Drgania układów o wielu
stopniach swobody
Jak zmieniają się postacie drgań…
N=1
N=2 N=3
N
1 2 3 … N
Itd..
N ω1 ω2> ω1 ω3> ω2
• Liczba konfiguracji = N
• Pierwsza postać: brak węzłów (oprócz zamocowania)
• Ostatnia postać (o najwyższej częstości) N-1 węzłów (oprócz zamocowania) Im większy kąt nachylenia pomiędzy sąsiednimi
„sprężynkami” tym
większa siła kierująca,
tym większa częstość drgań…
Cechy układu o N stopniach swobody
• istnieje dokładnie N postaci drgań własnych
• każda z postaci drgań normalnych ma własną
częstość i „kształt” (określony przez stosunki amplitud) Gdy układ wykonuje drganie normalne
ψ ψ
ψ ψ
i(t) = A
icos(ω ω ω ωt+ϕ ϕ ϕ ϕ)
• wszystkie elementy mają tę sama częstość,
• wszystkie elementy mają to samo przesunięcie fazowe (mijają punkt równowagi w tym samym momencie!)
• każdy element masy doznaje takiej samej siły kierującej na jednostkę masy
ψ
ψ m
− k
=
&
&
Jeśli więc układ ma trzy stopnie swobody i dla danego modu drgań własnych stosunki amplitud wynoszą (1):(-1):(3), to jeśli
) cos(
)
(
1 1 11
ω ϕ
ψ t = A t + ψ
2( t ) = − ψ
1( t ) ψ
3( t ) = 3 ψ
1( t )
Czasami używa się zapisu
wektorowego opisującego dany mod drgań.
Rozwiązanie ogólne jest sumą takich wektorów
własnych…
− +
=
3 1 1 ) cos(
)
(
1 11
ω ϕ
ψ r t A t
Przykład układu o wielu stopniach swobody - drgania sieci krystalicznej
(fonony)…
Drgania podłużne układu mas i sprężynek
….
….
n=1 n=2 N-1 N
Rozpatrzmy N ciężarków połączonych N+1 sprężynek
x=0
m m m m
a 2a (N-1)a Na (N+1)a=L
K K K K
ψ1 ψ2 ψN-1 ψN
Stan równowagi
Ogólna
konfiguracja
Równanie ruchu dla n-tego ciężarka
) (
)
(
1 12 2
−
+
− − −
=
n n n nn
K K
dt
m d ψ ψ ψ ψ ψ
MODEL KRYSZTAŁU
Postacie drgań normalnych
) cos(
) cos(
) cos(
...
) cos(
) cos(
1 1
1 1
2 2
1 1
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+ +
−
−
t A
t A
t A
t A
t A
n n
n n
n n
)
2
cos(
2 2
2
ϕ ω
ω ψ
ψ ω
+
−
=
−
= A t
dt d
n n
n
) (
)
(
1 12 2
−
+
− − −
=
n n n nn
K K
dt
m d ψ ψ ψ ψ ψ
) 2
(
1 12
−
+
− +
=
− m ω A
nK A
nA
nA
nObliczmy:
Po podstawieniu do równania:
…i pozbyciu się czynnika cos(ωt), dostajemy
) 2
( )
(
1 1ω
2K A m
A
A
n++
n−=
n−
Stąd równanie wyznaczające konfigurację drgań własnych o częstości ω
Poszukajmy rozwiązań postaci:
2 ) sin( )
sin( na A kna
A
A
n= =
λ π
λ
- długość fali k – liczba falowa)]
sin(
) cos(
) cos(
) [sin(
) sin(
) ) 1 (
1
A sin( k n a A kna ka A kna ka kna ka
A
n+= + = + = +
)]
sin(
) cos(
) cos(
) [sin(
) sin(
) ) 1 (
1
A sin( k n a A kna ka A kna ka kna ka
A
n−= − = − = −
) cos(
2 ) cos(
) sin(
1
2
1
A A kna ka A ka
A
n++
n−= =
npo dodaniu stronami:
) sin(kna A
A
n=
Stąd
2 cos( ) ( 2 ω
2)
K A m
ka
A
n=
n− 2 cos( ) 2 ω
2K ka = − m
2 ) ( 4 sin
2 ) ( sin 2 )
( cos 2 1
)) cos(
1
2 (
2 2 22
ka
m K ka
ka m
ka K m
K =
−
−
=
− ω =
Czyli ostatecznie:
2 ) ( 4 sin
22
ka
m
= K ω
Zależność pomiędzy częstością ω a liczbą falową k (czy też długością fali λ) wyraża
związek dyspersyjny
dla układu mas połączonych sprężynkami.Warto przećwiczyć użycie liczb zespolonych, badając rozwiązania postaci:
ikna
n
Ce
A
*=
) sin(kna A
A
n=
Rozwiązanie ogólne
] )
( cos[
) sin(
)
( ω ϕ
ψ
nt = A kna k t +
Warunek znikania dla z=0 spełniony (zerowy ciężarek jest unieruchomiony)
0 ) sin(
) ) 1 (
1
= sin( + = =
+
A k N a A kL
A
N Warunek znikania wychyleniadla z=L=(N+1)a,
(unieruchomienie N+1 ciężarka…)
) sin(kna A
A
n=
Istnieje N rozwiązań tego równania:
π π
π
π k L k L m k L N
L
k
1= ,
2= 2 , ....
