Gdy y = (y 1, . . . , y n ) ∈ R n , to |y| = max n i=1 |y i |. Punkt przestrzeni R n+1 postaci (x, y 1, . . . , y n ) oznacza´ c be

UK LADY R ´ OWNA ´ N R ´ O ˙ ZNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

§7. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci

Gdy y = (y ₁ , . . . , y _n ) ∈ R ⁿ , to |y| = max ⁿ i=1 |y i |. Punkt przestrzeni R ⁿ⁺¹ postaci (x, y ₁ , . . . , y _n ) oznacza´ c be

‘ dziemy kr´ otko (x, y).

Niech dany be

‘ dzie obszar G ⊂ R ⁿ⁺¹ i odwzorowanie cia

‘ g le F = (f ₁ , . . . , f _n ) : G → R ⁿ . Uk ladem normalnym r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych pierwszego rze ‘ du nazywamy uk lad

y ₁ ^′ = f 1 (x, y 1 , . . . , y n ), . . . . y ^′ _n = f n (x, y 1 , . . . , y n ) lub kr´ ocej

(1) y ^′ = F (x, y).

Rozwia

‘ zaniem uk ladu (1) nazywamy ka˙zde odwzorowanie Φ = (φ 1 , . . . , φ n ) okre´ slone na przedziale I ⊂ R, r´o˙zniczkowalne na I i takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ I, (x, Φ(x)) ∈ G i Φ ^′ (x) = F (x, Φ(x)).

Analogicznie jak w §1 wprowadzamy poje ‘ cia: przed lu˙zenie rozwia

‘ zania, przed lu-

˙zenie w la´ sciwe, rozwia

‘ zanie integralne (globalne).

Warunki pocza

‘ tkowe lub Cauchy’ego polegaja

‘ teraz na tym, ˙ze dla dowolnego punktu (ξ, η) ∈ G, η = (η 1 , . . . , η _n ) poszukujemy rozwia

‘ zania Φ : I → R ⁿ uk ladu (1) takiego, ˙ze

(2) Φ(ξ) = η.

Zanim przejdziemy do sformu lowania twierdzenia wprowadzimy jeszcze jedno okre´ slenie. Niech T be

‘ dzie podzbiorem G. M´ owimy, ˙ze odwzorowanie F spe lnia warunek Lipschitza na T ze wzgle

‘ du na y, gdy istnieje sta la L > 0 taka, ˙ze dla dowolnych (x, y ^∗ ), (x, y ^∗∗ ) ∈ T mamy |F (x, y ^∗ ) − F (x, y ^∗∗ ) | ≤ L|y ^∗ − y ^∗∗ |.

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

Niech T = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − ξ| ≤ a, |y − η| ≤ b}.

Twierdzenie 1 (Cauchy). Je´ sli odwzorowanie F : G → R ⁿ jest cia

‘ g le, T ⊂ G, F spe lnia warunek Lipschitza na T ze wzgle

‘ du na y, M = max _{(x,y) ∈T} |F (x, y)|

i δ = min(a, b/M ), to istnieje rozwia

‘ zanie Φ : ⟨ξ − δ, ξ + δ⟩ → R ⁿ uk ladu (1) spe lniaja

‘ ce (2) o wykresie le˙za

‘ cym w T . Ponadto, rozwia

‘ zanie to jest jednoznaczne w tym sensie, ˙ze je´ sli ∼

Φ : ∼

I → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1) takim, ˙ze

∼ Φ(ξ) = η, to Φ(x) = ∼

Φ(x) dla x ∈ ⟨ξ − δ, ξ + δ⟩ ∩ ∼ I . Dow´ od

Dow´ od pochodza

‘ cy od Picarda. Dow´ od sk lada l sie

‘ be

‘ dzie z kilku krok´ ow.

1 ⁰ Poka˙zemy najpierw, ˙ze poszukiwanie rozwia

‘ zania uk ladu (1) spe lniaja

‘ cego warunek (2) mo˙zemy sprowadzi´ c do poszukiwania cia

‘ g lego rozwia

‘ zania odpowied- niego uk ladu r´ owna´ n ca lkowych. Za l´ o˙zmy najpierw, ˙ze dane jest rozwia

‘ zanie Φ : I → R ⁿ uk ladu (1) spe lniaja

‘ ce (2). Zatem

Φ ^′ (x) = F (x, Φ(x)), dla x ∈ I.

Sta ‘ d

Φ(x) − Φ(ξ) =

∫ x ξ

F (t, Φ(t))dt, dla x ∈ I.

To po uwzgle

‘ dnieniu (2) daje Φ(x) = η +

∫ x ξ

F (t, Φ(t))dt, dla x ∈ I.

Zatem Φ spe lnia uk lad r´ owna´ n ca lkowych

(3) y(x) = η +

∫ x ξ

F (t, y(t))dt.

Odwrotnie, je´ sli Φ : I → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym spe lniaja

‘ cym uk lad (3), to Φ oczywi´ scie spe lnia warunek (2) i Φ ^′ (x) = F (x, Φ(x)) dla x ∈ I. Reasumuja ‘ c, zamiast poszukiwa´ c rozwia

‘ za´ n uk ladu (1) spe lniaja

‘ cych (2) mo˙zemy poszukiwa´ c cia ‘ g lych rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ owna´ n ca lkowych (3).

2 ⁰ Rozwa˙zmy w przedziale I = ⟨ξ − δ, ξ + δ⟩ cia ‘ g odwzorowa´ n {Φ k } okre´slony indukcyjnie:

(4) Φ 0 (x) = η dla x ∈ I

oraz dla k = 1, 2, . . .

(5) Φ k (x) = η +

∫ x ξ

F (t, Φ k −1 (t))dt dla x ∈ I.

Z (4) wynika, ˙ze Φ ₀ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym i jego wykres przebiega w T . Za l´ o˙zmy, ˙ze Φ _{k −1} jest odwzorowaniem cia

‘ g lym i ˙ze jego wykres przebiega w T .

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

Sta ‘ d i z (5) dostajemy, ˙ze Φ k jest odwzorowaniem cia

‘ g lym. Ponadto, dla x ∈ I mamy

(6) |Φ k (x) − η| ≤  

∫ x ξ

|F (t, Φ k −1 (t)) |dt   ≤ M|x − ξ| ≤ Mδ ≤ b,

czyli wykres Φ k przebiega w T . Zatem na mocy indukcji wszystkie odwzorowania Φ k sa

‘ cia

‘ g le i ich wykresy przebiegaja

‘ w T . 3 ⁰ Poka˙zemy teraz, ˙ze cia

‘ g {Φ k } okre´slony w 2 ⁰ jest jednostajnie zbie˙zny na I.

