Tire ring model: literature review

T U D e l f t

FACULTEIT DER WERKTUIGBOUWKUNDE EN MARITIEME TECHNIEK

TRANSPORTTECHNOLOGIE

TREFWOORDEN (niet invullen):

T I R E R I N G MODEL L I T E R A T D R E R E V I E W G o n g S u n r o n g V e h i c l e R e s e a r c h L a b o r a t o r y D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y A b s t r a c t : I n t h i s r e p o r t , v a r i o u s t i r e r i n g m o d e l s d e v e l o p e d b y p r e v i o u s r e s e a r c h e r s a r e p r e s e n t e d a n d c o m p a r e d w i t h e a c h o t h e r . T h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s among t h e s e m o d e l s a r e a n a l y z e d a n d t h e c a u s e s o f t h e d i f f e r e n c e s a r e p o i n t e d o u t . I t i s c o n c l u d e d t h a t r i n g m o d e l i s a u s e f u l t o o l t o s t u d y t h e s t a t i c a n d d y n a m i c p r o p e r t i e s o f t i r e s . I t i s a l s o p o i n t e d o u t t h a t f u r t h e r r e s e a r c h e f f o r t s c a n b e made o n t h e v i b r a t i o n p r o p e r t i e s w h e n t i r e i s i n c o n t a c t w i t h r o a d a n d h a s o n e d e g r e e o f t r a n s l a t i o n a l f r e e d o m , a n d o n t h e t i r e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s , w h i c h w e r e n e g l e c t e d i n l i t e r a t u r e o n t i r e r i n g m o d e l s .

R i n g m o d e l w a s f i r s t s u g g e s t e d b y S.K. C l a r k a n d h i s c o l l e a g u e s i n t h e e a r l y 1 9 6 0 ' s t o s t u d y t h e s t a t i c a n d d y n a m i c p r o p e r t i e s o f p n e u m a t i c t i r e s . S i n c e t h e n , i t h a s b e e n w i d e l y u s e d b y r e s e a r c h e r s t o s t u d y p r o b l e m s f r o m r o a d c o n t a c t t o t r e a d b a n d v i b r a t i o n a n d s t a n d i n g w a v e p h e n o m e n a o f p n e u m a t i c t i r e s , a n d h a s a l r e a d y b e e n p r o v e n t o b e v e r y u s e f u l a n d i m p o r t a n t t o t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t a t i c a n d d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f p n e u m a t i c t i r e s . A b a s i c r i n g m o d e l f o r p n e u m a t i c t i r e s i s s h o w n i n F i g u r e 1. T h e t i r e i s m o d e l e d a s a r o t a t i n g c i r c u l a r r i n g , w h i c h r e p r e s e n t s t h e t i r e t r e a d b a n d , s u p p o r t e d on a n e l a s t i c o r v i s c o -e l a s t i c f o u n d a t i o n , w h i c h r e p r e s e n t s t h e t i r e s i d e w a l l a n d i s d e s c r i b e d F i g u r e 1. A T i r e R i n g Model b y d i s t r i b u t e d r a d i a l a n d t a n g e n t i a l s p r i n g s o r s p r i n g s a n d d a m p e r s . T h e w h e e l i s t r e a t e d a s a r i g i d b o d y . I t i s u s u a l l y a s s u m e d t h a t a t i r e d e f o r m s o n l y i n r a d i a l a n d t a n g e n t i a l d i r e c t i o n s a n d t h e t i r e d e f o r m a t i o n i n l a t e r a l d i r e c t i o n i s n e g l i g i b l e . I n h i s p a p e r [ 1 ] , C l a r k d e r i v e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n o f a t i r e r i n g m o d e l a c c o r d i n g t o t h e f o r c e e q u i l i b r i u m o f a r i n g e l e m e n t . Z e r o s h e a r s t r a i n i n 1

t h e c i r c u l a r r i n g w a s a s s u m e d w h e n d e r i v i n g t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . T h e m o d e l i n c l u d e d t h e e f f e c t s o f i n f l a t i o n p r e s s u r e , c e n t r i f u g a l a c c e l e r a t i o n a n d t h e r a d i a l d a m p i n g o f s i d e w a l l . B u t t h e e f f e c t s o f t a n g e n t i a l s t i f f n e s s a n d d a m p i n g o f t i r e s i d e w a l l a n d t h e p r e s t r e s s i n t i r e t r e a d b a n d c a u s e d b y i n f l a t i o n p r e s s u r e a n d r o t a t i o n w e r e n e g l e c t e d . T h e e q u a t i o n s r e a d :

