• Schemat jawny i niejawny Eulera. Bezwzględna stabilność schematu Eu- lera.

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018

Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019

1 Równania różniczkowe zwyczajne

• Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnico- wych: iloraz przedni/wsteczny/centralny dla pierwszej pochod- nej, iloraz centralny dla drugiej pochodnej, błąd dyskretyzacji

• Schemat jawny i niejawny Eulera. Bezwzględna stabilność schematu Eu- lera.

Przykładowe pytania:

1. Dane jest równanie różniczkowe y ^′′ (x) − y ^′ (x) + y(x) = x. Zapisz schemat różnicowy Eulera (jawny/niejawny) dla tego równania.

2. Dane jest równanie różniczkowe u ^′ (t) = λu(t). Wyprowadź wzór opisujący współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera (jawne- go/niejawnego). Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględ- nej stabilności metody.

• Schemat trapezów. Bezwzględna stabilność schematu trapezów.

1. Dane jest równanie różniczkowe u ^′ (t) = λu(t). Wyprowadź wzór opi- sujący współczynnik wzmocnienia dla schematu trapezów. Na płasz- czyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględnej stabilnośic metody.

• Metody Rungego-Kutty. Ogólna postać wzorów definiujących metodę (u n , k i /U i ). Tablica Butchera, jej własności (jawność/niejawność), zależności pomiędzy współczynnikami b i , c i oraz a i,j . Związek rzędu dokładności metody jawnej z postacią tablicy Butchera. Definicja A-stabilności.

Przykładowe pytania:

1. Dla podanej tablicy Butchera określ jej typ (jawna/niejawna).

2. Uzupełnij brakujące elementy w tablicy Butchera.

3. Określ rząd dokładności metody RK, jeśli wiadomo że liczba elemen- tów a i,j w jej tablicy Butchera wynosi 36 oraz zachodzi warunek a i,j = 0 ⇐⇒ j ­ i.

4. Jaki jest rząd dokładności trzyodsłonowej metody RK dla której wszystkie elementy a _i,j są niezerowe?

5. Określ współczynnik wzmocnienia poniższego niejawnego schematu RK

u _n = u _{n −1} + ∆tf (t _{n −1} + ∆t/2, U ₁ ), U ₁ = u _{n −1} + (∆t/2)f (t _{n −1} +

∆t/2, U ₁ )

dla problemu autonomicznego y ^′ (t) = λy(t) (przyjąć z = λ∆t). Jaki typ stabilności otrzymamy jeśli λ ∈ R oraz λ < 0?

• Ekstrapolacja Richardsona, problemy sztywne (opis jakościowy). Definicja problemu sztywnego, celowość określania błędu numerycznego w ekstra- polacji.

Przykładowe pytania:

1. Jak można zdefiniować problem sztywny?

2. Czy do rozwiązania problemu sztywnego można używać metod jaw- nych? kombinacji jawna/niejawna? czy tylko niejawnych?

3. Automatyczną zmianę kroku czasowego w ekstrpolacji Richardsona można uzyskać modyfikując krok czasowy ∆t _new = (S ·tol/E) ^1/(p+1) ∆t.

Załóżmy że dla pewnej chwili czasowej t _n otrzymaliśmy zależność E = tol i aktualne rozwiąznie nie jest akceptowane. Jaką należy przy- jąć wartość parametru S aby zwiększyć prawdopodobieństwo akcep- tacji wyniku w kolejnym kroku czasowym?

2 Równania różniczkowe cząstkowe

• Klasyfikacja równań: Poissona, adwekcji, dyfuzji, falowe.

• Równanie Poissona. Dyskretyzacja równania Poissona, schemat relaksacji lokalnej. Przykładowe pytania:

1. Określ współczynniki a, b, c oraz d w schemacie opisującym relaksację lokalną równania Poissona w 1 D: u i = a · u i −1 + b · u i + c · u i+1 + dρ i , gdzie: i to indeks na siatce a ρ jest gęstością.

