• Nie Znaleziono Wyników

• Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "• Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna"

Copied!
42
0
0

Pełen tekst

(1)

Zasada zachowania energii

Fizyka I (Mechanika)

Wykład VII:

• Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna

• Energia kinetyczna i zasada zachowania energii

• Zderzenia elastyczne

• Układ ´srodka masy

(2)

Praca i energia

Praca

F F

A s B

P

F

F F

s Θ

n

t

A P

B

Najprostszy przypadek:

Stała siła F ~ działa na ciało P powoduj ˛ ac jego przesuni ˛ecie wzdłu˙z kierunku działania siły o ~ s.

Praca jak ˛ a wykona przy tym siła F ~ W AB = F · s

W przypadku siły działaj ˛ acej pod k ˛ atem w sto- sunku do przesuni ˛ecia praca jak ˛ a wykonuje

W AB = F · s · cos θ = ~ F · ~s

Składowa prostopadła nie wykonuj ˛ a pracy!

Liczy si ˛e tylko równoległa składowa siły...

(3)

Praca i energia

F

F F

dr P Θ

n

t

1 2 3 4

5

1 2

3 4

5

dr dr dr dr dr

F F

F F

F

Praca

Dowolna siła F ~ działa na punkt materialny P Praca jak ˛ a wykonuje siła przy przesuni ˛eciu o d~ r

dW = ~ F · d~r = F cos θds = F t ds

Aby policzy´c prac ˛e siły F ~ dla dowolnej drogi, musimy posumowa´c wkłady od kolejnych małych przesuni ˛e´c

⇒ całkowanie.

Praca siły F ~ (~ r) na drodze mi ˛edzy A i B

W AB =

Z B

A

F ~ (~ r ) · d~r

Siły prostopadłe do przesuni ˛ecia nie wykonuj ˛ a pracy!

siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji wi ˛ezów...

(4)

Praca i energia

Praca

W s

F

x F(x)

s Przykład:

Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile spr ˛e˙zysto´sci:

F (x) = kx

Wykonana praca:

W =

Z s

0

F (x) · dx

=

Z s

0

kx · dx =

 1

2 kx 2

 s

0 = 1

2 ks 2

(5)

Praca i energia

1

l

2

l

A

B

l

1

l

2

A

B

ds dW = F ds F

s

Praca

W ogólnym przypadku praca W AB jak ˛ a wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B mo˙ze zale˙ze´c od:

• przebytej drogi l

np. praca sił tarcia b ˛edzie proporcjonalna do l

• toru ruchu

np. je´sli siły oporu zale˙z ˛ a od wyboru toru

• pr ˛edko´sci

siły oporu w o´srodku zale˙z ˛ a od pr ˛edko´sci

• czasu

je´sli działaj ˛ ace siły zale˙z ˛ a od czasu

(6)

Praca i energia

Energia kinetyczna

F F

A s B

P

Przyjmijmy, ˙ze siła F ~ jest sił ˛ a wypadkow ˛ a dzia- łaj ˛ ac ˛ a na ciało P. Zmiana pr ˛edko´sci w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

v B − v A = F

m · ∆t

= F

m · s

hvi = F

m · 2s v A + v B Gdzie skorzystali´smy z wyra˙zenia na pr ˛edko´s´c ´sredni ˛ a: hvi = v

A

+v 2

B

Otrzymujemy:

v B 2 − v A 2 = (v B − v A )(v B + v A ) = 2

m · F · s = 2

m · W AB

⇒ W AB = mv B 2

2 − mv A 2

2 = E k B − E k A = ∆E k

Prac ˛e mo˙zemy wyrazi´c poprzez zmian ˛e energii kinetycznej ciała E k = mv 2

2

(7)

Praca i energia

Energia kinetyczna

Praca jak ˛ a wykonuje siła F ~ przy przesuni ˛eciu P o ds

dW = F t ds = m a t ds = m dv dt ds dv

dt ds = dv ds

dt ⇒ = m ds

dt dv = m v dv Praca siły F ~ (~ r) na drodze mi ˛edzy A i B

W AB =

Z B

A

F t (s) · ds =

Z B

A

mv dv = mv B 2

2 − mv A 2

2 = E k B − E k A = ∆E k

Niezale˙znie od postaci siły F ~ i drogi na ciało nie działaj ˛ a inne siły, układ inercjalny

praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E k = mv 2

2

(8)

