Granica i ci¡gªo±¢ funkcji
Informacje pomocnicze
Funkcja
Denicja 1. Niech X, Y ⊆ R b¦d¡ dowolnymi zbiorami liczbowymi, a f to reguªa (relacja), która ka»demu elementowi x ∈ X przyporz¡dkowuje dokªadnie jeden element y ∈ Y. Wówczas trójk¦
(X, Y, f ) nazywamy funkcj¡i zapisujemy f : X → Y.
Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji f i oznaczamy przez Df. Elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji.
Zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedzin¡. Ponadto zbiór elementów z Y przyporz¡dkowanych argumentom tzn.
{f (x) ∈ Y : x ∈ Df} nazywamy zbiorem warto±ci funkcji f i oznaczamy przez Wf.
Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to maksymalny zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji.
Denicja 2. Miejscem zerowe funkcji f : X → Y nazywamy taki argument ze zbioru X, dla którego warto±¢ funkcji jest 0.
W celu znalezienia miejsc zerowych funkcji f danej wzorem y = f(x) wystarczy wyznaczy¢
rozwi¡zania równania f(x) = 0, które nale»¡ do dziedziny Df.
Denicja 3. Niech dana b¦dzie funkcja f : X → Y, X, Y ∈ R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
{(x, y) : x ∈ X, y = f (x)}.
Przykªad 1. Rozwa»my funkcje:
a) f(x) = x2+ 1 z X = R i Y = [1, ∞);
b) g(x) = x2+ 1 z X = [−1, 1] i Y = [1, 2].
Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne zbiory X, Y.
Rysunek 1: y = x2+ 1
Przykªad 2. Rozwa»my funkcje:
a) f(x) = xx−22−4 z X = R \ {2} i Y = R;
b) g(x) = x + 2 z X = R i Y = R.
Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne dziedziny X
a) b)
Rysunek 2: a) f(x) = xx−22−4 b) f (x) = x + 2
Krzywa przedstawiona na poni»szym rysunku nie jest wykresem funkcji, gdy» prosta x = 2 przecina ta krzyw¡ w trzech punktach. Zatem mamy przyporz¡dkowanie argumentowi x = 2 trzech warto±ci
Rysunek 3: Przykªad krzywej nieb¦d¡cej funkcj¡
Denicja 4. (to»samo±ciowa równo±¢ funkcji)
Mówimy, »e dwie funkcje f i g s¡ równe,gdy ich dziedziny s¡ równe (Df = Dg) oraz dla wszystkich elementów wspólnej dziedziny przybieraj¡ równe warto±ci.
Przykªad 3. Funkcje przedstawione poprzednio f(x) = xx−22−4 oraz g(x) = x + 2 nie s¡ równe poniewa» ich dziedziny naturalne Df = R \ {2}, Dg = R nie sa równe.
Denicja 5. (funkcja na: suriekcja)
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy f : X → Yna , wtedy i tylko wtedy, gdy Wf = Y ;tzn.
∀y∈Y∃x∈X f (x) = y.
Funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡ zbiór X na zbiór Y nazywamy suriekcj¡.
Przykªad 4. Rozwa»my dwie funkcje:
a) f(x) = x2+ 1, X = R, Y = R;
b) f(x) = x2+ 1, X = R, Y = [1, +∞).
W obu przypadkach reguªy f oraz zbiory X s¡ takie same, zatem równie» zbiory Wf s¡ takie same i wynosz¡:
Wf = [1, +∞).
Zatem funkcja z podpunktu a) nie jest typu na, jest w. Natomiast funkcja z podpunktu b) jest
na.
Denicja 6. (funkcja ró»nowarto±ciowa: iniekcja)
Funkcja f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ na zbiorze A ⊂ Df, je»eli
∀x1,x2∈Xx1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2).
Funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ nazywamy iniekcj¡.
Denicja 7. (bijekcja)
Funkcj¦ f : X → Y b¦d¡c¡ na oraz ró»nowarto±ciow¡ nazywamy funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡
ze zbioru X na zbiór Y , inaczej bijekcj¡.
Denicja 8. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:
• rosn¡c¡, gdy
∀x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2);
• niemalej¡c¡, gdy
∀x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2);
• malej¡c¡, gdy
∀x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) > f (x2);
• nierosn¡c¡, gdy
∀x1,x2∈Dfx1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2);
• staª¡, gdy
∀x1,x2∈Dff (x1) = f (x2).