m= , ....
N=
L π
k
max= N a
N L L
N
k 2 2 2 2
max
min
= = = ≅
π π λ π
a
min
= 2 λ
Istnieje
ograniczenie!
To cecha układów dyskretnych!
a
Dyspersja dla fononów w złocie
Model kryształu – atomy (masy) połączone sprężynkami
Drgania sieci – fonony (drgania własne, czy też fale propagujące się w kryształach)
J. W. Lynn, H. G. Smith, and R. M. Nicklow
Phys. Rev. B 8, 3493 (1973)
)
( 2
0
sin
ω ka
ω =
Czerwone krzywa przerywana:
Prosty model nieźle pracuje…
2 ) ( 4 sin
22
ka
m
= K
ω
Granica ciągłości układu…
Jeśli liczba elementów układu N jest bardzo duża (np. 10
6) to
odległości pomiędzy elementami są małe, to układ staje się „ciągły.
Dla pierwszych kilku tysięcy modów drgań o najniższych
częstościach blisko siebie leżące elementy poruszają się praktycznie tak samo…
Zamiast używać położeń każdego elementu
) ( )....
( ), ( ),
(
2 31
t ψ t ψ t ψ
Nt
ψ
Używać funkcji ciągłej położenia
t) z, y, x, ψ r (
gdzie, x, y, z – położenia rozważanego elementu układu (bliskiego otoczenia tego punktu)
Pojawiają się fale!
(x, y, z)
∆x
∆y
∆z
z y
x
( x, y, z, t) e ( x, y, z, t) e e
t) z, y, x, ( t)
z, y, x,
( r r r
r
z y
x
ψ ψ
ψ
ψ = + +
Drgania (fale) podłużne i poprzeczne
Rozważmy strunę rozciągniętą wzdłuż osi z,
dla położenia równowagi dla wszystkich punktów x=0, y=0
z y
x
( z, t) e ( z, t) e
e t) z, ( t)
z, y, x,
( r r r
r
z y
x
ψ ψ
ψ
ψ = + +
Drgania podłużne:
e
zt) z, ( t)
z,
( r
r
ψ
zψ =
Drgania poprzeczne:
y
x
( z, t) e
e t) z, ( t)
z,
( r r
r
y x
p
ψ ψ
ψ = +
e
zt) z, ( t)
z,
(
zr
L
ψ
ψ =
Polaryzacja
t) z, ( t)
z,
(
xpx
ψ
ψ =
t) z, ( t)
z,
(
ypy
ψ
ψ =
z
t) z,
x
( t) ψ
z,
y
(
ψ
chwilowewychylenia z położeniarównowagi wzdłuż x lub y chwilowe
wychylenia z położenia równowagi wzdłuż z
Równanie falowe dla struny (fale poprzeczne)
Drgania poprzeczne spolaryzowane
t) z, ψ (
θ2
θ1
T
1T
2z1 ∆z z2
x
z Rozważmy ruch niewielkiego elementu długości ∆z,
Równanie Newtona
∆ m = ρ
0∆ z
) , ) (
(
2 2
t z t F
m z, t =
x∂
∆ ∂ ψ
) sin(
) sin(
) ,
( z t T
2θ
2T
1θ
1F
x= −
T
0T
0T
0 - siła naciągu- gęstość liniowa
ρ
0) ( ) cos(
) ( ) cos(
) sin(
) sin(
) ,
( z t T
2θ
2T
1θ
1T
2θ
2tg θ
2T
1θ
1tg θ
1F
x= − = −
Dwa różne podejścia:
- przybliżenie małej długości swobodnej