Praca i energia

Moc

Moc ´srednia opisuje ´sredni ˛ a prac ˛e wykonywan ˛ a na jednostk ˛e czasu:

P

(±r)

= ∆W

∆t Moc chwilowa

P = lim

∆t→0

∆W

∆t = dW dt Wstawiaj ˛ ac dW = ~ F · d~s :

P = ~ F · ~v

Moc siły jest proporcjonalna do pr ˛edko´sci ciała!

Jednostk ˛ a pracy jest D˙zul:

1J = 1N · 1m = 1 kg m 2 s 2 Jednostk ˛ a mocy jest Wat:

1W = 1J

1s = 1 kg m 2 s 3 Kiedy´s u˙zywano jako jednostki mocy konia mechanicznego:

1 KM = 735.498 W

(9)

Praca i energia

Energia potencjalna

Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym ~ g.

Siła ci ˛e˙zko´sci działaj ˛ aca na mas ˛e m: F ~ = m ~ g = m (0, −g, 0)

W AB = ~ F · ∆~r = ~ F (~ r B − ~r A ) = −m ~g (~r A − ~r B ) = m g (y A − y B ) Mo˙zemy wprowadzi´c energi ˛e potencjaln ˛ a dla jednorodnego pola grawitacyjnego

E p (~ r ) = −m ~g ~r = m g y

Prac ˛e mo˙zemy wtedy wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej W AB = E p (~ r A ) − E p (~ r B ) = −∆E p

Mówimy, ˙ze siła ci ˛e˙zko´sci jest sił ˛ a zachowawcz ˛ a.

(10)

Praca i energia

Energia potencjalna

Siła F ~ (~ r) jest zachowawcza (konserwatywna), je´sli praca przez ni ˛ a wykonana zale˙zy tylko od poło˙zenia punktów pocz ˛ atkowego (A) i ko ´ncowego (B)

⇒ mo˙zna j ˛ a wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej

W AB =

Z B

A

F ~ (~ r ) · d~r = E p (~ r A ) − E p (~ r B ) = −∆E p

Siła zachowawcza nie mo˙ze zale˙ze´c od czasu ani od pr ˛edko´sci.

Je´sli droga jest zamkni ˛eta to praca jest równa zeru

Z A

A

F ~ (~ r ) · d~r =

I F ~ (~ r)d~ r = 0

yrkula ja (kr¡»enie)

F ~

Siłami zachowawczymi s ˛ a te˙z wszystkie siły centralne, zale˙zne tylko od odległo´sci

F ~ = F (r) ·~i r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły spr ˛e˙zysto´sci...

(11)

Praca i energia

Siła a energia potencjalna

Praca wykonana przy infintezymalnym przesuni ˛eciu d~ r = (dx, dy, dz) dW = ~ F (~ r ) · d~r = − dE p

zmiana energii poten jalnej

⇒ = − ∂E p

∂x dx − ∂E p

∂y dy − ∂E p

∂z dz Otrzymujemy:

F ~ = − ∂E ∂x p , − ∂E ∂y p , − ∂E ∂z p

!

Znajomo´s´c potencjału siły zachowawczej jest rownowa˙zna znajomo´sci samej siły.

Energia potencjalna jest okre´slona z dokładno´sci ˛ a do stałej, istotne s ˛ a tylko jej zmiany.

(12)

Praca i energia

Siła a energia potencjalna

spr

p

F

E (x)

x

x Przykład:

Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy.

W =

Z s

0

F (x) · dx = 1 2 ks 2

Kosztem tej pracy ro´snie energia potencjalna:

E p (x) = 1

2 kx 2 Siła spr ˛e˙zysto´sci:

F x

spr

(x) = − dE p (x)

dx = −kx

W momencie puszczenia spr ˛e˙zyny energia potencjalna zamienia si ˛e na kinetyczn ˛ a...

(13)

Praca i energia

Gradient

Gradient wskazuje kierunek w którym nast ˛epuje najwi ˛eksza zmiana warto´sci funkcji skalarnej f (x, y, z).

Warto´s´c gradientu odpowiada warto´sci pochodnej funkcji f (x, y, z) wzdłu˙z tego kierunku.

grad f = ~ ∇f = ~i x ∂f

∂x + ~i y ∂f

∂y + ~i z ∂f

∂z = ∂f

∂x , ∂f

∂y , ∂f

∂z

!

nabla

⇒ ∇ = ~i ~ x

∂x + ~i y

∂y + ~i z

∂z

∇f = ~i ~ n ∂f

∂n ~ n

- wektor normalny do

f

= onst

Sił ˛e zachowawcz ˛ a wyra˙zamy jako gradient energii potencjalej: F ~ = −~ ∇E p (~ r)

(14)

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii

Praca siły zachowawczej F ~ (~ r) pomi ˛edzy A i B wyra˙za si ˛e przez energi ˛e potencjaln ˛ a

W AB =

Z B

A

F ~ (~ r ) · d~r = E p A − E p B

Z drugiej strony, praca siły działaj ˛ acej na ciało zmienia energi ˛e kinetyczn ˛ a:

W AB = E k B − E k A

⇒ E k B − E k A = E p A − E p B

⇒ E k B + E p B = E k A + E p A

⇒ E = E p + E k =

onst

W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.

(15)

Zasada zachowania energii

Wahadło Galileusza

Wysoko´s´c na jak ˛ a wznosi si ˛e wahadło nie zmienia si ˛e przy zmianie długo´sci nici:

h

E p + E k = E =

onst

E k = 0 ⇒ m g h = E siły reakcji wi ˛ezów nie wykonuj ˛ a pracy

Koło Maxwella

Przemiana energii potencjalnej w

energi ˛e kinetyczn ˛ a ruchu obrotowego.

(16)

Zasada zachowania energii

Spadek swobodny

V h

g

W jednorodnym polu ~ g ciało spada swobodnie z wysoko´sci h ( ~ v(0) = 0).

Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa z za- sady zachowania energii:

∆E k = −∆E p m v 2

2 = m g h v = q 2 g h

V h

g

Tak ˛ a sam ˛ a pr ˛edko´s´c uzyska wahadło

puszczone z wysoko´sci h

(17)

Zasada zachowania energii

Siły spr ˛e˙zysto´sci

E

p

E

k

V V=0

V=0

t m

Ruchu pod wpływem sił spr ˛e˙zysto´sci:

E = E p (x) + E k (x) =

onst

1

2 kx 2 + 1

2 mv 2 =

onst

Ruch harmoniczny ω = q m k :

x = A · sin(ωt + φ)

⇒ E p (x) = 1

2 kA 2 sin 2 (ωt + φ) v = ω A · cos(ωt + φ)

⇒ E k (x) = 1

2 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ) E = E p + E k = 1

2 kA 2

(18)

Zasada zachowania energii

Równania ruchu

Znajomo´s´c energii potencjalnej jest rownowa˙zna znajomo´sci siły (zachowawczej):

F ~ = −~ ∇E p

Czy znaj ˛ ac E p (~ r) mo˙zemy rozwi ˛ aza´c równania ruchu ciała ?

• Mo˙zemy wyznaczy´c zale˙zno´s´c F ~ (~ r) i skorzysta´c z II zasady dynamiki...

albo

• Mo˙zemy wykorzysta´c zasad ˛e zachowania energii:

E = E k (˙~ r) + E p (~ r) = const

W zale˙zno´sci od zagadnienia jeden albo drugi sposób mo˙ze by´c bardziej u˙zyteczny...

(19)

Zasada zachowania energii

Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F ~ (x), energia potencjalna E p = E p (x)

E = m 2

 dx dt

 2

+ E p (x) = const

⇒ dx

dt =

s 2

m (E − E p (x)) Rozdzielaj ˛ ac zmienne i całkuj ˛ ac otrzymujemy:

dt = dx

q 2

m (E − E p (x)) t =

Z x

x

dx

q 2

m E − E p (x ) 

⇒ Znaj ˛ ac E p (x) mo˙zemy zawsze znale´z´c zwi ˛ azek mi ˛edzy x i t.