Funkcj¦ nazywamyprzedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w postaci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.
Denicja 9. (okresowo±¢)
Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).
Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamy okresem tej funkcji.
Najmniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jej okresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.
Denicja 10. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:
• parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X
−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);
• nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X
−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);
Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.
Uwaga 1. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»- niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.
Denicja 11. (ograniczono±¢ funkcji)
Funkcja f na zbiorze A ⊆ Df (zbiorze b¦d¡cym podzbiorem dziedziny funkcji f) jest:
• ograniczona z doªu, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z doªu tzn. istnieje m ∈ R takie,
»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≥ m co zapisujemy
∃m∈R∀x∈A f (x) ≥ m;
• ograniczona z góry, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z góry tzn. istnieje M ∈ R takie,
»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≤ M co zapisujemy
∃M ∈R∀x∈A f (x) ≤ M ;
• ograniczona, je±li jest ograniczona zarówno z góry jak i z doªu.
Denicja 12. (zªo»enie funkcji)
Niech X, Y, Y1, Z b¦d¡ podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oraz niech f : X → Y, g : Y1 → Z, przy czym Y ⊂ Y1. Zªo»eniem (superpozycj¡) funkcji f i g nazywamy funkcj¦ (g ◦ f) : X → Z okre±lon¡ wzorem:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)),
przy czym funkcj¦ f nazywamy funkcj¡ wewn¦trzn¡, a funkcj¦ g funkcja zewn¦trzn¡ powy»szego zªo»enia.
Rysunek 4: Zªo»enie funkcji
Uwaga 2. Skªadanie funkcji jest dziaªaniem ª¡cznym tzn. (f ◦g)◦h = f ◦(g ◦h). Skªadanie funkcji nie jest dziaªaniem przemiennym tzn. f ◦ g 6= g ◦ f.
Fakt 1. W wyniku skªadania dwóch funkcji monotonicznie rosn¡cych lub malej¡cych otrzymamy funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡. Natomiast skªadaj¡c funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡ z funkcj¡ mo- notonicznie malej¡c¡ (lub odwrotnie) dostaniemy funkcj¦ monotonicznie malej¡c¡.
Denicja 13. Niech funkcja f : X → Y b¦dzie ró»nowarto±ciowa i na (tzn. bijekcj¡) to funkcj¦
odwrotn¡ do funkcji f nazywamy funkcj¦ f−1 : Y → X okre±lon¡ warunkiem f−1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.
Uwaga 3. Wykresy funkcji f i f−1 s¡ symetryczne wzgl¦dem prostej y = x.
Przykªad 5. Rozwa»my funkcj¦ f(x) = x2 okre±lon¡ na dziedzinie naturalnej czyli zbiorze liczb rzeczywistych: Df = R. Wówczas funkcja ta nie jest ró»nowarto±ciowa, zatem nie istnieje funkcja do niej odwrotna.
Przykªad 6. Tym razem ponownie rozwa»my funkcj¦ okre±lon¡ wzorem f(x) = x2, ale okre±lon¡
na zbiorze Df = [0, +∞). Jest to funkcja ró»nowarto±ciowa oraz Wf = [0, +∞). Wówczas istniej funkcja do niej odwrotna,f−1 : [0, +∞) → [0, +∞)i dana jest wzorem f−1(x) =√
x.
Rysunek 5: Ilustracja do przykªadu Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna
Przedstawi¦ teraz wykresy i podstawowe wªasno±ci kilku funkcji elementarnych, które dokªadniej przeanalizujemy w drugiej cz¦±ci tego przedmiotu.
Denicja 14. Funkcja wykªadnicz¡ nazywamy funkcj¦ postaci y = ax, gdzie a > 0, a 6= 1 oraz x ∈ R.
Wªasno±ci funkcji wykªadniczej:
• Df = R, Wf = R+;
• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;
• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.
Rysunek 6: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a > 1
Denicja 15. Dla dowolnej liczby a > 0, a 6= 1 i liczby x > 0 logarytmem z x przy podstawie a nazywamy liczb¦ y = logax, tak¡ »e ay = x. W przypadku, gdy a = 10 nazywam go logaryt- mem dziesi¦tnym i piszemy log x, natomiast w przypadku, gdy a = e nazywamy go logarytmem naturalnym i piszemy ln x.
Wªasno±ci funkcji logarytmicznej:
• Df = R+, Wf = R;
• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;
• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.
Rysunek 7: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a ∈ (0, 1)
Uwaga 4. Na podstawie denicji funkcji logarytmicznej wynika, »e funkcja f(x) = logax jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej (dla a nale»¡cych do tego samego przedziaªu) i odwrotnie.
Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :
sin α = y
r, cos α = x r, tg α = y
x, ctg α = x y,
gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px2+ y2.
Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x:
• Df = R, Wf =< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;
• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.
Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = sin x Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :
• Df = R, Wf =< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;
• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• parzysta, cos(−x) = cos x.
Rysunek 9: Wykres funkcji f(x) = cos x
Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x:
• Df = R \ {π2 + kπ : k ∈ Z}, Wf = R;
• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.
Rysunek 10: Wykres funkcji f(x) = tg x Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x:
• Df = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;
• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.
Rysunek 11: Wykres funkcji f(x) = ctg x
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcjisinobci¦tej do przedziaªu [−π2,π2]nazywamy funkcj¡ arcsin(czyt.
arkus sinus). Mamy zatem
arcsin x = y ⇔ sin y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, −π
2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcsin x= [−1; 1], Warcsin x= [−π2;π2].
Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = arcsin x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji cos obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos (czyt.
arkus kosinus). Mamy zatem
arccos x = y ⇔ cos y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.
St¡d Darccos x = [−1; 1], Warccos x = [0; π].
Rysunek 13: Wykres funkcji f(x) = arccos x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tg obci¦tej do przedziaªu (−π2,π2) nazywamy funkcj¡ arctg (czyt.
arkus tanges). Mamy zatem
arctg x = y ⇔ tg y = x dla x ∈ R, −π
2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darctg x= R, Warctg x = [−π2;π2].
Rysunek 14: Wykres funkcji f(x) = arctg x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji ctg obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg (czyt.
arkus kotanges). Mamy zatem
arcctg x = y ⇔ ctg y = x dla x ∈ R, −π
2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcctg x = R, Warcctgx = [−π2;π2].
Rysunek 15: Wykres funkcji f(x) = arcctg x
Funkcje hiperboliczne Denicja 16. .
• Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦: sinh x := ex−e2−x;
• kosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:
cosh x := ex+ e−x
2 ;
• tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:
tgh x := sinh x
cosh x = ex− e−x ex+ e−x;
• kotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcj¦:
ctgh x := cosh x
sinh x = ex+ e−x ex− e−x; Twierdzenie 1. (Wªasno±ci funkcji hiperbolicznych)
a) cosh2x − sinh2x = 1;
b) sinh 2x = 2 sinh x · cosh x c) cosh 2x = sinh2x + cosh2x
Denicja 17. Warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ nazywamy funkcj¦ | · | : R → R okre±lon¡ wzorem:
|x| :=
(x dla x ≥ 0,
−x dla x < 0.
Funkcje elementarne
Denicja 18. Wielomianem nazywamy funkcj¦ W : R → R okre±lon¡ wzorem W (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0.
Stopie« wielomianu jest równy najwi¦kszej pot¦dze n.
Denicja 19. Funkcj¦ Q, któr¡ mo»na zapisa¢ w postaci ilorazu dwóch wielomianów W (x), V (x):
Q(x) = W (x) V (x) nazywamy funkcj¡ wymiern¡. DQ = R \ {x : V (x) = 0}.
Denicja 20. (funkcje elementarne)
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.
Funkcje elementarne, to takie które mo»na otrzyma¢ z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc¡ sko«czonej liczby dziaªa« arytmetycznych oraz operacji skªadania funkcji.
Pewne funkcje nieelementarne Denicja 21. (funkcja signum -znak)
Funkcj¡ signum nazywamy funkcj¦ sgn : R → R okre±lon¡ wzorem:
sgn x =
−1 dla x < 0,
0 dla x = 0,
1 dla x > 0.
Denicja 22. (cz¦±¢ caªkowita)
Funkcja cz¦±¢ caªkowita E : R → Z przyporz¡dkowuje liczbie rzeczywistej x najwi¦ksz¡ liczb¦
caªkowit¡ k nie wi¦ksz¡ od x :
E(x) = k, dla x ∈ [k, k + 1).
Cz¦±¢ caªkowit¡ oznaczamy równie» przez [x].
Denicja 23. Funkcj¡ Dirichleta nazywamy funkcj¦ D : R → R okre±lon¡ wzorem
D(x) :=
(1 dla x ∈ Q
0 dla x /∈ Q.
