Zasada zachowania energii
Fizyka I (Mechanika)
Wykład VII:
• Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna
• Energia kinetyczna i zasada zachowania energii
• Zderzenia elastyczne
• Układ ´srodka masy
Praca i energia
Praca
F F
A s B
P
F
F F
s Θ
n
t
A P
B
Najprostszy przypadek:
Stała siła F ~ działa na ciało P powoduj ˛ ac jego przesuni ˛ecie wzdłu˙z kierunku działania siły o ~ s.
Praca jak ˛ a wykona przy tym siła F ~ W AB = F · s
W przypadku siły działaj ˛ acej pod k ˛ atem w sto- sunku do przesuni ˛ecia praca jak ˛ a wykonuje
W AB = F · s · cos θ = ~ F · ~s
Składowa prostopadła nie wykonuj ˛ a pracy!
Liczy si ˛e tylko równoległa składowa siły...
Praca i energia
F
F F
dr P Θ
n
t
1 2 3 4
5
1 2
3 4
5
dr dr dr dr dr
F F
F F
F
Praca
Dowolna siła F ~ działa na punkt materialny P Praca jak ˛ a wykonuje siła przy przesuni ˛eciu o d~ r
dW = ~ F · d~r = F cos θds = F t ds
Aby policzy´c prac ˛e siły F ~ dla dowolnej drogi, musimy posumowa´c wkłady od kolejnych małych przesuni ˛e´c
⇒ całkowanie.
Praca siły F ~ (~ r) na drodze mi ˛edzy A i B
W AB =
Z B
A
F ~ (~ r ) · d~r
Siły prostopadłe do przesuni ˛ecia nie wykonuj ˛ a pracy!
siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji wi ˛ezów...
Praca i energia
Praca
W s
F
x F(x)
s Przykład:
Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile spr ˛e˙zysto´sci:
F (x) = kx
Wykonana praca:
W =
Z s
0
F (x) · dx
=
Z s
0
kx · dx =
1
2 kx 2
s
0 = 1
2 ks 2
Praca i energia
1
l
2l
A
B
l
1l
2A
B
ds dW = F ds F
s
Praca
W ogólnym przypadku praca W AB jak ˛ a wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B mo˙ze zale˙ze´c od:
• przebytej drogi l
np. praca sił tarcia b ˛edzie proporcjonalna do l
• toru ruchu
np. je´sli siły oporu zale˙z ˛ a od wyboru toru
• pr ˛edko´sci
siły oporu w o´srodku zale˙z ˛ a od pr ˛edko´sci
• czasu
je´sli działaj ˛ ace siły zale˙z ˛ a od czasu
Praca i energia
Energia kinetyczna
F F
A s B
P
Przyjmijmy, ˙ze siła F ~ jest sił ˛ a wypadkow ˛ a dzia- łaj ˛ ac ˛ a na ciało P. Zmiana pr ˛edko´sci w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
v B − v A = F
m · ∆t
= F
m · s
hvi = F
m · 2s v A + v B Gdzie skorzystali´smy z wyra˙zenia na pr ˛edko´s´c ´sredni ˛ a: hvi = v
A+v 2
BOtrzymujemy:
v B 2 − v A 2 = (v B − v A )(v B + v A ) = 2
m · F · s = 2
m · W AB
⇒ W AB = mv B 2
2 − mv A 2
2 = E k B − E k A = ∆E k
Prac ˛e mo˙zemy wyrazi´c poprzez zmian ˛e energii kinetycznej ciała E k = mv 2
2Praca i energia
Energia kinetyczna
Praca jak ˛ a wykonuje siła F ~ przy przesuni ˛eciu P o ds
dW = F t ds = m a t ds = m dv dt ds dv
dt ds = dv ds
dt ⇒ = m ds
dt dv = m v dv Praca siły F ~ (~ r) na drodze mi ˛edzy A i B
W AB =
Z B
A
F t (s) · ds =
Z B
A
mv dv = mv B 2
2 − mv A 2
2 = E k B − E k A = ∆E k
Niezale˙znie od postaci siły F ~ i drogi na ciało nie działaj ˛ a inne siły, układ inercjalny
praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E k = mv 2
2Praca i energia
Moc
Moc ´srednia opisuje ´sredni ˛ a prac ˛e wykonywan ˛ a na jednostk ˛e czasu:
P
(±r)= ∆W
∆t Moc chwilowa
P = lim
∆t→0
∆W
∆t = dW dt Wstawiaj ˛ ac dW = ~ F · d~s :
P = ~ F · ~v
Moc siły jest proporcjonalna do pr ˛edko´sci ciała!
