Elementy grafiki komputerowej. Elementy krzywych Béziera
Aleksander Denisiuk
Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54
denisjuk@matman.uwm.edu.pl
Elementy krzywych Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
2 / 36
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm
Splajny
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
● Krzywe Béziera
✦ Bézier — Renault, 1968, 1974;
✦ de Casteljau — Citroën 1959, 1963
● B-splajny (Shoenberg 1946)
Krzywe Béziera trzeciego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
4 / 36
q(u)
p
0
p
1
p
2
p
3
Figure VII.1: A degree three Bezier urve q(u). The urve is parametri ally
de ned with 0 u 1, and it interpolates the rst and last ontrol points with
q(0) = p
0
and q(1) = p
3
. The urve is \pulled towards" the middle ontrol
points p
1
and p
2
. At p
0
, the urve is tangent to the line segment joining p
0
and p
1
. At p
3
, it is tangent to the line segment joining p
2
and p
3 .
Krzywe Béziera trzeciego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0 p
1
p
2 p
3
p
0
p
1
p
2
p
3
Figure VII.2: Two degree three Bezier urves, ea h de ned by four ontrol
points. The urves interpolate only their rst and last ontrol points, p
0
and
p
3
. Note that, just as in gure VII.1, the urves start o , and end up, tangent
to line segments joining ontrol points.
Krzywe Béziera trzeciego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
6 / 36
● q(u) = B 0 (u)p 0 + B 1 (u)p 1 + B 2 (u)p 2 + B 3 (u)p 3 , gdzie
✦ B i (u) = 3 i u i (1 − u) 3−i — wielomiany Bernsteina,
✦ n
m = C n m = m!(n−m)! n ! — symbol Newtona
✦ B 0 (u) = (1 − u) 3 , B 1 (u) = 3u(1 − u) 2
✦ B 2 (u) = 3u 2 (1 − u), B 3 (u) = u 3
✦
P 3 i =0
B i (u) = P 3 i =0
3
i u i (a − u) 3−i = u + (1 − u) 3
= 1
Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
7 / 36
B
0
B
1
B
2 B
3 1
1 0
y
u
Figure VII.3: The four blending fun tions for degree three Bezier urves. We
Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
8 / 36
B 0 ′ (0) = −3, B 1 ′ (0) = 3, B 2 ′ (0) = 0, B 3 ′ (0) = 0 B 0 ′ (1) = 0, B 1 ′ (1) = 0, B 2 ′ (1) = −3, B 3 ′ (1) = 3
q ′ (0) = 3(p 1 − p 0 ),
q ′ (1) = 3(p 3 − p 2 )
Algorytm de Casteljau
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0
p
1
p
2
p
3 r
0
r
1
r
2
s
0
s
1
t
0
Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree
three Bezier urve. This illustrates the u = 1=3 ase.
r i = (1 − u) · p i + u · p i +1 , s i = (1 − u) · r i + u · p i+1 ,
t 0 = (1 − u) · s 0 + us 1
Algorytm de Casteljau (u = 1 2 )
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
10 / 36
p
0
p
1
p
2
p
3 r
0
r
1
r
2 s
0
s
1 t
0
q
1
(u) q
2 (u)
Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree
three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive
subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p
0
;r
0
;s
0
;t
0
are the
ontrol points for the Bezier urve q
1
(u) whi h is equal to the rst half of the
urve q(u), i.e., starting at p
0
and ending at t
0
. The points t
0
;s
1
;r
2
;p
3 are
the ontrol points for the urve q
2
(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,
starting at t
0
and ending at p
3 .
r i = p i + p i+1
2 , s i = r i + r i+1
2 , t 0 = s 0 + s 1 2 , q(1/2) = t 0 = 1
8 p 0 + 3
8 p 1 + 3
8 p 2 + 1
8 p 3
Podział krzywej
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p0
p
1
p
2
p
3 r
0
r
1
r
2 s
0
s
1 t
0
q
1
(u) q
2 (u)
Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree
three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive
subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p
0
;r
0
;s
0
;t
0
are the
ontrol points for the Bezier urve q
1
(u) whi h is equal to the rst half of the
urve q(u), i.e., starting at p
0
and ending at t
0
. The points t
0
;s
1
;r
2
;p
3 are
the ontrol points for the urve q
2
(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,
starting at t
0
and ending at p
3 .
Twierdzenie 1. Niech q(u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p 0 , p 1 , p 2 , p 3 . Wtedy q 1 (u) = q(u/2) b ˛edzie
Krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p 0 , r 0 , s 0 , t 0 ,
q 2 (u) = q((u + 1)/2) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach t 0 , s 1 ,
r 2 , p 3 .
Zag ˛eszczanie (recursive subdivision)
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
12 / 36
p
0
p
1
p
2
p
3 r
0
r
1
r
2
s
0
s
1
t
0
Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree
three Bezier urve. This illustrates the u =1=3 ase.
Twierdzenie 2. Niech q(u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p 0 , p 1 , p 2 , p 3 . Wtedy q 1 (u) = q(u 0 u) b ˛edzie
Krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p 0 , r 0 , s 0 , t 0 , q 2 (u) = q(u 0 + (1 − u 0 )u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera
o punktach t 0 , s 1 , r 2 , p 3 .
Renderowanie krzywych Béziera w postaci ci ˛ agu odcinków prostych
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
● kq( 1 2 ) − 1 2 (p 0 + p 3 )k < ε,
● kp 0 − p 1 − p 2 + p 3 k 2 < (8ε/3) 2 ,
● p 1 , p 2 ≈∈ p 0 p 3
Wła ´sciwo ´s ´c otoczki wypukłej
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
14 / 36
● Krzywa Béziera zawiera si ˛e w otoczce wypukłej swoich punktów kontrolnych
p
0
p
1
p
2
p
3 r
0
r
1
r
2 s
0
s
1 t
0
q
1
(u) q
2 (u)
Figure VII.6: The onvex hull of the ontrol points of the Bezier urves shrinks
rapidly during the pro ess of re ursive subdivision. The whole urve is inside
its onvex hull, i.e., inside the quadrilateral p
0 p
1 p
2 p
3
. After one round of
subdivision, the two sub urves are known to be onstrained in the two onvex
shaded regions.
Krzywe Béziera sklejane
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
q
1 (u)
q
2 (u)
p
1;0 p
1;1
p
1;2 p
1;3
= p
2;0 p
2;1
p
2;2
p
2;3
(a)
q
1 (u)
q
2 (u)
p
1;0 p
1;1
p
1;2
p
1;3
= p
2;0 p
2;1
p
2;2
p
2;3
(b)
Figure VII.7: Two urves, ea h formed from two Bezier urves, with ontrol
points as shown. The urve in part (a) is G 1
- ontinuous, but not C 1
-
ontinuous. The urve in part (b) is neither C 1
- ontinuous nor G 1
- ontinuous.
Compare these urves to the urves of gures VII.5 and VII.6 whi h are both
C 1
- ontinuous and G 1
- ontinuous.
q 1 ′ (1) = q 2 ′ (0) ⇒ p 1,3 − p 1,2 = p 2,1 − p 2,0
Zagadnienie interpolacji
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
16 / 36
● Dane s ˛ a punkty p 0 , . . . , p m i w ˛ezły u 0 , . . . , u m .
● Okre´sli´c parametryzowan ˛ a krzyw ˛ a q(u) tak, ˙zeby q(u i ) = p i dla i = 0, . . . , m.
● Krzywa odcinkowo-wielomianowa (trzeciego stopnia).
● Sklejanie krzywych Béziera.
Splajny Catmulla-Roma
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
● Dane s ˛ a punkty P 0 , . . . , P m i w ˛ezły u i = i dla i = 0, . . . , m.
● Okre´sli´c parametryzowan ˛ a krzyw ˛ a q(u) tak, ˙zeby q(i) = P i dla i = 1, . . . , m − 1.
● Krzywa Catmull-Rom składa si ˛e z m − 2 krzywych Béziera.
● Punkty kontrolne wybiera si ˛e tak, ˙zeby krzywa była
klasy C 1 .