2. Czy metoda iteracyjna rozwiązywania równania POissona jest zbież- na? Odpowiedź uzasadnij odpowiednim rachunkiem.

• Równania mechaniki płynów. Przepływ bezwirowy: równania na funkcję strumienia i potencjał przepływu oraz ich związek z wektorem prędkości.

Przykładowe pytania:

1. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz w kierunku y. Jeśli równanie ∇ ² ϕ(x, y) = 0 definiuje potencjał dla takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną?

2. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz w kierunku y. Jeśli równanie ∇ ² ψ(x, y) = 0 funkcję strumienia dla takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną?

3. Dane jest pole prędkości ⃗ V = (2x, −2y). Jaki jest potencjał i funkcja strumienia?

• Równanie adwekcji. Schematy upwind, downwind, z centralną pochodną. Liczba Couranta (warunek CFL), schemat Laxa-Friedrichsa, schemat Laxa-Wendroffa (wyprowadzenie), schemat Leap Frog, schemat Cranka-Nicolsona. Odwracalność w czasie schematów różnicowych.

Przykładowe pytania:

1. Jeśli w schemacie upwind odwrócimy kierunek upływu czasu oraz zwrot prędkości to jaki schemat otrzymamy?

2. Schemat Laxa-Wendroffa uzyskujemy rozwijając funkcję u(x, t + ∆t) w szereg Taylora a następnie zamieniając pochodne czasowe niż- szych rzędów pochodnymi przestrzennymi. Jaki jest błąd dyskrety- zacji zmiennej czasowej i zmiennej przestrzennej w tym schemacie?

3. Dlaczego schemat downwind jest niestabilny dla równania adwkecji gdy v > 0?

4. Korzystając z twierdzenia CFL określ zależność pomiędzy krokami:

czasowym i przestrzennym.

• Definicje: spójność, zbieżność i stabilność schematu różnicowe- go, twierdzenie Couranta-Friedricha-Levy’ego, bezwzględna sta- bilność schematu różnicowego, zasada maksimum.

Przykładowe pytania:

1. Dany jest schemat U _j ⁿ⁺¹ = ^U

n j+1

+U

2 − ^α ₂ (U _j+1 ⁿ − U j ⁿ −1 ). Czy współ- czynniki tego schematu spełniają zasadę maksimum?

• Analiza von Neumanna schematów różnicowych - interpretacja współczynnika wzmocnienia dla różnych schematów

Przykładowe pytanie:

1. Dany jest współczynnik wzomocnienia dla schematu upwind |M| ² = 1 + 2α(α − 1)(1 − cos(2πk/J)), k, J > 0. Określ przedział zmienności liczby Couranta tak aby metoda była bezwzględnie stabilna.

2. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Cranka-Nicolsona ma po- stać M _k = ¹ −αisin(k∆x)

1+αisin(k∆x) . Dla jakiego kroku czasowego schemat jest

stabilny?

3. Wykaż, że schemat Crancka-Nicolson charakteryzuje się największą dokładnością spośród metod generowanych poprzez mieszanie jawnej i niejawnej metody Eulera.

• Dyfuzja numeryczna dla równania adwekcji. Rozwiązania ogól- ne dla równania adwekcji i adwekcji-dyfuzji (AD). Określanie współczynnika dyfuzji numerycznej na podstawie porównania zdyskretyzowanego równania AD i schematu różnicowego me- tody.

Przykładowe pytania:

1. Rozwiązanie równania adwekcji-dyfuzji w 1D ma postać u(x, t) = exp( −4π ² σ k ² t)exp(2πik(x − vt)). Dlaczego jest ono stabilne?

2. Dane jest równanie adwekcji-dyfuzji u t + vu x = σu xx oraz schematu upwind U _j ⁿ⁺¹ = (1 −α)U j ⁿ + α U _j ⁿ . Jaka musi być wartość współczyn- nika dyfuzji aby schemat upwind był zgodny z rówaniem dyfuzji?