Jednostk ˛ a pracy jest D˙zul:
1J = 1N · 1m = 1 kg m 2 s 2 Jednostk ˛ a mocy jest Wat:
1W = 1J
1s = 1 kg m 2 s 3 Kiedy´s u˙zywano jako jednostki mocy konia mechanicznego:
1 KM = 735.498 W
Praca i energia
Energia potencjalna
Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym ~ g.
Siła ci ˛e˙zko´sci działaj ˛ aca na mas ˛e m: F ~ = m ~ g = m (0, −g, 0)
W AB = ~ F · ∆~r = ~ F (~ r B − ~r A ) = −m ~g (~r A − ~r B ) = m g (y A − y B ) Mo˙zemy wprowadzi´c energi ˛e potencjaln ˛ a dla jednorodnego pola grawitacyjnego
E p (~ r ) = −m ~g ~r = m g y
Prac ˛e mo˙zemy wtedy wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej W AB = E p (~ r A ) − E p (~ r B ) = −∆E p
Mówimy, ˙ze siła ci ˛e˙zko´sci jest sił ˛ a zachowawcz ˛ a.
Praca i energia
Energia potencjalna
Siła F ~ (~ r) jest zachowawcza (konserwatywna), je´sli praca przez ni ˛ a wykonana zale˙zy tylko od poło˙zenia punktów pocz ˛ atkowego (A) i ko ´ncowego (B)
⇒ mo˙zna j ˛ a wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej
W AB =
Z B
A
F ~ (~ r ) · d~r = E p (~ r A ) − E p (~ r B ) = −∆E p
Siła zachowawcza nie mo˙ze zale˙ze´c od czasu ani od pr ˛edko´sci.
Je´sli droga jest zamkni ˛eta to praca jest równa zeru
Z A
A
F ~ (~ r ) · d~r =
I F ~ (~ r)d~ r = 0
yrkula ja (kr¡»enie)
F ~
Siłami zachowawczymi s ˛ a te˙z wszystkie siły centralne, zale˙zne tylko od odległo´sci
F ~ = F (r) ·~i r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły spr ˛e˙zysto´sci...
Praca i energia
Siła a energia potencjalna
Praca wykonana przy infintezymalnym przesuni ˛eciu d~ r = (dx, dy, dz) dW = ~ F (~ r ) · d~r = − dE p
zmiana energii poten jalnej
⇒ = − ∂E p
∂x dx − ∂E p
∂y dy − ∂E p
∂z dz Otrzymujemy:
F ~ = − ∂E ∂x p , − ∂E ∂y p , − ∂E ∂z p
!
Znajomo´s´c potencjału siły zachowawczej jest rownowa˙zna znajomo´sci samej siły.
Energia potencjalna jest okre´slona z dokładno´sci ˛ a do stałej, istotne s ˛ a tylko jej zmiany.
Praca i energia
Siła a energia potencjalna
spr
p
F
E (x)
x
x Przykład:
Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy.
W =
Z s
0
F (x) · dx = 1 2 ks 2
Kosztem tej pracy ro´snie energia potencjalna:
E p (x) = 1
2 kx 2 Siła spr ˛e˙zysto´sci:
F x
spr(x) = − dE p (x)
dx = −kx
W momencie puszczenia spr ˛e˙zyny energia potencjalna zamienia si ˛e na kinetyczn ˛ a...
Praca i energia
Gradient
Gradient wskazuje kierunek w którym nast ˛epuje najwi ˛eksza zmiana warto´sci funkcji skalarnej f (x, y, z).
Warto´s´c gradientu odpowiada warto´sci pochodnej funkcji f (x, y, z) wzdłu˙z tego kierunku.
grad f = ~ ∇f = ~i x ∂f
∂x + ~i y ∂f
∂y + ~i z ∂f
∂z = ∂f
∂x , ∂f
∂y , ∂f
∂z
!
nabla
⇒ ∇ = ~i ~ x ∂
∂x + ~i y ∂
∂y + ~i z ∂
∂z
∇f = ~i ~ n ∂f
∂n ~ n
- wektor normalny dof
= onstSił ˛e zachowawcz ˛ a wyra˙zamy jako gradient energii potencjalej: F ~ = −~ ∇E p (~ r)
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii
Praca siły zachowawczej F ~ (~ r) pomi ˛edzy A i B wyra˙za si ˛e przez energi ˛e potencjaln ˛ a
W AB =
Z B
A
F ~ (~ r ) · d~r = E p A − E p B
Z drugiej strony, praca siły działaj ˛ acej na ciało zmienia energi ˛e kinetyczn ˛ a:
W AB = E k B − E k A
⇒ E k B − E k A = E p A − E p B
⇒ E k B + E p B = E k A + E p A
⇒ E = E p + E k =
onstW ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.
