f z z i f D

z = π ξ ξ∈

∫ − ξ

Twierdzenie 5 (uogólniony wzór całkowy Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur C, to ma w każdym punkcie wewnętrznym z tego obszaru pochodne wszystkich rzędów określone wzorami

( )

f z

( )

( ) ( )

( )

! d , 1, 2,

2

n

n C

n f z

f z n

i z ⁺

ξ = =

π ∫ − ξ ^…

Wniosek:

( )

( )

^{d 2}

( ) ^{, 1, 2,}

!

n n

C

f z i

z f n

z ⁺ n

= π ξ =

∫ − ξ ^…

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej