• Nie Znaleziono Wyników

Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Granica i ci¡gªo±¢ funkcji"

Copied!
21
0
0

Pełen tekst

(1)

Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

Informacje pomocnicze

Funkcja

Denicja 1. Niech X, Y ⊆ R b¦d¡ dowolnymi zbiorami liczbowymi, a f to reguªa (relacja), która ka»demu elementowi x ∈ X przyporz¡dkowuje dokªadnie jeden element y ∈ Y. Wówczas trójk¦

(X, Y, f ) nazywamy funkcj¡i zapisujemy f : X → Y.

Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji f i oznaczamy przez Df. Elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji.

Zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedzin¡. Ponadto zbiór elementów z Y przyporz¡dkowanych argumentom tzn.

{f (x) ∈ Y : x ∈ Df} nazywamy zbiorem warto±ci funkcji f i oznaczamy przez Wf.

Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to maksymalny zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji.

Denicja 2. Miejscem zerowe funkcji f : X → Y nazywamy taki argument ze zbioru X, dla którego warto±¢ funkcji jest 0.

W celu znalezienia miejsc zerowych funkcji f danej wzorem y = f(x) wystarczy wyznaczy¢

rozwi¡zania równania f(x) = 0, które nale»¡ do dziedziny Df.

Denicja 3. Niech dana b¦dzie funkcja f : X → Y, X, Y ∈ R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór

{(x, y) : x ∈ X, y = f (x)}.

Przykªad 1. Rozwa»my funkcje:

a) f(x) = x2+ 1 z X = R i Y = [1, ∞);

b) g(x) = x2+ 1 z X = [−1, 1] i Y = [1, 2].

Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne zbiory X, Y.

Rysunek 1: y = x2+ 1

(2)

Przykªad 2. Rozwa»my funkcje:

a) f(x) = xx−22−4 z X = R \ {2} i Y = R;

b) g(x) = x + 2 z X = R i Y = R.

Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne dziedziny X

a) b)

Rysunek 2: a) f(x) = xx−22−4 b) f (x) = x + 2

Krzywa przedstawiona na poni»szym rysunku nie jest wykresem funkcji, gdy» prosta x = 2 przecina ta krzyw¡ w trzech punktach. Zatem mamy przyporz¡dkowanie argumentowi x = 2 trzech warto±ci

Rysunek 3: Przykªad krzywej nieb¦d¡cej funkcj¡

Denicja 4. (to»samo±ciowa równo±¢ funkcji)

Mówimy, »e dwie funkcje f i g s¡ równe,gdy ich dziedziny s¡ równe (Df = Dg) oraz dla wszystkich elementów wspólnej dziedziny przybieraj¡ równe warto±ci.

Przykªad 3. Funkcje przedstawione poprzednio f(x) = xx−22−4 oraz g(x) = x + 2 nie s¡ równe poniewa» ich dziedziny naturalne Df = R \ {2}, Dg = R nie sa równe.

(3)

Denicja 5. (funkcja na: suriekcja)

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy f : X → Yna , wtedy i tylko wtedy, gdy Wf = Y ;tzn.

y∈Yx∈X f (x) = y.

Funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡ zbiór X na zbiór Y nazywamy suriekcj¡.

Przykªad 4. Rozwa»my dwie funkcje:

a) f(x) = x2+ 1, X = R, Y = R;

b) f(x) = x2+ 1, X = R, Y = [1, +∞).

W obu przypadkach reguªy f oraz zbiory X s¡ takie same, zatem równie» zbiory Wf s¡ takie same i wynosz¡:

Wf = [1, +∞).

Zatem funkcja z podpunktu a) nie jest typu na, jest w. Natomiast funkcja z podpunktu b) jest

na.

Denicja 6. (funkcja ró»nowarto±ciowa: iniekcja)

Funkcja f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ na zbiorze A ⊂ Df, je»eli

x1,x2∈Xx1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2).

Funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ nazywamy iniekcj¡.

Denicja 7. (bijekcja)

Funkcj¦ f : X → Y b¦d¡c¡ na oraz ró»nowarto±ciow¡ nazywamy funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡

ze zbioru X na zbiór Y , inaczej bijekcj¡.

Denicja 8. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• rosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2);

• niemalej¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2);

• malej¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) > f (x2);

• nierosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2);

• staª¡, gdy

x1,x2∈Dff (x1) = f (x2).

Funkcj¦ nazywamyprzedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w postaci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.

(4)

Denicja 9. (okresowo±¢)

Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).

Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamy okresem tej funkcji.

Najmniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jej okresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.

Denicja 10. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);

• nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);

Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.

Uwaga 1. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»- niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.

Denicja 11. (ograniczono±¢ funkcji)

Funkcja f na zbiorze A ⊆ Df (zbiorze b¦d¡cym podzbiorem dziedziny funkcji f) jest:

• ograniczona z doªu, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z doªu tzn. istnieje m ∈ R takie,

»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≥ m co zapisujemy

m∈Rx∈A f (x) ≥ m;

• ograniczona z góry, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z góry tzn. istnieje M ∈ R takie,

»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≤ M co zapisujemy

M ∈Rx∈A f (x) ≤ M ;

• ograniczona, je±li jest ograniczona zarówno z góry jak i z doªu.

Denicja 12. (zªo»enie funkcji)

Niech X, Y, Y1, Z b¦d¡ podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oraz niech f : X → Y, g : Y1 → Z, przy czym Y ⊂ Y1. Zªo»eniem (superpozycj¡) funkcji f i g nazywamy funkcj¦ (g ◦ f) : X → Z okre±lon¡ wzorem:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)),

przy czym funkcj¦ f nazywamy funkcj¡ wewn¦trzn¡, a funkcj¦ g funkcja zewn¦trzn¡ powy»szego zªo»enia.

(5)

Rysunek 4: Zªo»enie funkcji

Uwaga 2. Skªadanie funkcji jest dziaªaniem ª¡cznym tzn. (f ◦g)◦h = f ◦(g ◦h). Skªadanie funkcji nie jest dziaªaniem przemiennym tzn. f ◦ g 6= g ◦ f.

Fakt 1. W wyniku skªadania dwóch funkcji monotonicznie rosn¡cych lub malej¡cych otrzymamy funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡. Natomiast skªadaj¡c funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡ z funkcj¡ mo- notonicznie malej¡c¡ (lub odwrotnie) dostaniemy funkcj¦ monotonicznie malej¡c¡.

Denicja 13. Niech funkcja f : X → Y b¦dzie ró»nowarto±ciowa i na (tzn. bijekcj¡) to funkcj¦

odwrotn¡ do funkcji f nazywamy funkcj¦ f−1 : Y → X okre±lon¡ warunkiem f−1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.

Uwaga 3. Wykresy funkcji f i f−1 s¡ symetryczne wzgl¦dem prostej y = x.

Przykªad 5. Rozwa»my funkcj¦ f(x) = x2 okre±lon¡ na dziedzinie naturalnej czyli zbiorze liczb rzeczywistych: Df = R. Wówczas funkcja ta nie jest ró»nowarto±ciowa, zatem nie istnieje funkcja do niej odwrotna.

(6)

Przykªad 6. Tym razem ponownie rozwa»my funkcj¦ okre±lon¡ wzorem f(x) = x2, ale okre±lon¡

na zbiorze Df = [0, +∞). Jest to funkcja ró»nowarto±ciowa oraz Wf = [0, +∞). Wówczas istniej funkcja do niej odwrotna,f−1 : [0, +∞) → [0, +∞)i dana jest wzorem f−1(x) =√

x.

Rysunek 5: Ilustracja do przykªadu Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna

Przedstawi¦ teraz wykresy i podstawowe wªasno±ci kilku funkcji elementarnych, które dokªadniej przeanalizujemy w drugiej cz¦±ci tego przedmiotu.

Denicja 14. Funkcja wykªadnicz¡ nazywamy funkcj¦ postaci y = ax, gdzie a > 0, a 6= 1 oraz x ∈ R.

Wªasno±ci funkcji wykªadniczej:

• Df = R, Wf = R+;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Rysunek 6: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a > 1

(7)

Denicja 15. Dla dowolnej liczby a > 0, a 6= 1 i liczby x > 0 logarytmem z x przy podstawie a nazywamy liczb¦ y = logax, tak¡ »e ay = x. W przypadku, gdy a = 10 nazywam go logaryt- mem dziesi¦tnym i piszemy log x, natomiast w przypadku, gdy a = e nazywamy go logarytmem naturalnym i piszemy ln x.

Wªasno±ci funkcji logarytmicznej:

• Df = R+, Wf = R;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Rysunek 7: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a ∈ (0, 1)

Uwaga 4. Na podstawie denicji funkcji logarytmicznej wynika, »e funkcja f(x) = logax jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej (dla a nale»¡cych do tego samego przedziaªu) i odwrotnie.

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r, cos α = x r, tg α = y

x, ctg α = x y,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px2+ y2.

(8)

Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x:

• Df = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = sin x Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• Df = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 9: Wykres funkcji f(x) = cos x

(9)

Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x:

• Df = R \ {π2 + kπ : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 10: Wykres funkcji f(x) = tg x Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x:

• Df = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 11: Wykres funkcji f(x) = ctg x

(10)

Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcjisinobci¦tej do przedziaªu [−π2,π2]nazywamy funkcj¡ arcsin(czyt.

arkus sinus). Mamy zatem

arcsin x = y ⇔ sin y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcsin x= [−1; 1], Warcsin x= [−π2;π2].

Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = arcsin x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji cos obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos (czyt.

arkus kosinus). Mamy zatem

arccos x = y ⇔ cos y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.

St¡d Darccos x = [−1; 1], Warccos x = [0; π].

Rysunek 13: Wykres funkcji f(x) = arccos x

(11)

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tg obci¦tej do przedziaªu (−π2,π2) nazywamy funkcj¡ arctg (czyt.

arkus tanges). Mamy zatem

arctg x = y ⇔ tg y = x dla x ∈ R, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darctg x= R, Warctg x = [−π2;π2].

Rysunek 14: Wykres funkcji f(x) = arctg x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji ctg obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg (czyt.

arkus kotanges). Mamy zatem

arcctg x = y ⇔ ctg y = x dla x ∈ R, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcctg x = R, Warcctgx = [−π2;π2].

Rysunek 15: Wykres funkcji f(x) = arcctg x

(12)

Funkcje hiperboliczne Denicja 16. .

• Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦: sinh x := ex−e2−x;

• kosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:

cosh x := ex+ e−x

2 ;

• tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:

tgh x := sinh x

cosh x = ex− e−x ex+ e−x;

• kotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:

ctgh x := cosh x

sinh x = ex+ e−x ex− e−x; Twierdzenie 1. (Wªasno±ci funkcji hiperbolicznych)

a) cosh2x − sinh2x = 1;

b) sinh 2x = 2 sinh x · cosh x c) cosh 2x = sinh2x + cosh2x

Denicja 17. Warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ nazywamy funkcj¦ | · | : R → R okre±lon¡ wzorem:

|x| :=

(x dla x ≥ 0,

−x dla x < 0.

(13)

Funkcje elementarne

Denicja 18. Wielomianem nazywamy funkcj¦ W : R → R okre±lon¡ wzorem W (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0.

Stopie« wielomianu jest równy najwi¦kszej pot¦dze n.

Denicja 19. Funkcj¦ Q, któr¡ mo»na zapisa¢ w postaci ilorazu dwóch wielomianów W (x), V (x):

Q(x) = W (x) V (x) nazywamy funkcj¡ wymiern¡. DQ = R \ {x : V (x) = 0}.

Denicja 20. (funkcje elementarne)

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.

Funkcje elementarne, to takie które mo»na otrzyma¢ z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc¡ sko«czonej liczby dziaªa« arytmetycznych oraz operacji skªadania funkcji.

Pewne funkcje nieelementarne Denicja 21. (funkcja signum -znak)

Funkcj¡ signum nazywamy funkcj¦ sgn : R → R okre±lon¡ wzorem:

sgn x =





−1 dla x < 0,

0 dla x = 0,

1 dla x > 0.

(14)

Denicja 22. (cz¦±¢ caªkowita)

Funkcja cz¦±¢ caªkowita E : R → Z przyporz¡dkowuje liczbie rzeczywistej x najwi¦ksz¡ liczb¦

caªkowit¡ k nie wi¦ksz¡ od x :

E(x) = k, dla x ∈ [k, k + 1).

Cz¦±¢ caªkowit¡ oznaczamy równie» przez [x].

Denicja 23. Funkcj¡ Dirichleta nazywamy funkcj¦ D : R → R okre±lon¡ wzorem

D(x) :=

(1 dla x ∈ Q

0 dla x /∈ Q.