(20)

Zasada zachowania energii

Przykład: F ~ = F ~i x = const ⇒ E p (x) = −F x F x = − dE dx

p

Przyjmuj ˛ ac, ˙ze x = 0 w chwili t = 0 mamy:

t =

r m 2

Z x

0

dx

p E + F x

s 2

m t = 2 F

q

E + F x

 x

0 = 2 F

p E + F x − 2 F

√ E

⇒ F

√ 2m t + √

E = p E + F x ⇒ x = 1 2

 F m



· t 2 +

s 2E m · t 1

2 a · t 2 + v · t

v - predko´s´c w chwili t = 0 ⇒ energia całkowita E = mv 2

2

> 0

(21)

Zderzenia

Poprzednio rozpatrywali´smy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania p ˛edu (i momentu p ˛edu)

zasada zachowania p ˛edu jest zawsze bezwzgl ˛ednie spełniona

Czy zachowana jest energia kinetyczna ?

TAK

- je´sli działaj ˛ ace siły maj ˛ a charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły sp ˛e˙zysto´sci

∆E p = 0 ⇒ ∆E k = 0

NIE

- je´sli mamy wkład sił niezachowawczych

w wyniku zderzenia nast ˛epuj ˛ a trwałe zmiany

(np. odkształcenia) w zderzaj ˛ acych si ˛e ciałach

(22)

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Przypadek jednowymiarowy:

V

1

V =0

2

M

2

M

1

V’ V’

1

M

2

M

1

2

Z zasad zachowania:

po przed

p : m 1 V 1 + m 2 V 2 = m 1 V 1 E : m 1 V 1 ′2

2 + m 2 V 2 ′2

2 = m 1 V 1 2 2 Przekształcamy:

p : m 2 V 2 = m 1 (V 1 − V 1 ) E : m 2 V 2 ′2 = m 1 (V 1 2 − V 1 ′2 )

= m 1 (V 1 − V 1 )(V 1 + V 1 )

⇒ V 2 = V 1 + V 1 ⇒ V 2 − V 1 = V 1

warto´s´c bezwzgl ˛edna pr ˛edko´sci wzgl ˛ednej przed i po zderzeniu jest taka sama

(23)

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Przekształcaj ˛ ac dalej otrzymujemy:

m 2 (V 1 + V 1 ) = m 1 (V 1 − V 1 )

⇒ V 1 (m 1 + m 2 ) = V 1 (m 1 − m 2 )

Ostatecznie:

V 1 = m 1 − m 2

m 1 + m 2 V 1 V 2 = 2 m 1

m 1 + m 2 V 1

Przypadek szczególny: m 1 = m 2

⇒ V 1 = V 2 = 0 V 2 = V 1

Zderzaj ˛ ace si ˛e ciała “wymieniaj ˛ a si ˛e” pr ˛ed-

ko´sciami; rozwi ˛ azanie słuszne tak˙ze w przy-

padku V ~ 2 6= 0

(24)

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

m 1 > m 2

Masa “pocisku” wi ˛eksza od masy “tarczy”:

Otrzymujemy: V 2 > V 1 > 0

Przypadek graniczny: m 1 ≫ m 2

⇒ V 1 = m 1 − m 2

m 1 + m 2 V 1 = V 1 V 2 = 2 m 1

m 1 + m 2 V 1 = 2 · V 1

“Pocisk” nie zauwa˙za zderzenia

“Tarcza” uzyskuje pr ˛edko´s´c 2 · V 1

Po zderzeniu oba ciała poruszaj ˛ a si ˛e w t ˛ a sam ˛ a stron ˛e.