T=(1/cosθ)T0, czyli pozioma siła napinająca strunę Tcosθ=T0)
- przybliżenie małych drgań: cosθ≈1, pozioma siła napinająca T cosθ=T0
1 0
2 0
1 0
2
0
( ) ( )
) ,
(
∂
− ∂
∂
= ∂
−
= T z
T z tg
T tg
T t
z
F
xψ ψ
θ θ
2 2 0 1
2
1 2
0 1
2
)
( ) ,
( zT z
z z
z T z
z z
t z F
x∂
∆ ∂
− ≅
∂
− ∂
∂
∂
−
= ψ
ψ ψ
Równanie ruchu:
2 2 2 0
2
0
zT z
z t
∂
∆ ∂
∂ =
∆ ∂ ψ ψ
ρ
2 2
0 0 2
2
z T
t ∂
= ∂
∂
∂ ψ
ρ
Klasyczne równanie ψ
falowe:
0 0
0
ρ
υ = T
- prędkość faliFale stojące w strunie
Drgania normalne: każdy element struny wykonuje drgania postaci:
) cos(
) ( )
,
( ω ϕ
ψ z t = A z t +
ta sama częstość ω
to samo przesunięcie fazowe ϕ niezależna od czasu amplituda A(z)
) cos(
) ) (
,
(
22 2
ϕ ω
ψ ω
+
−
∂ =
∂ A z t
t t z
2 2 2
2
( )
) ) cos(
, (
dz z A t d
z t
z ω ϕ
ψ = +
∂
∂
Różniczkujemy *
*
) ) (
(
0 2 0 2
2
z T A
dz z A
d ρ
ω
−
=
Równanie oscylatora harmonicznego!
) 2
cos(
) 2
sin(
)
( π λ
π λ z B z A
z
A = + ( ) 2
2( )
2 2
z dz A
z A
d
−
= λ
π
0 2 0
2
2T ω ρ λ
π =
T const
=
=
=
00
0
υ
λν ρ
różniczkujemy dwukrotnie
To ma być ze sobą zgodne…
0 2 0 2
) 2 2 (
T πν ρ
λ
π =
2 2
0 0 2
2
t T
z ∂
= ∂
∂
∂ ψ ρ ψ
Podstwiamy do równania falowego…
Warunki brzegowe
+
+
= cos( ) sin( 2 ) cos( 2 ) )
,
( π λ
π λ ϕ
ω
ψ z B z
A t
t z
0 ) , 0
( t = ψ
Struna zamocowana w z=0 oraz z=L, stąd
) 2
sin(
) cos(
) ,
( ω ϕ π λ
ψ z t = A t + z
= 0 B 0
) , ( L t =
ψ sin( 2 ) = 0
π λ L
π π
π λ π
π L n
n
...
, 3 , 2 ,
2 =
1 ,
2 ...
3 , 1 3
2 2 ,
1 ,
2
2 1 3 1 11
λ λ λ λ λ λ
λ n n
L L L
L = = = =
n= =
=
...
, 3
, 2 2
,
1 3 1 11 0 2
1 0
1
ν ν ν ν ν
λ ν υ
λ
ν = υ = = =
n= n
Częstości harmoniczne!
υ
0λν =
Postacie drgań struny (zamocowanej z dwóch końców)
0 0
,T ρ
, 1 2
1 0 1
1
υ λ
λ = L v =
1 2
2
= L , v = 2 v λ
1 3
3
, 3
3
2 L v = v λ =
1 4
4
, 4
2
1 L v = v λ =
Częstości strun zamocowanych np. z jednego końca, lub z dwoma końcami swobodnymi są inne.
Warto to sprawdzić samodzielnie…
Związek dyspersyjny
0 0
λν = ρ T
0
2
02 λ ρ
πν = π T
T k
0 0
ω = ρ
Definiujemy liczbę falową k
λ π
= 2 k
k k )
0( υ
ω =
prędkość fazowa
k π L
λ
π =
=
1 1
2
Wartość k zależna od
warunków brzegowych –
dla struny zamocowanej z dwóch końców mamy λ
1=2L stąd:
Fale stojące nie biegną, ale
można je traktować jako złożenie fal biegnących w przeciwne
strony ….
Od drgań struny do analizy Fourierowskiej
Najogólniejsze równanie ruchu struny ciągłej, otrzymujemy przez superpozycję wszystkich drgań normalnych:
....
) sin(
) cos(
) sin(
) cos(
) ,
( z t = A
1ω
1t + ϕ
1k
1z + A
2ω
2t + ϕ
2k
2z + ψ
n n
( k ) υ
0k
ω =
Częstość i liczba falowa są ze sobą związane:
Rozważmy warunek początkowy:
0 dla
, 0 )
0 , (
) ( )
0 , (
=
∂ =
∂
=
t t z
z f z
ψ ψ
Prędkość początkowa struny równa zeru Warunek znikania prędkości dla t=0 oznacza, że przesunięcia fazowe
spełniają warunek ϕ=0, ϕ=π (jest to równoważne dopuszczeniu zmiany znaku poszczególnych amplitud, A1, A2,… ) Możemy więc zapisać:
....
) cos(
) sin(
) cos(
) sin(
) ,
( z t = A
1k
1z ω
1t + A
2k
2z ω
2t + ψ
....
) sin(
) sin(
) 0 , ( )
( z = z = A
1k
1z + A
2k
2z +
f ψ
Rozwinięcie Fouriera (szereg Fouriera) funkcji f(z)!
Kształt struny w chwili początkowej opisany funkcją f(z)
Stąd dla t=0:
Rozwinięcie funkcji okresowej F(z)
....
) sin(
) sin(
) 0 , ( )
( z = z = A
1k
1z + A
2k
2z +
f ψ
Przypadek szczególny dla struny zamocowanej w z=0 oraz z=L:
f(z)
0 L
0
F(z)
0 L
-2L -L 2L 3L
λ1 λ1
f(z) – okresowa z okresem 2π/k1, 2π/k2, 2π/k3 …
F(z) – okresowa z okresem 2π/k1, 2π/k2, 2π/k3 … Uogólnienie – konstruujemy funkcję F(z)…
)]
cos(
) sin(
[ )
(
10
1
z B nk z
nk A
z
F
nn
n
+
= ∑
∞=
∑
∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
1 1
1
0
sin( ) cos( )
) (
n
n n
n
nk z B nk z
A B
z F
dz z
nk z
F B
dz z
nk z
F A
dz z
F B
z n z
z n z
z z
∫
∫
∫
+ + +
=
=
=
1 1
1 1 1
1 1 1
1
) cos(
) 2 (
) sin(
) 2 (
) 1 (
1 1
1 1
1 0
λ λ λ
λ λ λ
Rozwinięcie w szereg Fouriera („rozsądnej”) funkcji F(z)
Spróbujmy to udowodnić….
Współczynniki rozwinięcia określone są następująco:
Wyznaczenie współczynników
Współczynnik B0
Całkujemy obustronnie równanie** od z1 do z2=z1+λ1 (czyli po okresie λ1=2L)
∑
∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
1 1
1
0
sin( ) cos( )
) (
n
n n
n
nk z B nk z
A B
z
F **
1 0 0
0
1 1
1 1
1
1
λ
λ
λ
B dz B
zdz B
z z
z
= ∫ =
∫
+ +∑ ∫
∑ ∫
∫
∞=
∞ +
= + +
+ +
=
1
1 1
1 0
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1
) cos(
) sin(
) (
n z
z n n
z
z n z
z
z nk B
dz z nk A
B dz
z F
λ λ
λ
λ
0 )
cos(
0 )
sin(
1 1
1 1 1
1
1 1
=
=
∫
∫
+ +
dz z nk B
dz z nk A
z
z n z
z n
λ λ
bo całkujemy
funkcje okresowe
po wielokrotności okresu (λλλλ1 – najdłuższy okres!!!)
dz z
F
B
z∫
z +=
1 11
) 1 (
1 0
λ
λ
Stąd rzeczywiście:
Pierwszy element sumy:
Pozostałe dwa elementy sumy:
Wyznaczenie współczynników c.d.
Współczynniki An
Mnożymy obustronnie przez sin(mk1z) równanie** i całkujemy od z1 do z2=z1+λ1 (czyli po okresie λ1=2L).