Symbole nieoznaczone: , 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1, 00, ∞0. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

= 0, −∞ < a < ∞ 0a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0+ = −∞, −∞ ≤ a < 0 0a = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0 = ∞, −∞ ≤ a < 0

a = 0, 0+≤ a < 1 a= ∞, 1 < a ≤ ∞

a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞a= ∞, 0 < a ≤ ∞

(15)

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, α > 0 b) lim

x→0 tan x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 ax−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

loga(1+x)

x = logae, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + axx

= ea, a ∈ R f ) lim

x→0(1 + x)x1 = e g) lim

x→0

(1+x)a−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctan x

x = 1

Denicja 24. (denicj¡ Cauchy'ego ε − δ ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)

Funkcj¦ f : X → R okre±lon¡ na otoczeniu O(x0) punktu x0 nazywamy ci¡gª¡ w tym punkcie, je»eli:

ε>0δ>0x∈O(x0)

|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε .

Mówi¡c inaczej: funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0, gdy maªe zmiany argumentu x wzgl¦dem tego punktu powoduj¡ maªe zmiany warto±ci funkcji f(x) wzgl¦dem f(x0).

Denicja 25. (ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)

Funkcj¦ okre±lon¡ na otoczeniu punktu x0 O(x0) (a tym samym i w punkcie x0) nazywamy ci¡gª¡

w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

x→xlim0

f (x) = f (x0).

Denicja 26. (lewostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)

Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu x0 O(x0)(a tym samym i w punkcie x0) nazywamy lewostronnie ci¡gª¡ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→x0

f (x) = f (x0).

Denicja 27. (prawostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)

Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na prawostronnym otoczeniu punktu x0 O+(x0) (a tym samym i w punkcie x0) nazywamy prawostronnie ci¡gª¡ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→x+0

f (x) = f (x0).

Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)óó Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:

lim

x→x0

f (x) = lim

x→x+0

f (x) = f (x0).

Denicja 28. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡ na zbiorze A je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego zbioru. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡, je±li jest ona ci¡gªa na caªej swojej dziedzinie.

Denicja 29. (nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:

a) skok, gdy: lim

x→x0

f (x) 6= lim

x→x+0

f (x), b) luka, gdy: lim

x→x

f (x) = lim

x→x+

f (x) 6= f (x0).

(16)

Denicja 30. (nieci¡gªo±¢ II rodzaju)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim

x→x0

f (x), lim

x→x+0

f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.

Twierdzenie 3. (Twierdzenie Darboux)

Funkcja ci¡gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d¡ warto±¢ po-

±redni¡ pomi¦dzy dwoma swymi warto±ciami.

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos2α − sin2α, c) sin2α = 1−cos22α, d) cos2α = 1+cos22α,

e) sin α + sin β = 2 sinα+β2 cosα−β2 , f) sin α − sin β = 2 sin α−β2 cosα+β2 , g) cos α − cos β = −2 sinα+β2 sinα−β2 , h) cos α = sin π2 − α

i) a2− b2 = (a − b)(a + b), j) a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2).

Zadania

1. Okre±li¢ dziedziny naturalne i zbiory warto±ci funkcji:

a) f(x) = x5+ 4x3− x2+ 7, b) f(x) = 4x−1x2−9, c) f(x) =√

4x + 5, d) f(x) = 3x22x−x−2, e) f(x) = ln(√

x − 4), f) f(x) = arcsin2x+43 ,

g) f(x) =√

x + 2 − 4−x1 h) f(x) = √

cos x i) f(x) = 27x

27−3x−12 j) f(x) = 1−sin x4

k) f(x) =q

log3 4x+x5 2

2. Zbada¢, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:

a) f(x) = 3x + 4 + 2x2, b) f(x) = −2 + 4x+1, c) f(x) = −2 tg(x + 1) − 3, d) f(x) = log3(2x),

e) f(x) = x−1x2 , e) f(x) = −3 cos(5x − 2) + 2 sin x, 3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

a) f(x) = 2x + 1, R, b) g(x) = 3x+11 , (−∞, −1), c) h(x) = 3x2− 2x − 1, (∞,13), d) j(x) = −2x2, (0, +∞).

4. Korzystaj¡c z denicji, zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ (iniekcja) funkcji na podanym zbiorze:

a) f(x) = x2+ 4x, R, b) g(x) = x12, (0, +∞),

c) h(x) = x3+ 4, R, d) f(x) = √

1 − x2, [−1, 0].

5. Okre±l zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ f, g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f dla:

a) f(x) = 2 + x, g(x) = x2+ 1 b) f(x) = √

x + 1 g(x) = x − 3 c) f(x) = 3x, g(x) = ln 2x d) f(x) = √

1 − 2x, g(x) = x2

6. Dla jakich argumentów x mo»liwe jest wykonanie zªo»e« f ◦ g, g ◦ f, je»eli f(x) = x+2x−1, g(x) = x2− 3?

(17)

7. Znale¹¢ funkcje f1i f2 (ewentualnie f3) takie, »e g = f1◦f2,(ewentualnie g = f1◦f2◦· · ·) je±li:

a) g(x) = sin2x, b) g(x) = tg x2,

c) g(x) = ecos x, d) g(x) = ln tg ex, e) g(x) =p(arcsin x)3 4, f) g(x) = arccos√5

4x− 1, g) g(x) = earctg4+ex.

8. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

a) f(x) = x4cos x b) f(x) = x4sin x

c) f(x) = x2cos x − 5x4 d) f(x) = −3x3+ 2x4tg x, e) f(x) = 7x2− 4x3, f) f(x) = sin x − x2cos x, g) f(x) = −3x+ 3−x, h) f(x) = 2x−1x−2

i) f(x) = 5 log4(3−x) j) f(x) = x2tg x − x|x|

k) f(x) = | sin x| + x3.

9. Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:

a) f(x) = 5x − 2 c) f(x) = 2x+1x−3,

d) f(x) =√

x + 3, dla x ≥ −3, e) f(x) = x2− 4, dla x ≤ 0, f) f(x) = 2e4x−3− 1, g) f(x) = tg(x2) + 5,

h) f(x) = ln cosx+13  , i) f(x) = x2− 6x + 8 w przedziale (∞, 3].

10. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:

a) f(x) =√

3 + x2, b) f(x) = log(√

sin x), c) f(x) = log1

3(√

sin x), d) f(x) = arctan√

x2+ 6x + 9, e) f(x) = arccos log(1 − x).

11. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:

a) b) c)

d) e) f)

(18)

12. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granice te nie istniej¡:

a) b) c)

d) e) f)

13. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):

a) lim

x→+∞

2x3−5x+4

−4x3+2x2+5x−4 b) lim

x→−∞

4x2+x−1

x3−x2+1 c) lim

x→+∞

x3−8x x2−4

g) lim

x→+∞

x x+3 5x

x+x e) lim

x→+∞

x−1 1−63

x f ) lim

x→1 x3−1 x4−1

g) lim

x→2 x3−8

x2−4 h) lim

x→5

x2−4x−5

x2−5x i) lim

x→1

x4−3x+2 x5−4x+3

j) lim

x→2

x3−3x−2

x−2 k) lim

x→−1

(x2+3x+2)2

x3+2x2−x−2 l) lim

x→1

x2−2x+1 2x2−x−1

m) lim

x→4

x−2

x−4 n) lim

x→3

x3+x2−12x

(x−3)2 o) lim

x→∞

√4x2+ x −√

4x2+ 1 p) lim

x→−∞x +√

x2+ 4x + 3 q) lim

x→0

3

1+x−3 1−x

x r) lim

x→4

x−2

x−3−1

s) lim

x→0 sin 6x

3x t) lim

x→0 sin 5x

sin 2x u) lim

x→0 sin2x 1−cos x

v) lim

x→0 sin22x

1−cos 4x w) lim

x→π4

cos x−sin x

cos 2x x) lim

x→π4

sin(2x−π2)

π−4x

y) lim

x→π2 cos x

2x−π a) lim

x→0

sin 4x−sin 5x

sin x b) lim

x→+∞ 1 + 3xx

c) lim

x→+∞

4x+2 4x+5

3x2

d) lim

x→+∞

2x2+7 2x2+5

−3x

e) lim

x→−∞ 1 − 5x2 x

f ) lim

x→−∞log7

3x2−4 x−7



g) lim

x→−∞sin

−3x2 x3+1



h) lim

x→0 2x−1

x

i) lim

x→0 arctan x

tan x j) lim

x→0 ln(1+x)

ex−1 k) lim

x→0

arcsin 2x arcsin 3x

l) lim

x→0 3x−2x

x m) lim

x→0 ex−1

sin 5x n) lim

x→0 2x2−1

sin 4x

o) lim

x→0

1−cos x

(e2x−1)2 p) lim

x→0 2x−3

ln(1+3x) q) lim

x→0

3 arctan 4x 5 ln(1+3x)

14. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech granicach wykaza¢:

a) lim

x→∞

x2+sin x

x2−cos x = 1 b) lim

x→∞

2+sin x

x2 = 0 c) lim

x→∞

3[x]

2x−5 = 32. 15. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

a) lim

x→1 x+1

x−1 b) lim

x→0 sin x

|x| c) lim

x→1

|x−1|3

x3−x2 d) lim

x→3[x]

e) lim

x→3

|x−3|

x−3 f ) lim

x→1arctan1−x1 e) lim

x→454−x1

(19)

16. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

(a) f (x) = sin xx (b) g(x) = 1−x1 2 (c) h(x) = x − x12 (d) m(x) = xx32+8−4 (e) n(x) = x2x−32−4. Asymptota pozioma:

Prosta y = y0 jest asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li

x→−∞lim f (x) = y0 ( lim

x→+∞f (x) = y0), gdzie y0 ∈ R.