Istotnie, mamy kolejno

|Φ 0 (x) | = |η|,

|Φ 1 (x) − Φ 0 (x) | = |Φ 1 (x) − η| =  

∫ x ξ

F (t, Φ 0 (t))dt  

≤  

∫ x ξ

|F (t, Φ 0 (t)) |dt   ≤  

∫ x ξ

M dt   = M|x − ξ|,

|Φ 2 (x) − Φ 1 (x) | =  

∫ x ξ

[F (t, Φ ₁ (t)) − F (t, Φ 0 (t))]dt  

≤  

∫ x ξ

|F (t, Φ 1 (t)) − F (t, Φ 0 (t)) |dt  

≤  

∫ x ξ

L |Φ 1 (t) − Φ 0 (t) |dt   ≤ M L |x − ξ| ² 2!

i dalej na drodze latwej indukcji

|Φ k (x) − Φ k −1 (x) | ≤ M L ^{k −1} |x − ξ| ^k

k! , k = 1, 2, . . . Sta ‘ d dla x ∈ I mamy

|Φ k (x) − Φ k −1 (x) | ≤ M L ^{k −1} δ ^k

k! , k = 1, 2, . . . Latwo sprawdzi´ c stosuja

‘ c kryterium d’Alemberta, ˙ze szereg

|η| + ∑ ^∞

k=1

M L ^{k −1} δ ^k k!

jest zbie˙zny. Zatem na mocy kryterium Weierstrassa (dla szereg´ ow odwzorowa´ n) mamy jednostajna

‘ zbie˙zno´ s´ c szeregu Φ 0 +

∑ ∞ k=1

(Φ k − Φ k −1 ),

a wie

‘ c jednostajna

‘ zbie˙zno´ s´ c cia

‘ gu {Φ k } do pewnego odwzorowania cia ‘ g lego Φ :

I → R ⁿ . Ponadto z (6) wynika, ˙ze wykres Φ przebiega ca lkowicie w T .

4 ⁰ Poka˙zemy teraz, ˙ze Φ spe lnia uk lad r´ owna´ n ca lkowych (3). Poniewa˙z F spe lnia warunek Lipschitza ze wzgle

‘ du na y, wie

‘ c z jednostajnej zbie˙zno´ sci cia

‘ gu {Φ k } do Φ na I, wynika jednostajna zbie˙zno´ s´ c cia

‘ gu {F (x, Φ k (x)) } do F (x, Φ(x)) dla x ∈ I. Sta ‘ d stosuja

‘ c twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki otrzymujemy

Φ(x) = lim

k →∞ Φ _k (x) = η +

∫ x ξ

lim

k →∞ F (t, Φ _{k −1} (t))dt

= η +

∫ x ξ

F (t, Φ(t))dt.

Zatem na mocy 1 ⁰ Φ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu (1) spe lniaja

‘ cym (2).

5 ⁰ Na zako´ nczenie poka˙zemy jednoznaczno´ s´ c. We´ zmy dowolne ∼

Φ :

∼ I → R ⁿ spe lniaja

‘ ce uk lad r´ owna´ n (1) z warunkiem pocza

‘ tkowym (2), czyli w my´ sl 1 ⁰ spe lniaja

‘ ce uk lad r´ owna´ n ca lkowych (3). Zatem

∼ Φ(x) = η +

∫ x ξ

F (t, ∼

Φ(t))dt, x ∈ ∼ I .

Sta ‘ d dla x ∈ I ∩ ∼ I mamy

| ∼

Φ(x) − Φ 0 (x) | =  

∫ x ξ

F (t, ∼

Φ(t))dt   ≤ M|x − ξ|

oraz

| ∼

Φ(x) − Φ 1 (x) | =  

∫ x ξ

[ F (t, ∼

Φ(t)) − F (t, Φ 0 (t)) ]

dt   ≤ M L |x − ξ| ² 2! .

Droga

‘ latwej indukcji dla dowolnego k i x ∈ I ∩ ∼

I otrzymujemy

| ∼

Φ(x) − Φ k (x) | ≤ M L ^k |x − ξ| ^k+1 (k + 1)! . Sta ‘ d wynika, ˙ze ∼

Φ jest granica

‘ cia

‘ gu {Φ k } na I ∩ ∼

I , czyli ∼ Φ |I ∩ ∼

I = Φ |I ∩ ∼ I . To ko´ nczy dow´ od twierdzenia.

Cia ‘ g {Φ k } okre´slony w kroku 2 ⁰ powy˙zszego dowodu nosi nazwe

‘ cia

‘ gu przybli˙ze´ n kolejnych.

Z kroku 5 ⁰ powy˙zszego dowodu dostajemy natychmiast Wniosek 1. Dla dowolnego k i x ∈ I mamy

|Φ(x) − Φ k (x) | ≤ M L ^k |x − ξ| ^k+1 (k + 1)! .

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

Powy˙zsza nier´ owno´ s´ c daje nam oszacowanie odchylenia k-tego przybli˙zenia od rozwia

‘ zania uk ladu r´ owna´ n (1) spe lniaja

‘ cego warunek pocza

‘ tkowy (2).

Twierdzenie 1 nosi nazwe

‘ lokalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´ sci.

Dalsze rozwa˙zania poprzedzimy jeszcze jednym okre´ sleniem. M´ owimy, ˙ze odw- zorowanie F spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘ du na y, gdy dla ka˙zdego (ξ, η) ∈ G istnieje takie otoczenie U tego punktu zawarte w G, ˙ze odwzorowanie F spe lnia warunek Lipschitza na U , ze wzgle

‘ du na y.

Jako latwe ´ cwiczenie, pozostawiamy Czytelnikowi dow´ od naste

‘ puja

‘ cej w lasno´ sci.

W lasno´ s´ c 1. Je´ sli wszystkie wsp´ o lrze

‘ dne odwzorowania F maja

‘ ograni- czone pochodne cza

‘ stkowe wzgle

‘ dem zmiennych y 1 , . . . , y n , to F spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘ du na y.

Podamy teraz i udowodnimy integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´ sci .

Twierdzenie 2. Je˙zeli odwzorowanie F : G → R ⁿ jest cia

‘ g le i spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘ du na y, to przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne uk ladu r´ owna´ n (1), rozwia

‘ zanie to jest okre´ slone w przedziale otwartym.

Dow´ od. Niech Φ 1 : I 1 → R ⁿ , Φ 2 : I 2 → R ⁿ be

‘ da

‘ dwoma rozwia

‘ zaniami uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ cymi przez punkt (ξ, η). Niech I = I 1 ∩ I 2 . Poka˙zemy, ˙ze Φ 1 |I = Φ 2 |I. Istotnie, niech Z = {x ∈ I : Φ 1 (x) = Φ 2 (x) }. Oczywi´scie ξ ∈ Z.

Poniewa˙z Φ 1 , Φ 2 sa

‘ odwzorowaniami cia

‘ g lymi, zbi´ or Z jest zbiorem domknie

‘ tym w I. Z twierdzenia 1 wynika za´ s, ˙ze Z jest zbiorem otwartym w I. Poniewa˙z I jest przedzia lem, wie

‘ c Z = I.

Rozwa˙zmy teraz rodzine

‘ J wszystkich przedzia l´ ow I takich, ˙ze istnieje rozwia

‘ za- nie Φ I : I → R ⁿ uk ladu (1) przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η).

Z twierdzenia 1 wynika, ˙ze rodzina J jest niepusta. Niech I 0 oznacza sume

‘ wszys- tkich przedzia l´ ow rodziny J . Oczywi´ scie I 0 jest przedzia lem. Dla ka˙zdego x ∈ I 0

przyjmujemy

Φ 0 (x) = Φ I (x), je´ sli x ∈ I, I ∈ J.