W^Jë^

v e r y w e l l . T i e l k i n g [ 2 ] d e r i v e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n o f a t i r e r i n g m o d e l u s i n g H a m i l t o n ' s p r i n c i p l e : k^w + p h [ w - 2 n v - n ^ ( R + w ) ] = 0 [ 5 ] U n l i k e t h e e q u a t i o n s g i v e n b y C l a r k , i t c a n b e s e e n t h a t t h e c o r i o l i s a c c e l e r a t i o n d u e t o t h e r o t a t i o n o f t i r e a n d t h e i n e r t i a f o r c e i n t a n g e n t i a l d i r e c t i o n w e r e i n c l u d e d . H o w e v e r , t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f a t i r e s i d e w a l l a n d t h e p r e s t r e s s o f t h e t i r e t r e a d b a n d d u e t o t h e i n f l a t i o n p r e s s u r e a n d c e n t r i f u g a l a c c e l e r a t i o n w e r e a l s o n e g l e c t e d i n T i e l k i n g ' s e q u a t i o n s . F u r t h e r , T i e l k i n g r e d u c e d t h e t w o g o v e r n i n g e q u a t i o n s t o o n e i n t e r m s o f r a d i a l d i s p l a c e m e n t o f t h e c i r c u l a r r i n g u s i n g i n e x t e n s i b l e a s s u m p t i o n . B a s e d o n t h e r e d u c e d e q u a t i o n o f m o t i o n , T i e l k i n g o b t a i n e d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d mode s h a p e s o f t h e t i r e t r e a d b a n d v i b r a t i o n . D o d g e [ 3 ] e m p l o y e d t h e s a m e t i r e r i n g m o d e l a s T i e l k i n g , b u t d i d n o t i n c l u d e t h e i n f l a t i o n p r e s s u r e f a c t o r , t o s t u d y t h e t i r e d y n a m i c s t i f f n e s s p r o b l e m . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n w e r e f i r s t t r a n s f e r r e d t o t h o s e d e s c r i b e d i n a f i x e d s p a c e c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d t h e n r e d u c e d t o s t e a d y - s t a t e r u n n i n g c o n d i t i o n b y e l i m i n a t i n g t h e t r a n s i e n t t e r m s . P o i n t l o a d w a s a s s u m e d i n o r d e r t o o b t a i n a n a l y t i c a l s o l u t i o n . T h e e x p e r i m e n t r e s u l t w a s s h o w n a n d c o m p a r e d w i t h t h e a n a l y t i c a l o n e , a n d i t w a s c l a i m e d t h a t t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e m w a s v e r y g o o d . 3

W o r k i n g i n d e p e n d e n t l y a t a l m o s t t h e s a m e t i m e , Bohm [ 4 ] d e v e l o p e d h i s own r i n g m o d e l t o s t u d y t h e s t a t i c a n d d y n a m i c p r o p e r t i e s o f p n e u m a t i c t i r e s . H i s e q u a t i o n s r e a d : I t c a n b e s e e n f r o m t h e e q u a t i o n s t h a t t h e t a n g e n t i a l f o u n d a t i o n s t i f f n e s s k ^ a n d p r e t e n s i o n ( p r e s t r e s s ) S Q w e r e i n c l u d e d , a n d t h e i n e x t e n s i b l e a s s u m p t i o n w a s p a r t i a l l y u s e d d u r i n g t h e d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s . I n B ö h m ' s s t u d y , o n l y s t i l l ( n o n - r o l l i n g ) t i r e s w e r e c o n s i d e r e d . N a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d e s w e r e f u r t h e r o b t a i n e d a n d b o t h t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w e r e o b t a i n e d f o r a 1 3 5 - 1 3 r a d i a l p l y M i c h e l i n X t i r e . T h e b i f u r c a t i o n o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s d u e t o t h e e x t e n s i o n o f r i n g e l e m e n t w a s p o i n t e d o u t f o r t h e f i r s t t i m e b y Bohm. W o r k i n g a l o n g a s i m i l a r l i n e a s T i e l k i n g , P a c e j k a [ 5 ] d e r i v e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a t i r e r i n g m o d e l , i n w h i c h t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l a n d t h e i n i t i a l t e n s i o n f o r c e i n t h e c i r c u l a r r i n g d u e t o i n t e r n a l p r e s s u r e a n d / o r c e n t r i f u g a l f o r c e w e r e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e e q u a t i o n s a r e :

- p ( ^ l f ) + 1^ If

s e e n t h a t t e r m -p-j^ a n d t e r m - PhRTl^ w e r e m i s s i n g i n E q u a t i o n [ 9 ] . T h i s i s b e c a u s e a l l t h e f i r s t o r d e r t e r m s i n e n e r g y e x p r e s s i o n s w e r e o m i t t e d i n t h e p r o c e s s o f d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s [ 8 ] a n d [ 9 ] . N a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d mode s h a p e s w e r e f u r t h e r o b t a i n e d f o r f r e e ( n o r o a d c o n t a c t ) t i r e s u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f i n e x t e n s i b i l i t y , a n d t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s f o r s t i l l t i r e s w e r e c o m p a r e d w i t h B ö h m ' s t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . U s i n g t h e s a m e m e t h o d a d o p t e d b y b o t h T i e l k i n g a n d P a c e j k a , P o t t s e t a l . [ 6 ] a l s o d e r i v e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f a t i r e r i n g m o d e l w h i c h i n c l u d e d t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l a n d p r e s t r e s s i n t h e c i r c u l a r r i n g d u e t o r o t a t i o n a n d i n t e r n a l p r e s s u r e . H o w e v e r , t h e e q u a t i o n s w e r e s l i g h t l y d i f f e r e n t f r o m t h o s e o b t a i n e d b y P a c e j k a : ^ -gg + k v v + ph(v+2nw-n^ V ) = 0 [ 1 0 ] P ( | ^ 2 | ^ w ) - | | ^ k „ w + p h [ w - 2 n v - n ^ ( R + w ) ] = 0 [ 1 1 ] w h e r e X i s L a g r a n g i a n m u l t i p l i e r r e p r e s e n t i n g t h e n o n h o l o n o m i c c o n s t r a i n t o f t h e c i r c u l a r r i n g . L i k e T i e l k i n g a n d P a c e j k a , P o t t s e t a l . a l s o u s e d t h e i n e x t e n s i b l e a s s u m p t i o n t o r e d u c e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f r o m t w o t o o n e , a n d t h e n b y a s s u m i n g mode s h a p e , o b t a i n e d t h e e x p r e s s i o n o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s f o r f r e e r o t a t i n g t i r e s . F u r t h e r , P o t t s e t a l . s t u d i e d t h e v i b r a t i o n o f a r o a d - c o n t a c t t i r e u s i n g m o d a l e x p a n s i o n m e t h o d b y t r e a t i n g t h e v i b r a t i o n o f t h e r o a d - c o n t a c t t i r e a s a f o r c e d v i b r a t i o n p r o b l e m . I t w a s a s s u m e d t h a t t h e f o r c e d v i b r a t i o n s o l u t i o n i s a s u p e r p o s i t i o n o f e a c h o r d e r 5