(25)

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

m 1 < m 2

Masa “pocisku” mniejsza od masy “tarczy”:

Otrzymujemy:

V 1 = m 1 − m 2

m 1 + m 2 V 1 < 0 V 2 = 2 m 1

m 1 + m 2 V 1 > 0 Pr ˛edko´s´c “pocisku” zmienia znak

⇒ “pocisk” odbija si ˛e od “tarczy”

Przypadek graniczny: m 1 ≪ m 2

⇒ V 1 = −V 1

V 2 = 0

Spr ˛e˙zyste odbicie od

nieruchomej “´sciany”

(26)

Zderzenia

m 1 ≪ m 2

“Tarcza” oddala si ˛e od “pocisku”

(“´sciana”)

“pocisk” traci energi ˛e

“Tarcza” przybli˙za si ˛e do “pocisku”

(“´sciana”)

“pocisk” zyskuje energi ˛e

Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) si ˛e gazu przy rozpr ˛e˙zaniu (spr ˛e˙zaniu)

(27)

Zderzenia

Zderzenia nie centralne

Do tej pory rozpatrywali´smy tzw. zderzenia centralne,

dla których parametr zderzenia b = 0 “pocisk” trafia w sam ´srodek “tarczy”

W przypadku gdy b 6= 0 zderzenie trzeba rozpatrywa´c w dwóch wymiarach:

V

V

V’

V =0

2

1

2

1

Θ

Θ

1

2

b

x y

Zasada zachowania p ˛edu:

po zderzeniu przed

p

x

: m

2

V

2

cos θ

2

+ m

1

V

1

cos θ

1

= m

1

V

1

p

y

: m

2

V

2

sin θ

2

− m

1

V

1

sin θ

1

= 0

Dla zderze ´n sp ˛e˙zystych:

E

k

: m

1

V

1′2

2 + m

2

V

2′2

2 = m

1

V

12

2

Znajomo´s´c m 1 , m 2 i V 1 (V 2 = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia ( V 1 , V 2 , θ 1 i θ 2 ) !

⇒ musimy ustali´c b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. k ˛ at θ 1 ).

(28)

Zderzenia

Zderzenia nie centralne

Je´sli masy zderzaj ˛ acych si ˛e spr ˛e˙zyscie ciał s ˛ a równe m 1 = m 2 ⇒ zagadnienie bardzo si ˛e upraszcza

V

1

V’

1

V

2

Θ

2

Θ

1

Θ

2

Θ

1

Z zasad zachowania:

V ~ ′1 + ~ V ′2 = ~ V 1 V 1 ′2 + V 2 ′2 = V 1 2

⇒ wektory V ~ 1 , V ~ ′1 i V ~ ′2 tworz ˛ a trójk ˛ at prostok ˛ atny.

θ 1 + θ 2 = π

2

(29)

Zderzenia

m 1 = m 2

Fotografia zderzaj ˛ acych si ˛e kul:

V ~ ′1

V ~ 1

V ~ ′2

Zderzenie proton-proton w komorze p ˛echerzykowej:

niska energia padaj ˛ acej wi ˛ azki

⇒ dynamika nierelatywistyczna

(30)

Zderzenia

m 1 = m 2

V’

2

V’

1

b=0 b=R

b=2R b=0

b=R

b=2R

Stan ko ´ncowy zale˙zy od parametru zderzenia b

• b = 0 ⇒ zderzenie centralne V ~ ′2 = ~ V 1

V ~ ′1 = 0

• b >= 2R ⇒ brak zderzenia (kule mijaj ˛ a si ˛e)

V ~ ′2 = 0

V ~ ′1 = ~ V 1

(31)

Układ ´srodka masy

Układ izolowany

Izolowany układ wielu ciał:

m m

m m

CM

V CM

p

2

p

4

p

1 3

p

3

1

4

2

układ inercjalny Zasada zachowania p ˛edu:

P ~ = X

i

~

p i =

onst

Srodek masy ´

Klasyczna definicja poło˙zenia ´srodka masy:

R ~ =

P i m i ~ r i

P i m i

⇒ ´srednia wa˙zona z ~ r i (z wagami w i = m i ) Ruch ´srodka masy: m i =const

V ~ CM = d dt

R ~ =

P i m i dt d ~ r i

P i m i

 X

i

m i

 V ~ CM = X

i

m i ~ v i

⇒ P ~ = M ~ V CM = X

i

~ p i

p ˛ed układu mo˙zemy zwi ˛ aza´c z ruchem ´srodka masy

(32)

Układ ´srodka masy

Pr ˛edko´s´c ´srodka masy: (klasycznie) V ~ CM =

P i ~ p i

P i m i = P ~ M Zawsze mo˙zemy tak zmieni´c układ

odniesienia, ˙zeby ´srodek masy spoczywał

CM

p

1

p

3

p

2

p

4 1

2

4

3

⇒ układ ´srodka masy (CMS)

