TomaszGóreckiStatystykazelementamirachunkuprawdopodobieństwa(W1) nazywamyprawdopodobieństwemwarunkowympodwarunkiemzdarzenia B . P ( ·| B ): F→ [ 0 , 1 ] A podwarunkiem,żezaszłozdarzenieB,afunkcję Liczbę P ( A | B ) interpretujemyjakoprawdopodobieństwozajś

(1)

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niezależność zdarzeń Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

Deﬁnicja Wzór Bayesa

Definicja

Niech B ∈ F będzie zdarzeniem losowym dla którego P(B) > 0. Dla dowolnego zdarzenia losowego A ∈ F deﬁniujemy

P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) .

Liczbę P(A|B) interpretujemy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, a funkcję

P(·|B) : F → [0, 1]

nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B.

(2)

Przykład (Monety)

Rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów, jeśli:

a) pierwsza moneta okazała się orłem, b) co najmniej jedna moneta była orłem.

(3)

Przykład (Urny)

Urna zawiera 8 kul czerwonych oraz 4 białe. Losujemy z niej dwie kule bez zwracania. Jaka jest szansa wylosowania dwóch kul czerwonych jeśli prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo.

(4)

Theorem (wzór Bayesa (1763))

Niech B , A₁, A₂, . . . , An będą zdarzeniami losowymi spełniającymi następujące warunki: 1 _A_i ∩ Aj = ∅, dla i 6= j, 2 n S i=1 Ai = Ω, 3 _P(A_i) > 0, dla każdego i = 1, 2, . . . , n, 4 _P_{(B) > 0.}

Wówczas dla dowolnego i = 1, 2, . . . , n, zachodzi równość P(Ai|B) = P(B|Ai) · P(Ai) n P i=1 P(B|Ai) · P(Ai) .

(5)

Wzór ten nazywany jest również wzorem na prawdopodobieństwo a posteriori (po doświadczeniu). Prawdopodobieństwa P(Ai)

nazywane są prawdopodobieństwami a priori (przed doświadczeniem). Zdarzenia A₁, A₂, . . . , An nazywane są

przyczynami, a zdarzenie A skutkiem. Z twierdzenia tego wynika, że można liczyć prawdopodobieństwa skutku, jeśli tylko znamy prawdopodobieństwa przyczyn oraz prawdopodobieństwa skutku przyczyn danej przyczynie.

(6)

Przykład (daltonizm)

Spośród mężczyzn 5%, a spośród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybrana losowo osoba okazała się daltonistą (zakładamy, że szanse traﬁenia na mężczyznę i kobietę są takie same). Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna?

(7)

Niezależność zdarzeń

Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

Definicja

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Jeśli powyższy warunek nie zachodzi zdarzenia nazywamy zależnymi.

Naturalnym jest stwierdzenie, że zdarzenia są niezależne jeśli wiedza o zajściu jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Oznacza to, że P(A|B) = P(A) o ile P(B) > 0.

(8)

Prawdopodobieństwo warunkowe Niezależność zdarzeń

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala

Szczególnie ważnym przykładem przestrzeni probabilistycznej jest przestrzeń powstała w wyniku wykonania ciągu niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia losowego o dwóch możliwych wynikach, które nazywamy umownie sukcesem (1) i porażką (0). Taki model probabilistyczny nazywamy schematem Bernoulliego_{, a poszczególne doświadczenia próbami} Bernoulliego_.

(9)

Przestrzeń zdarzeń elementarnych odpowiadająca jednemu doświadczeniu ma postać Ω = {0, 1}. Niech F = 2Ω oraz

P({0}) = 1 − p = q, P({1}) = p,

gdzie p ∈ (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Przestrzeń probabilistyczna odpowiadająca n niezależnym powtórzeniom tego doświadczenia to przestrzeń (Ω, F, P) = (Ω(n),F(n)_{, P}(n)_).

Uwaga

Często wygodne jest następujące przedstawienie P({i }) = pi_{(1 − p)}1−i_{, i} _{= 0, 1.}

(10)

Theorem

Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w schemacie

Bernoulliego _{n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w}

pojedynczej próbie p wynosi

Pn,k = n k ! pk(1 − p)n−k. Przykład (urny)

W urnie jest N kul, wśród których b jest białych oraz N − b czarnych. Losujemy n razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania k kul białych?

(11)

Jeśli liczba doświadczeń n jest duża w schemacie Bernoulliego (n > 100), a prawdopodobieństwo sukcesu jest małe (p < 0,1) można w bardzo dobry sposób przybliżać prawdopodobieństwa. Theorem

Niech liczby pn>0 tworzą taki ciąg, że lim_n→∞npn= λ > 0. Wtedy

lim n→∞ n k ! p_nk(1 − pn)n−k = e −λλ k k!.

(12)

Zagadnienie Pascala jest nieco zmodyﬁkowanym zagadnieniem Bernoulliego_{. W schemacie Bernoulliego liczba}

doświadczeń jest z góry ustalona i wyznaczamy

prawdopodobieństwo, że wśród tej liczby będzie dokładnie k sukcesów. W zagadnieniu Pascala problem polega na obliczeniu prawdopodobieństwa, że liczba prób Bernoulliego będzie równa n jeśli założymy, że próby przeprowadzamy tak długo, aż

(13)

Theorem

Jeżeli przeprowadzamy doświadczenia według schematu

Bernoulliego _{o stałym prawdopodobieństwie sukcesu w}

poszczególnym doświadczeniu równym p aż do uzyskania z góry ustalonej liczby k  1 sukcesów to prawdopodobieństwo, że liczba doświadczeń będzie równa n k, wyraża się wzorem

Pk,n=

n− 1

k− 1

!