8. Transformata Fouriera — zadania do samodzielnego rozwiązania

Podstawy przetwarzania sygnałów

8. Transformata Fouriera — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 8.1 Wyznacz transformatę Fouriera funkcji

f (x) = x1I_[−a,a](x)

i na podstawie wyznaczonego wzoru oblicz transformaty funkcji f₁(x) = x1I[⁻2π¹ ,_2π¹ ](x), f₂(x) =

x π − 1

2π



1I[0,1](x) oraz wyznacz transformaty tych transformat.

Zad. 8.2 1. Wykaż, że transformata Fouriera funkcji f (x) = xe^x1I_(−∞,0)(x) ma postać

f (ξ) =ˆ −1 (1 − 2iπξ)² .

2. Korzystając z powyższego wzoru wyznacz trasformatę Fouriera funkcji g(ξ) = 1

(1 − iξ)² . Zad. 8.3 1. Wykaż, że transformatą Fouriera funkcji

f (x) = 1

2 1 − |x|

2

!

I[−2,2](x) jest

f (ξ) =ˆ sin²(2πξ)

4π²ξ² , ξ 6= 0.

2. Wyznacz funkcję, której transformata ma postać ˆ

g(ξ) = sin²ξ ξ² . Zad. 8.4 Niech f ∈ L¹(R¹), g(x) = e^2iπx. Oblicz f ∗ g.

Zad. 8.5 Niech u oznacza funkcję Heaviside’a. Oblicz u ∗ u.

Zad. 8.6 Wiedząc, że transformatą Fouriera funkcji f (x) = e^−ax2 jest funkcja f (ξ) =ˆ

rπ

a e^{−π2a ξ2}, a) wyznacz f ∗ f ,

b) wyznacz transformaty funkcji

g(x) = e^−(x−m)22 i h(x) = xe^−ax2.