Odwzorowanie Φ 0 jest dobrze okre´ slone, poniewa˙z na mocy poprzedniego Φ I

(x) = Φ I

(x) dla x ∈ I 1 ∩ I 2 . Odwzorowanie Φ 0 jest oczywi´ scie rozwia

‘ zaniem integralnym i spe lnia warunek (2). Oczywi´ scie rozwia

‘ zanie takie jest dok ladnie jedno.

Na zako´ nczenie poka˙zemy, ˙ze I 0 jest przedzia lem otwartym. Przypu´ s´ cmy prze- ciwnie, ˙ze na przyk lad β = sup I 0 ∈ I 0 . W´ owczas (β, Φ 0 (β)) ∈ G i na mocy twierdzenia 1 istnia lby przedzia l otwarty ∼

I ∋ β i rozwia ‘ zanie ∼ Φ : ∼

I → R ⁿ uk ladu (1) takie, ˙ze ∼

Φ(β) = Φ 0 (β). Podobnie jak na pocza

‘ tku zauwa˙zamy, ˙ze ∼

Φ(x) = Φ 0 (x) dla x ∈ I 0 ∩ ∼

I . Odwzorowanie

Φ _∗ (x) =

{ Φ ₀ (x) dla x ∈ I 0 ,

∼ Φ(x) dla x ∈ ∼

I ,

jest rozwia

‘ zaniem okre´ slonym w przedziale I _∗ = I ₀ ∪ ∼

I , I ₀ ⊈ I _∗ i Φ _∗ (ξ) = η. To przeczy okre´ sleniu Φ 0 .

To ko´ nczy dow´ od.

Podamy jeszcze jedno integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznacz- no´ sci. Poniewa˙z dow´ od tego twierdzenia be

‘ dzie przebiega l podobnie do dowodu twierdzenia 1, podamy tylko jego szkic.

Twierdzenie 3. Niech G = {(x, y) : a < x < b, y ∈ R ⁿ }. Je´sli F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym i dla ka˙zdego domknie

‘ tego przedzia lu I ⊂ (a, b) spe lnia ono warunek Lipschitza na I × R ⁿ ze wzgle

‘ du na y, to przez ka˙zdy punkt G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne uk ladu (1) okre´ slone w ca lym przedziale (a, b).

Szkic dowodu. Niech (ξ, η) ∈ G be ‘ dzie dowolnym punktem. Podobnie jak poprzed- nio zauwa˙zamy, ˙ze poszukiwanie rozwia

‘ zania Φ : (a, b) → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) spe lniaja

‘ cego (2) sprowadza sie

‘ do poszukiwania cia

‘ g lego rozwia

‘ zania uk ladu r´ owna´ n ca lkowych (3).

Naste

‘ pnie w przedziale (a, b) rozwa˙zamy cia

‘ g odwzorowa´ n {Φ k } okre´slony in- dukcyjnie

Φ 0 (x) = η dla x ∈ (a, b) oraz dla k = 1, 2, . . .

Φ k (x) = η +

∫ x ξ

F (t, Φ k −1 (t))dt dla x ∈ (a, b).

Oczywi´ scie, wszystkie odwzorowania Φ k sa

‘ cia

‘ g le i ich wykresy przebiegaja

‘ w G.

Niech teraz I ⊂ (a, b) be ‘ dzie dowolnym przedzia lem domknie

‘ tym zawiera- ja ‘ cym ξ. Poka˙zemy, ˙ze cia

‘ g {Φ k } jest jednostajnie zbie˙zny na I. Niech M = sup _{x ∈I} |F (x, η)|. Ponadto w my´sl za lo˙zenia istnieje sta la L > 0 taka, ˙ze dla dowol- nych (x, y ^∗ ), (x, y ^∗∗ ) ∈ I × R ⁿ mamy |F (x, y ^∗ ) − F (x, y ^∗∗ ) | ≤ L|y ^∗ − y ^∗∗ |. Zatem dostajemy kolejno

|Φ 0 (x) | = |η|,

|Φ 1 (x) − Φ 0 (x) | ≤ M|x − ξ|,

|Φ 2 (x) − Φ 1 (x) | ≤ M L |x − ξ| ² 2!

i dalej na drodze latwej indukcji

|Φ k (x) − Φ k −1 (x) | ≤ M L ^{k −1} |x − ξ| ^k

k! , k = 1, 2, . . . Sta ‘ d otrzymujemy latwo, ˙ze cia

‘ g {Φ k } jest jednostajnie zbie˙zny na I.

Wobec dowolno´ sci przedzia lu I ⊂ (a, b) dostajemy zbie˙zno´s´c cia ‘ gu {Φ k } na ca lym przedziale (a, b). Niech Φ be

‘ dzie granica

‘ {Φ k } na (a, b). Poniewa˙z Φ jest cia ‘ g la dla

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

ka˙zdego I ⊂ (a, b), wie ‘ c jest cia

‘ g la na (a, b). Oczywi´ scie wykres Φ przebiega w G.

Analogicznie jak w kroku 4 ⁰ dowodu twierdzenia 1 dla dowolnego I ⊂ (a, b) mamy Φ(x) = η +

∫ x ξ

F (t, Φ(t))dt x ∈ I.

Wobec dowolno´ sci I dostajemy, ˙ze Φ spe lnia w (a, b) uk lad r´ owna´ n ca lkowych (3).

Jednoznaczno´ s´ c wynika z twierdzenia 2, bowiem F spe lnia lokalnie warunek Lip- schitza ze wzgle

‘ du na y.

To ko´ nczy dow´ od twierdzenia.

Na zako´ nczenie podamy pewna

‘ w lasno´ s´ c rozwia

‘ za´ n integralnych. Niech G ⊂ R ⁿ⁺¹ be

‘ dzie obszarem i F : G → R ⁿ odwzorowaniem cia

‘ g lym.

Twierdzenie 4. Je´ sli Φ : (a, b) → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu r´ owna´ n (1), to dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ G istnieje przedzia l domknie ‘ ty

I ⊂ (a, b) taki, ˙ze dla dowolnego x ∈ / I mamy

(x, Φ(x)) / ∈ K.

Dow´ od. Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze istnieje zbi´ or zwarty K 0 ⊂ G i cia ‘ g {x k } ⊂ (a, b) zbie˙zny na przyk lad do b taki, ˙ze (x k , Φ(x k )) ∈ K 0 . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika, ˙ze kosztem ewentualnie wybrania podcia

‘ gu mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze (x k , Φ(x k )) → (b, y) ^◦ ∈ K 0 .

Z otwarto´ sci G wynika, ˙ze istnieje ε ^∗ > 0 takie, ˙ze T = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − b| ≤ ε ^∗ , |y − ^◦ y | ≤ ε ^∗ } ⊂ G. Niech M = sup (x,y) ∈T |F (x, y)|.