o f t r a v e l i n g mode m u l t i p l i e d b y a n u n d e t e r m i n e d m o d a l p a r t i c i p a t i o n f a c t o r . B y s u b s t i t u t i n g t h e a s s u m e d s o l u t i o n i n t o t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n a n d u s i n g t h e o r t h o g o n a l p r o p e r t i e s o f t h e m o d e s , t h e m o d a l p a r t i c i p a t i o n f a c t o r c a n b e d e t e r m i n e d . T h e r a d i a l r o a d c o n t a c t f o r c e w a s a s s u m e d t o d i s t r i b u t e p a r a b o l i c a l l y a l o n g t h e c o n t a c t p a t c h l e n g t h . C r i t i c a l s p e e d o f s t a n d i n g w a v e p h e n o m e n o n o f t i r e s f o r e a c h o r d e r mode w a s o b t a i n e d f r o m t h e f o r c e d v i b r a t i o n s o l u t i o n u n d e r t h e b e l i e f t h a t s t a n d i n g w a v e i s b a s i c a l l y a r e s o n a n t p h e n o m e n o n . A l l t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s w e r e e x p e r i m e n t a l l y v e r i f i e d . V i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n o f a t i r e f r o m r o a d t o w h e e l a x l e ( s p i n d l e , h u b ) w a s a l s o d i s c u s s e d , a n d i t w a s f o u n d t h a t t h e maximum v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n d i d n o t o c c u r a t t i r e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s , b u t o c c u r r e d a t s o - c a l l e d t i r e a n t i r e s o n a n t f r e q u e n c i e s . Y a m a g i s h i a n d J e n k i n s [ 7 , 8 , 9 ] s t u d i e d t h e c i r c u m f e r e n t i a l ( s t a t i c ) c o n t a c t p r o b l e m s o f b e l t e d r a d i a l t i r e s u s i n g t i r e r i n g m o d e l . I n t h e i r m o d e l , t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e t i r e t r e a d r u b b e r w a s t a k e n i n t o a c c o u n t b y m o d e l i n g t h e t r e a d r u b b e r a s d i s t r i b u t e d r a d i a l s p r i n g s a l o n g t h e o u t s i d e o f t h e c i r c u l a r r i n g r e p r e s e n t i n g t i r e t r e a d b a n d . S h e a r d e f o r m a t i o n o f r i n g e l e m e n t a n d t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l w e r e i g n o r e d , a n d t h e i n e x t e n s i b l e a s s u m p t i o n a b o u t t h e t r e a d b a n d w a s u s e d . T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n i s : i ? ( f i r + 2 f ^ + w ) - | o - ( | ^ w ) + k ^ w + k 2 X - P i + 2 Q o = 0 [ 1 2 ] i n w h i c h QQ i s t h e l o a d i n g o f t h e i n f l a t e d s i d e w a l l ( p r e t e n s i o n i n t h e s i d e w a l l r a d i a l s p r i n g ) , a n d X i s t h e

d e f o r m a t i o n o f t i r e t r e a d r u b b e r . QQ a n d s p r i n g s t i f f n e s s a r e d e t e r m i n e d i n t e r m s o f t h e s i d e w a l l g e o m e t r y a n d i n f l a t i o n p r e s s u r e . I n t h e f r e e r e g i o n , t h e c o m p r e s s i o n o f t r e a d s p r i n g i s z e r o ; i n t h e c o n t a c t r e g i o n , X = w + d Q - R ( 1 - c o s e ) [13] t h e c o n t a c t a n g l e 9* i s a s s u m e d t o b e k n o w n . T h e d i s p l a c e m e n t dQ o f t h e b o t t o m o f t h e t i r e i s d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n

w(e*)