Układ ´srodka masy

Układ ´srodka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia

⇒ szereg relacji bardzo si ˛e upraszcza

Zasada zachowania p ˛edu w CMS:

(zmienne w CMS oznaczamy ) P ~ = X

i

~

p i = 0

ogólna definicja układu ´srodka masy

słuszna tak˙ze w przypadku v ∼ c

(33)

Układ ´srodka masy

Zderzenia nie centralne

Układ laboratoryjny:

V

V

V’

V =0

2

1

2

1

Θ

Θ

1

2

b

x y

Skomplikowane wyra˙zenia na pr ˛edko´sci ko ´ncowe w funkcji np. k ˛ ata rozproszenia θ 1 . Łatwiej je´sli m 1 = m 2

Układ ´srodka masy:

b

V

2

V

V’

1

1

Θ

1

x y

V’

2

Θ

2

Zasada zachowania p ˛edu: P ~ = 0 θ 1 = θ 2

V 1

V 2 = V 1

V 2 = m 2

m 1

(34)

Układ ´srodka masy

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Układ ´srodka masy:

b

V

2

V

V’

1

1

Θ

1

x y

V’

2

Θ

2

Zasada zachowania energii: V 2 = m m

1

2

V 1 m 1 V 1 2

2 + m 2 V 2 2

2 = m 1 V 1 ′2

2 + m 2 V 2 ′2 2 m 1 + m 2 1

m 2

!

V 1 2 = m 1 + m 2 1 m 2

!

V 1 ′2

⇒ V 1 = V 1 V 2 = V 2

Niezale˙znie od mas zderzaj ˛ acych si ˛e ciał, warto´sci ich pr ˛edko´sci przed i po zderzeniu spr ˛e˙zystym s ˛ a takie same.

W układzie ´srodka masy !

(35)

Układ ´srodka masy

m 1 = m 2

Układ laboratoryjny:

V’

2

V’

1

V

1

V = 0

2

b=2R b=0 b=0

b=R

b=2R b=R

V

CM

Układ ´srodka masy:

V’

2

V’

1

b=R

1 2

V V

b=2R b=0 b=0

b=R

b=2R

V =0

CM

(36)

Układ ´srodka masy

m 1 < m 2

Układ ´srodka masy:

V’

1

V’

2

V

2

b=0

b=R

b=2R b=2R b=0

V

1

b=R

V =0

CM

Dla m 1 = 1 2 m 2 ⇒ v 1 = 2 v 2

Układ laboratoryjny

V’

1

V’

2

V =0

2

V

1

b=0

b=R

b=2R b=2R b=0

b=R

V

CM

V CM = 1 3 V 1

(37)

Układ ´srodka masy

m 1 > m 2

Układ ´srodka masy:

V’

2

V’

1

V

2

V

1

b=2R

b=R

b=0 b=2R b=0

b=R

V =0

CM

Dla m 1 = 2 m 2 ⇒ v 1 = 1 2 v 2

Układ laboratoryjny:

V’

2

V’

1

V

1

b=2R

b=R

b=0 b=2R

b=R b=0

V =0

2

V

CM

V CM = 2 3 V 1

(38)

Układ ´srodka masy

m 1 > m 2

Układ laboratoryjny:

V

1

V’

1

V’

2

V =0

2

V’*

1

V’*

2

V

CM

Θ

max1

Zwi ˛ azek mi ˛edzy pr ˛edko´sciami:

V CM = v 2 = m 1

m 1 + m 2 V 1 v 1 = m 2

m 1 v 2 = m 2

m 1 + m 2 V 1

Maksymalny k ˛ at rozproszenia “pocisku”:

sin θ 1 max = v 1

V CM = m 2 m 1 Dla “tarczy” ograniczenie nie zale˙zy od stosunku mas:

0 < θ 2 < π

2

(39)

Układ ´srodka masy

Energia układu

Transformacja pr ˛edko´sci:

~ v i = ~ v i + ~ V CM

M V

v

3

v

4

v

2

v

1

v v

v

v

1

3

4 2

*

*

* *

CM

Energia kinetyczna układu:

E k = X

i

m i v i 2

2 = X

i

m i |~ v i + ~ V CM | 2 2

= X

i

m i (v i ) 2

2 + 2 m i v ~ i V ~ CM

2 + m i V CM 2 2

!