1) całka z B0 znika, bo całkujemy funkcję okresową po okresie…
∑
∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
1 1
1
0
sin( ) cos( )
) (
n
n n
n
nk z B nk z
A B
z
F **
2) dla n=m
1 1
1 1
2
2 ) 1
2 2 cos(
) 2 2
2cos(
1 2 ) 1
( sin
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
λ
λ λ
λ λ
n z
z n z
z n z
z n z
z
n A nk z dz A
A dz dz
z nk A
dz z nk
A = − =
−
=
∫ ∫ ∫
∫
+ +
+ +
3) Dla n≠m
sin( ) sin( ) 0
1 1
1
1
1
=
∫
+λ z
z
n
mk z nk z dz
A
) )
cos((
2 ) 1 )
cos((
2 ) 1 sin(
)
sin( mk
1z nk
1z = n − m k
1z − m + n k
1z
Wyrażenie podcałkowe można przedstawić w postaci:
Każdy z dwóch wyrazów po prawej stronie jest równie często dodatni jak i ujemny, więc całka po okresie λ1 znika!
= 0
bo funkcja okresowa całkowana po okresie…
) )
sin((
2 ) 1 )
sin((
2 ) 1
sin(
)
cos( nk
1z mk
1z = n + m k
1z + m − n k
1z
dz z nk z
F
A
zn
= ∫
z1+ 11
) sin(
) 2 (
1
1 1
λ
λ4) Całkowanie wyrażenia
daje zero, gdyż wyrażenie
podcałkowe można przedstawić w postaci:
0 )
sin(
) cos(
1 1
1
1
1
=
∫
+λ z
z
n
nk z mk z dz
B
…bo każdy z dwóch wyrazów po prawej stronie jest równie często dodatni jak i ujemny, więc całka po okresie λ1 znika!
Zatem:
dz z nk z
F
A
zn
= ∫
z1+ 11
) sin(
) 2 (
1 1
λ
λ
Wyznaczenie współczynników B n
Mnożymy wzór ** obustronnie przez cos(mk1z) i całkujemy
od z1 do z2=z1+λ1 (czyli po okresie λ1=2L) i dalej podobnie jak z Am
) )
cos((
2 ) 1 )
cos((
2 ) 1
cos(
)
cos( nk
1z mk
1z = m + n k
1z + m − n k
1z
dz z nk z
F
B
zn
= ∫
z1+ 11
) cos(
) 2 (
1 1
λ
λ
Dla m=n dostajemy podobnie jak dla całek Am korzystamy z tego, że:
Dla m
≠
n korzystamy z tego, że :Każdy z dwóch wyrazów po prawej stronie równości jest równie często dodatni jak i ujemny, więc całka po okresie λ1 znika!
1 1
1 1
2
2 ) 1
2 2 cos(
1 2
1
) 2
2 cos(
1 2
) 1 (
cos
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
1
λ
λ λ
λ λ
n z
z n z
z n
z
z m z
z n
B dz
z nk B
dz B
dz z
nk B
dz z nk B
= +
=
=
+
=
∫
∫
∫
∫
+ +
+ +
Stąd:
∑
∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
1 1
1
0
sin( ) cos( )
) (
n
n n
n
nk z B nk z
A B
z F
dz z
nk z
F B
dz z
nk z
F A
dz z
F B
z n z
z n z
z z
∫
∫
∫
+ + +
=
=
=
1 1
1 1 1
1 1 1
1
) cos(
) 2 (
) sin(
) 2 (
) 1 (
1 1
1 1
1 0
λ λ λ
λ λ λ
Czyli to działa!