Symbole nieoznaczone: ∞∞, 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:
a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
∞ = 0, −∞ < a < ∞ 0a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
0+ = −∞, −∞ ≤ a < 0 0a− = −∞, 0 < a ≤ ∞
a
0− = ∞, −∞ ≤ a < 0
a∞ = 0, 0+≤ a < 1 a∞= ∞, 1 < a ≤ ∞
∞a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞a= ∞, 0 < a ≤ ∞
Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:
a) lim
x→0 sin x
x = 1, α > 0 b) lim
x→0 tan x
x = 1, α > 0 c) lim
x→0 ax−1
x = ln a, a > 0 d) lim
x→0
loga(1+x)
x = logae, 0 < a 6= 1 e) lim
x→±∞ 1 + axx
= ea, a ∈ R f ) lim
x→0(1 + x)x1 = e g) lim
x→0
(1+x)a−1
x = a, a ∈ R h) lim
x→0 arcsin x
x = 1 i) lim
x→0 arctan x
x = 1
Denicja 24. (denicj¡ Cauchy'ego ε − δ ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)
Funkcj¦ f : X → R okre±lon¡ na otoczeniu O(x0) punktu x0 nazywamy ci¡gª¡ w tym punkcie, je»eli:
∀ε>0∃δ>0∀x∈O(x0)
|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε .
Mówi¡c inaczej: funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0, gdy maªe zmiany argumentu x wzgl¦dem tego punktu powoduj¡ maªe zmiany warto±ci funkcji f(x) wzgl¦dem f(x0).
Denicja 25. (ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)
Funkcj¦ okre±lon¡ na otoczeniu punktu x0 O(x0) (a tym samym i w punkcie x0) nazywamy ci¡gª¡
w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
x→xlim0
f (x) = f (x0).
Denicja 26. (lewostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)
Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu x0 O−(x0)(a tym samym i w punkcie x0) nazywamy lewostronnie ci¡gª¡ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
x→x−0
f (x) = f (x0).
Denicja 27. (prawostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0)
Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na prawostronnym otoczeniu punktu x0 O+(x0) (a tym samym i w punkcie x0) nazywamy prawostronnie ci¡gª¡ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
x→x+0
f (x) = f (x0).
Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)óó Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim
x→x−0
f (x) = lim
x→x+0
f (x) = f (x0).
Denicja 28. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡ na zbiorze A je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego zbioru. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡, je±li jest ona ci¡gªa na caªej swojej dziedzinie.
Denicja 29. (nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)
Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:
a) skok, gdy: lim
x→x−0
f (x) 6= lim
x→x+0
f (x), b) luka, gdy: lim
x→x−
f (x) = lim
x→x+
f (x) 6= f (x0).
Denicja 30. (nieci¡gªo±¢ II rodzaju)
Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim
x→x−0
f (x), lim
x→x+0
f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.
Twierdzenie 3. (Twierdzenie Darboux)
Funkcja ci¡gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d¡ warto±¢ po-
±redni¡ pomi¦dzy dwoma swymi warto±ciami.
Inne przydatne wzory:
a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos2α − sin2α, c) sin2α = 1−cos22α, d) cos2α = 1+cos22α,
e) sin α + sin β = 2 sinα+β2 cosα−β2 , f) sin α − sin β = 2 sin α−β2 cosα+β2 , g) cos α − cos β = −2 sinα+β2 sinα−β2 , h) cos α = sin π2 − α
i) a2− b2 = (a − b)(a + b), j) a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2).
Zadania
1. Okre±li¢ dziedziny naturalne i zbiory warto±ci funkcji:
a) f(x) = x5+ 4x3− x2+ 7, b) f(x) = 4x−1x2−9, c) f(x) =√
4x + 5, d) f(x) = √3x22x−x−2, e) f(x) = ln(√
x − 4), f) f(x) = arcsin2x+43 ,
g) f(x) =√
x + 2 − √4−x1 h) f(x) = √
cos x i) f(x) = 27x
27−3x−12 j) f(x) = 1−sin x4
k) f(x) =q
log3 4x+x5 2
2. Zbada¢, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:
a) f(x) = 3x + 4 + 2x2, b) f(x) = −2 + 4x+1, c) f(x) = −2 tg(x + 1) − 3, d) f(x) = log3(2x),
e) f(x) = x−1x2 , e) f(x) = −3 cos(5x − 2) + 2 sin x, 3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:
a) f(x) = 2x + 1, R, b) g(x) = 3x+11 , (−∞, −1), c) h(x) = 3x2− 2x − 1, (∞,13), d) j(x) = −2x2, (0, +∞).