Splajny Catmulla-Roma
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
18 / 36
p
i 1 p
i p
i
p +
i
p
i+1
p
i+1
p +
i+1
p
i+2 2l
i+1
2l
i
Figure VII.22: De ning the Catmull-Rom spline segment from the point p
i
to the point p
i+1
. The points p
i , p
i
, and p +
i
are ollinear and parallel to
p
i+1 p
i 1
. The points p
i , p
+
i , p
i+1
, and p
i+1
form the ontrol points of a
degreethree Bezier urve, whi h is shown as a dotted urve.
l i = 1
2 (p i+1 − p i−1 ), p ± i = p i ± 1
3 l i
Syngularno ´s ´c splajnu Catmulla-Roma
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0 p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
0
p
1
p
2 p
3 p
4 p
5
p
6
p
7
Figure VII.23: Two examples of Catmull-Rom splines with uniformly spa ed
knots.
Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
20 / 36
q(u) =
k
X
i=0
B i k (u)p i
B i k (u) = k i
u i (1 − u) k−i ,
k
X
i=0
B i k (u) =
k
X
i=0
k i
u i (1 − u) k−i = u + (1 − u) k
= 1, q ′ (0) = k(p 1 − p 0 ),
q ′ (1) = k(p k − p k− 1 ).
Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0
p
1
(a) Degree one
p
0
p
2 p
1
(b) Degree two
p
0
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
p
7
p
8
( ) Degree eight
Figure VII.9: (a) A degree one Bezier urve is just a straight line interpolating
Podwy˙zszenie stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
22 / 36
P ˆ 0 = P 0 P ˆ k+1 = P k
P ˆ i = i
k + 1 P i− 1 + k − i + 1
k + 1 P i
Powierzchnie Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0;0
p
3;0 p
0;3
p
3;3
Powierzchnie Béziera trzeciego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
24 / 36
q(u, v) =
3
X
i=0 3
X
j =0
B i (u)B j (v)p i,j =
=
3
X
i =0
B i (u)
3
X
j =0
B j (v)p i,j
=
=
3
X
j =0
B j (v)
3
X
i =0
B i (u)p i,j
!
,
(u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1]
Przekrój powierzchni Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
Figure VII.12: A degree three Bezier pat h and some ross se tions. The ross
se tions are Bezier urves.
● q(u, v) = P 3
i=0
B i (u) P 3
j =0
B j (v)p i,j
!
● r i = P 3 j =0
B j (v)p i,j , s j = P 3 i =0
B i (u)p i,j
Graniczne linie powierzchni Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
26 / 36
p 0;0
p
3;0 p
0;3
p
3;3
Figure VII.11: A degree three Bezier pat h and its ontrol points. The ontrol
points are shown joined by straight line segments.
● v = 0, u ∈ [0, 1]: granica „przednia”, p i, 0
● u = 0, v ∈ [0, 1]: granica „lewa”, p 0,j
Pochodne cz ˛ astkowe powierzchni Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
∂q
∂v (u, 0) =
3
X
i=0
3B i (u)(p i, 1 − p i, 0 )
∂q
∂v (u, 1) =
3
X
i=0
3B i (u)(p i, 3 − p i, 2 )
∂q
∂u (0, v) =
3
X
i=0
3B j (v)(p 1,j − p 0,j )
∂q
∂v (1, v) =
3
X
i =0
3B j (v)(p 3,j − p 3,j )
Sklejane powierzchnie Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
28 / 36
p
0;0 p
0;3
p
3;0
= r
0;0 p
3;3
= r
0;3
r
3;0 r
3;3
q
1
q
2
Figure VII.13: Two Bezier pat hes join to form a single smooth surfa e. The
two pat hes q
1
and q
2
ea h have sixteen ontrol points. The four rightmost
ontrol points of q
1
are the same as the four leftmost ontrol points of q
2
. The
1
Wymierne krzywe Béziera
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p i = (x : y : z : w),
q(u) = X
i
B i k (u)p i
● współrz˛edna w pozwala na powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego
● modelowanie krzywych sto˙zkowych
● rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzyw ˛ a wymiern ˛ a
● punkty kontrolne mog ˛ a by´c umieszczone
w niesko ´nczono´sci
Powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
30 / 36
q(u) = X
i
B i k (u)(w i p i : w i ) ∼ X
i
w i B i k (u) P
j w j B i k (u) p i
hp
0
; 1i h3p
1
; 3i
h 1
3 p
2
; 1
3 i hp
3
;1i
Figure VII.16: A degree three, rational Bezier urve. The ontrol points are
the same as in the left-hand side of gure VII.2 on page 156, but now the
ontrol point p
1
is weighted 3, and the ontrol point p
2
is weighted only 1=3.