Rozwinięcie w szereg Fouriera („rozsądnej”) funkcji F(z)
Współczynniki rozwinięcia określone są następująco:
Wygoda obliczeń (warto skorzystać…)
Ponieważ e
ink1z= cos( nk
1z ) + i sin( nk
1z )
dz e
z F iA
B
zz
z ink n
n
+ = ∫ 1+ 1
1
)
12 (
1
λ
λ
=
=
∫
∫
+ +
dz e
z F e
B
dz e
z F A
z z
z ink n
z z
z ink n
1 1
1
1 1
1
1
1
) 2 (
R
) 2 (
Im
1 1
λ λ
λ λ
Sprawdźmy jak to działa w praktyce…
Czy mając generator fal sinusoidalnych o dowolnych częstościach można wytworzyć przebieg prostokątny, albo trójkątny, o dowolnym kształcie…
Przykład: przebieg prostokątny
F(z)
0 L
-2L -L λλλλ1 2L 3L
<
≤
−
<
≤
= +
L L
z L
F 1 z 2
z 0
) 1
( k π L π L
λ
π = =
= 2
2 2
1 1
dz e
z L F
dz e
z F iA
B
z L imk zz
z imk m
m
+ = ∫
+= ∫
021
1 1
1
1
1
1 ( )
) 2
λ(
λ
( ) e dz
dz L L e
dz e
z L F
iA
B
LL
L im z
L L
im z
L L
im z m
m
+ = 1 ∫
02( )
π= 1 ∫
0( + 1 )
π+ 1 ∫
2− 1
π(
π π)
π π
π π
m i im
L
L L im z L
L im z m
m
e e
e im im e
iA
B
22
0
1 1 2
1 = − −
−
= +
( )
( )
=
−
=
−
−
= +
π π
π
i m im
iA im B
m m4 4 1
0 1
1
1 2
dla m parzystychdla m nieparzystych
= 0 B
m
= 4 dla m nieparzyst ych parzystych m
dla 0
m A
mπ
Niezerowa tylko cześć urojona:
+
+ + +
= L
z n
n L
z L
z L
z z
F π π π π
π
) 1 2
sin ( 1 2
.... 1 sin 5
5 1 sin 3
3 sin 1
) 4 (
5 ...
sin 255 ,
3 0 sin 424 ,
0 sin
273 ,
1 )
( = + + +
L z L
z L
z z
F π π π
Kolejne współczynniki maleją powoli...
Ostatecznie otrzymujemy szereg:
Analiza Fourierowska funkcji zależnej od czasu
Wystarczy zastąpić: k 1 z ω 1 t
T T
T
π π
ω = π = = 2
2 2
1 1
F(T)
0 T
-2T -T 2T
T1
Prostokąt…
0
1 1
7 5
4/π(sin(k1z)+1/3sin(3k1z)+1/5sin(5k1z)+1/7sin(7k1z))
4/
π(sin(k
1
z)+1/3sin(3k
1
z)+1/5sin(5k
1
z))
4/π(sin(k1z)+1/3sin(3k1z))L 2L
4/
πsin(k
1z)
3
0 1
0 1
0 1
f(z)
k1z ω1t
T1=2T λ1=2L
0 0
Analiza przebiegów
periodycznych w przestrzeni
Analiza przebiegów periodycznych w czasie
Żeby dobrze odtworzyć kształt trzeba bardzo dużo harmonicznych!
Przebieg trójkątny
....
5 ) 25 sin(
) 1 sin( 3
9 ) 1 (sin(
)
( = − + t −
t T t T
A T t
F π π π
1/25*sin(3π/T*t)
1/9*sin(
3π/T*t)
T 2T
ψ ( t)
0
sin( π/ T*t)
Już trzy składowe dają dobry rezultat!
To można usłyszeć…
Zielone – suma trzech kolejnych składowych z szeregu…
250 300 350 400 450 500 -10
0 10
czas (jednostki um owne)
-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 10
U A I O
E
samogłoski
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Czestotliwość (jednostki umowne)
samogłoski
U A I O
E
Przykładowe zastosowanie analizy Fourierowskiej - badanie sygnałów dźwiękowych
Przebiegi czasowe Widmo częstości
Ewolucja czasowa struny
....
) cos(
) sin(
) cos(
) sin(
) ,
( z t = A
1k
1z ω
1t + A
2k
2z ω
2t + ψ
....
) sin(
) sin(
) 0 , ( )
( z = z = A
1k
1z + A
2k
2z +
f ψ
Znając współczynniki w szeregu Fouriera dla kształtu struny w chwili t=0,
możemy określić ewolucje czasową drgań struny.
Wystarczy dołożyć odpowiednie czynniki czasowe!!!
+ +
−
= 5 cos( 5 ) ....
25 sin ) 1
3 3 cos(
9 sin ) 1
cos(
sin )
,
(
1 1 1t
L t z
L t z
L A z
t
z π ω
π ω π ω
ψ
Dla struny, której wychylenie w chwili początkowej miało kształt trójkąta będziemy mieć:
Najlepiej zasymulować to samodzielnie na komputerze!