Udowodnimy teraz, ˙ze

(7) lim

x →b

Φ(x) = y. ^◦

Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze istnieje liczba ε ∈ (0, ε ^∗ ⟩ i cia ‘ g {ξ k } ⊂ (a, b), ξ k → b,

˙ze dla dowolnego k, |Φ(ξ k ) − y ^◦ | > ε. Z poprzedniego wynika, ˙ze istnieje N 0 , ˙ze dla ka˙zdego k > N 0 , |Φ(x k ) − y ^◦ | ≤ ε/2. Dla ka˙zdego k > N 0 , niech ζ k be

‘ dzie najbli˙zszym punktem x k le˙za

‘ cym mie

‘ dzy x k i ξ k takim, ˙ze |Φ(ζ k ) − y ^◦ | = ε. Oczywi´scie (8) |Φ(x k ) − Φ(ζ k ) | ≥ |Φ(ζ k ) − y ^◦ | − |Φ(x k ) − ^◦ y | ≥ ε/2.

Na mocy twierdzenia o warto´ sci ´ sredniej istnieje punkt γ k le˙za

‘ cy mie

‘ dzy punktami x k i ζ k taki, ˙ze

(9) |Φ(x k ) − Φ(ζ k ) | ≤ |x k − ζ k ||Φ ^′ (γ k ) |.

Poniewa˙z |Φ(γ k ) − y ^◦ | < ε dla k > N 0 , wie

‘ c powie

‘ kszaja

‘ c ewentualnie N 0 mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze dla k > N 0 , (γ k , Φ(γ k )) ∈ T . Z (1) mamy Φ ^′ (γ k ) = F (γ k , Φ(γ k )). Sta

‘ d, z (9) i okre´ slenia M dostajemy

(10) |Φ(x k ) − Φ(ζ k ) | ≤ M|x k − ζ k |.

Poniewa˙z x k → b, ζ k → b, wie ‘ c istnieje liczba N > N 0 , ˙ze dla ka˙zdego k > N ,

|x k − ζ k | < ε/2M. Sta ‘ d i z (10) dostajemy |Φ(x k ) − Φ(ζ k ) | < ε/2, co jest sprzeczne z (8). Zatem zachodzi (7).

Z (7) i z faktu, ˙ze odwzorowanie F jest cia

‘ g le w punkcie (b, y) wynika, ˙ze istnieje ^◦ granica

lim

x →b

Φ ^′ (x) = lim

x →b

F (x, Φ(x)) = F (b, y). ^◦ Niech Φ = (φ 1 , . . . , φ n ). Przechodza

‘ c do wsp´ o lrze

‘ dnych φ i , i = 1, . . . , n i korzystaja

‘ c z ´ cwiczenia 2.1 dostajemy latwo, ˙ze odwzorowanie Φ daje sie

‘ przed lu˙zy´ c jako r´ o˙z- niczkowalne na przedzia l (a, b ⟩ i spe lniaja ‘ ce (1). To przeczy jednak za lo˙zeniu, ˙ze Φ : (a, b) → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem integralnym (1).

To ko´ nczy dow´ od.

Uwaga 1. Mo˙zna pokaza´ c, ˙ze je´ sli odwzorowanie F : G → R ⁿ jest cia

‘ g le, to przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi rozwia ‘ zanie integralne uk ladu (1). Rozwia

‘ za´ n takich mo˙ze by´ c niesko´ nczenie wiele. Wszystkie te rozwia

‘ zania okre´ slone sa

‘ w przedzia lach otwartych (por. [N]).

§8. Uk lady r´owna´n r´o˙zniczkowych liniowych Niech A = [a kl ] 1 ≤k,l≤n , b = [b l ] 1 ≤l≤n be

‘ da

‘ odpowiednio cia

‘ g lym polem macie- rzowym i cia

‘ g lym polem wektorowym na przedziale (p, q) ⊂ R. Uk ladem r´owna´n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du nazywamy uk lad y ₁ ^′ = a 11 (x)y 1 + . . . + a 1n (x)y n + b 1 (x), . . . . y _n ^′ = a n1 (x)y 1 + . . . + a nn (x)y n + b n (x), lub kr´ ocej

(1) y ^′ = A(x)y + b(x).

Niech G = {(x, y) : p < x < q, y ∈ R ⁿ }.

Twierdzenie 1. Przez ka˙zdy punkt zbioru G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘ za- nie integralne uk ladu (1) okre´ slone w przedziale (p, q).

Dow´ od. Na mocy twierdzenia 7.3 wystarczy sprawdzi´ c tylko, ˙ze prawa strona (1) dla ka˙zdego przedzia lu domknie

‘ tego I ⊂ (p, q) spe lnia warunek Lipschitza na I ×R ⁿ ze wzgle

‘ du na y.

Niech |A(x)| := max 1 ≤k,l≤n |a kl (x) |. Z cia ‘ g lo´ sci a kl na I wynika, ˙ze istnieje sta la dodatnia L, ˙ze |A(x)| ≤ L/n dla x ∈ I. Sta ‘ d dla dowolnych (x, y ^∗ ), (x, y ^∗∗ ) ∈ I ×R ⁿ mamy

|(A(x)y ^∗ + b(x)) − (A(x)y ^∗∗ + b(x)) | = |A(x)(y ^∗ − y ^∗∗ ) |

≤ n|A(x)||y ^∗ − y ^∗∗ | ≤ L|y ^∗ − y ^∗∗ |.

To ko´ nczy dow´ od.

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

Wobec powy˙zszego twierdzenia ogranicza´ c sie

‘ be

‘ dziemy tylko do rozwia

‘ za´ n in- tegralnych uk ladu (1).

Gdy b jest zerowym polem wektorowym na (p, q), to uk lad (1) ma posta´ c y ₁ ^′ = a 11 (x)y 1 + . . . + a 1n (x)y n ,

. . . . y _n ^′ = a _n1 (x)y ₁ + . . . + a _nn (x)y _n lub kr´ ocej

(2) y ^′ = A(x)y.

Uk lad (2) nazywa´ c be

‘ dziemy jednorodnym uk ladem r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych linio- wych pierwszego rze

‘ du.

Niech V be

‘ dzie og´ o lem rozwia

‘ za´ n integralnych uk ladu (2).

W lasno´ s´ c 1. Zbi´ or V tworzy przestrze´ n liniowa

‘ nad R.

Dow´ od. Niech Φ 1 , Φ 2 ∈ V i c 1 , c 2 ∈ R. W´owczas

(c ₁ Φ ₁ + c ₂ Φ ₂ ) ^′ = c ₁ Φ ^′ ₁ + c ₂ Φ ^′ ₂ = c ₁ AΦ ₁ + c ₂ AΦ ₂

= A(c ₁ Φ ₁ ) + A(c ₂ Φ ₂ ) = A(c ₁ Φ ₁ + c ₂ Φ ₂ ), czyli c ₁ Φ ₁ + c ₂ Φ ₂ ∈ V .

W lasno´ s´ c 2. Je´ sli istnieje taki punkt ξ ∈ (p, q), ˙ze wektory Φ 1 (ξ), . . . , Φ m (ξ) sa

‘ liniowo zale˙zne w R ⁿ , to Φ 1 , . . . , Φ m sa

‘ liniowo zale˙zne w V . Dow´ od. W my´ sl za lo˙zenia istnieja

‘ sta le c 1 , . . . , c m ∈ R nieznikaja ‘ ce jednocze´ snie takie, ˙ze c 1 Φ 1 (ξ) + . . . + c m Φ m (ξ) = 0. Na mocy w lasno´ sci 1, Φ = c 1 Φ 1 + . . . + c m Φ m

jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (2) i Φ(ξ) = 0. R´ ownie˙z odwzorowanie Φ 0

okre´ slone wzorem Φ 0 (x) = 0 dla x ∈ (p, q) jest integralnym rozwia ‘ zaniem (2) i Φ(ξ) = Φ 0 (ξ). Zatem na mocy twierdzenia 1 mamy Φ = Φ 0 , czyli c 1 Φ 1 + . . . + c m Φ m = 0.