(1

e*) = 0

n u m e r i c a l r e s u l t s o f t h e e x a c t s o l u t i o n s w e r e g i v e n , a n d i t w a s p o i n t e d o u t t h a t n u m e r i c a l d i f f i c u l t y w o u l d a r i s e w h e n t h e r a t i o o f b e n d i n g s t i f f n e s s E I t o p r e t e n s i o n S Q i n t h e c i r c u l a r r i n g i s s m a l l e n o u g h , w h i c h i s t h e c a s e f o r m o s t p a s s e n g e r c a r t i r e s . S i n g u l a r p e r t u r b a t i o n m e t h o d w a s u s e d t o g e t a s y m p t o t i c s o l u t i o n s f o r s m a l l E I / S Q c a s e . R a d o v a n [10] i n t r o d u c e d s t r u c t u r e d a m p i n g i n t o b o t h c i r c u l a r r i n g a n d t h e f o u n d a t i o n o f a t i r e r i n g m o d e l , i n

w h i c h t h e c o r i o l i s a n d c e n t r i f u g a l e f f e c t s d u e t o t i r e r o t a t i o n w e r e a l s o i n c l u d e d , b u t t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s a n d d a m p i n g o f t h e f o u n d a t i o n ( t i r e s i d e w a l l ) a n d p r e s t r e s s i n t h e c i r c u l a r r i n g w e r e n e g l e c t e d . T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e : P( l + a | ^ ) ( | ^ | | ) - p h ( v + 2 n w - n ^ v ) = 0 [ 1 4 ] + p h ( w - 2 n v - n ^ w ) = p ^ [ 1 5 ] i n w h i c h n, a a r e v i s c o - e l a s t i c c o e f f i c i e n t s o f t h e r i n g m a t e r i a l . ^ i s t h e d i s s i p a t i o n p a r a m e t e r o f t h e f o u n d a t i o n . T h e e q u a t i o n s w e r e f u r t h e r t r a n s f e r r e d i n t o s t a n d a r d t r a v e l i n g l o a d f o r m u s i n g s t a n d a r d G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e n s o l v e d t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m . P a d o v a n p r o v e d t h a t t h e s t a n d i n g w a v e w a s i n d e e d a v i s c o - e l a s t i c r e s o n a n c e p h e n o m e n o n , a n d e x p l a i n e d t h e r e t a r d a t i o n ( b a c k w a r d s h i f t ) a n d t h e a t t e n u a t i o n o f t h e s t a n d i n g w a v e w i t h t h e v i s c o -e l a s t i c t i r -e m o d -e l . F o r h i s p u r p o s -e , t h -e r o a d c o n t a c t f o r c e w a s t r e a t e d a s a p o i n t c o n c e n t r a t e d l o a d a n d t h u s t h e t i r e d e f o r m a t i o n r e s t r i c t i o n a l o n g t h e c o n t a c t p a t c h w a s n e g l e c t e d . I n a l l t h e a b o v e - m e n t i o n e d w o r k , t h e w h e e l w a s a s s u m e d t o b e f i x e d o r s p i n n e d , h a v i n g o n l y o n e d e g r e e o f r o t a t i n g f r e e d o m . T h e i n f l u e n c e o f t h e w h e e l m a s s o n t h e d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f a t i r e - w h e e l a s s e m b l y w a s t h u s n e g l e c t e d . B u t , i n r e a l i t y , b e s i d e s t h e r o t a t i n g m o t i o n , t h e t i r e -w h e e l s y s t e m s o n a n a u t o m o b i l e a r e i n d e e d s u b j e c t e d t o m o t i o n s i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s .

C o n s e q u e n t l y , t h e d y n a m i c p r o p e r t i e s o f a t i r e - w h e e l s y s t e m o n a c a r / t r u c k , w h i c h h a s t r a n s l a t i o n a l f r e e d o m s , a r e d i f f e r e n t f r o m t h o s e o f a t i r e - w h e e l s y s t e m w h i c h h a s o n l y o n e d e g r e e o f r o t a t i o n a l f r e e d o m . T h e r e f o r e , i t i s n e c e s s a r y t o s t u d y t h e d y n a m i c p r o p e r t i e s o f a t i r e - w h e e l s y s t e m w h i c h i s s u b j e c t e d t o r o t a t i n g a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s . T h e o n l y w o r k o n t h i s a s p e c t , t o t h e a u t h o r • s k n o w l e d g e , w a s d o n e b y K u n g e t a l . [ 1 1 ] . I n h i s s t u d y , c o r i o l i s e f f e c t w a s n e g l e c t e d a n d s h e a r d e f o r m a t i o n o f t h e r i n g w a s a l s o n o t c o n s i d e r e d . B u t t h e i n e x t e n s i b l e a s s u m p t i o n a b o u t t h e c i r c u l a r r i n g ( t i r e t r e a d b a n d ) w a s n o t a d o p t e d . T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e :

#(0-11?)