The other two ontrol points have weight 1. In omparison with the urve of
gure VII.2, this urve more losely approa hes p 1
, but does not approa h p 2
nearly as losely.
Okr ˛ ag
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
0
= h0;1;1i
p
2
= h0; 1;1i
p
1
= h1;0; 0i q(u)
Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is
a tually a point at in nity, and the dotted lines joining it to the other ontrol
points are a tually straight and are tangent to the ir le at p
0
and p
2
q(u) = (1 − u) 2 p 0 + 2u(1 − u)p 1 + u 2 p 2 =
.= 2u(1 − u) : (1 − u) 2 − u 2 : (1 − u) 2 + u 2 ∼
∼
2u(1 − u)
(1 − u) 2 + u 2 , (1 − u) 2 − u 2 (1 − u) 2 + u 2
Krzywe sto˙zkowe
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
32 / 36
Twierdzenie 3. Niech T 0 i T 2 b ˛ed ˛ a stycznymi do krzywej
sto˙zkowej C w punktach p 0 i p 2 , p 1 b ˛ezie punktem przeci ˛ecia T 0 i T 2 . Wtedy istnieje waga w > 0 taka, ˙ze wymierna krzywa Béziera o punktach kontrolnych (p 0 : 1), (p 1 : w), (p 2 : 1)
generuje odcinek krzywej C pomi ˛edzy p 0 a p 2 .
p
0
p
1
p
2 T
0
T
2
Figure VII.18: A portion of a bran h of a oni se tion C is equal to a rational
quadrati Bezier urve. Control points p
0
and p
2
have weight 1 and p
1
gets
weight w 0.
Krzywe sto˙zkowe
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
p
2
= h0;1i;
w
2
= 1
p
1
= h1;1i;
w
1
= p
2
2
p
0
= h1;0i;
w
0
= 1
p
2
= h p
3
2
; 1
2 i;
w
2
= 1
p
0
= h p
3
2
; 1
2 i;
w
0
= 1 p
1
= h0;2i;
w
1
= 1
2
Figure VII.19: Two ways to de ne ir ular ar s with rational Bezier urves
without ontrol points at in nity.
Półokr ˛ ag jako krzywa trzeciego stopnia
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
34 / 36
p
0
= h0;1i;
w
0
= 1
p
3
= h0; 1i;
w
3
= 1
p
1
= h2;1i;
w
1
= 1
3
p
2
= h2; 1i;
w
2
= 1
3
Figure VII.20: A semi ir le as a degree three Bezier urve. See exer ise VII.17.
Okr ˛ ag o promieniu 2
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
(p 0 , p 1 , p 2 ) 7→ (p ∗ 0 = M p 0 , p ∗ 1 = M p 1 , p ∗ 2 = M p 2 )
p
0
= h0;1;1i
p
2
= h0; 1;1i
p
1
= h1;0; 0i q(u)
Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is
a tually a point at in nity, and the dotted lines joining it to the other ontrol
points are a tually straight and are tangent to the ir le at p
0
and p
2 .
Bryła obrotowa
❖ Splajny
❖ Krzywe Béziera
❖ Algorytm de Casteljau
❖ Krzywe Béziera sklejane
❖ Krzywe Béziera dowolnego stopnia
❖ Powierzchnie Béziera
❖ Wymierne krzywe Béziera
❖ Bryła obrotowa
36 / 36
h2; 1;0i
h3;0;0i h
3
2
; 1
2
;0i
h2;1;0i
(a) (b)
Figure VII.21: (a) A silhouette of a surfa e of revolution (the ontrol points
are in x;y;z- oordinates). (b) The front half of the surfa e of revolution. This
example is implemented in the SimpleNurbs progam.