Zasada zachowania energii
Wahadło Galileusza
Wysoko´s´c na jak ˛ a wznosi si ˛e wahadło nie zmienia si ˛e przy zmianie długo´sci nici:
h
E p + E k = E =
onstE k = 0 ⇒ m g h = E siły reakcji wi ˛ezów nie wykonuj ˛ a pracy
Koło Maxwella
Przemiana energii potencjalnej w
energi ˛e kinetyczn ˛ a ruchu obrotowego.
Zasada zachowania energii
Spadek swobodny
V h
g
W jednorodnym polu ~ g ciało spada swobodnie z wysoko´sci h ( ~ v(0) = 0).
Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa z za- sady zachowania energii:
∆E k = −∆E p m v 2
2 = m g h v = q 2 g h
V h
g
Tak ˛ a sam ˛ a pr ˛edko´s´c uzyska wahadło
puszczone z wysoko´sci h
Zasada zachowania energii
Siły spr ˛e˙zysto´sci
E
pE
kV V=0
V=0
t m
Ruchu pod wpływem sił spr ˛e˙zysto´sci:
E = E p (x) + E k (x) =
onst1
2 kx 2 + 1
2 mv 2 =
onstRuch harmoniczny ω = q m k :
x = A · sin(ωt + φ)
⇒ E p (x) = 1
2 kA 2 sin 2 (ωt + φ) v = ω A · cos(ωt + φ)
⇒ E k (x) = 1
2 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ) E = E p + E k = 1
2 kA 2
Zasada zachowania energii
Równania ruchu
Znajomo´s´c energii potencjalnej jest rownowa˙zna znajomo´sci siły (zachowawczej):
F ~ = −~ ∇E p
Czy znaj ˛ ac E p (~ r) mo˙zemy rozwi ˛ aza´c równania ruchu ciała ?
• Mo˙zemy wyznaczy´c zale˙zno´s´c F ~ (~ r) i skorzysta´c z II zasady dynamiki...
albo
• Mo˙zemy wykorzysta´c zasad ˛e zachowania energii:
E = E k (˙~ r) + E p (~ r) = const
W zale˙zno´sci od zagadnienia jeden albo drugi sposób mo˙ze by´c bardziej u˙zyteczny...
Zasada zachowania energii
Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F ~ (x), energia potencjalna E p = E p (x)
E = m 2
dx dt
2
+ E p (x) = const
⇒ dx
dt =
s 2
m (E − E p (x)) Rozdzielaj ˛ ac zmienne i całkuj ˛ ac otrzymujemy:
dt = dx
q 2
m (E − E p (x)) t =
Z x
x
◦dx ′
q 2
m E − E p (x ′ )
⇒ Znaj ˛ ac E p (x) mo˙zemy zawsze znale´z´c zwi ˛ azek mi ˛edzy x i t.
Zasada zachowania energii
Przykład: F ~ = F ~i x = const ⇒ E p (x) = −F x F x = − dE dx
pPrzyjmuj ˛ ac, ˙ze x = 0 w chwili t = 0 mamy:
t =
r m 2
Z x
0
dx ′
p E + F x ′
⇒
s 2
m t = 2 F
q
E + F x ′
x
0 = 2 F
p E + F x − 2 F
√ E
⇒ F
√ 2m t + √
E = p E + F x ⇒ x = 1 2
F m
· t 2 +
s 2E m · t 1
2 a · t 2 + v ◦ · t
v ◦ - predko´s´c w chwili t = 0 ⇒ energia całkowita E = mv 2
◦2> 0
Zderzenia
Poprzednio rozpatrywali´smy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania p ˛edu (i momentu p ˛edu)
zasada zachowania p ˛edu jest zawsze bezwzgl ˛ednie spełniona
Czy zachowana jest energia kinetyczna ?
TAK
- je´sli działaj ˛ ace siły maj ˛ a charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły sp ˛e˙zysto´sci
∆E p = 0 ⇒ ∆E k = 0
NIE
- je´sli mamy wkład sił niezachowawczych
w wyniku zderzenia nast ˛epuj ˛ a trwałe zmiany
(np. odkształcenia) w zderzaj ˛ acych si ˛e ciałach
Zderzenia
Zderzenia spr ˛e˙zyste
Przypadek jednowymiarowy:
V
1V =0
2M
2M
1V’ V’
1M
2M
12
Z zasad zachowania:
po przed
p : m 1 V 1 ′ + m 2 V 2 ′ = m 1 V 1 E : m 1 V 1 ′2
2 + m 2 V 2 ′2
2 = m 1 V 1 2 2 Przekształcamy:
p : m 2 V 2 ′ = m 1 (V 1 − V 1 ′ ) E : m 2 V 2 ′2 = m 1 (V 1 2 − V 1 ′2 )
= m 1 (V 1 − V 1 ′ )(V 1 + V 1 ′ )
⇒ V 2 ′ = V 1 + V 1 ′ ⇒ V 2 ′ − V 1 ′ = V 1
warto´s´c bezwzgl ˛edna pr ˛edko´sci wzgl ˛ednej przed i po zderzeniu jest taka sama
Zderzenia
Zderzenia spr ˛e˙zyste
Przekształcaj ˛ ac dalej otrzymujemy:
m 2 (V 1 + V 1 ′ ) = m 1 (V 1 − V 1 ′ )
⇒ V 1 ′ (m 1 + m 2 ) = V 1 (m 1 − m 2 )
Ostatecznie:
V 1 ′ = m 1 − m 2
m 1 + m 2 V 1 V 2 ′ = 2 m 1
m 1 + m 2 V 1
Przypadek szczególny: m 1 = m 2
⇒ V 1 ′ = V 2 = 0 V 2 ′ = V 1
Zderzaj ˛ ace si ˛e ciała “wymieniaj ˛ a si ˛e” pr ˛ed-
ko´sciami; rozwi ˛ azanie słuszne tak˙ze w przy-
padku V ~ 2 6= 0
Zderzenia
Zderzenia spr ˛e˙zyste
m 1 > m 2
Masa “pocisku” wi ˛eksza od masy “tarczy”:
Otrzymujemy: V 2 ′ > V 1 ′ > 0
Przypadek graniczny: m 1 ≫ m 2
⇒ V 1 ′ = m 1 − m 2
m 1 + m 2 V 1 = V 1 V 2 ′ = 2 m 1
m 1 + m 2 V 1 = 2 · V 1
“Pocisk” nie zauwa˙za zderzenia
“Tarcza” uzyskuje pr ˛edko´s´c 2 · V 1
Po zderzeniu oba ciała poruszaj ˛ a si ˛e w t ˛ a sam ˛ a stron ˛e.
Zderzenia
Zderzenia spr ˛e˙zyste
m 1 < m 2
Masa “pocisku” mniejsza od masy “tarczy”:
Otrzymujemy:
V 1 ′ = m 1 − m 2
m 1 + m 2 V 1 < 0 V 2 ′ = 2 m 1
m 1 + m 2 V 1 > 0 Pr ˛edko´s´c “pocisku” zmienia znak
⇒ “pocisk” odbija si ˛e od “tarczy”
Przypadek graniczny: m 1 ≪ m 2
⇒ V 1 ′ = −V 1
V 2 ′ = 0
Spr ˛e˙zyste odbicie od
nieruchomej “´sciany”
Zderzenia
m 1 ≪ m 2
“Tarcza” oddala si ˛e od “pocisku”
(“´sciana”)
“pocisk” traci energi ˛e
“Tarcza” przybli˙za si ˛e do “pocisku”
(“´sciana”)
“pocisk” zyskuje energi ˛e
Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) si ˛e gazu przy rozpr ˛e˙zaniu (spr ˛e˙zaniu)
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Do tej pory rozpatrywali´smy tzw. zderzenia centralne,
dla których parametr zderzenia b = 0 “pocisk” trafia w sam ´srodek “tarczy”
W przypadku gdy b 6= 0 zderzenie trzeba rozpatrywa´c w dwóch wymiarach:
V
V
V’
V =0
21
2
1
Θ
Θ
1
2
b
x y
Zasada zachowania p ˛edu:
po zderzeniu przed
p
x: m
2V
2′cos θ
2+ m
1V
1′cos θ
1= m
1V
1p
y: m
2V
2′sin θ
2− m
1V
1′sin θ
1= 0
Dla zderze ´n sp ˛e˙zystych:
E
k: m
1V
1′22 + m
2V
2′22 = m
1V
122
Znajomo´s´c m 1 , m 2 i V 1 (V 2 = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia ( V 1 ′ , V 2 ′ , θ 1 i θ 2 ) !
⇒ musimy ustali´c b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. k ˛ at θ 1 ).