-

-

# ( | l

? - i

^ ) - f

( f i - " ) ^

f i

? - K „ ( w - y . s i n e ,

r o a d , t h e n a t u r a l mode s h a p e s o f t i r e v i b r a t i o n l o s e t h e i r s y m m e t r i c p r o p e r t y . C o n s e q u e n t l y , n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d e s o f e a c h o r d e r w i l l b e a f f e c t e d b y t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n o f t i r e - w h e e l s y s t e m s . I t i s e v i d e n t t h a t t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o b t a i n e d b y d i f f e r e n t r e s e a r c h e r s d i f f e r f r o m e a c h o t h e r . T h e d i f f e r e n c e s a r i s e m a i n l y f r o m t w o s o u r c e s . One i s t h e d i f f e r e n t f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n s a n d s i m p l i f i c a t i o n s made b y t h e r e s e a r c h e r s . T h e common a s s u m p t i o n s t h e y m a d e a r e : ( 1 ) t h e t i r e v i b r a t i o n o r r o a d c o n t a c t i s b a s i c a l l y p l a n e s t r a i n p r o b l e m ; ( 2 ) t h e s h e a r s t r a i n i n t h e c i r c u l a r r i n g ( t i r e t r e a d b a n d ) a n d r o t a t o r y i n e r t i a a r e n e g l i g i b l e ; ( 3 ) L o v e ' s f i r s t a p p r o x i m a t i o n a b o u t t h i n s h e l l w a s u s e d . T h a t i s : t h e t h i c k n e s s o f t h e c i r c u l a r r i n g ( t i r e t r e a d b a n d ) i s s m a l l c o m p a r e d w i t h i t s r a d i u s ; s t r a i n s a n d d i s p l a c e m e n t s a r e s u f f i c i e n t l y s m a l l s o t h a t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e l i n e a r ; t h e r a d i a l n o r m a l s t r e s s i s s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e t a n q e n t i a l n o r m a l t r e s s a n d may b e n e g l e c t e d ; n o r m a l s t o t h e u n r e f o r m e d m i d d l e s u r f a c e o f t h e r i n g r e m a i n s t r a i g h t a n d n o r m a l t o t h e d e f o r m e d m i d d l e s u r f a c e a n d s u f f e r n o e x t e n s i o n . B u t , i n [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 7 , 8 , 9 ] a n d [ 1 0 ] , t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l w e r e n e g l e c t e d . P r e t e n s i o n i n t h e c i r c u l a r r i n g d u e t o i n t e r n a l p r e s s u r e a n d c e n t r i f u g a l a c c e l e r a t i o n w a s n e g l e c t e d i n t h e m o d e l s p r e s e n t e d i n [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , a n d [ 1 0 ] , a n d t h e i n t e r n a l p r e s s u r e ( i n f l a t i o n p r e s s u r e ) w a s n e g l e c t e d i n [ 4 ] , [ 6 ] , a n d [ 1 1 ] .

I n a d d i t i o n t o t h e d i f f e r e n t a p p r o x i m a t i o n s m e n t i o n e d a b o v e , d i f f e r e n c e s i n g o v e r n i n g e q u a t i o n s w e r e a l s o p r o d u c e d d u r i n g t h e p r o c e s s o f d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s , m a i n l y b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s a n d / o r t h e o r i e s e m p l o y e d b y t h e r e s e a r c h e r s a n d t h e d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e d e r i v a t i o n a t w h i c h c e r t a i n a s s u m p t i o n s w e r e m a d e . I t i s l i s t e d s i m p l y a s f o l l o w s : ( 1 ) T h e B e n d i n g Moment ( o r B e n d i n g S t r a i n E n e r g y ) I n s h e l l t h e o r y , s e v e r a l e q u a t i o n s a b o u t t h e b e n d i n g m o m e n t s o f t h i n s h e l l s e x i s t . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d t w o e q u a t i o n s w e r e g i v e n b y F l ü g g e , B y r n e e t a l . a n d b y L o v e , T i m o s h e n k o e t a l . r e s p e c t i v e l y ( s e e r e f e r e n c e [ 1 2 ] ) . F l ü g g e ' s e q u a t i o n : K^=D[k^+Mk^- ( 1 / R ^ - l / R ^ ) e^^) ] L o v e ' s e q u a t i o n : M(j=D[k^+juk^] i n w h i c h R^, R^ a n d k ^ , k ^ a r e t h e r a d i i o f c u r v a t u r e s o f t h e m i d d l e s u r f a c e o f s h e l l a n d b e n d i n g s t r a i n s a l o n g a, /3 a x e s , r e s p e c t i v e l y ; e^^ i s m e m b r a n e s t r a i n a l o n g a a x i s ; D a n d n a r e b e n d i n g s t i f f n e s s o f s h e l l a n d P o i s s o n * s r a t i o . F o r c i r c u l a r r i n g , l e t a b e t h e t a n g e n t i a l a x i s a n d /3 t h e l a t e r a l o n t h e r i n g s u r f a c e , t h e n R(^=R, R^=«>; k ( j = ( w ' ' - V ' ) /R^ , k^=0 ( p l a n e s t r a i n p r o b l e m ) , a n d e ( j = ( v ' + w ) /R. T h e p r i m e s d e n o t e d i f f e r e n t i a t i o n s w i t h r e s p e c t t o 9. S u b s t i t u t i n g t h e s e q u a n t i t i e s i n t o F l ü g g e ' s e q u a t i o n , we h a v e : M=D(w'•+w)/R^. T h i s i s e x a c t l y t h e b e n d i n g moment u s e d i n r e f e r e n c e s [ 1 ] , [ 2 ] , [ 6 ] , a n d [ 1 0 ] . S u b s t i t u t i n g t h e b e n d i n g s t r a i n s i n t o L o v e ' s e q u a t i o n 1 1