Z zasady zachowania p ˛edu:

X i

m i v ~ i V ~ CM = ~ V CM X

i

m i v ~ i = ~ V CM P ~ = 0 Ostatecznie:

E k = E k + M V CM 2 2 Energia kinetyczna układu jest sum ˛ a energii “wewn ˛etrznej” (E k )

i energii kinetycznej układu jako cało´sci.

(40)

Układ ´srodka masy

Moment p ˛edu układu

Transformacja galileusza:

~ r i = ~ r i + ~ R CM

~ v i = ~ v i + ~ V CM

M V

v

3

v

4

v

2

v

1

v v

v

v

1

3

4 2

*

*

* *

CM

Całkowity moment p ˛edu wzgl ˛edem pocz ˛ atku układu L ~ = X

i

m i ~ r i × ~v i

= X

i

m i  R ~ CM + ~ r i  ×  V ~ CM + ~ v i 

=

 X

i

m i

 R ~ CM × ~ V CM + ~ R CM × X

i

m i v ~ i +

 X

i

m i r ~ i

 × ~ V CM + X

i

m i r ~ i × ~ v i Z definicji CMS: P m i v ~ i = P m i r ~ i = 0

⇒ otrzymujemy:

L ~ = M ~ R CM × ~ V CM + ~ L CM

Moment p ˛edu układu jest sum ˛ a “wewn ˛etrznego” momentu p ˛edu ( L ~ CM ) (wzgl ˛edem CM)

i momentu p ˛edu układu jako cało´sci.

(41)

Układ ´srodka masy

Ruch ´srodka masy

Dla układu izolowanego

P ~ =

onst

´srodek masy pozostaje w spoczynku lub porusza si ˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym I Zasada Dynamiki

Pod działaniem sił zewn ˛etrznych:

F ~ zw = X

i

F ~ i zw zmiana p ˛edu układu:

d ~ P

dt = X

i

d~ p i dt

= X

i

F ~ i zw + X

i

X j

F ~ ij = ~ F zw II Zasada Dynamiki W oparciu o poj ˛ecie ´srodka masy mo˙zemy opisa´c ruch układu jako cało´sci

stosuj ˛ ac równania ruchu punktu materialnego.

(42)

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Cytaty

Powiązane dokumenty

c) znajdują się w sytuacji ekonomicznej i finansowej zapewniającej wykonanie zamówienia, 3) W postępowaniu nie mogą brać udział oferenci którzy są powiązani z Zamawiającym

- przeprowadzenie szkoleń i warsztatów edukacyjnych dla partnerstw lokalnych, wybranych w konkursie na pilotażowe wdrażanie „Modelu Gminny Standard Wychodzenia z

Nazwa projektu: Spawanie, kopanie, kosztorysów pisanie – szansą rozwoju dla małopolskich MSP i ich pracowników Nr Projektu: WND-POKL.08.01.01-12-099/12.. 1 REGULAMIN UCZESTNICTWA

UP mogą ubiegać się o zwrot kosztów dojazdu, który przysługuje za udział w zajęciach z poradnictwa psychologicznego i szkoleniu zawodowym realizowanych w

(imię/imiona i nazwisko dziecka) oraz wyrażam zgodę na uczestnictwo mojego dziecka w zajęciach organizowanych w ramach projektu „Innowacyjna i kreatywna edukacja –

3.7 Łączna liczba godzin zajęć integracji sensorycznej do zrealizowania w ramach projektu ( na dwie placówki) wynosi 360 godzin. Jedna godzina definiowana jest jako godzina

Dotyczy zapytania ofertowego: Wynajem sal szkoleniowych i/lub zapewnienie usług cateringowych dla uczestników projektu „Akademia Profesjonalnego Wizerunku Firmy

a) Załączonych do oferty kserokopii certyfikatów, uprawnień, referencji. Za każdy dostarczony dokument przyznawany jest 1 punkt. Maksymalnie można uzyskać 4