W lasno´ s´ c 3. Zachodzi r´ owno´ s´ c dim _R V = n.

Dow´ od. Poka˙zemy najpierw, ˙ze dim _R V ≤ n. Przypu´s´cmy przeciwnie, ˙ze dim _R V = m > n. Niech Φ 1 , . . . , Φ m be

‘ da

‘ baza

‘ V . W´ owczas na mocy w lasno´ sci 2 dla dowol- nego ξ ∈ (p, q) wektory Φ 1 (ξ), . . . , Φ m (ξ) sa

‘ liniowo niezale˙zne w R ⁿ . To jednak przeczy temu, ˙ze dim _R R ⁿ = n.

Poka˙zemy teraz, ˙ze dim _R V ≥ n. Niech ξ be ‘ dzie ustalonym punktem przedzia lu (p, q) oraz η 1 , . . . , η n baza

‘ w przestrzeni R ⁿ . Na mocy twierdzenia 1 dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} istnieje rozwia ‘ zanie integralne Φ i uk ladu (2) takie, ˙ze Φ i (ξ) = η i .

Twierdzimy, ˙ze Φ 1 , . . . , Φ n sa

‘ li-

niowo niezale˙zne w V . Istotnie dla dowolnych c ₁ , . . . , c _n ∈ R takich, ˙ze c 1 Φ ₁ + . . . + c _n Φ _n = 0 mamy

0 = c 1 Φ 1 (ξ) + . . . + c n Φ n (ξ) = c 1 η 1 + . . . + c n η n .

Sta ‘ d c 1 = . . . = c n = 0, czyli Φ 1 , . . . , Φ n sa

‘ liniowo niezale˙zne w V i w konsekwencji dim _R V ≥ n.

To ko´ nczy dow´ od.

Ka˙zda

‘ baze

‘ przestrzeni V nazywa´ c be

‘ dziemy fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ - za´ n uk ladu (2).

Z w lasno´ sci 3 otrzymujemy natychmiast

Twierdzenie 2. Je˙zeli Φ 1 , . . . , Φ n jest fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ za´ n uk ladu (2), to og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych uk ladu (2) wyra˙za sie wzorem ‘

(3) Φ(x) = c 1 Φ 1 (x) + . . . + c n Φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przejd´ zmy teraz do uk ladu r´ owna´ n (1).

Twierdzenie 3. Niech Φ 0 be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (1) oraz Φ 1 , . . . , Φ n

fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ za´ n uk ladu (2). W´ owczas og´ o l rozwia

‘ za´ n integral- nych uk ladu (1) wyra˙za sie

‘ wzorem

(4) Φ(x) = Φ 0 (x) + c 1 Φ 1 (x) + . . . + c n Φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c ₁ , . . . , c _n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Dow´ od. Niech Φ be

‘ dzie postaci (4). W´ owczas mamy Φ ^′ (x) = Φ ^′ ₀ (x) + (c ₁ Φ ₁ (x) + . . . + c _n Φ _n (x)) ^′

= A(x)Φ 0 (x) + b(x) + A(x)(c 1 Φ 1 (x) + . . . + c n Φ n (x))

= A(x)(Φ 0 (x) + c 1 Φ 1 (x) + . . . + c n Φ n (x)) + b(x) = A(x)Φ(x) + b(x) dla x ∈ (p, q). Zatem Φ jest integralnym rozwia ‘ zaniem uk ladu (1).

Odwrotnie, za l´ o˙zmy, ˙ze Φ jest integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (1). W´ owczas (Φ(x) − Φ 0 (x)) ^′ = Φ ^′ (x) − Φ ^′ 0 (x) = A(x)Φ(x) + b(x) − A(x)Φ 0 (x) − b(x)

= A(x)(Φ(x) − Φ 0 (x)) dla x ∈ (p, q).

Zatem Φ − Φ 0 jest rozwia

‘ zaniem uk ladu (2) i na mocy twierdzenia 2 istnieja

‘ sta le rzeczywiste c 1 , . . . , c n takie, ˙ze

Φ(x) − Φ 0 (x) = c ₁ Φ ₁ (x) + . . . + c _n Φ _n (x) dla x ∈ (p, q).

Sta ‘ d Φ jest postaci (4).

To ko´ nczy dow´ od.

Z powy˙zszego twierdzenia wida´ c, ˙ze gdy znamy uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n uk ladu (2), to znalezienie og´ o lu rozwia

‘ za´ n uk ladu (1) sprowadza sie

‘ do znalezienia jednego integralnego rozwia

‘ zania uk ladu (1). Spos´ ob znalezienia takiego rozwia

‘ za- nia podamy w dalszym cia

‘ gu. Wprowadzimy najpierw poje

‘ cie wro´ nskianu i jego zwia ‘ zki z uk ladem fundamentalnym.

Niech Φ 1 , . . . , Φ n be

‘ da

‘ integralnymi rozwia

‘ zaniami uk ladu (2) i Φ k = [φ lk ] 1 ≤l≤n , k = 1, . . . , n. Wyznacznik

W (x) = det[φ lk ] 1 ≤k,l≤n

nazywamy wro´ nskianem* uk ladu Φ ₁ , . . . , Φ _n .

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z, 1993.

* J´ ozef Hoene Wro´ nski (1776–1853) – polski matematyk i filozof.

W lasno´ s´ c 4. Je˙zeli W (ξ) ̸= 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q), to Φ 1 , . . . , Φ n jest uk ladem fundamentalnym rozwia

‘ za´ n uk ladu (2).

Dow´ od. Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze Φ 1 , . . . , Φ n sa

‘ liniowo zale˙zne w V . W´ owczas ze znanego twierdzenia z algebry o uk ladach n r´ owna´ n liniowych jednorodnych o n niewiadomych dostajemy W (x) = 0 dla dowolnego x ∈ (p, q), co jest sprzeczne z za lo˙zeniem.

W lasno´ s´ c 5. Je´ sli W (ξ) = 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q), to Φ 1 , . . . , Φ _n sa

‘ liniowo zale˙zne w V .

Dow´ od. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze wektory Φ ₁ (ξ), . . . , Φ _n (ξ) sa

‘ liniowo zale˙zne w R ⁿ . Zatem na mocy w lasno´ sci 2, rozwia

‘ zania Φ ₁ , . . . , Φ _n sa

‘ liniowo zale˙zne w V . Udowodnimy teraz zapowiedziane twierdzenie o rozwia

‘ zaniu szczeg´ olnym. Niech b = [b l ] 1 ≤l≤n . Przez W k oznaczmy wyznacznik macierzy, kt´ ora powstaje z macierzy [φ lk ] 1 ≤l,k≤n przez zasta

‘ pienie k-tej kolumny przez b.

Twierdzenie 4. Niech Φ 1 , . . . , Φ n be

‘ dzie uk ladem fundamentalnym uk ladu (2).