Asymptota pionowa:

Prosta x = x0 jest asymptot¡ pionow¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim

x→x0

f (x) = ∞lub lim

x→x0

f (x) = −∞ ( lim

x→x+0

f (x) = ∞lub lim

x→x+0

f (x) = −∞).

Asymptota uko±na:

Prosta y = ax + b gdzie (a, b ∈ R, a 6= 0) jest asymptot¡ uko±n¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim

x→−∞[f (x) − (ax + b)] = 0 ( lim

x→∞[f (x) − (ax + b)] = 0), gdzie a = lim

x→−∞

f (x)

x i b = lim

x→−∞[f (x) − ax]

lub

a = lim

x→+∞

f (x)

x i b = lim

x→+∞[f (x) − ax].

17. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:

a) b) c)

d) e) f)

(20)

18. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :

a) b) c)

d) e) f)

19. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji uzasadnij ci¡gªo±¢ funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x) = 2x − 3; x0 = 3, b) f(x) = x2+ 1; x0 = −1,

c) f(x) = 5x2− 7x + 11; , x0 = 2, d) f(x) = 5x2− 7x + 11; , x0 = −1, e) f(x) = sin x; x0 ∈ R.

20. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:

a) f (x) = x2− 2x + 1 dla x > 0

3x dla x ≤ 0 b) f (x) =

2x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2

c) f (x) =

( x2−3x

|x−3| dla x 6= 3

3 dla x = 3 d) f (x) =

 1+x−1

x dla x 6= 0

0 dla x = 0

e) f(x) =

 sin x

x ; dla x 6= 0

1; dla x = 0 f) f(x) =

 x3−1

x2−1; dla x ∈ R − {−1, 1}

1; dla x ∈ {−1, 1}

g) f(x) =

1

5(2x2+ 3); dla x ≤ 1 6 − 5x; dla 1 < x < 3

x − 3; dla x ≥ 3 h) f(x) = sinx1; dla x 6= 0 1; dla x = 0

(21)

21. Dobra¢ parametry a, b tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

a) f (x) =

 x2−4x+3

x−3 dla x 6= 3

a dla x = 3 b) f (x) = ax + 3 dla x < 1 2x2+ x + 2 dla x ≥ 1

c) f (x) = ax + 1 dla x ≤ π2

sin x + b dla x > π2 d) f (x) =

2x dla x ∈ [0; 2)

ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)2+ x + b dla x ∈ [10; 20) e) f(x) =

 1+x−1

x ; dla x 6= 0 a; dla x = 0

22. Wykaza¢, »e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja f (x) = 1

x − a + 1

x − b + 1 x − c ma co najmniej dwa pierwiastki.

23. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2x− x2 przyjmuje warto±¢ w = 101 na przedziale D = [1, 3].

24. Pokaza¢, »e równanie 3 sin2x − 2 cos3x = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [π6;π3].

Wskazówka: W zad. 28-30 skorzysta¢ z twierdzenia Darboux.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Fuchs, Infinite Abelian Groups, Academic Press, New York, 1970, aby zobaczyć, że analogiczne twierdzenie nie jest prawdziwe dla produktu wolnych grup abelowych.. (5) Niech G

Pokazać, że funkcja przedziałami monotoniczna (skończenie wiele przedziałów) na odcinku [a, b] jest również różnicą dwu nieujemnych funkcji rosnących.. Czy istnieje

N - może być prawdziwe lub

[r]

Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?.

Na zajęciach dowiemy się jak odczytać z wykresu dziedzinę funkcji, zbiór wartości, monotoniczność, wartości dodatnie, ujemne, wartość największą i najmniejszą,

Na zajęciach zajmiemy się rysowaniem wykresów i odczytywaniem z nich własności funkcji: dziedziny funkcji, zbioru wartości, monotoniczności, wartości dodatnich,

Czy każdą funkcję ciągłą na odcinku domkniętym można przedłużyć do funkcji ciągłej na całej