y i e l d s : M=D(w'•-v')/W . T h i s i s t h e b e n d i n g moment a d o p t e d i n r e f e r e n c e s [ 7 , 8 , 9 ] a n d [ 1 1 ] . I n r e f e r e n c e [ 5 ] , b e n d i n g moment w a s n o t d i r e c t l y u s e d i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . B u t , f r o m t h e e x p r e s s i o n o f s t r a i n e n e r g y , w h i c h w a s d e r i v e d d i r e c t l y f r o m t h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s h i p , i t c a n b e s e e n t h a t F l ü g g e ' s t h e o r y w a s f o l l o w e d . I f we u s e t h e i n e x t e n s i b l e c o n d i t i o n a b o u t t h e c i r c u l a r r i n g v'=-w, t h e e x p r e s s i o n s o f b e n d i n g moment o f t h e t w o d i f f e r e n t t h e o r i e s a r e i d e n t i c a l . ( 2 ) P r e t e n s i o n ( p r e s t r e s s ) : I n r e f e r e n c e s [ 5 ] a n d [ 6 ] , F l ü g g e ' s t h e o r y a b o u t p r e t e n s i o n e f f e c t s o f s h e l l w a s u s e d . T h e p r e t e n s i o n t e r m i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s i s S Q * W ' '/R^ • B u t i n r e f e r e n c e s [ 4 ] a n d [ 7 ] , T i m o s h e n k o ' s t h e o r y w a s e m p l o y e d . T h e p r e t e n s i o n t e r m r e a d s : S Q ( w ' ' + w ) / R ^ . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e t w o t h e o r i e s a r o s e f r o m t h e d i f f e r e n t s t r a i n - d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s h i p s o n w h i c h t h e t w o t h e o r i e s w e r e d e v e l o p e d . ( 3 ) I n f l a t i o n ( i n t e r n a l ) P r e s s u r e E f f e c t : I n [ 2 ] a n d [ 5 ] , t h e e n e r g y e x p r e s s i o n f o r i n f l a t i o n p r e s s u r e r e a d s : Wp =

I

g o v e r n i n g e q u a t i o n s o n l y a s a p u r e f o r c e t e r m , a n d t h e c o r r e s p o n d e n t e n e r g y e x p r e s s i o n i s '27r Wp = R P i w d e ( 4 ) I n e r t i a E f f e c t s : I n r e f e r e n c e s [ 2 ] a n d [ 6 ] , t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e c i r c u l a r r i n g i s e x p r e s s e d b y r2iT T =

I

_{nv) +}

_{+ n}

_]M

_de

I

t h e r i n g m o d e l . C o n c e r n i n g t h e s e c o n d o n e , no d e f i n i t i v e a n s w e r e x i s t s . C o m p a r i s o n s o f d i f f e r e n t t h e o r i e s w e r e made b y L e i s s a f o r c y l i n d r i c a l s h e l l ( a g e n e r a l c a s e o f r i n g ) a n d b y E n d o e t a l . [ 1 3 ] f o r c i r c u l a r r i n g . I t w a s f o u n d t h a t t h e d i f f e r e n c e s among t h e t h e o r i e s w e r e n e g l i g i b l e a t l o w r o t a t i n g s p e e d a n d f o r l o w o r d e r m o d e s o f v i b r a t i o n , b u t i n c r e a s e w i t h r o t a t i n g s p e e d a n d t h e o r d e r o f v i b r a t i o n mode. E v e n i f a l l t h e m a i n f a c t o r s o f a t i r e a r e i n c l u d e d i n a t i r e m o d e l a n d p r o p e r t h e o r y i s e m p l o y e d , t h e v a l i d i t y o f t h e m o d e l d e p e n d s o n y e t a n o t h e r f a c t o r : t h e e s t i m a t i o n o f t h e p a r a m e t e r s w h i c h a p p e a r i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . I n r e f e r e n c e s [ 5 ] a n d [ 7 ] , R o t t a ' s m o d e l o f s i d e w a l l w a s u s e d i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e r a d i a l s t i f f n e s s a n d p r e l o a d o f t h e f o u n d a t i o n . I n r e f e r e n c e [ 1 1 ] , f o r m u l a s w e r e a l s o g i v e n f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f b o t h t a n g e n t i a l a n d r a d i a l s t i f f n e s s e s o f t h e f o u n d a t i o n , b u t t h e f o r m u l a f o r r a d i a l s t i f f n e s s i s d i f f e r e n t f r o m t h e o n e g i v e n i n [ 5 ] a n d [ 7 ] . No d e t a i l s w e r e g i v e n a b o u t t h e d e r i v a t i o n o f t h e f o r m u l a s . I n r e f e r e n c e [ 1 ] , t h e p a r a m e t e r s w e r e e s t i m a t e d f r o m t h e t i r e d e f o r m a t i o n i n f o r m a t i o n i n s t e a d y r u n n i n g s t a t e . P o t t s e t a l . [ 6 ] d e t e r m i n e d t h e p a r a m e t e r s f r o m t h e m e a s u r e d t i r e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . W h i l e t h e o r e t i c a l f o r m u l a s p r o v i d e a m o r e g e n e r a l m e t h o d o f e s t i m a t i n g t h e p a r a m e t e r s , t h e e x p e r i m e n t a l m e t h o d s c a n g i v e u s m o r e a c c u r a t e e s t i m a t i o n s o f t h e p a r a m e t e r s o f i n d i v i d u a l t i r e s . I t i s a l s o n o t e d t h a t m o s t o f t h e r e s e a r c h o n t i r e r i n g m o d e l c o n c e n t r a t e d o n t h e d e r i v a t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s , f r e e v i b r a t i o n a n d s t a n d i n g w a v e p r o b l e m o f t i r e