W´ owczas rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (1) jest okre´ slone na (p, q) pole wek- torowe Φ 0 = [φ 0l ] 1 ≤l≤n postaci

(5) Φ 0 = g 1 Φ 1 + . . . + g n Φ n , gdzie g k : (p, q) → R jest ustalona ‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji W k /W , k = 1, . . . , n.

Dow´ od. Z okre´ slenia uk ladu Φ ₁ , . . . , Φ _n i w lasno´ sci 5 wynika, ˙ze W (x) ̸= 0 dla x ∈ (p, q). Sta ‘ d i ze wzor´ ow Cramera dla uk lad´ ow r´ owna´ n liniowych mamy

(6)

∑ n k=1

(W _k /W )Φ _k = b.

R´ o˙zniczkuja

‘ c teraz Φ ₀ , korzystaja

‘ c z w lasno´ sci 1 i wzoru (6) dostajemy Φ ^′ ₀ (x) = g ₁ (x)Φ ^′ ₁ (x) + . . . + g _n (x)Φ ^′ _n (x) + g ₁ ^′ (x)Φ ₁ (x) + . . . + g _n ^′ (x)Φ _n (x)

= A(x)(g ₁ (x)Φ ₁ (x) + . . . + g _n (x)Φ _n (x))

+ (W 1 (x)/W (x))Φ 1 (x) + . . . + (W n (x)/W (x))Φ n (x)

= A(x)Φ 0 (x) + b(x).

To ko´ nczy dow´ od.

Uwaga 1. Poszukiwanie rozwia

‘ za´ n uk ladu (1) w postaci (5) nazywane jest metoda uzmienniania sta lych lub wariacji sta lych . Polega bowiem na poszukiwaniu roz- ‘ wia ‘ za´ n uk ladu (1) w postaci (3), gdzie wyste

‘ puja

‘ ce tam sta le c 1 , . . . , c n zaste

‘ pujemy

odpowiednio przez funkcje r´ o˙zniczkowalne g 1 , . . . , g n .

§9. Metoda redukcji z n do n − 1

W paragrafie tym poka˙zemy jak mo˙zna sprowadzi´ c znalezienie og´ o lu rozwia

‘ za´ n jednorodnego uk ladu n r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du o n niewiadomych funkcjach do og´ o lu rozwia

‘ za´ n takiego samego uk ladu o n − 1 rozwia ‘ - zaniach i n − 1 niewiadomych funkcjach.

Niech analogicznie jak w poprzednim paragrafie A = [a kl ] 1 ≤k,l≤n be

‘ dzie cia

‘ g lym polem macierzowym na przedziale (p, q) ⊂ R, y = [y l ] 1 ≤l≤n . Niech dany be

‘ dzie jednorodny uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du postaci y ^′ ₁ = a 11 (x)y 1 + . . . + a 1n (x)y n ,

. . . . y ^′ _n = a n1 (x)y 1 + . . . + a nn (x)y n , lub kr´ ocej

(1) y ^′ = A(x)y.

Twierdzenie 1. Je´ sli

1 ⁰ Φ = [φ _l ] _{1 ≤l≤n} jest integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (1), takim ˙ze φ ₁ (x) ̸= 0 dla x ∈ (p, q),

2 ⁰ [ψ lk ] 2 ≤l≤n , k = 2, . . . , n jest fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ za´ n uk ladu

(2)

z ^′ ₂ = (a ₂₂ − ^φ _φ

a ₁₂ )z ₂ + . . . + (a _2n − ^φ _φ

a _1n )z _n , . . . . z _n ^′ = (a _n2 − ^φ _φ

a ₁₂ )z ₂ + . . . + (a _nn − ^φ _φ

a _1n )z _n , 3 ⁰ ψ 1k = 0 i ω k : (p, q) → R jest ustalona

‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji

1 φ

∑ n

ν=2 a 1ν ψ νk dla k = 2, . . . , n,

to Φ k = [ω k φ l + ψ lk ] 1 ≤l≤n , k = 2, . . . , n wraz z Φ tworza

‘ fundamentalny uk lad rozwia

‘ za´ n uk ladu (1).

Dow´ od. Poka˙zemy najpierw, ˙ze Φ _k , k = 2, . . . , n sa

‘ integralnymi rozwia

‘ zaniami uk ladu (1). Istotnie, z za lo˙ze´ n 1 ⁰ , 3 ⁰ i 2 ⁰ mamy

Φ ^′ _k = [ω _k φ ^′ _l + ω ^′ _k φ _l + ψ _lk ^′ ] _{1 ≤l≤n}

= [

ω k

∑ n ν=1

a lν φ ν + φ l

φ ₁

∑ n ν=2

a 1ν ψ νk +

∑ n ν=2

(a lν − φ l

φ ₁ a 1ν )ψ νk

]

1 ≤l≤n

= [ ∑ ⁿ

ν=1

a lν ω k φ ν +

∑ n ν=2

a lν ψ νk

]

1 ≤l≤n

= [ ∑ ⁿ

ν=1

a _lν (ω _k φ _ν + ψ _νk ) ]

1 ≤l≤n = AΦ _k . Poka˙zemy teraz, ˙ze Φ, Φ 2 , . . . , Φ n tworza

‘ uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n uk ladu (1). Oznaczmy przez W n wro´ nskian tego uk ladu. Na mocy w lasno´ sci 8.4 wystarczy

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

pokaza´ c, ˙ze W n (ξ) ̸= 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q). Oznaczmy przez W n −1 wro´ nskian uk ladu [ψ lk ] 2 ≤l≤n , k = 2, . . . , n. W´ owczas mamy

W n =    

φ 1 , ω 2 φ 1 + ψ 12 , . . . ω n φ 1 + ψ 1n

φ 2 , ω 2 φ 2 + ψ 22 , . . . ω n φ 2 + ψ 2n

. . . . φ n , ω 2 φ n + ψ n2 , . . . ω n φ n + ψ nn

= φ 1 W n −1

Z za lo˙zenia 2 ⁰ i w lasno´ sci 8.5 mamy, ˙ze W _{n −1} (x) ̸= 0 dla dowolnego x ∈ (p, q).

Sta ‘ d i z za lo˙zenia 1 ⁰ dostajemy, ˙ze W _n (x) ̸= 0 dla dowolnego x ∈ (p, q). Zatem Φ, Φ ₂ , . . . , Φ _n tworza

‘ uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n uk ladu (1).

To ko´ nczy dow´ od.

§10. Niezale˙zno´s´c wielomian´ow, funkcji wyk ladniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym udowodnimy pewien lemat potrzebny w naste

‘ pnym paragrafie do okre´ slenia fundamentalnego uk ladu rozwia

‘ za´ n.

Niech (σ ₁ , τ ₁ ), . . . , (σ _r , τ _r ) be

‘ da

‘ r´ o˙znymi parami liczb rzeczywistych, spe lniaja

‘ - cymi warunek τ _k ≥ 0, k = 1, . . . , r. Niech ponadto be ‘ dzie dany cia

‘ g par wielo- mian´ ow (S 1 , T 1 ), . . . , (S r , T r ) spe lniaja

‘ cy warunek T k = 0, gdy τ k = 0.