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Je´sli masy zderzaj ˛ acych si ˛e spr ˛e˙zyscie ciał s ˛ a równe m 1 = m 2 ⇒ zagadnienie bardzo si ˛e upraszcza
V
1V’
1V
2Θ
2Θ
1Θ
2Θ
1Z zasad zachowania:
V ~ ′1 + ~ V ′2 = ~ V 1 V 1 ′2 + V 2 ′2 = V 1 2
⇒ wektory V ~ 1 , V ~ ′1 i V ~ ′2 tworz ˛ a trójk ˛ at prostok ˛ atny.
θ 1 + θ 2 = π
2
Zderzenia
m 1 = m 2
Fotografia zderzaj ˛ acych si ˛e kul:
V ~ ′1
V ~ 1
V ~ ′2
Zderzenie proton-proton w komorze p ˛echerzykowej:
niska energia padaj ˛ acej wi ˛ azki
⇒ dynamika nierelatywistyczna
Zderzenia
m 1 = m 2
V’
2V’
1b=0 b=R
b=2R b=0
b=R
b=2R
Stan ko ´ncowy zale˙zy od parametru zderzenia b
• b = 0 ⇒ zderzenie centralne V ~ ′2 = ~ V 1
V ~ ′1 = 0
• b >= 2R ⇒ brak zderzenia (kule mijaj ˛ a si ˛e)
V ~ ′2 = 0
V ~ ′1 = ~ V 1
Układ ´srodka masy
Układ izolowany
Izolowany układ wielu ciał:
m m
m m
CM
V CM
p
2p
4p
1 3p
31
4
2
układ inercjalny Zasada zachowania p ˛edu:
P ~ = X
i
~
p i =
onstSrodek masy ´
Klasyczna definicja poło˙zenia ´srodka masy:
R ~ =
P i m i ~ r i
P i m i
⇒ ´srednia wa˙zona z ~ r i (z wagami w i = m i ) Ruch ´srodka masy: m i =const
V ~ CM = d dt
R ~ =
P i m i dt d ~ r i
P i m i
⇒
X
i
m i
V ~ CM = X
i
m i ~ v i
⇒ P ~ = M ~ V CM = X
i
~ p i
p ˛ed układu mo˙zemy zwi ˛ aza´c z ruchem ´srodka masy
Układ ´srodka masy
Pr ˛edko´s´c ´srodka masy: (klasycznie) V ~ CM =
P i ~ p i
P i m i = P ~ M Zawsze mo˙zemy tak zmieni´c układ
odniesienia, ˙zeby ´srodek masy spoczywał
CM
p
1p
3p
2p
4 12
4
3
⇒ układ ´srodka masy (CMS)
Układ ´srodka masy
Układ ´srodka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia
⇒ szereg relacji bardzo si ˛e upraszcza
Zasada zachowania p ˛edu w CMS:
(zmienne w CMS oznaczamy ⋆ ) P ~ ⋆ = X
i
~
p i ⋆ = 0
ogólna definicja układu ´srodka masy
słuszna tak˙ze w przypadku v ∼ c
Układ ´srodka masy
Zderzenia nie centralne
Układ laboratoryjny:
V
V
V’
V =0
21
2
1
Θ
Θ
1
2
b
x y
Skomplikowane wyra˙zenia na pr ˛edko´sci ko ´ncowe w funkcji np. k ˛ ata rozproszenia θ 1 . Łatwiej je´sli m 1 = m 2
Układ ´srodka masy:
b
V
2V
V’
1
1
Θ
1x y
V’
2Θ
2Zasada zachowania p ˛edu: P ~ ⋆ = 0 θ 1 = θ 2
V 1
V 2 = V 1 ′
V 2 ′ = m 2
m 1
Układ ´srodka masy
Zderzenia spr ˛e˙zyste
Układ ´srodka masy:
b
V
2V
V’
1
1
Θ
1x y
V’
2Θ
2Zasada zachowania energii: V 2 = m m
12
V 1 m 1 V 1 2
2 + m 2 V 2 2
2 = m 1 V 1 ′2
2 + m 2 V 2 ′2 2 m 1 + m 2 1
m 2
!
V 1 2 = m 1 + m 2 1 m 2
!
V 1 ′2
⇒ V 1 ′ = V 1 V 2 ′ = V 2
Niezale˙znie od mas zderzaj ˛ acych si ˛e ciał, warto´sci ich pr ˛edko´sci przed i po zderzeniu spr ˛e˙zystym s ˛ a takie same.
W układzie ´srodka masy !
Układ ´srodka masy
m 1 = m 2
Układ laboratoryjny:
V’
2V’
1V
1V = 0
2b=2R b=0 b=0
b=R
b=2R b=R
V
CMUkład ´srodka masy:
V’
2V’
1b=R
1 2