4. Korzystaj¡c z denicji, zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ (iniekcja) funkcji na podanym zbiorze:
a) f(x) = x2+ 4x, R, b) g(x) = x12, (0, +∞),
c) h(x) = x3+ 4, R, d) f(x) = √
1 − x2, [−1, 0].
5. Okre±l zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ f, g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f dla:
a) f(x) = 2 + x, g(x) = x2+ 1 b) f(x) = √
x + 1 g(x) = x − 3 c) f(x) = 3x, g(x) = ln 2x d) f(x) = √
1 − 2x, g(x) = x2
6. Dla jakich argumentów x mo»liwe jest wykonanie zªo»e« f ◦ g, g ◦ f, je»eli f(x) = x+2x−1, g(x) = x2− 3?
7. Znale¹¢ funkcje f1i f2 (ewentualnie f3) takie, »e g = f1◦f2,(ewentualnie g = f1◦f2◦· · ·) je±li:
a) g(x) = sin2x, b) g(x) = tg x2,
c) g(x) = ecos x, d) g(x) = ln tg ex, e) g(x) =p(arcsin x)3 4, f) g(x) = arccos√5
4x− 1, g) g(x) = earctg√4+ex.
8. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:
a) f(x) = x4cos x b) f(x) = x4sin x
c) f(x) = x2cos x − 5x4 d) f(x) = −3x3+ 2x4tg x, e) f(x) = 7x2− 4x3, f) f(x) = sin x − x2cos x, g) f(x) = −3x+ 3−x, h) f(x) = 2x−1x−2
i) f(x) = 5 log4(3−x) j) f(x) = x2tg x − x|x|
k) f(x) = | sin x| + x3.
9. Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:
a) f(x) = 5x − 2 c) f(x) = 2x+1x−3,
d) f(x) =√
x + 3, dla x ≥ −3, e) f(x) = x2− 4, dla x ≤ 0, f) f(x) = 2e4x−3− 1, g) f(x) = tg(x2) + 5,
h) f(x) = ln cosx+13 , i) f(x) = x2− 6x + 8 w przedziale (∞, 3].
10. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:
a) f(x) =√
3 + x2, b) f(x) = log(√
sin x), c) f(x) = log1
3(√
sin x), d) f(x) = arctan√
x2+ 6x + 9, e) f(x) = arccos log(1 − x).
11. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:
a) b) c)
d) e) f)
12. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granice te nie istniej¡:
a) b) c)
d) e) f)
13. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):
a) lim
x→+∞
2x3−5x+4
−4x3+2x2+5x−4 b) lim
x→−∞
4x2+x−1
x3−x2+1 c) lim
x→+∞
x3−8x x2−4
g) lim
x→+∞
x√ x+3 5x√
x+x e) lim
x→+∞
√x−1 1−6√3
x f ) lim
x→1 x3−1 x4−1
g) lim
x→2 x3−8
x2−4 h) lim
x→5
x2−4x−5
x2−5x i) lim
x→1
x4−3x+2 x5−4x+3
j) lim
x→2
x3−3x−2
x−2 k) lim
x→−1
(x2+3x+2)2
x3+2x2−x−2 l) lim
x→1
x2−2x+1 2x2−x−1
m) lim
x→4
√x−2
x−4 n) lim
x→3
x3+x2−12x
(x−3)2 o) lim
x→∞
√4x2+ x −√
4x2+ 1 p) lim
x→−∞x +√
x2+ 4x + 3 q) lim
x→0
√3
1+x−√3 1−x
x r) lim
x→4
√x−2
√x−3−1
s) lim
x→0 sin 6x
3x t) lim
x→0 sin 5x
sin 2x u) lim
x→0 sin2x 1−cos x
v) lim
x→0 sin22x
1−cos 4x w) lim
x→π4
cos x−sin x
cos 2x x) lim
x→π4
sin(2x−π2)
π−4x
y) lim
x→π2 cos x
2x−π a) lim
x→0
sin 4x−sin 5x
sin x b) lim
x→+∞ 1 + 3xx
c) lim
x→+∞
4x+2 4x+5
3x2
d) lim
x→+∞
2x2+7 2x2+5
−3x
e) lim
x→−∞ 1 − 5x2 x
f ) lim
x→−∞log7
3x2−4 x−7
g) lim
x→−∞sin
−3x2 x3+1
h) lim
x→0 2x−1
x
i) lim
x→0 arctan x
tan x j) lim
x→0 ln(1+x)
ex−1 k) lim
x→0
arcsin 2x arcsin 3x
l) lim
x→0 3x−2x
x m) lim
x→0 ex−1
sin 5x n) lim
x→0 2x2−1
sin 4x
o) lim
x→0
1−cos x
(e2x−1)2 p) lim
x→0 2x−3
ln(1+3x) q) lim
x→0
3 arctan 4x 5 ln(1+3x)
14. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech granicach wykaza¢:
a) lim
x→∞
x2+sin x
x2−cos x = 1 b) lim
x→∞
2+sin x
x2 = 0 c) lim
x→∞
3[x]
2x−5 = 32. 15. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:
a) lim
x→1 x+1
x−1 b) lim
x→0 sin x
|x| c) lim
x→1
|x−1|3
x3−x2 d) lim
x→3[x]
e) lim
x→3
|x−3|
x−3 f ) lim
x→1arctan1−x1 e) lim
x→454−x1
16. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):
(a) f (x) = sin xx (b) g(x) = 1−x1 2 (c) h(x) = x − x12 (d) m(x) = xx32+8−4 (e) n(x) = x2x−32−4. Asymptota pozioma:
Prosta y = y0 jest asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li
x→−∞lim f (x) = y0 ( lim
x→+∞f (x) = y0), gdzie y0 ∈ R.
Asymptota pionowa:
Prosta x = x0 jest asymptot¡ pionow¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim
x→x−0
f (x) = ∞lub lim
x→x−0
f (x) = −∞ ( lim
x→x+0
f (x) = ∞lub lim
x→x+0
f (x) = −∞).
Asymptota uko±na:
Prosta y = ax + b gdzie (a, b ∈ R, a 6= 0) jest asymptot¡ uko±n¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim
x→−∞[f (x) − (ax + b)] = 0 ( lim
x→∞[f (x) − (ax + b)] = 0), gdzie a = lim
x→−∞
f (x)
x i b = lim
x→−∞[f (x) − ax]
lub
a = lim
x→+∞
f (x)
x i b = lim
x→+∞[f (x) − ax].
17. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:
a) b) c)
d) e) f)
18. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :
a) b) c)
d) e) f)
19. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji uzasadnij ci¡gªo±¢ funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x) = 2x − 3; x0 = 3, b) f(x) = x2+ 1; x0 = −1,
c) f(x) = 5x2− 7x + 11; , x0 = 2, d) f(x) = 5x2− 7x + 11; , x0 = −1, e) f(x) = sin x; x0 ∈ R.
20. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:
a) f (x) = x2− 2x + 1 dla x > 0
3x dla x ≤ 0 b) f (x) =
2x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2
c) f (x) =
( x2−3x
|x−3| dla x 6= 3
3 dla x = 3 d) f (x) =
√1+x−1
x dla x 6= 0
0 dla x = 0
e) f(x) =
sin x
x ; dla x 6= 0
1; dla x = 0 f) f(x) =
x3−1
x2−1; dla x ∈ R − {−1, 1}
1; dla x ∈ {−1, 1}
g) f(x) =
1
5(2x2+ 3); dla x ≤ 1 6 − 5x; dla 1 < x < 3
x − 3; dla x ≥ 3 h) f(x) = sinx1; dla x 6= 0 1; dla x = 0
21. Dobra¢ parametry a, b tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:
a) f (x) =
x2−4x+3
x−3 dla x 6= 3
a dla x = 3 b) f (x) = ax + 3 dla x < 1 2x2+ x + 2 dla x ≥ 1
c) f (x) = ax + 1 dla x ≤ π2
sin x + b dla x > π2 d) f (x) =
2x dla x ∈ [0; 2)
ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)2+ x + b dla x ∈ [10; 20) e) f(x) =
√1+x−1
x ; dla x 6= 0 a; dla x = 0
22. Wykaza¢, »e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja f (x) = 1
x − a + 1
x − b + 1 x − c ma co najmniej dwa pierwiastki.
23. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2x− x2 przyjmuje warto±¢ w = 101 na przedziale D = [1, 3].
24. Pokaza¢, »e równanie 3 sin2x − 2 cos3x = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [π6;π3].
Wskazówka: W zad. 28-30 skorzysta¢ z twierdzenia Darboux.