Lemat 1. Je˙zeli (1)

∑ r k=1

e ^σ

^x (S k (x) cos τ k x + T k (x) sin τ k x) ≡ 0, to S 1 = . . . = S r = 0 i T 1 = . . . = T r = 0.

Dow´ od. Niech Z = {1, . . . , r}. Przypu´s´cmy przeciwnie, ˙ze istnieje k ∈ Z, ˙ze |S k | +

|T k | ̸= 0. Kosztem ewentualnie zasta ‘ pienia Z przez Z ^′ = {k ∈ Z : |S k | + |T k | ̸= 0}, mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze dla ka˙zdego k ∈ Z, |S k | + |T k | ̸= 0.

Niech σ 0 = max k ∈Z σ k oraz Z 0 = {k ∈ Z : σ k = σ 0 }. Niech m = max k ∈Z

(deg S k , deg T k ) oraz Z 1 = {k ∈ Z 0 : deg S k = m lub deg T k = m }.

Wprowadzimy jeszcze dla k ∈ Z 1 oznaczenie S k (x) = a k x ^m + S _k ^∗ (x), T k (x) = b k x ^m + T _k ^∗ (x), gdzie deg S ^∗ _k < m, deg T _k ^∗ < m. Oczywi´ scie zgodnie z poczynionym poprzednio za lo˙zeniem mamy

(2) |a k | + |b k | ̸= 0 dla k ∈ Z 1 . To˙zsamo´ s´ c (1) mo˙zna teraz zapisa´ c w postaci

∑

k ∈Z

e ^σ

^x x ^m (a k cos τ k x + b k sin τ k x) +

∑

k ∈Z

e ^σ

^x (S ^∗ _k (x) cos τ k x + T _k ^∗ (x) sin τ k x) +

∑

k ∈Z

\Z

e ^σ

^x (S _k (x) cos τ _k x + T _k (x) sin τ _k x) +

∑

k ∈Z\Z

e ^σ

^x (S k (x) cos τ k x + T k (x) sin τ k x) ≡ 0.

Podzielmy obie strony powy˙zszej to˙zsamo´ sci przez e ^σ

^x x ^m . Otrzymujemy w´ owczas

∑

k ∈Z

(a _k cos τ _k x + b _k sin τ _k x) +

∑

k ∈Z

x ^−m (S _k ^∗ (x) cos τ k x + T _k ^∗ (x) sin τ k x) +

∑

k ∈Z

\Z

x ^−m (S k (x) cos τ k x + T k (x) sin τ k x) +

∑

k ∈Z\Z

e ^(σ

^−σ

^)x x ^−m (S k (x) cos τ k x + T k (x) sin τ k x) ≡ 0.

Oznaczmy sume

‘ drugiej, trzeciej i czwartej sumy po lewej stronie powy˙zszej to˙zsa- mo´ sci przez R(x). W´ owczas powy˙zsza

‘ to˙zsamo´ s´ c mo˙zna zapisa´ c w postaci

(3) ∑

k ∈Z

(a k cos τ k x + b k sin τ k x) + R(x) ≡ 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja R jest okre´ slona w R\{0} i posiada tam wszystkie pochodne.

Latwo te˙z sprawdzi´ c, ˙ze dla dowolnego s = 0, 1, . . .

(4) lim

x →+∞ R ^(s) (x) = 0, gdzie R ^(s) oznacza s-ta

‘ pochodna

‘ funkcji R.

Niech τ 0 = max k ∈Z

τ k . Moga

‘ zaj´ s´ c dwa przypadki: τ 0 = 0 albo τ 0 > 0.

Rozwa˙zmy pierwszy przypadek, gdy τ 0 = 0. W´ owczas z za lo˙ze´ n lematu mamy Z 1 = {k 0 }. Zatem τ k

= 0 i (3) przyjmuje posta´ c

a k

+ R(x) ≡ 0.

Poniewa˙z dla τ k

= 0, b k

= 0, wie

‘ c z (2) dostajemy a k

̸= 0. To jest jednak sprzeczne z (4).

Rozwa˙zmy drugi przypadek, gdy τ 0 > 0. Niech k 0 ∈ Z 1 i τ k

= τ 0 . Z (2) wynika, ˙ze istnieje takie x 0 , ˙ze

A := |a k

cos τ 0 x 0 + b k

sin τ 0 x 0 | ̸= 0.

Z za lo˙ze´ n lematu dla k ∈ Z 1 wszystkie τ k sa

‘ r´ o˙zne. Zatem τ 0 > τ k dla ka˙zdego k ∈ Z 1 i k ̸= k 0 . We´ zmy teraz na tyle du˙ze ν, ˙zeby

(5) ∑

k ∈Z

k ̸=k

( τ k

τ ₀ ) 4ν

( |a k | + |b k |) < A/2.

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

R´ o˙zniczkuja

‘ c teraz (3) 4ν-razy i dziela

‘ c stronami przez τ ₀ ^4ν dostajemy

(6)

a k

cos τ 0 x + b k

sin τ 0 x

+ ∑

k ∈Z

k ̸=k

( τ k

τ ₀ ) 4ν

(a k cos τ k x + b k sin τ k x)

+ τ ₀ ^−4ν R ^(4ν) (x) ≡ 0.

Niech x _j = x ₀ + ^2πj _τ

0

, j = 1, . . . We´ zmy na tyle du˙ze x _j , by w my´ sl (4) (7) |τ 0 ^−4ν R ^(4ν) (x j ) | < A/2.

W´ owczas dla takiego x j z (6), (5), i (7) dostajemy A = |a k

cos τ ₀ x _j + b _k

sin τ ₀ x _j |

≤ ∑

k ∈Z

k ̸=k

( τ _k τ 0

) 4ν

( |a k | + |b k |) + |τ 0 ^−4ν R ^(4ν) (x _j ) | < A,

co prowadzi i w tym przypadku do sprzeczno´ sci.

To ko´ nczy dow´ od.

§11. Jednorodne uk lady r´owna´n r´o˙zniczkowych liniowych o sta lych wsp´ o lczynnikach W dalszym cia

‘ gu rozszerzymy rozwa˙zanie na dziedzine

‘ zespolona

‘ . W tym celu przypomnimy kilka poje

‘ ´ c ze wste

‘ pu do analizy zespolonej (por. [C]).

Niech f : R → C. Po l´o˙zmy u(t) = Re f(t), v(t) = Im f(t) dla t ∈ R. Je˙zeli funkcje u, v sa

‘ r´ o˙zniczkowalne w punkcie t ∈ R, to m´owimy, ˙ze funkcja f jest r´ o˙zniczkowalna w punkcie t i jej pochodna

‘ f ^′ (t) okre´ slamy naste

‘ puja

‘ co f ^′ (t) = u ^′ (t) + iv ^′ (t). M´ owimy, ˙ze funkcja f jest r´ o˙zniczkowalna , gdy jest r´ o˙zniczkowal- na w ka˙zdym punkcie. M´ owimy, ˙ze funkcja F : R → C jest funkcja ‘ pierwotna funkcji f , gdy F ^′ (t) = f (t) dla ka˙zdego t ∈ R. Oczywi´scie, funkcja f posiada ‘ funkcje

‘ pierwotna

‘ wtedy i tylko wtedy, gdy cze

‘ ´ s´ c rzeczywista i urojona funkcji f posiadaja

‘ funkcje pierwotne. Na zako´ nczenie przypomnijmy, ˙ze funkcje

‘ wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej okre´ slamy naste ‘

‘ puja

‘ co

e ^z := e ^x (cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C.