3. Czy równanie opisujące adwekcję jest odwracalne w czasie? (równa- nie jest niezmiennicze względem zmiany znaku zmiennej czasowej i prędkości)

4. Dlaczego równanie dyfuzji nie jest odwracalne w czasie?

5. Dany jest schemat dla równania adwekcji U _j ⁿ⁺¹ = α(U _j+1 ⁿ − U j ⁿ −1 ) + U _j ^{n −1} . Czy jest on odwracalny w czasie?

6. Wykaż że schematy upwind i downwind są spójne z równaniem ad- wekcji.

7. Określ błąd dyskretyzacji schematu upwind dla równania adwekcji.

8. Korzystając z twierdzenia Couranta-Friedrichsa-Leviego (CFL) wyja- śnij w jakim przypadku numeryczne rozwiązanie równiania adwekcji nie będzie zbieżne do rozwiązania dokładnego.

9. Różnicowy schemat dla równania adwekcji z centralną pochodną prze- strzenną jest niestabilny bezwzględnie. Stosując analizę von Neuman- na wyjaśnij dlaczego.

• Równanie dyfuzji i adwekcji-dyfuzji. Prawo Ficka/Fouriera, New- tona. Matematyczny opis warunków brzegowych: stały strumień, konwekcyjne warunki brzegowe. Jawny i niejawny schemat Eule- ra, schemat Cranka-Nicolsona, schemat Leap-Frog. Liczba Pec- leta. Stabilność schematów różnicowych.

Przykładowe pytania:

1. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera ma postać M k =

1 − ^D∆t _∆x

(1 −cos(k∆x)). Jaki warunek musi być spełniony aby |M k | ¬

1?

2. Schemat Eulera dla schematu adwekcji-dyfuzji ma postać U _j ⁿ⁺¹ = (r − α/2)U j ⁿ −1 + (1 − 2r)U j ⁿ + (r + α/2)U _j+1 ⁿ . Dla jakiego zestawu parametrów v, dx, dt, D schemat ten będzie stabilny?

3. Zdefiniuj schemat jawny eulera dla równania adwekcji-dyfuzji a na- stępnie na podstawie zasady maksimum określ warunki dla których będzie on stabilny.

4. Utwórz schemat różnicowy Crancka-Nicolsona dla równania adwekcji i zapisz go w postaci macierzowej.

5. Zaproponuj algorytm iteracyjny pozwalający znaleźć rozwiązanie rów- nania dyfuzji ciepła w stanie ustalonym (naszkicuj geometrię układu zaznaczając warunki brzegowe/źródła ciepła).

• Równanie falowe. Warunki brzegowe i drgania własne struny, zasada superpozycji, superpozycja drgań własnych. Rozwiązanie równania struny metodą separacji zmiennych. Metoda strzałów.

Przykładowe pytania:

1. Czy równanie falowe jest odwracalne w czasie?

2. Superpozycja drgań własnych struny daje ogólne rozwiązanie u(x, t) = ∑ _∞

n=1 c _n sin(k _n x)cos(ω _n t) + ∑ _∞

n=1 s _n sin(k _n x)sin(ω _n t). Wychylenie struny w t = 0 było dane równaniem u(x, t) = sin(πx/L), gdzie L jest długością struny. Określ które współczynniki c _n i s _n będą nieze- rowe.

3. Schemat iteracyjny w metodzie strzałów X k (x+∆x) = −∆x ² ρ(x) ^ω _T

0

X k (x) − X k (x − ∆x) + 2X k (x) możemy zapisać w postaci macierzowej: Ax = B(x)ω ² x, gdzie generatorem elementów w A jest druga pochodna przestrzenna. Jaka jest postać macierzy B(x)? Jak, wykorzystując metodę diagonalizacji macierzy, możemy znaleźć ω k oraz X k ? 4. Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora skonstruuj schemat poło-

żeniowy Verleta i określ jego rząd dokładności. Skonstruuj schemat

prędkościowy Verleta.