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t r e a d b a n d . N e e d l e s s t o s a y , i t i s v e r y i m p o r t a n t t o o b t a i n e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e m o t i o n a n d t o s t u d y t h e t r e a d b a n d v i b r a t i o n p r o p e r t i e s o f t i r e s , b u t i t i s f e l t t h a t a t t e n t i o n s h o u l d a l s o b e p a i d t o t h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f p n e u m a t i c t i r e s . T h i s i s b e c a u s e t h e t i r e w a s o r i g i n a l l y i n v e n t e d a s a s u s p e n s i o n i n o r d e r t o r e d u c e t h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n f r o m r o a d t o v e h i c l e s ; a n d t h e t r a n s m i s s i o n c h a r a c t e r i s t i c i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t t i r e p r o p e r t i e s w h i c h a f f e c t t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f v e h i c l e s . U n f o r t u n a t e l y , m o s t o f t h e w o r k o n t h i s s u b j e c t i s e x p e r i m e n t a l , a n d c o n c e r n s o n l y i n d i v i d u a l t i r e s . Few t h e o r e t i c a l a n a l y s e s g i v i n g g e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e t i r e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s a r e a v a i l a b l e . To t h e a u t h o r ' s k n o w l e d g e , no t h e o r e t i c a l w o r k e x i s t s t o s t u d y t h e t r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s u s i n g a t i r e r i n g m o d e l . A n o t h e r p r o b l e m w h i c h w a s n e g l e c t e d i n l i t e r a t u r e i s t h e r o a d c o n t a c t p r o b l e m o f t i r e s , o r m o r e a c c u r a t e l y , t h e p r o b l e m o f how t o t r e a t t h e v i b r a t i o n o f t i r e s w h i c h h a v e c o n t a c t w i t h r o a d . I n m o s t o f t h e p r e v i o u s r e s e a r c h w o r k , i t w a s t r e a t e d a s a f o r c e d v i b r a t i o n p r o b l e m , a n d t h e s t a t i c ( c o n s t a n t ) r o a d c o n t a c t p r e s s u r e ( f o r c e ) w a s c o n s i d e r e d a s a n e x c i t a t i v e f o r c e t o t h e t i r e . T h i s i s c o r r e c t , i f we a r e o n l y c o n c e r n e d w i t h t h e t r e a d b a n d v i b r a t i o n o r s t a n d i n g w a v e p r o b l e m . H o w e v e r , i f we a r e c o n c e r n e d w i t h t h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n o f t i r e s , t h e s t a t i c r o a d c o n t a c t f o r c e c a n no l o n g e r b e t r e a t e d a s a n e x c i t a t i v e f o r c e , b e c a u s e i t i s t h e v a r i a t i o n o f t h e r o a d c o n t a c t f o r c e , n o t t h e c o n s t a n t c o n t a c t f o r c e , w h i c h c a u s e s

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t h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n t o v e h i c l e s u s p e n s i o n s . I n t h i s c a s e , t h e c o n s t a n t c o n t a c t p r e s s u r e i s o n l y a p r e l o a d t o t i r e s , j u s t l i k e t h e t i r e i n f l a t i o n p r e s s u r e . T h e r e f o r e , i t i s n e c e s s a r y t o s t u d y t h e v i b r a t i o n p r o p e r t i e s o f t i r e s w h e n i n c o n t a c t w i t h r o a d . F r o m t h e a b o v e p r e l i m i n a r y l i t e r a t u r e r e v i e w o n t i r e r i n g m o d e l s , t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e made: 1. R i n g m o d e l i s a u s e f u l t o o l t o i n v e s t i g a t e t h e s t a t i c a n d d y n a m i c p r o p e r t i e s o f p n e u m a t i c t i r e s . 2 . A t h o r o u g h e x a m i n a t i o n a n d c o m p a r i s o n o f t h e p r e v i o u s l y e s t a b l i s h e d m o d e l s i s n e c e s s a r y b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n c e s e x i s t i n g among t h e v a r i o u s m o d e l s . 3 . T o a c h i e v e g o o d a p p r o x i m a t i o n o f t i r e s u s i n g t i r e r i n g m o d e l , i t i s i m p o r t a n t t o i n c l u d e a l l t h e m a i n t i r e f a c t o r s i n t h e m o d e l , t o e m p l o y a d e q u a t e t h e o r y w h e n d e r i v i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n , a n d t o p r o p e r l y e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . 4 T h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n p r o p e r t y o f t i r e s i s v e r y i m p o r t a n t t o t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f v e h i c l e s , b u t i t w a s n e g l e c t e d i n c u r r e n t 1 i t e r a t u r e on t i r e r i n g m o d e l r e s e a r c h . 5. T h e d e g r e e o f f r e e d o m o f t r a n s l a t i o n a l m o t i o n o f t i r e w h e e l a s s e m b l y s h o u l d b e i n c l u d e d i n t h e t i r e m o d e l i n o r d e r t o s t u d y t h e v i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n f r o m r o a d t o a u t o m o b i l e s u s p e n s i o n v i a t i r e s . 6. E f f o r t s s h o u l d a l s o b e made t o i n v e s t i g a t e t h e v i b r a t i o n p r o p e r t i e s o f t i r e s w h e n i n c o n t a c t w i t h r o a d . I n o r d e r t o do s o , t h e t i r e - r o a d c o n t a c t a r e a