Z powy˙zszego wynika latwo, ˙ze funkcja R ∋ t 7→ e ^λt , λ ∈ C ma pochodna ‘ dla ka˙zdego t ∈ R i (e ^λt ) ^′ = λe ^λt .

Niech w dalszym cia

‘ gu K = R lub C.

Powr´ o´ cmy do uk lad´ ow r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych. Niech A = [a kl ] 1 ≤k,l≤n be

‘ dzie sta lym (a kl ∈ K) polem macierzowym na R. W paragrafie tym zajmowa´c sie ‘ be ‘ dziemy uk ladami postaci

y ^′ ₁ = a 11 y 1 + . . . + a 1n y n ,

. . . .

y _n ^′ = a n1 y 1 + . . . + a nn y n ,

lub kr´ ocej

(1) y ^′ = Ay.

Niech I = [δ kl ] 1 ≤k,l≤n , gdzie δ kl jest delta

‘ Kroneckera. Macierz A −λI nazywamy macierza

‘ charakterystyczna

‘ uk ladu (1). Jej wyznacznik, kt´ ory jest wielomianem stopnia n wzgle

‘ dem λ, nazywamy wielomianem charakterystycznym uk ladu (1).

Twierdzenie 1. Niech λ 0 ∈ K be ‘ dzie pierwiastkiem wielomianu charakterysty- cznego uk ladu (1) i

(2) (A − λ 0 I)w = 0

be ‘ dzie uk ladem r´ owna´ n liniowych nad cia lem K o niewiadomych w = [w l ] _{1 ≤l≤n} . Je´ sli Γ = [γ l ] 1 ≤l≤n jest rozwia

‘ zaniem uk ladu (2), to Φ : R ∋ x 7→ e ^λ

^x Γ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu (1).

Dow´ od. Wprost z okre´ slenia Φ mamy Φ ^′ (x) = λ ₀ Φ(x), x ∈ R. Ponadto, poniewa˙z Γ jest rozwia

‘ zaniem (2), mamy λ ₀ Γ = AΓ . Sta

‘ d mno˙za

‘ c obie strony przez e ^λ

^x dostajemy λ ₀ Φ(x) = AΦ(x). To w zestawieniu z poprzednim daje Φ ^′ (x) = AΦ(x) dla x ∈ R, co ko´nczy dow´od.

Twierdzenie 2. Je˙zeli λ 0 ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charak- terystycznego uk ladu (1), to istnieje p liniowo niezale˙znych nad K rozwia ‘ za´ n uk ladu (1) postaci

(3) Φ k : R ∋ x 7→ e ^λ

^x [P lk (x)] 1 ≤l≤n , k = 1, . . . , p,

gdzie P lk jest wielomianem o wsp´ o lczynnikach z K stopnia nie wie ‘ kszego ni˙z k − 1.

Dow´ od. Zastosujemy indukcje

‘ wzgle

‘ dem p. Dla p = 1 prawdziwo´ s´ c twierdzenia wynika z twierdzenia 1.

Za l´ o˙zmy, ˙ze twierdzenie to jest prawdziwe dla p − 1. Niech λ 0 ∈ K be ‘ dzie p- krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego uk ladu (1). Z twierdzenia 1 wynika, ˙ze istnieje niezerowe rozwia

‘ zanie Φ uk ladu (1) postaci (4) Φ : R ∋ x 7→ e ^λ

^x [γ _l ] _{1 ≤l≤n} , γ _l ∈ K.

Bez zmniejszenia og´ olno´ sci, mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze γ 1 ̸= 0. Mo˙zna to uczyni´c przenumerowuja

‘ c niewiadome w uk ladzie (1). W´ owczas jak wiadomo z algebry wielomiany charakterystyczne uk ladu (1) i uk ladu powsta lego po przenumerowaniu niewiadomych sa

‘ takie same.

Rozwa˙zmy uk lad

(5)

z ^′ ₂ = (a 22 − ^γ _γ

a 12 )z 2 + . . . + (a 2n − ^γ _γ

a 1n )z n , . . . . z _n ^′ = (a n2 − ^γ _γ

a 12 )z 2 + . . . + (a nn − ^γ _γ

a 1n )z n .

0

Rozdzia l II, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z,

1993.

Zbadamy najpierw, jaki jest zwia

‘ zek mie

‘ dzy wielomianem charakterystycznym uk ladu (1) i uk ladu (5). Zauwa˙zmy, ˙ze

det(A − λI) = 1 γ 1

∑ n

k=1 a 1k γ k − λγ 1 a 12 . . . a 1n

∑ n

k=1 a 2k γ k − λγ 2 a 22 − λ . . . a 2n

. . . .

∑ n

k=1 a nk γ k − λγ n a n2 . . . a nn − λ     .

Poniewa˙z Γ = [γ _l ] _{1 ≤l≤n} spe lnia uk lad (2), mamy AΓ = λ ₀ Γ . Sta

‘ d, z powy˙zszego i latwych w lasno´ sci wyznacznik´ ow dostajemy kolejno

det(A − λI) = 1 γ ₁

λ ₀ γ ₁ − λγ 1 a ₁₂ . . . a _1n λ ₀ γ ₂ − λγ 2 a ₂₂ − λ . . . a _2n . . . . λ 0 γ n − λγ n a n2 . . . a nn − λ    

= −(λ − λ 0 )    

1 ^a _γ

1

. . . ^a _γ

1

γ ₂ a ₂₂ − λ . . . a _2n . . . . γ _n a _2n . . . a _nn − λ    

= −(λ − λ 0 ) det [

a kl − γ _k γ 1

a 1l − λδ kl

]

2 ≤k,l≤n . Reasumuja

‘ c, dostajemy

det(A − λI) = −(λ − λ 0 ) det [

a kl − γ k

γ ₁ a 1l − λδ kl

]

2 ≤k,l≤n .

Sta ‘ d wynika, ˙ze λ ₀ jest (p − 1)-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterysty- cznego uk ladu (5). W my´ sl za lo˙zenia indukcyjnego istnieje (p − 1) liniowo niezale˙z- nych nad K rozwia ‘ za´ n uk ladu (5) postaci

(6) R ∋ x 7→ e ^λ

^x [Q lk (x)] 2 ≤l≤n , k = 2, . . . , p,

gdzie Q _lk jest wielomianem o wsp´ o lczynnikach z K stopnia nie wie ‘ kszego ni˙z k − 2.

Podobnie jak w §9 niech ω k be

‘ dzie ustalona

‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji 1

γ 1

∑ n ν=2

a 1ν Q νk (x),

czyli wielomianem o wsp´ o lczynnikach z K stopnia nie wie ‘ kszego ni˙z k − 1, oraz Q 1k = 0 dla k = 2, . . . , p. Po l´ o˙zmy

(7) P _lk (x) = ω _k (x)γ _l + Q _lk (x), l = 1, . . . , n; k = 2, . . . , p.