a n d c o n t a c t p r e s s u r e i n s t e a d y - s t a t e r u n n i n g c o n d i t i o n s h o u l d f i r s t b e d e t e n n i n e d . N o m e n c 1 a t u r e ^ : E : e l a s t i c m o d u l u s o f t i r e t r e a d b a n d ( r i n g ) I : moment o f i n e r t i a o f t i r e t r e a d b a n d a b o u t i t s m i d d l e s u r f a c e . I = /12 h : t h i c k n e s s d f t i r e t r e a d b a n d p: d e n s i t y o f t i r e t r e a d b a n d b : w i d t h o f t i r e t r e a d b a n d R: t i r e r a d i u s ( r a d i u s o f t h e m i d d l e s u r f a c e o f r i n g ) Pj^: i n f l a t i o n p r e s s u r e S Q : p r e t e n s i o n i n t i r e t r e a d b a n d d u e t o r o t a t i o n a n d i n f l a t i o n p r e s s u r e M: m a s s o f w h e e l - h u b a s s e m b l y k ^ : r a d i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l ( e l a s t i c f o u n d a t i o n ) k^y.: t a n g e n t i a l s t i f f n e s s o f t i r e s i d e w a l l k 2 : s t i f f n e s s o f t i r e t r e a d r u b b e r n : r o t a t i n g s p e e d o f t i r e v : T a n g e n t i a l d e f o r m a t i o n o f t h e m i d d l e s u r f a c e o f t i r e t r e a d b a n d w: r a d i a l d e f o r m a t i o n o f t h e m i d d l e s u r f a c e o f t i r e t r e a d b a n d p^: t a n g e n t i a l e x t e r n a l p r e s s u r e a c t i n g o n t i r e t r e a d b a n d p ^ : r a d i a l e x t e r n a l p r e s s u r e a c t i n g o n t i r e t r e a d b a n d

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R e f e r e n c e s : [ I ] S.K. C l a r k , T h e R o l l i n g T i r e u n d e r L o a d , S A E P a p e r 6 5 0 4 9 3 , 1 9 6 5 . [ 2 ] J . T . T i e l k i n g , P l a n e V i b r a t i o n C h a r a c t e r i s t i c s o f a P n e u m a t i c T i r e M o d e l , S A E P a p e r 6 5 0 4 9 2 , 1 9 6 5 . [ 3 ] R.N. D o d g e , T h e D y n a m i c S t i f f n e s s o f a P n e u m a t i c T i r e M o d e l , S A E P a p e r 6 5 0 4 9 1 , 1 9 6 5 . [ 4 ] F . Bohm, M e c h a n i k d e s G ü r t e l r e i f e n s , I n g e n i e u r A r c h i v . V o l . 3 5 , 1 9 6 6 . [ 5 ] H.B. P a c e j k a , T i r e I n - p l a n e D y n a m i c s , M e c h a n i c s o f P n e u m a t i c T i r e , e d i t e d b y S.K. C l a r k , 1 9 7 1 . [ 6 ] G.R. P o t t s , e t a l . . T i r e V i b r a t i o n s , T i r e S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , V o l . 5 , No. 4, 1 9 7 7 . [ 7 ] K. Y a m a g i s h i a n d J . T . J e n k i n s , T h e C i r c u m f e r e n t i a l C o n t a c t P r o b l e m f o r t h e B e l t e d T i r e , J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , ASME, V o l . 4 7 , 1 9 8 0 . [ 8 ] K. Y a m a g i s h i a n d J . T . J e n k i n s , S i n g u l a r P e r t u r b a t i o n S o l u t i o n o f t h e C i r c u m f e r e n t i a l C o n t a c t P r o b l e m f o r t h e B e l t e d R a d i a l T r u c k a n d B u s T i r e , J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , ASME, V o l . 4 7 , 1 9 8 0 . [ 9 ] J . T . J e n k i n s , T h e C i r c u m f e r e n t i a l C o n t a c t P r o b l e m f o r B e l t e d R a d i a l P a s s e n g e r C a r T i r e , V e h i c l e S y s t e m s D y n a m i c s , V o l . 1 1 , 1 9 8 2 . [ 1 0 ] J . P a d o v a n , On V i s c o e l a s t i c i t y a n d S t a n d i n g W a v e s i n T i r e s , T i r e S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , V o l . 4, No. 4, 1 9 7 6 . [ I I ] L . E . K u n g , W. S o e d e l a n d T . Y . Y a n g , F r e e V i b r a t i o n o f a P n e u m a t i c T i r e - W h e e l U n i t U s i n g a R i n g o n a n E l a s t i c F o u n d a t i o n a n d a F i n i t e E l e m e n t M o d e l , J o u r n a l o f S o u n d a n d V i b r a t i o n , V o l . 1 0 7 , No. 2 , 1 9 8 6 . [ 1 2 ] A.W. L e i s s a , V i b r a t i o n o f S h e l l s , NASA R e p o r t S P - 2 8 8 , 1 9 7 3 [ 1 3 ] M. E n d o e t a l . , F l e x u r a l V i b r a t i o n o f a T h i n R o t a t i n g R i n g , J o u r n a l o f S o u n d a n d V i b r a t i o n , V o l . 9 2 , No. 2 , 1 9 8 4 l . T h e s y m b o l s a n d t h e f o r m s o f e q u a t i o n s u s e d i n r e f e r e n c e s w e r e d i f f e r e n t . I n t h i s r e p o r t , i d e n t i c a l s y m b o l s a n d e q u a t i o n f o r m s a r e u s e d f o r t h e s a k e o f c o n v e n i e n c e o f t h e c o m p a r i s o n o f t h e v a r i o u s m o d e l s .